<a name=931207a7>
93,12,07,19,13始
上面是計算平均速度時，速度任意改變。
下面是計算平均速度時，速度變率為常數。
（這裏不可以打瞌睡！）
如果速度規律，每單位時間內的速度改變量（
即加速度）為常數，那麼有簡單方法計算平均
速度。
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為什麼建立中央政府網站？ 一 二 三 四
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<a name=index>
主題
十斤撥兆兆斤
如何攻下山頭？炮兵必讀。
等加速運動的四個基本公式
一條令許多人昏倒的題目
朗冠吉係數法 Lagrange multiplier
不等距離產生之錯覺。
時間與長度可以相加嗎？
<a name=english>
Lagrange Multiplier in Chinese
2005-02-03-15-56
Welcome to Freeman's Chinese physics/math
page. Here Freeman introduce elementary
physics/math concept. At current time (2005)
Freeman has no intension to write English
version. Main reason is that I do not have
time. Second reason is that there are already
many English physics/math site around.
Although there is no English version, but
anyone can translate Freeman's page to other
language. The only requirement is
TO KEEP CONTENTS CORRECT
This has two explanations
1. if Freeman's statement is correct, please
translate correctly.
2. if Freeman's statement is wrong, please
correct in the translation version.
Author and translator have responsibility
to present correct concept to reader.
Freeman live in an isolated environment,
there is no proofreading. So please
translator proofread paper carefully.
Thank you.
Freeman 2005-02-03-16-06
<a name=english2>
2005-02-03-17-56
There are few politics slogan/picture.
They are for Chinese reader, not for other
nationality. You can drop them in your
translation version.
You can drop any physics/math topic in
this page. Only
WHAT SECTION YOU SELECTED MUST BE CORRECT.
2005-02-03-18-00
<a name=nt1stlaw>
94,02,02,20,24始
自由人數理自修網頁的連接圖標是一個球在碗
內滾動。
開始時，在碗左側邊緣頂部從靜止釋放圓球，
球滾至對邊等高點時為瞬間靜止。
然後把對邊向水平方向略為平放，再做實驗，
第一次的對邊路徑比較短，
第二次的對邊路徑比較長，
球仍然滾至對邊等高點時為瞬間靜止。
最後把對邊向水平方向完全平放，再做實驗，
第三次的對邊路徑無限遠，
球仍然找尋對邊等高點，而永遠前進。
這是物理大師加利略的實驗結果，說明一項物
理原則﹕
在淨外力為零時，物體動者恆動、靜者恆靜。
第三次實驗，圓球最終靜止，這並不表示上述
物理原則錯誤，上述物理原則仍然正確，
圓球最終靜止是因為未能滿足先決條件，
圓球滾動時，處處有摩擦阻力，時時刻刻消耗
動能，「淨外力為零」的先決條件未能保持。
加利略的實驗結果最終變為牛頓第一定律﹕
在淨外力為零時，物體動者恆動、靜者恆靜。
「動者恆動、靜者恆靜」表示物體有慣性。
對宇宙的秩序而言「物體有慣性」太重要了，
如果物體沒有慣性，所有行星都落入太陽！
你我就沒有機會研究物理了！
加利略的實驗確定物體有慣性，也使我們了解
自然界的運行規則，使我們能夠建立一個更美
好的生活環境。
感謝加利略的貢獻！
感謝牛頓的貢獻！
自由人取加利略實驗的示意圖為連接圖標。
94,02,02,20,55止
<a name=931204c2>
93,12,04,20,38始
自由人聲明﹕
自由人生活在完全隔離的環境中，所有政論、
課業文章沒有人校對。論述中可能有觀念錯誤
，可能有筆誤，請讀者注意，如果懷疑任何論
點，請就近請教物理高手。
自由人 中國九十三年十二月四日
93,12,04,20,42止
<a name=PisaTower>
不等距離產生之錯覺。
<a name=931204a0>
標題﹕
十斤撥兆兆斤
<a name=tc9312a1>
93,12,04,07,32
若地球對物體之重力
為九十牛頓，若手臂
對物體之提力為一百
牛頓，物體向上移動
。值得深思的問題是
﹕六兆兆公斤的地球
質量產生九十牛頓重
力，幾十公斤的人體
產生一百牛頓的制衡
力？為什麼？
93,12,04,07,40
<a name=931204a1>
「九十牛頓重力」大約等於九公斤重。
「重」字不能省略！
「九公斤重」是力量，方向指向地心，
「九公斤」 是質量，質量沒有方向！
在我們的日常生活中處處可見（向上）提起及
（向上）頂住的動作，這是以我們手臂的力量
對抗地球對物體產生的重力。大多數人只注意
到「提起來了」或者「頂住了」，如果我們略
加思考，會發覺很大的問題。
地球的總質量為六兆兆公斤
5.97x1000000000000000000000000 公斤
上面有二十四個零，科學記數法為
5.97x10e24 公斤
「萬」有四個零 10000 簡寫為 10e4
「億」有八個零 100000000 簡寫為 10e8
「兆」有十二個零 1000000000000 簡寫為 10e12
「兆兆」有二十四個零 1000000000000000000000000
六兆兆公斤地球質量產生九十牛頓向下重力，
六十公斤人體質量產生一百牛頓向上提力！
為什麼？
93,12,04,08,19
<a name=931204a2>
93,12,04,09,22始
要說明這種巨大差別的理由，必須先了解力量
的種類
在我們日常生活中所接觸到的力量大約如下﹕
一、重力。
地球對物體產生的吸引力、
月球對物體產生的吸引力、
太陽對物體產生的吸引力、
天體對物體產生的吸引力，都是重力。
地球重力是主要因素。
<a name=tc9312a2>
<a name=931204a3>
二、摩擦力。
兩個物體接觸，同時二者速度不同，產生
相對運動時，接觸面的消耗力。摩擦力的
功是熱能，不能利用，純為損耗。
三、張力。
例如拔河時，兩隊對繩子所施的相反離向
力。
<a name=tc9312a3>
<a name=931204a4>
四、壓力。
例如房子的地基上受建築物向下重力，下
受地面向上抬力，重力及抬力對地基構成
相反聚向力。
五、切力。
例如剪刀上下鋒口對紙張所施的相反聚向
力，但是有些微偏離。
又如我們坐在長板凳中間，座位正下方空
無一物，板凳四腳在長凳兩端，板凳主木
以切力（及曲折力）傳達中間的重力至兩
端四腳。
<a name=tc9312a4>
<a name=931204a5>
六、曲折力。
雙手折斷筷子的動作是曲折力。
七、扭力。
轉動收音機旋鈕更換電台，我們對旋鈕施
以扭力。
<a name=tc9312a5>
<a name=931204a6>
八、電場力。
物理實驗中，荷電質點在電場中移動。
<a name=tc9312a6>
<a name=931204a7>
九、磁場力。
指南針依據地磁指引方向。
<a name=tc9312a7>
<a name=931204a8>
這些都是我們日常所見到的力量。
這些力量互不相關嗎？或者，
這些力量實際源於少數基本力量嗎？
雖然力量有千百種面貌，但是追根溯源，自然
界的基本力量只有四種﹕
一、萬有引力。
二、電磁力。
三、弱核子力。
四、強核子力。
上面所談的摩擦力、張力、壓力、切力、曲折力
、扭力等都是電磁力的不同表達現象，統屬於電
磁力。
<a name=931204a9>
四種基本力量的強度有很大差異，約略比例如下
如果以強核子力為標準，定為一，比值如下
強核子力 1 (1.0)
電磁力 10e-2 (0.01)
弱核子力 10e-6 (0.000001)
萬有引力 10e-38 (0.00000000000000000000000000000000000001)
如果以萬有引力為標準，定為一，比值如下
強核子力 10e+38 (100000000000000000000000000000000000000)
電磁力 10e+36 (1000000000000000000000000000000000000)
弱核子力 10e+32 (100000000000000000000000000000000)
萬有引力 1 (1.0)
<a name=931204b0>
強弱核子力只在原子核內出現，一般日常生活中
看不見核子力，所以
電磁力 10e+36 (1000000000000000000000000000000000000)
及
萬有引力 1 (1.0)
