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先追尋多邊形的面積公
式; 接著連續化得到平面上一般領域(包括
醉月湖) 的面積公式; 再作推廣, 得到平面
上的Green 定理; 最後推廣到三維空間, 得
到Gauss 的散度定理與Stokes 的旋度定
理。這些深深觸及向量微積分的核心, 是一條
值得探尋的路徑
- www.cs.pu.edu.tw/~yawlin/docs/aemath-Vect-Calculus.pdf
- 問題1: 在平面上, 一條封閉曲線所圍成. 的領域, 例如台大的醉月湖, 如何求它的 ..... 上的Green 定理; 最後推廣到三維空間, 得. 到Gauss 的散度定理與Stokes 的旋度定.
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Green 定理與應用
ocw.nctu.edu.tw/course/vanalysis/Green.pdf(Gauss) 等人也發現這結果, Green 的結果. 讓我們覺得非常 .... Green ìÜ. Green 定理基本上是線積分與面積分之. 關係, 實際上就是微積分基本定理之推廣。 Green ìÜ: ...
從醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介
蔡聰明
1. 一個求面積的問題
面積是一個很古老的幾何概念, 它起源
於人類要丈量土地的大小。Geometry 這個
字的根源是geometrein, geo 是土地, metrein
是測量, 故幾何學的原意是測量土地、
求面積。自古以來, 由於所給的條件有各式各
樣, 於是對應有各式各樣的面積公式。經過兩
千多年的發展, 終於創立微積分, 透過微分法
一舉解決了一切求積問題。
問題1: 在平面上, 一條封閉曲線所圍成
的領域, 例如台大的醉月湖, 如何求它的面積
呢?
按思考的常理, 我們先退到比較簡單的
特例, 譬如說透過離散化或有窮化, 退到多邊
形, 再退到四邊形乃至三角形。
對於三角形的情形, 如果所給的數據是
三個邊之長, 那麼其面積就有Heron 公式可
循, 參見[1]。推廣到四邊形的情形, 如果所
給的數據是四個邊之長加上兩對角線或兩個
對角, 那麼其面積又有Brahmagupta 公式
與Bretschneider 公式可算, 參見[2]。四邊
形的面積公式已經有點煩瑣, 如果要再推廣
到五邊以上的多邊形, 其困難是可以想像得
到的, 甚至根本行不通。一個求面積公式, 若
只能對付三角形或四邊形, 那麼也太局限了,
不合數學追尋普遍的“萬人敵”之道。
換個追尋的方向, 改變所給的數據是個
好辦法:
(i) 假設多邊形的頂點皆為平面上的格
子點, 那麼其面積就有Pick 公式
A =
b
2
+ i − 1 (1)
其中b 與i 分別表示在邊界上及內部的格子
點之個數, 參見[4]。讓格子的間隔越來越小,
原則上利用(1) 式可以求出一般平面領域的
面積。
(ii) 已知多邊形的頂點坐標, 因為頂點
唯一決定多邊形(邊則不然), 所以多邊形的
面積理應可以利用頂點的坐標來表達。
實際測量一塊多邊形的土地, 我們得到
邊長r1, r2, ・ ・ ・ 以及邊相對於水平線之旋轉
角θ1, θ2, ・ ・ ・, 參見圖1。由這些數據可以
得到多邊形的頂點坐標。設第一點的坐標為
3
4 數學傳播21卷2期民86年6月
A = (x1, y1) (由取平面坐標系而決定下來);
然後就可求出B = (x2, y2) 如下:
x2 = x1 + r1 cos θ1
y2 = y1 + r1 sin θ1
接著求出C = (x3, y3) 為
x3 = x2 + r2 cos θ2
y3 = y2 + r2 sin θ2
・ ・ ・ 等等, 參見圖2。
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A
B
C
r1
r2
r3
1
2
3
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圖1
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y ..........
x
A(x1, y1)
B(x2, y2)
C(x3, y3)
D(x4, y4)
圖2
問題2: 已知多邊形的頂點坐標為
(x1, y1), (x2, y2), ・ ・ ・ , (xn, yn), 如何求其面
積?
