动漫术语科普贴： 希尔伯特空间，量子测量，波函数塌陷与薛丁格的猫
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引入
先来一点高中数学，从向量说起：
平面向量的表示
假设有一个二维平面x-y, 我们可以说这个平面的两个基底为向量 |x> 和向量 |y>，正规化后，平面的基底为 x|>=[1 0],
|y>=[0 1]（方向和x,y相同，长度为1的单位向量）其中|x>和|y>为正交向量
有了正规化的基底|x> 和 |y>后，平面上的任何向量|n>都能被 |x> 和 |y> 表示：
|n>=c1|x>+c2|y> 其中c1和c2是常数
平面向量的内积
定义内积的运算 设在x-y平面由向量|n>和|m>，其中|n>=x1.|x>+y1.|y>=（x1, y1),
|m>=x2.|x>+y2.|y>=（x2,
y2),呢么|n>和|m>的内积等于x1.x2+y1.y2=|m|.|n|.cosθ，其中θ是向量|n>和|m>的夹角（如何证明自己翻高中数学书）
正交向量
当两个向量正交（其实正交和垂直是同一个意思），他们的内积为0（请自行翻阅高中数学书）
第二个引入
二维平面的推广，由二维平面至希尔伯特空间
希尔伯特空间就是一个由二维空间（平面）和三维空间，推广到任意或者无限维度的复数空间，而且希尔伯特空间内任意的向量间的内积的计算遵循欧几里得空间（就是二维或者三维）的计算。
例子， 一个在n维希尔伯特空间内的任意向量|a>能表达为
其中，|i>是这个希尔伯特空间内的任意正规化基底，ai是复数（基底的概念，例如二维平面的基底是x,y
，三维平面的基底是x,y,z，那么n维平面的基底就可以是|1>,|2>.......|i>........|n>
（不要去想象希尔伯特空间是个什么样子，他在物理世界中不一定存在）
量子测量
测量中正交的概念：
用例子说明，当我们抛硬币时，得出的结果只能是正面和反面，那么我们就说正面和反面是正交的两个结果。因为投掷硬币的任何结果，都能用正反两个向量作为基底表达出来。物理测量中，正交的两个结果，说明他们是不会同时出现的，而且能表达出任意试验结果和结果出现的概率(不急，下面会说到具体如何表达），因此，我们测量最简单的量子系统-单个量子的自旋时，得出的结果只能是量子向上自旋和向下自旋，我们把向上自旋记坐正规化向量|u>，把向下自旋记作正规化向量|d>，那么我们就用了两个互相正交的正规化向量|u>和|d>，其中他们的长度为1，内积为0
算子：
在物理学里，算子是一个函数，作用於物理系统的物理态
，使这个物理态变换为另外一个物理态。简单地说，算子就是一个机器，你对他输入一些东西，他会给你输出另外一些东西。
例如加号，就是一个算子,但需要两个输入，负号，也能算是一个算子，只需要一个输入。
物理上来说，任何测量仪器都是一个算子，因为观测仪器作用于这个系统，得出输出符号，让人知道系统与测量仪器作用后的状态
以下用加号为例子说明算子
好了，算子的数学意义说完了，现在来用图说明测量用算子的物理意义
假设我们有一个机器来测量量子的自旋，当自旋向上时，机器输出1，当自旋向下时，机器输出-1
但是有个问题，就是当我们用这个只能测量量子是向上旋转还是向下旋转的机器去测量一个向右旋转的量子时，我们能得出什么？
机器只能输出1或者-1，但是向右旋转既不是1，也不是-1，而是介于1和-1之间，相对于向上旋转和向下旋转，代表向右旋转的数值应该是0。可是问题来了，因为我们的机器太简陋，只能输出1或者-1，那么到底输出是多少呢？
答案是随机输出1或者-1，而且输出1和-1的概率各位50%）
好了，最简单的量子测量说完了，然后是时候用数学推导出波函数塌陷啦~~~~
让我们把那个只能输出1或者-1的测量仪器称为算子б，那么向上旋转的量子就能用向量表示为|u>,
向下旋转的量子就能表达为|d>。（u,d分别是up和down的简写~~~），然后，向量和算子间的关系就成为
б(|u>)= 1|u>
б(|d>)=-1|d>
然后量子向右旋转时，机器输出1或者-1的概率各为50%。用向量|r>来表达，那么我们现在试图用|u>和|d>来表达|r>
再来一些数学~~~
假设在二维希尔伯特空间上有一个随机向量|a>，这个空间的两个基底为|i>和|j>，那么|a>用基底来表达就是
|a>=a1|i>|+a2|j>，其中a1和a2是复数,那么|a>在基底|i>和|j>上的投影各是多少呢？
a1和a2么？ 但不要忘记了，我们现在在一个希尔伯特空间里，a1和a2都是复数，我们要得到的投影都是实数，要怎么办呢？
共轭复数的概念在此强势插入：