是日常生活的力量。
電磁力 10e+36 (1000000000000000000000000000000000000)
是
萬有引力 1 (1.0)
的兆兆兆倍。
我們手臂使用電磁力拿起書本，平衡萬有引力是
輕而易舉的事。
<a name=931204b1>
討論問題﹕
書本落下的力量是重力，由六兆兆公斤的地球用
萬有引力向下拉。
那麼，如果向上的力量不是電磁力（●假設●）
，在四種基本力量之中只剩下萬有引力可以提供
向上的平衡力量。可能嗎？
向上的平衡力量絕對不是萬有引力！
因為如果向上的平衡力也是萬有引力，那麼我們
必須有另外一個六兆兆公斤的地球頂在頭上，提
供向上的萬有引力。
腳踏一個地球，頭頂另外一的地球？我們早就被
壓扁、埋在兩個地球組成的新地球的地心裏！
93,12,04,10,30此
93,12,04,11,00 phone ring 4 ring then stopped
<a name=931204b2>
93,12,04,15,17
上面是文字敘述，沒有數學公式。
下面是簡單的計算，比較電磁力與萬有引力的
差異。
不喜歡數學的讀者可以至此結束。
嘿！帥哥！美女！請留下！
帥哥、美女要繼續看下去，為什麼？
秀外慧中嘛，才貌雙全才是真帥哥、真美女！
簡單的數學呀。
93,12,04,15,23
<a name=931204b3>
93,12,04,18,38始
要比較電磁力及萬有引力的大小，可以在一組
同時有電磁力及有萬有引力的質點中，計算兩
種力量。最好的實驗對象是氫原子，因為氫原
子由一個電子及一個質子構成，剛好是我們需
要的質點，沒有其他質點，結構單純。
實驗物理學家找到
質子的質量(1.6726*10e-27 公斤kg)、
電子的質量(9.11*10e-31 公斤)、
基本電荷的大小(1.60*10e-19 庫倫coul)、
，也找到氫原子
質子及電子間的距離(5.3*10e-11 公尺m)
萬有引力常數 G = 6.67*10e-11 Nt*m*m/kg/kg
真空穿透常數 Permittivity
= 8.85*10e-12 coul*coul/Nt/m/m
這些都是現成資料，可以直接取用。
物理學家也找到萬有引力的通則，可以用簡單
數學公式表達。同時找到電磁力基本公式。
有這些現成資料，我們只需要把數據代入公式
就可以得到氫原子內部電磁力及萬有引力兩個
力量的數值。
<a name=931204b4>
首先看氫原子內部電磁力，如下圖所示
93,12,04,18,55此
<a name=tc9312a8>
<a name=931204b5>
物理學家庫倫由實驗數據得知
靜電力與甲質點所載電荷成正比
靜電力與乙質點所載電荷成正比
靜電力與甲、乙質點之間的距離平方成反比
所以
靜電力正比於 甲質點所載電荷、
乘以乙質點所載電荷、
除以甲乙質點距離的平方
但是 電荷乘電荷除距離除距離
不是力量的單位，我們只能說正比，不能說
等於。因為
只有相同的物理量才能互相加減，
只有相同的物理量才能畫等號。
誰會說一公里等於三小時呢？長度與時間是
不同的物理量，不能相等。
<a name=931204b6>
經由實驗找到正比關係，再也找不到其他改
變靜電力的因素，我們必須要令正比公式變
為等於公式，可以加入係數 1/(4*PI*e0)
係數有雙重功能，一是平衡大小，二是平衡
物理單位。
經過這些調整之後，正比公式變為等於公式
靜電力等於常數乘以甲質點所載電荷、
乘以乙質點所載電荷、
除以甲乙質點距離的平方
<a name=931204b7>
力量的物理單位是「牛頓Nt」。
一牛頓的力量使一公斤的質量在一秒鐘期間
內的速度 ●增或減● 每秒一公尺。
由公式計算得到氫原子電子質子間的靜電力
是
8.1*0.00000001 牛頓
也就是
0.000000081 牛頓
上面是靜電力。
下面是萬有引力。
93,12,04,19,34此
<a name=931204b8>
物理學家加利略由實驗數據
及
物理大師牛頓由天體運行數據
得知
萬有引力與甲質點所具質量成正比
萬有引力與乙質點所具質量成正比
萬有引力與甲、乙質點之間的距離平方成反比
所以
萬有引力正比於 甲質點所具質量、
乘以乙質點所具質量、
除以甲乙質點距離的平方
<a name=931204b9>
使用萬有引力常數Ｇ平衡大小、平衡物理單位
得到下圖公式
<a name=tc9312a9>
<a name=931204c0>
由公式計算得到氫原子電子質子間的萬有引力
是
3.7*0.00000000000000000000000000000000000000000000001 牛頓
也就是
0.000000000000000000000000000000000000000000000037 牛頓
簡寫為
3.7*10e-47 牛頓
萬有引力是 3.7*10e-47 牛頓
靜電力 是 8.1*10e-8 牛頓
以萬有引力為一個基本單位，
<a name=931204c1>
靜電力是萬有引力的
8.1*10e-8 / 3.7*10e-47
= (8.1/3.7)*10e(-8+47)
= 2.19*10e39
= 2.19*10e3*10e12*10e12*10e12
= 兩 千 兆 兆 兆 倍
感謝老祖宗發明了「兆」這個單位，也
感謝老天爺沒有再多塞幾個零。
由這一段分析知道，我們掌握了電磁力這個利
器，我們六十公斤的軀體可以和六兆兆公斤的
地球比力氣！
自由人 中國九十三年十二月四日
93,12,04,20,08止
<a name=931204c3>
參考書籍（九十三年十二月四日手邊的物理課本）
一
Resnick & Halliday Physics
1966 John Wiley & Sons, Inc.
Lib. Congress Catalog Card
Number 66-11527
二
Giancoli Physics, 5th ed.
ISBN 0-13-611971-9
1998 Prentice Hall
三
Feynman Lectures on Physics
ISBN 0-201-51003-0
1989 C.I.T.
九十三年十二月四日掃描的圖片都來自
Giancoli Physics, 5th ed.
數學公式使用
TeXaide Version 4.0a
http://www.dessci.com/en/store/
[[
TeXaide for Windows
TeXaide? is a special version of our
Equation Editor that generates TeX
using MathType's TeX translator
technology. Free Download!
]]
免費下載數學公式編輯軟體
http://www.mathtype.com/en/products/texaide/
<a name=931207a1>
93,12,07,11,45
標題
如何攻下山頭？炮兵必讀。
93,12,07,11,47
自由人註﹕
文章題目最好定為
「多大的初射角可以使拋物體達到最遠的斜面
距離？」
自由人寫了討論文章之後，到非物理論壇簽送
文章，標題是唯一與讀者的界面，讀者看見標
題，然後決定是否取閱，因為文章是針對一般
大眾，所以使用標題
「如何攻下山頭？炮兵必讀。」
可以吸引較多的讀者，希望理工讀者了解。
93,12,07,11,54
<a name=931207a2>
93,12,07,11,56
所有的人都在小學、初中學過「常識」或「自
然」基本科學，所有人都知道拋物體以四十五
度拋出，可以達到最遠距離。這是針對平地的
結論，如果我們面臨山坡地，是否仍然為
四十五度拋出，可以達到最遠●山坡距離●？
如果山腳斜度超過四十五度，又如何分析呢？
下面討論山坡地的最遠拋射角。
討論問題必須有已知條件及待求未知，
本論題的已知條件是
一、山腳斜度α（讀音「阿爾發」）已知。
二、拋物體初速度Ｖ０已知。
待求數是拋物體仰角β（讀音「貝它」）。
（拋物體仰角必須大於山坡斜角）
當我們到達一個山坡地，山坡斜角可以測量。
投射工具能夠產生多大初速度？可以由使用手
冊找到。所以，兩個已知是合理假設。
本論題需要一點數學計算，下面是一步一步的
說明。
93,12,07,12,18
<a name=tc9312aa>
<a name=tc9312ab>
<a name=931207a3>
93,12,07,15,03
首先從基本定義開始。
（終點位置減去起點位置）
平均速度＝————————————
（終點時間減去起點時間）
＝位移長度／耗費時間
起始時間Ｔ０一般取為時間的起點（零）。
因為容許在任何時候終止，所以終點時間ｔ是
自變數。這是圖中的Ａ０１式。
<a name=tc9312ac>
93,12,07,15,13 phone ring 5 ring then stopped
「平均」加速度（「平均」累贅，反正是常數）
（終點速度減去起點速度）
＝————————————
（終點時間減去起點時間）
＝速度改變量／耗費時間
＝常數（討論命題的基本假設）
這是圖中的Ａ０２式。
Ａ０２式略加運算，把未知變數瞬時速度ｖ（ｔ）
放在公式左側，把其他已知常數及任意變數ｔ
放在公式右側，得圖中的Ａ０３式。
93,12,07,15,21
<a name=931207a4>
93,12,07,15,51
上面是所有導證的起點，由平均值的定義開始
，相信讀者可以理解平均值的定義，最重要的
步驟是 ●限定加速度為常數● ，
等加速度條件在Ａ０２式中體現（要求加速度
ａ為常數）。
等加速度條件在Ａ０５式中堅決執行（只有等
加速度情況才為有效的公式）。
限定加速度為常數使後隨分析大為簡化。
限定加速度為常數也符合我們的生活環境，因
為我們生活在均勻重力場的地球表面，走遍全
世界，重力場大約都為每秒每秒九點八公尺，
都指向地心。如果我們討論的範圍在橫寬幾公
里之內、縱高一、兩公里之內，所有重力場方
向都平行（向下），而且大小約略相等，
●限定加速度為常數● 吻合現實環境。