本文的主題是: 先追尋多邊形的面積公
式; 接著連續化得到平面上一般領域(包括
醉月湖) 的面積公式; 再作推廣, 得到平面
上的Green 定理; 最後推廣到三維空間, 得
到Gauss 的散度定理與Stokes 的旋度定
理。這些深深觸及向量微積分的核心, 是一條
值得探尋的路徑。
2. 多邊形的面積公式
多邊形仍然太複雜, 我們再退到三角形
的特例, 探尋完成後, 再進到多邊形。這種處
理問題時退、進之道很值得留意。
問題3: 已知三角形三個頂點的坐標為
A = (x1, y1),B = (x2, y2),C = (x3, y3),
如何求其面積?
我們進一步退到三個頂點為O=(0, 0),
B = (x2, y2), C = (x3, y3) 之更特殊三角
形。令OB,OC 與x 軸的夾角分別為θ1 與
θ2, 且OB = ρ1,OC = ρ2, 則
x2=ρ1 cos θ1, y2=ρ1 sin θ1
x3=ρ2 cos θ2, y3=ρ2 sin θ2
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B = (x2, y2)
C = (x3, y3)
1
2
1
2
O
x
y
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圖3
從醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介5
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B = (x2, y2)
C = (x3, y3)
1
2
1
2
O x
y
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圖4
如上圖所示, 我們分成兩種情形來討論:
(i) 當O,B,C 成為逆時針(或右手系)
定向時, 如圖3, 則 OBC 的面積為
S =
1
2
ρ1ρ2 sin(θ2 − θ1)
=
1
2
ρ1ρ2(sin θ2 cos θ1 − cos θ2 sin θ1)
=
1
2
(x2y3 − y2x3)
=
1
2
x2 x3
y2 y3
(2)
(ii) 當O,B,C 成為順時針(或左手系) 定
向時, 如圖4, 則 OBC 的面積為
S =
1
2
ρ1ρ2 sin(θ1 − θ2)
=
1
2
(x3y2 − x2y3)
=−
1
2
x2 x3
y2 y3
因此行列式
x2 x3
y2 y3
代表由OB 與OC 所生成的平行四邊形的
有號面積, 當O,B,C 逆時針定向時為正, 順
時針定向時為負。利用向量外積也可以推導
出這個結果。
回到問題3, 不妨假設 ABC 為逆時
針走向, 見圖5, 則 ABC 的面積為
S = OAB+ OBC− OAC
=
1
2
x1 x2
y1 y2
+
1
2
x2 x3
y2 y3
−
1
2
x1 x3
y1 y3
=
1
2
3
Xk=1
xk xk+1
yk yk+1
(3)
其中規定x4 = x1 且y4 = y1
註: 通常教科書將(3) 式寫成
S =
1
2
1 1 1
x1 x2 x3
y1 y2 y3
(4)
不過,(3) 式適於推廣到任何多邊形, 而(4)
式則不然。換言之,(4) 式是死的, (3) 式才是
活的有源之泉。
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A = (x1, y1)
B = (x2, y2)
C = (x3, y3)
O x
y
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圖5
6 數學傳播21卷2期民86年6月
仿上述之論證可得
定理1: 設A1(x1, y1),A2(x2, y2),
・ ・ ・ ,An(xn, yn) 為n 邊形之頂點坐標且為
逆時針定向, 則此n 邊形的面積為
S =
1
2
n
Xk=1
xk xk+1
yk yk+1
(5)
其中規定xn+1 = x1 且yn+1 = y1
註: (5) 式又叫做測量師的公式。
3. 醉月湖的面積公式
公式(5) 更是活生生的, 它還可以再推
廣, 無窮化與連續化成平面上封閉曲線所圍
成的領域(如醉月湖) 之面積公式。為此, 我
們根據行列式的性質將(5) 式稍作變形
S =
1
2
n
Xk=1
xk xk+1 − xk
yk yk+1 − yk
=
1
2
n
Xk=1
xk xk
yk yk
(6)
如何連續化呢? 由微積分我們知道, 圓
內接正n 邊形的連續化(即n → ∞ ) 就得
到圓, 差和分的連續化就是微積分, 參見[3]。