一个复数a+bi的共轭复数是a-bi......（回去翻高中数学书）然后a1的共轭复数就是a1*,a2的共轭复数就是a2*
那么|a>在基底|i>上的投影就是a1a1*,在基底|j>上的投影就是a2a2*
以下图为例
 任意向量在|i>和|j>上的投影都要考虑到复平面，而投影的长度就是投影在复平面上的长度
好，回到我们的量子自旋系统上面，现在我们如果用测量上下的仪器去测量向右自旋的量子，会有50%机会得到1,50%机会得到-1,。
也就是说，这个向右自旋的系统|r>在以|u>和|d>为基底的2维希尔伯特空间上在基底|u>和|d>的投影是相等的，而且|r>是单位向量，长度为1，那么我们就得到以下关系
|r>=1/2^0.5|u>+1/2^0.5|d>
概率论强势插入：
当一个系统有很多种可能出现的时候，各种可能出现的概率的总和为1。如果选择任一对应该系统的希尔伯特空间中的向量|n>，每个基底出现的概率为该向量在这个基底上的投影长度
也就是说，一个任意单位向量在各基底上的投影加起来等于他自身的长度1。测量时，每个基底出现的概率为该单位向量在这个基底上的投影长途
我们来验证以下|r>=1/2^0.5|u>+1/2^0.5|d>，(1/2^0.5)^2=1/2，也就是说在仪器上+1出现的概率为1/2，-1出现的概率也为1/2，他们的概率和为1
好了，辛苦准备完了，开始波函数的坍陷
每次我们测量一个系统，我们就会改变这个系统。准确一点来说，任意系统都可以用向量来表示，例如向上自旋的量子是|u>，向下自旋的量子是|d>,向右自旋的量子是|r>。
而任意的测量仪器都是一个算子，我们通过算子对向量进行运算，得出我们观察到的结果，同时系统的向量也由原来的向量变为了我们观察到的结果，这个就是波函数塌缩的大体意思
例子，如果我们对本身向上旋转的量子用我们前面说到的仪器进行测量，将会得到1，而此后量子继续向上旋转。对向下旋转的量子进行测量，得到-1，此后量子继续向下旋转。用公式表达为
σ|u>= 1|u>
σ|d>=-1|d>
但是我们对向右旋转的量子进行测量，我们得到了什么？试着用公式去推导
σ|r>=σ(1/2^0.5|u>+1/2^0.5|d>)=1/2^0.5.σ|u>+=1/2^0.5.σ|d>=
1|u>或-1|d>？？？
出问题了，数学推导和实际观察结果不同
实际上，是组成向量|r>的两个基底|u>和|d>其中一个塌陷了，从而让另一个出现的几率变为1.
也就是说σ|r>=a1|u>+a2|d>=1|u>
的时候，a1变为了1，a2变为了0;
σ|r>=a1|u>+a2|d>=-1|d>
的时候，a1变为了0，a2变为了1.
因为组成|r>这个向量的两个基底经过算子运算后，其中一个塌陷了，也就是说不复存在了，那么经过观测仪器对其作用后，这个向量就由原来|r>变为|d>或者|u>的其中一个
推广到n维希尔伯特空间，
如果|n>=Σai |i>， 那么如果讲过算子对其运算后 得出σ|n>=ai |i>
（其中|i>是基底），其余基底都塌陷了~~~
也就是说，你用同一个测量仪器（也就是说同一个算符）不断地对同一个系统进行操作，得出的结果永远是相同的，但是系统的初始值永远无法确定，因为在第一次测量的时候，你已经将系统初始化为某一个基底向量，至于是哪个基底向量，就要听天由命了
好了，现在就说说薛丁格的猫，那个臭名昭著的原子衰变试验
薛丁格的猫试验内容如下：
猫咪被封在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子衰变，则放出α粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的*河蟹*气体，则猫就要挂了。
如果原子不衰变，则猫大难不死。
我们设这个试验为一个系统，用向量|n>表示
根据此试验，经过测量仪器操作后得出了两个正交向量，
|死猫> 和|活猫>，他们出现的概率是50% 50%。
根据我们上面说过的波函数坍陷，这两个向量都不是能代表这个系统的向量，这个系统的向量|n>应该表示为
|n>=1/2^0.5|死猫>+1/2^0.5|活猫>
这个公式才是这个系统的本来面目。但是经过仪器测量，也就是算子对系统经行干涉后，其中一个向量塌陷了，导致了另一个向量的出现。
所以死猫和活猫都不是这个系统的原来状态
所以，这个系统的原来状态，薛丁格说了，猫是既死又活的
[ 此帖被phoebeDD在2013-06-03 12:21修改 ] |
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