93,12,07,16,10 phone ring 5 ring then stopped
<a name=931207a5>
93,12,07,16,40
上面是瞬間速度對時間的關係Ａ０３式，
下面是瞬間位移對時間的關係Ａ０７式。
仍然從平均速度公式Ａ０１式開始。
<a name=tc9312ad>
93,12,07,16,59
Ａ０１式是平均速度的一般定義（一般為真）
平均速度＝位移長度／耗費時間
Ａ０４式從Ａ０１式求出瞬間位移ｘ（ｔ）與
平均速度的關係。
Ａ０５式是平均速度的特例定義（一般不真）
在等加速度時平均速度等於起訖速度平均值。
請注意﹕這個特例定義沒有使用位移！
（一般定義必須使用位移）
Ａ０５式納入了等加速度的條件。此後的公式
只適用於等加速度的情況。
Ａ０６式是把特例定義式Ａ０５式代入一般定
義式Ａ０４式，求出瞬間位移ｘ（ｔ）與等加
速度的關係。
重新排列Ａ０６式得到Ａ０７式。
93,12,07,17,11
<a name=931207a6>
93,12,07,18,37
下面討論平均速度。
平均速度是在一段時間內移動的總距離。
因為是【平均】速度，所以在討論時間內是否
有走回頭路？是否繞圈子？是否曾經停下來打
盹？並不重要，只看全部時間的淨位移。所以
平均速度一般定義＝位移長度／耗費時間
這個定義一般為真。
（對變加速度為真、對等加速度也為真）
<a name=tc9312ae>
<a name=931207a7>
93,12,07,19,13始
上面是計算平均速度時，速度任意改變。
下面是計算平均速度時，速度變率為常數。
（這裏不可以打瞌睡！）
如果速度規律，每單位時間內的速度改變量（
即加速度）為常數，那麼有簡單方法計算平均
速度。
<a name=tc9312af>
等加速度時，速度變量是常數，速度對時間曲
線成為直線，這條直線構成梯形的斜邊，上底
是初速度，下底是終速度，平均值是梯形的腰
長，所以，在等加速度特例情況下，
平均速度＝（終速度＋初速度）／２
（上式對變加速度不真）比較﹕
平均速度一般定義＝位移長度／耗費時間
（對變加速度為真、對等加速度也為真）
<a name=931207a8>
請讀者特別注意一點﹕
在引用
平均速度＝（終速度＋初速度）／２ A05 式
之前，Ａ０４式對等加速、變加速都為真。
在引用
平均速度＝（終速度＋初速度）／２ A05 式
之後，Ａ０６式只適用等加速情況。其後所有
公式都只對等加速情況 9312af 為真。
（不能用於變加速情況 9312ae 圖）
93,12,07,20,03此
上面是等加速度。下面繼續等加速度基本公式
。
<a name=931207a9>
有些等加速度問題，時間不重要，只要求計算
速度與位移的關係，此時，我們需要一個不含
時間的公式。下面求此式。
Ａ０３式有速度、加速度（常數）及時間。
Ａ０６式有速度、位移及時間。
令二者的時間相消，如下。
<a name=tc9312ag>
93,12,07,21,02
由Ａ０３式求得時間Ａ０８式，代入Ａ０６式，
得Ａ０９式，略加整理，得Ａ１１式。
<a name=fourrule>
等加速運動的四個基本公式如下﹕
<a name=tc9312ah>
93,12,07,21,28止
<a name=931208a1>
93,12,08,09,11始
上面是等加速運動的四個基本公式。
所有等加速運動問題都需要這四個基本公式。
下面解山坡地之拋物體仰角問題。
93,12,08,09,54
<a name=tc9312ai>
上圖顯示
Ｘ軸（大寫）為地球水平面
Ｙ軸（大寫）為鉛垂線
陰影斜面為山坡面
藍粗線為向下的重力加速度
藍細線為重力加速度
平行斜坡的分量及
垂直斜坡的分量
<a name=931208a2>
Ｘ軸（大寫）方向重力加速度分量為零
Ｙ軸（大寫）方向重力加速度分量為全值
求解平面運動問題，要得到Ｘ軸的答案及Ｙ軸
的答案才算全解，因為Ｘ軸向的運動及Ｙ軸的
運動互不干擾，所以分別解Ｘ軸及Ｙ軸的問題
。
上圖解Ｘ軸分量是容易的事，因為Ｘ軸分量的
加速度為零。但是為求最大斜坡距離，上圖兩
個分量最終要組合在一起，才能得到斜坡距離
。
下圖是一種不同的解決方法。
下圖轉動全部圖面，使山坡地轉至圖面水平，
真正的地球水平線轉至右下傾。
圖面水平的山坡面標以小寫的ｘ
圖面虛擬的縱坐標標以小寫的ｙ
解題方法是把運動量分解至小寫的ｘ軸及小寫
的ｙ軸。
小寫ｘ軸及小寫ｙ軸方向都有重力場分量，
（比較﹕大寫Ｘ軸方向重力加速度分量為零）
解出小寫ｘ軸距離之後，直接就是山坡
地距離，不必引入小寫ｙ軸位移分量。
<a name=tc9312aj>
兩種方法都可以解題，下面使用以山坡斜面為
（小寫）ｘ軸的方法。
93,12,08,10,28止
<a name=tc9312ak>
<a name=931210a1>
93,12,10,11,00始
首先了解坐標系統。 9312ak 圖的橫軸沿山坡
斜面，
山坡斜面對地球水平仰角為α度，
拋物體對地球水平仰角為β度（β＞α），
所以，
拋物體對山坡斜面仰角為β－α度。
地球重力場沿鉛垂方向，
重力場沿地球水平方向分量為零。看9312ai圖
因為轉動坐標系統，
以山坡斜面為圖面水平軸，所以，
重力場在圖面縱高軸有非零分量，
<a name=931210a2>
重力場在圖面水平軸也有非零分量，
這一點需要特別注意。看9312ak圖。
9312al圖列出重力場在山坡坐標的分量Ａ１２
及Ａ１３式。
需要特別注意的是Ａ１２式，重力場沿山坡斜
面的分量。山坡斜角α為零時，ｓｉｎ（α）
為零，這是地球水平面正常現象。
另外需要注意負號。Ａ１２式含有負號，看
9312ak圖。重力場（粗藍線）沿山坡斜面方向
的分量向左，而ｘ軸向右為正，故Ａ１２式的
負號表達分量的方向，Ａ１２式的ｇ表示大小
，ｇ必須是正值。
<a name=931210a3>
Ａ１４式及Ａ１５式是初速度沿山坡坐標的分
量，這裏需要注意的是夾角為投射角β減去山
坡斜角α。
因為山坡斜面是斜直線，斜角不變，重力分量
不變，因此這是等加速度問題，我們可以使用
Ａ０３式、Ａ０５式、Ａ０７式、Ａ１１式。
簡化分析過程。
<a name=tc9312al>
93,12,10,14,59始
當拋物體到達最高點時，不再升高，同時開始
下降，所以，在最高點一瞬間，物體的垂直方
向速度為零，這是一個可以利用的條件，我們
找出垂直速度公式，令其為零，解出時間，這
是從出射到達最高點的時間。從最高點落至地
面，花費相同的時間，所以全程時間為到達最
高點的時間乘以二。
Ａ０３式是等加速運動之速度時間關係公式。
Ａ０３式應用於 9312ak 圖的垂直分量，得到
Ａ１６式。
Ａ１６式的速度、加速度都標明為垂直分量。
Ａ１６式的加速度為常數、固定與ｙ軸反向，
加速度垂直分量ｇ⊥參Ａ１３式。
<a name=tc9312am>
Ａ１６式適用於任何時間ｔ，得到該時間的瞬
間速度ｖ⊥（ｔ）。
Ａ１７式指定速度為零（最高點），因為指定
為零，其值不能任意變動，所以對應的時間也
不能任意變動，這個時間是特定值（到達最高
點的時間）。
令Ａ或ａ代表起始點，
令Ｂ或ｂ代表最高點，
令Ｃ或ｃ代表落地點。
<a name=931210a4>
Ａ１７式中到最高點的時間ｔｂ是唯一未知。
Ａ１８式從Ａ１７式解出ｔｂ。
Ａ１３式的負號與Ａ１８式的負號相消為正。
拋物體向前飛行，解出的時間必須為正。
Ａ１８式是半程（到達最高點）的時間，
Ａ１９式是全程（到達落地點）的時間，
Ａ１８式乘二得Ａ１９式。
我們有了全程時間ｔｃ，可以計算全程距離。
為求全程距離，使用等加速度距離—時間關係
公式Ａ０７式。
<a name=931210a5>
下面是全程距離ＡＣ（也用Ｌ代表）。
下圖引用Ａ０７式，代入
初始沿坡位移ｘ０，若以發射點為起點，
ｘ０等於零。
初始沿坡速度分量ｖ０∥，Ａ１４式；
沿坡重力分量ｇ∥，Ａ１２式；
及全程時間ｔｃ，Ａ１９式。
全程的位移、全程的速度時時改變，我們需要
使用形容詞「初始」，
全程的加速度永遠不變，不必使用「初始」。
<a name=931210a6>
下圖是代入關係式、合併、簡化過程。
<a name=tc9312an>
上圖計算未畢，下圖繼續計算。
<a name=tc9312ao>
上圖Ａ２０式是沿山坡斜面的全程距離ＡＣ。
Ａ２０式有兩個自變數α及β。
一個輸出結果﹕沿山坡斜面的全程距離ＡＣ。
（不管最遠距離時，α及β都是自變數。
要求最遠距離時，α自變，β只有唯一值）
93,12,10,16,52此
<a name=931210a7>
Ａ２０式是距離公式，我們的導證是否正確？
下面討論Ａ２０式為正確的必要條件（不是充
分條件）
如果公式滿足必要條件，公式可能對，但是仍
然可能錯。核對必要條件是減少錯誤的方法。
<a name=931210a8>
第一、Ａ２０式的物理單位必須是長度。
三角函數是純數，沒有物理單位，可以忽略。
係數２來自Ａ１９式的兩倍時間，純數；
係數２來自Ａ０７式的二分之一，純數。
最後剩下速度乘速度除加速度 ｖ＊ｖ／ｇ
速度是距離除以時間
速度平方是距離平方除以時間平方，
加速度是距離除以時間平方，
ｖ＊ｖ／ｇ 的分子有時間平方，
ｖ＊ｖ／ｇ 的分母有時間平方，所以，
ｖ＊ｖ／ｇ 的時間相消。
剩下分子的長度平方及分母的長度一次方，
消去一個長度，剩下一個在分子的長度。
結論﹕Ａ２０式的物理單位確實是長度。
<a name=931210a9>
第二、如果Ａ２０式適用於所有情況，必須
也適用於特例情況。
一個大家知道的特例情況是﹕
平地上（「山坡」斜角α為零）
以四十五度拋射角（β等於四十五度）可以
達到最遠距離。現在以 α＝０度 及
β＝４５度 代入Ａ２０式得到
ＡＣ＝（ｖ＊ｖ／ｇ）＊ｓｉｎ（２＊β）
β＝４５度
２＊β＝９０度
ｓｉｎ（９０度）＝１ 確實是最大值。
<a name=931210aa>
上面兩個驗證只是確定Ａ２０式沒有錯，並
不保證Ａ２０式正確。
在考場中有五選一的選擇題，其中兩個選擇
的物理單位不合理，馬上拋棄！別人是五猜
一，我們是三猜一（假設難題），猜對的機
率比別人大。
會剔除不合理的選擇，也是我們的能力。
93,12,10,17,28止
