无穷维空间:现代艺术
抽象分析当中,“空间”这个词早就不只是指研究几何学的“舞台”了,实际上任意对象的集合都可以叫做空间。
按照集合的分划给出了拓扑结构的,自然叫拓扑空间;在拓扑空间上给出了度量关系的叫做度量空间;要是还引进了微分结构,那就升格为微分流形了。这实际上是几何学上曲面向抽象的方向推广。
如果,我们研究的是空间中客体的代数运算呢?在空间中引入加法和数乘,就成了矢量空间vector space,可以像分析力学上的向量代数那样进行研究。
“维度”总是个神奇的观念。虽然根据某著名的构造,实数集可以和平面上的点一一对应,然而这实际上更加加深了人们对维度的理解,并且还将维度和微分结构联系起来。、
什么时候会碰到无穷维的空间?其实无穷维的矢量空间很常见。闭区间上全体黎曼可积的函数就组成了一个矢量空间,显然不能引进一个有限的基底,这就是一个无穷维空间的例子。调和分析理论中的种种术语——基底,内积,正交——都是类比着有限维度上的向量代数来定义的。这实际上就是无穷维空间的实在例子。
为什么说无穷维空间是现代艺术?因为无穷维空间的构造彻底颠覆了人们以前的很多观念,在物理学上也有巨大的影响。研究函数的极值后来向着抽象发展,就产生了泛函极值的研究,然而无穷维空间的构造之奇特使得泛函分析中的极大化极小化问题总感觉格外棘手。古典微积分向着抽象空间推广,就产生了赋范巴拿赫空间上的分析学,这种分析的理论构造已经完全不同于古典分析的方法了,虽然用微分代替增量的思想还是一脉相承的。这样,在一个严密的符号体系之下,许多东西的直观意义仿佛消失了,构成了一个看上去无比抽象庞杂的体系。然而仔细品咂,还是能感觉到经典的影子在里面。没有古典哪里来的现代?
希尔伯特对无穷维空间的构造也成了量子力学的理论基础。这样的构造也彻底颠覆了决定论的经典物理。而物理学家更是用一种不可思议的方式为无穷维空间上的分析增添了“积分”这一项——费曼的路径积分。虽然是一个连极限都不一定存在的式子,然而利用量子力学理论本身的特点能够巧妙地避开这种发散困难。物理学家的应用让数学家常常感到吃惊不小。
因为和古典分析的种种联系,泛函分析完全说得上是一种几何学。只是它研究的对象更加宽广罢了。
跳出了古典的桎梏不一定就是现代,然而停滞在古典的小区域里永远也没机会奔向现代
按照集合的分划给出了拓扑结构的,自然叫拓扑空间;在拓扑空间上给出了度量关系的叫做度量空间;要是还引进了微分结构,那就升格为微分流形了。这实际上是几何学上曲面向抽象的方向推广。
如果,我们研究的是空间中客体的代数运算呢?在空间中引入加法和数乘,就成了矢量空间vector space,可以像分析力学上的向量代数那样进行研究。
“维度”总是个神奇的观念。虽然根据某著名的构造,实数集可以和平面上的点一一对应,然而这实际上更加加深了人们对维度的理解,并且还将维度和微分结构联系起来。、
什么时候会碰到无穷维的空间?其实无穷维的矢量空间很常见。闭区间上全体黎曼可积的函数就组成了一个矢量空间,显然不能引进一个有限的基底,这就是一个无穷维空间的例子。调和分析理论中的种种术语——基底,内积,正交——都是类比着有限维度上的向量代数来定义的。这实际上就是无穷维空间的实在例子。
为什么说无穷维空间是现代艺术?因为无穷维空间的构造彻底颠覆了人们以前的很多观念,在物理学上也有巨大的影响。研究函数的极值后来向着抽象发展,就产生了泛函极值的研究,然而无穷维空间的构造之奇特使得泛函分析中的极大化极小化问题总感觉格外棘手。古典微积分向着抽象空间推广,就产生了赋范巴拿赫空间上的分析学,这种分析的理论构造已经完全不同于古典分析的方法了,虽然用微分代替增量的思想还是一脉相承的。这样,在一个严密的符号体系之下,许多东西的直观意义仿佛消失了,构成了一个看上去无比抽象庞杂的体系。然而仔细品咂,还是能感觉到经典的影子在里面。没有古典哪里来的现代?
希尔伯特对无穷维空间的构造也成了量子力学的理论基础。这样的构造也彻底颠覆了决定论的经典物理。而物理学家更是用一种不可思议的方式为无穷维空间上的分析增添了“积分”这一项——费曼的路径积分。虽然是一个连极限都不一定存在的式子,然而利用量子力学理论本身的特点能够巧妙地避开这种发散困难。物理学家的应用让数学家常常感到吃惊不小。
因为和古典分析的种种联系,泛函分析完全说得上是一种几何学。只是它研究的对象更加宽广罢了。
跳出了古典的桎梏不一定就是现代,然而停滞在古典的小区域里永远也没机会奔向现代
No comments:
Post a Comment