按此理, 平面上封閉曲線 所圍成的領域,
可以看作是邊長為無窮小(infinitesimal) 的
無窮多邊之多邊形(我們採無窮小論證之觀
點)。所謂“連續化”在作法上就是將
和分 改為積分R
差分 改為微分d
因此,(5) 式的連續化就變成
S =
1
2Z
x dx
y dy
=
1
2Z
xdy−ydx (7)
此地積分記號Z
意指沿 以逆時針方向
作曲線積分(line integral)。我們可以這樣
來理解(6) 式: 想像封閉曲線 上無窮地
接近的兩點(x, y)、(x + dx, y + dy) 與原點
(0, 0) 所圍成無窮小的三角形面積為
1
2
x x + dx
y y + dy
=
1
2
x dx
y dy
再讓(x, y) 沿曲線 的逆時針方向變動, 連
續地求和(即積分), 就得到(7) 式, 參見圖
6。
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(x + dx, y + dy)
(x, y)
0 x
y
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圖6
例1: 橢圓 的參數方程式為
x = a cos t
y = b sin t 0 ≤ t ≤ 2π
由(7) 式算得
S =
1
2Z
xdy − ydx
=
1
2 Z 2π
0
[a cos t ・ b cos t
−b sin t(−a sin t)]dt
=
1
2
ab Z 2π
0
dt
=πab
這恰是通常熟悉的橢圓面積公式。
從醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介7
因此我們很有理由相信公式(7) 是對
的。事實上, 我們可以採用一般微積分教科
書上的極限論證法給予證明。不過, 我們要
指明: 從Leibniz 或非標準分析(nonstandard
analysis) 的眼光來看, 無窮小
論證法是合法的(歷史上曾被宣佈為“非法
的”), 更漂亮而具有發現的潛力, 並且足以保
證(7) 式是成立的。
定理2: 設 : t ∈ [a, b] → (x(t),
y(t)) ∈ R2 為一條單純的(即沒有打結)、封
閉的可微分曲線, 並且是逆時針定向, 則 所
圍成的領域之面積為
S =
1
2Z
x dx
y dy
=
1
2Z
xdy − ydx
=
1
2Z b
a
[x(t)y′(t)− y(t)x′(t)]dt (8)
註: (8) 式表示, 沿著曲線 繞一圈, 作
某種功(或度量), 就知道曲線所圍的面積, 這
真奇妙。一位農夫沿著農地走一圈就知道面
積!
對於極坐標描述的封閉曲線
: r = f(θ), a ≤ θ ≤ b
可改為參數方程式
x = f(θ) cos θ
y = f(θ) sin θ a ≤ θ ≤ b
計算
x(θ)y′(θ) − y(θ)x′(θ) = (f(θ))2
於是得到:
推論: 設 : r = f(θ), a ≤ θ ≤ b, 為
一條單純的、封閉的可微分極坐標曲線,則
所圍成領域之面積為
S =
1
2 Z b
a
(f(θ))2dθ (9)
註: 事實上, 不必限於封閉的極坐標曲線,(9)
式亦成立。這是在微積分中我們熟悉的一個
公式。
例2: 設a > 0, 考慮半徑為a 的圓在
半徑為3a 的圓內部沿著圓周滾動,試求滾動
圓上一點P 的軌跡所圍成領域之面積。
解: 如圖7所示, 取圓心為原點, 並且小
圓上的P 點起先跟(3a, 0) 點重合, 然後開
始滾動, 再取圓心角θ 當參數, 容易算出P
點的坐標(x, y) 滿足
x=2a cos θ+a cos 2θ
y=2a sin θ−a sin 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π
我們稱P 點的軌跡為圓內三尖輪迴線(Deltoid)
。由公式(8) 知, 它所圍成領域之面積
為
S =
1
2Z
xdy − ydx
=
a2
2 Z 2π
0
[(2 cos θ + cos 2θ)
・(2 cos θ − 2 cos 2θ)
−(2 sin θ − sin 2θ)
・(−2 sin θ − 2 sin 2θ)]dθ
=
a2
2 Z 2π
0
(2 − 2 cos 3θ)dθ
=2πa2
8 數學傳播21卷2期民86年6月
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(3a, 0)
2
0
x
y
y
P
x
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.