<a name=931210ab>
93,12,10,19,57始
上面求出了山坡角α及拋射角β的投射距離
ＡＣ（也用Ｌ表示，微分時簡化符號）。
下面求山坡角α之最遠拋射角β。
請注意，
上面不加「最遠」的條件，拋射角β為任意
值。
下面增加「最遠」的條件，拋射角β為固定
值，拋射角β不能隨意變動。
93,12,10,20,06止
93,12,10,20,25始
<a name=931210ac>
Ａ２１式重複Ａ２０式，都是斜坡投射距離
，Ａ２１式主要把常數納入Ｋ。在山坡角α
已知及拋射角β可變動的情況下
山坡角α是常數，因此
ｃｏｓ（α）是常數，
重力加速度ｇ是常數，
投射初速ｖ由我們控制，也是已知常數。
把所有這些常數以Ｋ表示，在微分過程中不
產生影響，最後自公式中消除常數。
Ａ２１式中的變數是拋射角β，及所有含β
的三角函數。
為什麼拋射角β是變數呢？
我們要改變拋射角β，看那一個β值可以達
到最遠距離，所以，在目前論題中，β是變
數，而且是自變數。
<a name=931210ad>
如何求最大值？
一個函數有自變數，自變數改變時，函數值
（因變數）改變。假設
自變數ｘ＝４時，因變數ｙ（ｘ）＝１６
自變數ｘ＝５時，因變數ｙ（ｘ）＝１８
自變數ｘ＝６時，因變數ｙ（ｘ）＝１４
就這三個數據言，ｘ＝５時接近函數最大值
。
假設ｘ＝５有最大值１８，則
ｙ（５＋０‧０１）＝１７‧９＜１８
ｙ（５－０‧０１）＝１７‧８＜１８
如此才能體現ｙ（５）有最大值１８。
自變數ｘ及因變數ｙ（ｘ）可以畫曲線，
曲線上任何一點有切線，最大值那一點
93,12,10,20,55止
93,12,10,21,26始
的切線必須為水平，因為只有水平切線在切點
左右的值都小於切點函數值。
「切線為水平」就是切線斜率為零。所以，在
切線斜率為零的地方函數有最大值（或最小值
或轉折點）
<a name=tc9312ap>
投射距離Ｌ對自變數β取微分（求切線斜率）
得到Ａ２２式，此式的切線斜率為任意值。
<a name=931210ae>
Ａ２３式令斜率為零，關鍵步驟。
要求斜率為零、要求找出最大值點。
令公式等於常數（零）是加入一個限制條件，
原來兩個自變數的公式變為一個自變數公式，
原來一個自變數的公式變為解答公式。
Ａ２３式中的常數Ｋ自公式中消除，只剩下α
及β的三角函數。重新整理得到Ａ２４式。
<a name=tc9312aq>
Ａ２４式全式除以餘弦函數（ｃｏｓ）
得到Ａ２５式。
展開二角差值的正切函數， 得到Ａ２６式。
分母移項至等號右側， 得到Ａ２７式。
重新排列，左側為完全平方， 得到Ａ２８式。
<a name=tc9312ar>
左側寫出平方式 得到Ａ２９式。
全式開平方， 得到Ａ３０式。
α函數移項至右側， 得到Ａ３１式。
全式取反正切函數， 得到Ａ３２式。
右側全為已知，左側是未知式β
Ａ３２式可以解答問題，但是Ａ３２式計算困難
。
93,12,10,22,09止
<a name=931211a1>
93,12,11,13,10始
最遠斜面拋物距離問題的答案是Ａ３２式，使
用「最遠距離」的觀念解題。
解答一個問題的方法有很多種，這個最遠斜面
拋物距離的問題曾經用「最大位能最小動能」
的方法解出，答案是下圖的Ａ３３式。
<a name=tc9312as>
Ａ３３式（「最大位能最小動能」觀念解）
與
Ａ３２式（「最遠距離」觀念解）
外觀不同，但是實質上全等。
兩種解答並列於 9312as 圖，便利比較。
Ａ３２與Ａ３４式是同一個公式，編號兩次。
解得Ａ３３式之後，感覺好奇，這會是怎麼樣
的曲線呢？寫電腦程式計算出許多坐標點，畫
出的「曲線」是一條筆直的斜線！換言之，
Ａ３３與Ａ３４式可以改為直線方程式。
以下把Ａ３４式改為直線方程式。
<a name=tc9312at>
首先簡化公式，Ａ３４式的開平方項可以簡化
如Ａ３５、Ａ３６式所示。代入、簡化之後，
拋射角β對山坡角α通式變為Ａ３７式，此式
含有反正切函數ａｒｃｔａｎ（），參考積分
表 PEIRCE, A Short Table of Integrals
第六四五式，如圖Ａ３８式，此公式有效範圍
是ａｒｃｔａｎ（ｘ）中的ｘ由零至一，也就
是角度的零度到四十五度，但是本題（拋射角
對山坡角的關係）的拋射角必定大於四十五度
，如果引用Ａ３８式，會得到錯誤的結果，例
如，應該得到八十五度的結果，只能得到補角
五度的答案。修正Ａ３８式至Ａ３９式，納入
補角因素，可以得到正確答案，以下的計算使
用Ａ３９式。
<a name=931211a2>
比較Ａ３９式及Ａ３７式，先單獨計算ｘ，這
是Ａ４０式。
Ａ３９式左側有ｘ，
Ａ３９式右側有２＊ｘ／（１＋ｘ＊ｘ）
這個計算分兩步在Ａ４１及Ａ４２式求出。
<a name=tc9312au>
<a name=931211a3>
拋射角β對山坡角α通式變為Ａ４３式。
此式仍然有反正弦函數ａｒｃｓｉｎ（）
因為Ａ４３式右端有餘弦函數ｃｏｓ（），所
以反正弦函數要轉為反餘弦函數ａｒｃｃｏｓ
，如此才能有餘弦反餘弦相消的情況。參積分
表 PEIRCE, A Short Table of Integrals
第六四三式，如圖Ａ４４式。
<a name=931211a4>
利用積分表公式轉換之後，拋射角β對山坡角
α通式變為Ａ４５式，略加整理，得到
最後答案Ａ４６式。
Ａ４６式是直線公式，此式的自變數是山坡角
α，因變數是拋射角β。
β（α）的斜率是常數０‧５，斜率為常數，
代表一條直線。
93,12,11,14,15止
<a name=tc9312av>
<a name=931211a5>
93,12,11,16,19始
Ａ４６式是最後答案，如何說明這個公式？
Ａ４６式表示
最遠拋射角是山坡斜面至鉛垂線夾角的分角線
。
要說明它是分角線，只需要說明兩個半角相等
。
<a name=tc9312aw>
最遠拋射角至山坡斜面的半角值為
最遠拋射角β－山坡斜角α
Ａ４６式﹕β＝ＰＩ／４＋α／２
β－α＝〔ＰＩ／４＋α／２〕－α
＝ ＰＩ／４－α／２ Ａ４７式
另一方面，
最遠拋射角至鉛垂線的半角值為
γ ＝ 九十度－最遠拋射角β
＝ ＰＩ／２－β
＝ ＰＩ／２－〔ＰＩ／４＋α／２〕
＝ ＰＩ／４－α／２ Ａ４８式
比較Ａ４７式及Ａ４８式得知兩個半角相等，
至此，論證完畢。
93,12,11,16,36止
<a name=931211a6>
93,12,11,18,01始
有四點請注意。
第一，「什麼拋射角可以達到最遠山坡距離」
全部分析與初速度無關。
初速度ｖ在Ａ２３式消除。如果問題改為﹕
「在最遠拋射角可以達到多遠的距離？」
也就是問「最大射程是多少？」
這個問題需要用Ａ２０式解答。
此時需要代入最遠拋射角β（Ａ４６式）、山
坡斜角α、拋物體初速度ｖ及重力常數ｇ。
<a name=931211a7>
第二、本題只關注
「什麼拋射角可以達到最遠山坡距離」
本題沒有討論
「什麼拋射角可以達到目標？」
93,12,11,18,14止
<a name=931211a8>
93,12,11,18,46始
第三、Ａ４６式是最後答案，
這個答案是數學模型的解答，
這個答案不是實際問題的解答。
在實際操作時，需要校正風向因素，需要校正
風速因素。既然不是實際問題的解答，那麼為
什麼要研究這一大套數學呢？
數學模型的解答提供最接近的情況，需要校正
的是難以數學描述的擾動（風速、風向），如
果拋棄數學模型的解答，面臨問題，毫無依據
，漫天發炮，打完回家，如此的話，一個山頭
都攻不下來。
93,12,11,18,57止
<a name=931215>
93,12,15,03,05始
第四、
Ａ４２式計算 ２＊ｘ／（１＋ｘ＊ｘ）
在簡化過程中分子、分母消去ｃｏｓ（α），
這一步有一個必要條件，那就是ｃｏｓ（α）
不等於零。什麼情況ｃｏｓ（α）會等於零？
當α等於九十度時，ｃｏｓ（α）等於零。這
代表山坡斜角九十度，也就是懸崖峭壁，在此
類環境中，炮兵絕對不會在山腳對著正上方發
炮，所以，分子、分母消去ｃｏｓ（α）沒有
問題。
Ａ４２式也自分子分母消去ｓｉｎ（α）＋１
若山坡角α等於零度ｓｉｎ（α）＋１＝１，
若山坡角α等於九十度ｓｉｎ（α）＋１＝２
，都大於零，所以分子、分母消去
ｓｉｎ（α）＋１也沒有問題。
93,12,15,03,22止
<a name=9401index>
94,02,03,10,49 開始建立目錄
朗冠吉係數法的精要
兩線間最短距離山姆提出問題
中文 英文
兩線間最短距離尚圖博士解答
中文 英文
兩線間最短距離問題圖解
極小化問題列式法則
為什麼限制條件全部調整為「等於零」？
● 因為限制條件「等於零」才能還原限制條件
極小化問題列式方法使新手困惑！
● 極小化問題列式之判別規則
自由人回答山姆的問題
用普通方法解答山姆的題目
普通方法解答的列式
說明「自由度」
兩點間的距離公式是基本常識
由畢氏定理求兩點之間的距離
利用等號限制條件消去因變數
對自變數取偏微分
求多項式的根
普通方法解出的答案
朗冠吉係數有什麼用處？
朗冠吉係數調節目標函數、限制公式兩個
梯度向量的正確比例，使向量總和為零
朗冠吉係數平衡目標函數及限制公式的
物理單位，使二者相加變為合理。
限制公式曲線 ●沒有● 等高線！
最小值點有什麼特徵？
最小值點兩個梯度向量平行
用朗冠吉係數法解答山姆的題目
朗冠吉係數法解答的列式
建立朗冠吉函數
● 為什麼朗冠吉函數所有變數不相依？
目標函數ｍ個變數，ｎ個限制條件，ｍ＞ｎ
朗冠吉函數對六個自變數的偏微分
朗冠吉係數法解答的答案
說明「靜止點」
普通方法好嗎？還是朗冠吉係數法好？
求出朗冠吉係數的值，有用嗎？
對新手說明朗冠吉係數值的意義
若只有一個點滿足所有限制公式
什麼是∇ｆ？
如何判別「∇ｆ與∇ｈ平行」？
判別法則 只有兩個平行向量才可能相加為零 一個目標函數及多個限制條件式 安松尼博士回答的解釋 安松尼博士的結論 兩個圖有根本上的差異！ 自由人的閱讀資料、參考資料 本文使用的 9401ab 圖掃描自 Introduction to Optimal Design 如果有人要翻譯自由人文章至其他語言，自由 人表示歡迎與感謝。唯一的要求是 ●● 請保持內容的正確性。 還是我來搖一搖筆桿子吧。 94,02,03,12,12 完成目錄 使用朗冠吉係數法容易犯錯的一步 部分電磁場強度與距離一次方成反比 普通解法、答案；郎係數解法、答案 <a name=940323a> 94,03,23,08,18始 下面的「一條令許多人昏倒的題目」主要目的 為介紹朗冠吉係數 Lagrange multiplier方法 基本觀念，在文章的最前面點出朗冠吉係數法 的精要。 如果一個待極小化的目標函數 f(x,y,z) 沒有 限制條件，那麼此函數的自變數互不相依，可 以對各個變數直接執行偏微分， (partial) d[f(x,y,z)]/dx (partial) d[f(x,y,z)]/dy (partial) d[f(x,y,z)]/dz 反之， <a name=940323b> 如果一個目標函數 f(x,y,z) 具有限制條件式 g(x,y,z) = 0 目標函數 f(x,y,z) 的變數 x,y,z互相依賴， 不能對各個變數直接執行偏微分，必須把限制 公式納入考慮，消除因變數之後，才能對自變 數執行偏微分。 朗冠吉係數法的精要是把限制條件公式 g(x,y,z) = 0 乘以係數（主要平衡物理單位及調節目標函數 對限制公式的相對大小），加入目標函數 f(x,y,z) 構成一個新的函數 L()定義如下 L(x,y,z,lambda) = f(x,y,z) + lambda*g(x,y,z) L() 命名為朗冠吉函數， lambda命名為朗冠吉係數。 <a name=940323c> ● 這個新函數 L(x,y,z,lambda)已經容納 ● 所有限制公式， ●● L()之外不再有其他限制公式，所以， ●● L(x,y,z,lambda)的變數互不相依， ● 可以執行 ● (partial) d[L(x,y,z,lambda)]/dx ● (partial) d[L(x,y,z,lambda)]/dy ● (partial) d[L(x,y,z,lambda)]/dz ● (partial) d[L(x,y,z,lambda)]/d[lambda] 以上是朗冠吉係數法的精要，下面逐步說明各 個關鍵概念。 94,03,23,08,48止 朗冠吉係數法的問世日期 <a name=931213> <a name=9401qa01> 93,12,13,21,19始 標題﹕ 一條令許多人昏倒的題目 93,12,13,17:29:19 自由人取閱下面討論 http://mathforum.org/library/drmath/view/52071.html Date: 11/24/98 at 16:29:56 From: Sam Subject: LaGrange Multiplier 內容如下（原卷是英文） ■□ 我有一個簡單的問題，是有關於朗冠吉係數 （LaGrange Multiplier）的題目，我的根本 問題是如何決定這兩個方程式中，那一個是限 制條件式？大多數的題目都明確指出目標方程 式及明確指出限制方程式，這種題目，我只要 按照解題步驟做下去。但是，這一道題目不太 好做，題目中那裏明確指出限制條件式呢？例 如，這裏有一條作業題。 <a name=9401qa02> 〔〔 有兩條曲線，每條線上有一個點可以自由沿線 移動，找出那兩個點（一線一點）的距離最近 。請用朗冠吉係數法解題。 y = 2x - 3 y = x^2 〕〕 現在我的問題是，這兩個方程式，到底那一個 是限制條件式？ 若您能夠為我解答，感激不盡。謝謝。Sam □■ 上面是網路文章，提出問題，這是一個令許多 新手昏倒的題目，因為那一個方程式是限制式 ？那一個方程式是目標函數（待極小化）都不 知道。如果讀者有興趣，請先思考。 過幾天再註明自由人意見。 93,12,13,21,52止 <a name=9401qa03> 94,01,26,18,34始 y = x^2 中的「^2」表示平方， y = x^2 與 y = x * x 全等 同理 「^3」表示立方， x^3 代表 x*x*x 「^4」表示四次方， y^4 代表 y*y*y*y 餘類推。 94,01,26,18,37止
<a name=9401qa04> [[[[[ 93,12,13,17:29:19 http://mathforum.org/library/drmath/view/52071.html Associated Topics || Dr. Math Home || Search Dr. Math Lagrange Multipliers and Constraints Date: 11/24/98 at 16:29:56 From: Sam Subject: LaGrange Multiplier I have a quick question concerning the setup of problems requiring the use of the LaGrange Multiplier method. Basically, how do you determine which of the two equations given is the "constraint"? For most problems, the equation for the function and the constraint is given. All you'd have to do is to manipulate them to forms appropriate in setting up the Lagrange Multiplier. However, what about those problems which aren't so "nice" - where is the constraint explicitly revealed? <a name=9401qa05> For example, here's a question from an assignment I had: Find the two points, one on each curve, which are as close together as possible using the Lagrange Multiplier method: y = 2x - 3 y = x^2 Now which one of those is the constraint? If you can answer that for me I would really appreciate it. Thank you. Sam ---------------------------------- <a name=9401qa06> Date: 11/24/98 at 17:07:04 From: Doctor Santu Subject: Re: LaGrange Multiplier Hello there! Actually, Samuel, (are you ready for this?) they're BOTH constraints! You probably remember that there could be more than one constraint. You have to use one multiplier for each constraint. <a name=9401qa07> The word "constraint" means something that prevents you from going away. In this case the function that you want to minimize (or optimize) is the distance between two points, (x[1],y[1]) and (x[2],y[2]). Obviously, we could make them as close as we want, so that the distance is zero, except that there are constraints. One point has to lie on one curve, and the other has to lie on the other curve. <a name=9401qa08> So you're maximizing sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2], the distance formula, subject to the "constraints" that y[1] = 2x[1] - 3, and y[2] = x[2]^2. The restriction is that the two points have to stay on their respective curves. <a name=9401qa09> There are other ways of doing it, and some shortcuts. One shortcut is that you can forget the "sqrt." If you find the points so that the distance SQUARED is as small as possible, the same two points are the ones whose distance is as small as possible. This saves a lot of algebra. <a name=9401qa10> Other things you can do are to solve for the y variables in terms of the x variables, and to solve the problem without using Lagrange multipliers at all, but that's sort of cheating. - Doctor Santu, The Math Forum http://mathforum.org/dr.math/ ]]]]] <a name=9401qa11> 94,01,22,10,54始 日期﹕11/24/98 at 17:07:04 發信﹕尚圖博士 Doctor Santu 主旨﹕回覆「朗冠吉係數」 嗨，你好。 