圖7
習題: 求星形線x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 , a > 0,
所圍的面積。
4. 推廣成Green 定理
公式(8) 是露出海面上的冰山之一角,
底下還有更廣大的整座冰山。為了發現這座
冰山, 我們將(8) 式重新整理成:
Z Z
2dxdy = 2S = Z
xdy − ydx (10)
其中 表示 所圍成的領域, 通常也記
= ∂, 表示的邊界。
(10) 式顯示兩重積分與線積分具有密
切關係。常函數ϕ(x, y) = 2 在 的內部作
兩重積分就等於向量場~V (x, y) = x~i − y~j
沿 的邊界∂ 作線積分。這條線索類似於
微積分根本定理
Z[a,b]
f′(x)dx=Z∂[a,b]
f(x)dx
=f(b) − f(a)
亦即f 在邊界∂[a, b] 上作積分(得f(b) −
f(a) ) 等於f 的變化率f′ 在[a, b] 上作積
分。因此, 常函數ϕ(x, y) = 2 似乎應該就是
向量場~V (x, y) = x~i − y~j 的某種“變化率”
(或“微分”)。
為了尋找兩重積分與線積分的一般關係
式, 我們考慮平面上的向量場
~F
(x, y) = P(x, y)~i + Q(x, y)~j
沿著一條封閉曲線 作線積分
Z
~F
・ d~r = Z
P(x, y)dx + Q(x, y)dy
問題4: 線積分Z
Pdx+Qdy 可化成
上什麼形式之兩重積分, 包括(10) 式為特
例?
我們仔細觀察(10) 式。欲Z
xdy −
ydx 改寫成Z
Pdx + Qdy 之形, 只需取
P(x, y) = −y 且Q(x, y) = x
就好了。但是RR 2dxdy 這一項怎麼來的
呢? 容易看出
∂Q
∂x − ∂P
∂y = 1 − (−1) = 2
因此RR 2dxdy 就是由RR ( ∂Q
∂x −∂P
∂y )dxdy
得來的。
到此為止, 我們已經可以提出猜測
(Conjecture):
Z
∂
Pdx+Qdy=Z Z
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)dxdy (11)
我們先用一個例子來檢驗(11) 式。
例3: 設~F (x, y) = 2y~i + 3x~j, 即
P(x, y) = 2y, Q(x, y) = 3x, :
x2 + y2 = 1 為單位圓, 取參數方程式
x = cos t
y = sin t , 0 ≤ t ≤ 2π
從醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介9
則
Z
Pdx + Qdy=Z
2ydx + 3xdy
=Z 2π
0
[2 sin t(−sin t) + 3 cos t ・ cos t]dt
=Z 2π
0
(
1
2
+
5
2
cos 2t)dt
=π
另一方面
Z Z
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)dxdy
= Z Z
x2+y2≤1
(3 − 2)dxdy = π
因此, 上述猜測對於本例成立。
我們已有相當理由支持(11) 式之猜測,
那麼我們就試證看看吧。仍然從最簡單的情
形著手:
(i) 當 = [a, b] × [c, d] 為矩形領域
時, 參見圖8。
Z
∂
Pdx + Qdy
=Z b
a
P(x, c)dx + Z d
c
Q(b, y)dy
+Z a
b
P(x, d)dx + Z c
d
Q(a, y)dy
=Z d
c
(Q(b, y) − Q(a, y))dy
−Z b
a
(P(x, d) − P(x, c))dx
由Newton-Leibniz 公式(簡稱N − L 公
式) 知
Q(b, y) − Q(a, y) = Z b
a
∂Q
∂x
dx
P(x, d) − P(x, c) = Z d
c
∂P
∂y
dy
所以
Z
∂
Pdx + Qdy
=Z d
c Z b
a
∂Q
∂x
dxdy − Z b
a Z d
c
∂P
∂y
dydx
=Z Z
(
∂Q
∂x
−
∂
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