山姆，實際上呢（你有心理準備嗎？）這兩個 公式 y = 2x - 3 y = x^2 都是限制式！你可能知道題目可以出現多個限 制式。你必須對每一個限制式使用一個朗冠吉 <a name=9401qa12> 係數。限制式的意思是說防止你離開定義域。 這一道題目的待極小化目標函數（或待最佳化 ）是兩點之間的距離。 (x[1],y[1]) 及 (x[2],y[2]) 兩點。 顯然我們可以令兩點盡可能接近，直到距離為 零（兩點重合）。但是題目指定第一點必須在 第一條曲線上、第二點必須在第二條曲線上。 <a name=9401qa13> 所以你需要對兩點之間的距離施以極大化。 （自由人註﹕此處應該是「施以極小化」） 目標函數為 sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2], 同時受到限制條件 y[1] = 2x[1] - 3, 及 y[2] = x[2]^2. 兩點必須位在各自曲線上。 <a name=9401qa14> 有其他方法可以解此問題，也有捷徑。一個捷 徑是忽略開平方「sqrt」關係。只要 找到兩點之間距離平方的最小值，與 找到兩點之間距離 的最小值完全一樣。 忽略開平方可以省去許多計算。 <a name=9401qa15> 另外一個方法，先求出 y 是 x 的那種函數， 94,01,22,11,23 phone ring 7 ring then stopped 然後消除一個變數，解單變數問題，可以完全 忽略朗冠吉係數，不過對練習朗冠吉係數而言 ，這是欺騙行為。 —尚圖博士。數學論壇 http://mathforum.org/dr.math/ 94,01,22,11,27止 <a name=9401a000> 94,01,22,11,45始 上面是關於朗冠吉係數的問題及數學論壇尚圖 博士的回答。自由人翻譯為中文，如果有翻譯 欠妥，應該以英文為主。 下面是山姆、尚圖論題圖解。<a name=9401a001> 自由人的看法如下。 y = 2x - 3 y = x^2 兩個公式，正好與許多朗冠吉係數初階教材使 用的兩個公式相似。請比較下面兩個公式 （上面是山姆、尚圖論題，本文解此題。 普通解法、答案；郎係數解法、答案 下面是不同的題目，只是舉例，沒有解題） G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) R(x,y) = x + y - 3 = 0 G(x,y) 代表目標函數 (Goal) R(x,y) 代表限制條件 (Restriction) <a name=9401a002> 目標函數可以極大化（最大利潤）， 目標函數可以極小化（最小成本）。 極大化的目標函數乘以負一變為 極小化的目標函數，所以極大化或極小化處理 方法相同，許多最佳設計課本統一為極小化問 題，並且稱目標函數為成本函數。聽見「成本 」大家都知道成本越低越好。不論目標函數是 否真的討論降低成本，「成本函數」的「成本 」只是形容詞。 <a name=9401a003> 題目寫為 極小化目標函數 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) 受到限制條件 R(x,y) = x + y - 3 = 0 在最佳設計課本中，所有限制條件式統一為 限制條件公式 ＝ ０ <a name=9401a004> 為什麼限制條件全部調整為「等於零」？ 第一 因為不等於零的限制式在移項之後變為等於零 ，例如限制式 x+y=5 與 x+y-5=0 全等。 <a name=9401a005> 第二 待極小化目標函數 G(x,y) 要與 限制條件 R(x,y) 相加，成為複合的 朗冠吉函數 L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y) 其中 lambda是朗冠吉係數。也就是 朗冠吉函數＝目標函數＋朗冠吉係數＊限制條件 （請注意上述朗冠吉函數與目標函數之差別） 若限制條件 R(x,y) 恆等於零，目標函數加零 //這是不恰當的論點， 不改變目標函數的值。也就是 //或可說 如果限制條件全部調整為等於零，那麼， //這是錯誤的論點 朗冠吉函數的值與目標函數的值相等。 //請看說明 9607080911 <a name=9401a006> 94,02,02,19,06加入始 第三 限制條件全部調整為「等於零」可以還原限制 條件。 如果限制條件錯誤使用 x+y=5 如何納入朗冠吉函數？ 朗函數＝目標函數＋朗係數＊(x+y) （錯！） 嗎？但是！ 在執行朗冠吉函數對朗冠吉係數微分的結果 是令為零！ （x+y=0 錯誤限制式） 不是令為五， （x+y=5 原有限制式） 如果限制條件 ●不● 調整為「等於零」 「微分的結果令為零」不能還原限制條件式！ <a name=whyeqzero> ● 因為朗冠吉係數法解題時有一步為令 ● 朗冠吉函數對朗冠吉係數微分＝０， ● 唯有限制條件全部調整為「等於零」 ● ，然後拋棄「等於零」，把剩餘部分 ● 乘以朗冠吉係數，再納入朗冠吉函數 ● ，等候在微分過程中，限制條件獲取 ● 一個「等於零」，如此才可能還原限 ● 制條件。 原有限制條件公式在朗冠吉係數法解題時必須 重現，才能維持正確題意。（重點） 94,02,02,19,39加入止 為什麼限制條件公式要納入朗冠吉函數？ <a name=9401a007> ● 既然限制條件 R(x,y) 恆等於零， ● 故「 = 0」經常略除， 題目簡化為（略除「 = 0」） 極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) 限制式 R(x,y) = x + y - 3 為什麼要用 G(x,y) 及 R(x,y) ？ 不用 G(x,y) 及不用 R(x,y) 可以嗎？ 右端的繁雜公式以左端簡符代表。 解題步驟需要定義朗冠吉函數如下 L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y) 比較精簡。如果不用簡符代表，直接寫為 L(x,y)=(x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)+lambda*(x + y - 3) 比較繁雜，所以使用 G(x,y) 及 R(x,y) 。 <a name=9401a008> 累積以上的背景條件之後， 下面的列式（略除「 = 0」及使用 G, R） G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) R(x,y) = x + y - 3 使新手困惑！ <a name=9401a009> 是 極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) 限制式 R(x,y) = x + y - 3 嗎？ 是 極小化 R(x,y) = x + y - 3 限制式 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) 嗎？ 是認定 G(x,y) 為目標函數嗎？但是 G(x,y)是隨意代符，如果改用 C(x,y) = x + y - 3 D(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) 我怎麼知道誰是誰？！ <a name=9401a010> 為此，自由人曾經苦思很久。最後注意其差別 <a name=freelock> 極小化公式的 G(x,y) 是變動值，不能鎖死。 限制式的 R(x,y) 是固定值，不能變動。 ● 請注意，上面兩行是重點！ ● 極小化公式的 G(x,y) 是變動值，不能鎖死。 因為「極小化」的意思是有多重選擇， 如果指定 G(x,y) 等於零，或 如果指定 G(x,y) 等於一，請想一想， G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) 等於常數？ 已經鎖定了，不可能執行極小化！！ <a name=9401a011> 另一方面， 限制式的 R(x,y) 是固定值，不能變動。 如果 R(x,y) = x + y - 3 等於變動值，這就 不是限制條件了！ R(x,y) = x + y - 3 = 0 鎖定 x, y 關係 R(x,y) = x + y - 3 = 任意值， x, y 無關 <a name=9401a012> 現在回到山姆的問題，已知兩個公式 y = 2x - 3 y = x^2 可以改寫如下 y - 2x + 3 = 0 y - x^2 = 0 都是等於常數（零）的公式，所以二者都是限 制式。（此處自由人回答了山姆的問題） <a name=9401a013> 對應的比較，尚圖博士列出的兩點距離公式 sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2] 沒有「等於常數」的符號，故為目標函數， 可以極小化（或極大化）。 雖然距離公式不可以等於常數，不過 距離公式可以等於代符，便利建立朗冠吉函數 ， ●只要不指定代符為常數即可● 。 希望以上是越說越明白。 自由人 中國九十四年一月二十二日 94,01,22,12,48止 <a name=note001a> 94,01,22,12,52始 雖然說 限制式的 R(x,y) 是固定值，不能變動。 這是初階最佳設計的論點。 高階最佳設計容許限制式小於等於零，此時， 限制公式是定義域的邊界線。（本文不討論） 當不等號限制式小於零時，該限制式不存在， 當不等號限制式等於零時，該限制式為存在。 限制式不能小於、等於、大於零！ 而目標函數必須是可以小於、等於、大於任意 常數。 94,01,22,12,58止 <a name=note002a> 94,01,23,13,07始 「只要不指定代符為常數即可」，因為 距離公式可以等於代符，便利建立朗冠吉函數 ，如果「指定代符為常數」，就是「指定距離 為常數」，距離是待極小化的目標，距離為常 數？那就沒戲唱了！ 94,01,22,13,10止 <a name=9401a014> 94,01,22,17,05始 現在解答山姆的問題，已知兩條曲線公式 曲線一 y = 2x - 3 曲線二 y = x^2 曲線一是直線，直線仍然屬於曲線，直線是斜 率不變的曲線。 為了區別兩條曲線，其坐標（x, y）標以一及 標以二，如（x1, y1）及（x2, y2），所以 曲線一 y1 = 2*x1 - 3 曲線二 y2 = x2*x2 要找曲線一上的一點（x1, y1） 及找曲線二上的一點（x2, y2），使得 （x1, y1）至（x2, y2）的距離最短。 <a name=9401a015> 下面用兩種方法解題。 第一個方法利用曲線方程式（限制公式）消去 因變數 y，然後用微分求自變數x 斜率為零的 解答。 第二個方法 ●不● 消去因變數，把限制公 式乘朗冠吉係數加目標函數（兩點之間的距離 公式）組成朗冠吉函數，再解題。 <a name=9401a016> 首先列式。 曲線一 y1 = 2*x1 - 3 曲線二 y2 = x2*x2 改為標準格式（略除「 = 0」） 曲線一 R1(x1,y1) = y1 - 2*x1 + 3 曲線二 R2(x2,y2) = y2 - x2*x2 （x1, y1）是曲線一上的動點及 （x2, y2）是曲線二上的動點。 <a name=9401a017> 動點一與動點二之間的距離是 sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2] 這是尚圖博士的列式。尚圖博士又說﹕ 「一個捷 徑是忽略開平方『sqrt』關係。只要 找到兩點之間距離平方的最小值，與 找到兩點之間距離 的最小值完全一樣。 忽略開平方可以省去許多計算。」 <a name=9401a018> 本文標記法的列式如下 G(x1,y1,x2,y2) = (x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2) 此處已經省略開平方「sqrt」。 現在問題的列式為﹕ 要求極小化 G(x1,y1,x2,y2) 第一限制式 R1(x1,y1) = y1 - 2*x1 + 3 第二限制式 R2(x2,y2) = y2 - x2*x2
94,01,22,17,40止 <a name=9401a019> 94,01,24,16,17始 因為本文是針對一般大眾，所以說明「自由度 」。 自由度表示一個點或者一個系統（若干個點） 的變化程度， 如果某項性質不容許變化，則此性質的自由度 為零。例如 x = 3，不容許 x 變化。 如果某項性質可以變化，但是不容許自主變化 ，則此性質的自由度也是零。例如 y = 5*x*x 只要 x 值自主決定， y 值也隨從確定。 如果沒有 x, y 之間的關係，則兩個自變數， 兩個自由度。同理，如果沒有限制條件公式， 某個數量的自變數就是某個數量的自由度。 <a name=9401a020> 一個平面上的點由兩個坐標值確定，如果兩個 坐標 x, y 互不相關，則平面上一點有兩個自 由度。假設平面上有兩個點，如果四個坐標互 不相關，則為四個自由度。 下面的圖表示平面上一點有兩個自由度，容許 活動範圍是全平面，紅點或紅線表示定義域， 也就是我們容許該點存在的區間。
<a name=9401a021> 增加條件，例如 x = 3，不容許 x 變化， x 必須 = 3，定義域由全平面縮減至直線 x=3 同理， 增加條件，例如 y = 2，不容許 y 變化， y 必須 = 2，定義域由全平面縮減至直線 y=2
<a name=9401a022> 限制條件可以多樣變化，例如拋物線、斜直線 ，如下圖。
<a name=9401a023> 山姆先生向尚圖博士提出的問題是兩點問題， 甲點在曲線一上移動，乙點在曲線二上移動， 兩個點四個自由度，兩個限制式減去兩個自由 度。藍線一端為甲點另端為乙點。藍線有兩個 自由度。求最短的藍線。
94,01,24,17,11止 <a name=9401a024> 94,01,24,18,07始 上面談的是點的自由度與減少自由度的限制條 件。 下面談需要極小化的目標函數。 山姆先生拿到的題目只有兩個公式 y = 2x - 3 y = x^2 同時題目不說那一個是目標函數， 不說那一個是限制公式。 「不說」是出題老師故意考學生的基本知識， 「兩點之間的距離是 sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2] 這還要我說嗎？」 「不說」也就是使新手困惑的地方！ <a name=9401a025> 上述兩點之間距離的公式從幾何畢氏定理，一 步就得到答案， P(x1,y1) 及 Q(x2,y2) 是兩點， PQ 之間的 距離參考畢氏定理﹕（請看 9401a7 圖） 直角三角形斜邊的平方等於直角邊平方和 假設 PQR是直角三角形的三頂點，假設角 R 是直角，則 PQ 是斜邊， RQ 及 PR 是兩個直 角邊（腰），畢氏定理的數學公式為 PQ*PQ = RQ*RQ + PR*PR PR 是 P、Q 兩點 x軸坐標差值 x2-x1 RQ 是 P、Q 兩點 y軸坐標差值 y2-y1 所以， P、Q 兩點距離的平方 PQ*PQ 等於 RQ*RQ + PR*PR 也就是 PQ*PQ = (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1) 請看下圖，
<a name=9401a026> 因為 PQ*PQ = (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1) 所以，全式開平方得到 PQ = sqrt[(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)] 兩點之間的距離在兩點重合時為零，任何其他 情況都是大於零，因為 PQ 只為正數或零，不 會是負數，所以 那一點有 PQ 的最小值？ 與 那一點有 PQ平方 的最小值？ 是同一個問題、是同一個答案點。 <a name=9401a027> 求 PQ*PQ = (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1) 的最小值簡單。 求 PQ = sqrt[(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)] 的最小值繁雜！ 因為 PQ*PQ = (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1) 不含 sqrt[……] 函數。 雖然 題目要求 PQ 的最小值， 我們解 PQ平方的最小值，省去許多麻煩。 94,01,24,18,45止 <a name=9401a028> 94,01,24,20,33始 首先用最基本的方法解題，不用朗冠吉係數。 已知條件是兩點之間的距離 G(x1,y1,x2,y2) 這是要被極小化的函數（求最短距離）。 限制條件是第一點必須在第一條曲線上移動 R1(x1,y1)=y1-2*x1+3=0 及第二點必須在第二條曲線上移動 R2(x2,y2)=y2-x2*x2=0 <a name=9401a029>
現在Ａ５４式中不再有限制式，Ａ５４式的變 數 x1 x2 是獨立變數，互不依賴，於是可以 使用偏微分， 對 G(x1,x2) 的 x1 取偏微分，令為零，得 Ａ５６式。 整理 x1 x2 關係，得Ａ５７式。 <a name=9401a031> 上面是對 x1 取偏微分， 下面是對 x2 取偏微分。 對 G(x1,x2) 的 x2 取偏微分，令為零，得 Ａ５９式。
<a name=9401a032> 利用Ａ５７式消去Ａ５９式中的 x1 ，得到 Ａ６１式。 Ａ６１式是 x2 的多項式，可以求多項式的根 ，答案為 實數根 虛數根 +1 +0I +1 -1.4142136I +1 +1.4142136I <a name=9401a033> 複數解沒有意義，唯一的實數解為 x2 = 1.0 得到 x2 = 1.0 再回頭利用Ａ５７式 求得 x1 = 9/5 = 1.8 有了 x1 = 1.8 回頭到第一個限制式Ａ５２式 求得 y1 = 0.6 有了 x2 = 1.0 回頭到第二個限制式Ａ５３式 求得 y2 = 1.0*1.0 = 1.0 <a name=9401a034> 最後求出答案為 (x1, y1) = (1.8, 0.6) (x2, y2) = (1.0, 1.0) 兩點之最短距離為 sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2] = sqrt[(1.8-1.0)^2 + (0.6-1.0)^2] = sqrt[(0.8)^2 + (-0.4)^2] = sqrt[0.64 + 0.16] = sqrt[0.8] = 0.8944271 普通解法、答案；郎係數解法、答案 94,01,24,21,18止 <a name=note003a> 94,01,25,10,03始 「對 G(x1,x2) 的 x1 取偏微分，令為零」 目標函數 G(x1,y1,x2,y2) 原本為四個自變數 x1,y1,x2,y2，同時受到兩個限制式的約束， 第一限制式 R1(x1,y1) = y1 - 2*x1 + 3 第二限制式 R2(x2,y2) = y2 - x2*x2 G(x1,y1,x2,y2) 中自變數x1,y1,x2,y2有相依 關係，不能對 G(x1,y1,x2,y2) 進行偏微分， 必須要把兩個限制式的關係納入考慮、消除兩 個因變數y1,y2 之後，才能對真正的自變數 x1,x2 取偏微分。 對 x1 取偏微分，令微分值為零，指定對 x1 的切線為水平（水平線的斜率為零），此時所 得到的 x1 是 x1 方向的最小值關係式。同理 ，對 x2 取偏微分，並且指定斜率為零，得到 x2 方向的最小值關係式。聯立解兩個最小值 關係式，得到答案。 一條向下有限（不能向下無限伸展）平滑曲線 的最底點之切線為水平，曲線上任何點不能更 低於此點。所以對目標函數的變數取偏微分， 令偏微分值為零， 「令為零」這一步是我們加入的條件， 「令為零」這一步得到最小值關係式。 94,01,25,10,26此 <a name=note004a> Ａ６１式是 x2 的多項式，可以求多項式的根 ，下面的電腦程式可以解多項式的根，歡迎下 載，第一個是中文程式，第二個是英文程式。 http://freeman2.com/rootc.zip http://freeman2.com/roote.zip 94,01,25,10,31止 <a name=9401a035> <a name=Lagrange01> 94,01,25,11,02始 對練習朗冠吉係數法而言，上面的方法沒有幫 助，下面用朗冠吉係數法解題。 上面的普通方法把限制式轉為 y = g(x) （重點﹕等號右端不含 y） 的形式，下面兩個限制式 y1 = 2*x1 - 3 y2 = x2^2 都符合 y = g(x) 然後利用 y = g(x) 把目標函數中的因變數 y1, y2 消除。 <a name=9401a036> 朗冠吉係數法使用不同的方法。 朗冠吉係數法把限制條件公式與目標函數相加 ，在相加之前，所有限制條件公式必須乘以朗 冠吉係數，如此得到的新函數稱為朗冠吉函數 。 一個限制條件公式使用一個朗冠吉係數， 兩個限制條件公式使用兩個不同的朗冠吉係數 ，餘類推。本題的朗冠吉函數列式如下。
94,01,25,11,15止 <a name=9401a037> 94,01,25,18,28始 朗冠吉函數＝ 目標函數＋朗冠吉係數＊限制條件……Ａ６２式 Ａ６２式是文字敘述，如何構成朗冠吉函數。 因為頁面空間限制，只列一個限制條件 。 Ａ６３式是數學符號的朗冠吉函數結構， 列有兩個限制條件式。 變數ｘｉ是 ｘ１ ｘ２ ｙ１ ｙ２ 精簡表示法。 變數λｊ是 λ１ λ２ 精簡表示法。 <a name=9401a038> Ａ６４式以總和符號Σ精簡表示數個限制式， 可以代表任意個限制條件式。 Ａ６５式是本題完整的朗冠吉函數，自變數ｘｉ 沒有精簡，限制條件式也沒有精簡。 （因為空間限制，目標函數G() 用代符） <a name=9401a039> 為什麼要使用 朗冠吉函數＝ 目標函數＋朗冠吉係數＊限制條件……Ａ６２式 為什麼不使用 朗冠吉函數＝ 目標函數 ＋ 限制條件…Ａ６６式 ●錯！● 朗冠吉係數有什麼用處？ 94,01,25,18,56止 <a name=9401a040> 94,01,25,19,19決定寫 自由人與中共數次關鍵互動 http://freeman2.com/jubaocc1.zip 自由人工作轉為政論工作。 94,01,26,10,59,18 完成上載 <a name=9401a041> 94,01,26,18,23始 朗冠吉係數有什麼用處？ 一、如果目標函數直接加限制公式，表示指定 朗冠吉係數永遠等於一，則不能調節目標 函數梯度與限制公式梯度的關係。 二、如果目標函數直接加限制公式，在物理意 義上產生矛盾。 說明如下。 <a name=9401a042> 請看下圖
請注意上圖四個箭頭， Ｃ點兩個藍色向量共線， Ｄ點兩個綠色向量不共線。 此例目標函數為 f(x1,x2)=(x1-1.5)^2+(x2-1.5)^2 ……Ａ６７式 其中「^2」表示平方。 此例限制條件為 h(x1,x2)=x1+x2-2=0 ……Ａ６８式 <a name=9401a043> 圖中Ｄ點代表直線ＡＢ上任意點，不是最小值 點。 圖中Ｃ點代表直線ＡＢ上特定點，就是最小值 點。
（9402012243 開始使用<br> ，可以現出∇及∂
但是使用<pre> 不能現出∇及不能現出∂）
<a name=9401a044>
∇ｆ是目標函數的梯度向量（什麼是∇ｆ？）
〔∂f(x1,x2) ∂f(x1,x2) 〕
∇ｆ＝〔╴╴╴╴╴，╴╴╴╴╴〕 ……Ａ６９式
〔 ∂x1 ∂x2 〕
∇ｆ＝[ 2*(x1-1.5) , 2*(x2-1.5) ] ……Ａ６９Ａ式
<a name=9401a045>
∇ｈ是限制公式的梯度向量
〔∂h(x1,x2) ∂h(x1,x2) 〕
∇ｈ＝〔╴╴╴╴╴，╴╴╴╴╴〕 ……Ａ７０式
〔 ∂x1 ∂x2 〕
∇ｈ＝ [ 1, 1 ] ……Ａ７０Ａ式
<a name=9401a046>
Ｄ點坐標是Ｄ(1.5, 0.5)
Ｄ點的目標函數的綠色向下梯度向量為
∇ｆ＝[ 2*(x1-1.5) , 2*(x2-1.5) ]
＝[ 2*(1.5-1.5) , 2*(0.5-1.5) ]
＝[ 0, -2 ]
Ｄ點的限制公式的綠色向右上梯度向量為
∇ｈ＝ [ 1, 1 ]
Ｄ點的兩個梯度向量[ 0, -2 ] 及 [ 1, 1 ]
不平行！
<a name=9401a047>
現在再看
Ｃ點坐標是Ｃ(1.0, 1.0)
Ｃ點的目標函數的藍色向左下梯度向量為
∇ｆ＝[ 2*(x1-1.5) , 2*(x2-1.5) ]
＝[ 2*(1.0-1.5) , 2*(1.0-1.5) ]
＝[ -1, -1 ]
Ｃ點的限制公式的藍色向右上梯度向量為
∇ｈ＝ [ 1, 1 ]
Ｃ點的兩個梯度向量[ -1, -1 ] 及 [ 1, 1 ]
確實平行！但是反向。
<a name=9401a048>
目標函數的梯度向量與限制公式的梯度向量相
加為零才能得到最佳點。兩個向量共線（同向
或異向）時才可能相加為零。
Ｄ點的兩個梯度向量[ 0, -2 ] 及 [ 1, 1 ]
不平行！不論任何係數都不能使兩個不平行的
向量相加為零。
<a name=9401a049>
Ｃ點的兩個梯度向量[ -1, -1 ] 及 [ 1, 1 ]
是平行！可以調節係數使兩個共線的向量相加
為零。
這個最簡單的例題剛好是朗冠吉係數等於一時
兩個梯度向量相加為零。
如果指定朗冠吉係數為常數一（或任何常數）
，不能調節兩個梯度向量的比值，自捆手腳，
不能得到答案。
94,01,26,19,36此
<a name=9401a050>
下面說明朗冠吉係數有什麼用處？
二、如果目標函數直接加限制公式，在物理意
義上產生矛盾。
仍然用最簡單的例題。有一條一公尺長的繩子
，用已知長度的繩子圍一個最大面積，這會是
什麼面積？（我們只討論物理單位，不解答）
這個問題的目標函數是 面積 ，
這個問題的限制公式是 長度－１＝０ 。
<a name=9401a051>
寫朗冠吉函數而不用朗冠吉係數（錯誤！）
得到
朗函數＝目標函數＋限制公式 （錯誤！）
＝ 面積 ＋長度－１ （錯誤！）
面積與長度是兩個不同的物理量，絕對不能相
加！
<a name=9401a052>
其他實際（比較複雜）的問題，情況一樣。
設計一個機件，要求最輕重量，同時可以承受
規定的強度，這種題目列出
朗函數＝目標函數＋朗係數＊限制公式
＝ 重量 ＋朗係數＊強度
這個是正確的列式，雖然重量與強度代表不同
的物理意義，使用朗冠吉係數調節物理單位。
我們可以說（也是必須說）
「朗係數＊強度」具有重量的物理單位，所以
重量 與 朗係數＊強度 可以相加。
<a name=9401a053>
回答朗冠吉係數有什麼用處？
● 朗冠吉係數調節目標函數、限制公式兩個
● 梯度向量的正確比例，使向量總和為零。
● 及
● 朗冠吉係數平衡目標函數及限制公式的物
● 理單位，使二者相加變為合理。
94,01,26,19,56止
<a name=9401a054>
94,01,26,20,47始
有一點請讀者注意，請再看 9401ab 圖
目標函數（即成本函數）有等高線，
限制公式曲線 ●沒有● 等高線！
因為題目不能要求目標函數等於常數，於是
我們可以自由設定，
令目標函數等於常數一，畫出第一條等高線，
令目標函數等於常數二，畫出第二條等高線，
餘類推。
另方面，限制公式曲線等於常數，我們不能變
更題目指定的常數，所以限制公式 ●沒有●
等高線！
<a name=9401ab02>
94,01,26,20,53止
<a name=9401a055>
94,01,27,09,57始
在與別人討論朗冠吉係數、最佳設計時，如果
不小心說了一句
「畫限制公式的等高線」（●錯誤！●）
立刻露出外行的馬腳！讀者必須先了解為什麼
目標函數可以畫等高線，而限制公式不可以畫
等高線？
94,01,27,10,03止
<a name=9401a056>
94,02,02,12,03始
當我們說「畫目標函數的等高線」時，表示題
目有兩個變數，函數值是立出紙面的第三軸，
我們把等高函數值投影至頁面的兩個變數軸面
上。如果題目有三個或多個變數，目標函數的
等高線也畫不出來！
94,02,02,12,09止
<a name=9401a057>
94,01,29,16,20始
請看 9401ab 圖，可以再說明一件事情。
該圖要求極小化目標函數
f(x1,x2)=(x1-1.5)^2+(x2-1.5)^2
限制條件式為
h(x1,x2)=x1+x2-2=0
目標函數的值由等高線表示。
∇ｆ是目標函數的梯度向量
∇ｈ是限制公式的梯度向量
<a name=9401a058>
所有能夠使用的點必須在限制條件公式曲線上
，也就是必須在 9401ab 圖的紅線上。
紅線上的Ｄ點是任意點，
紅線上的Ｃ點是唯一的最小值（目標函數）點
。既然Ｃ點與眾不同（最小值點），Ｃ點有什
麼特徵？
● Ｃ點的∇ｆ與∇ｈ平行。
任何其他點的∇ｆ與∇ｈ ●不平行● 。
<a name=9401a059>
Ｄ點沿紅線向Ｃ點移動，
由等高線 f = 0.75
走向等高線 f = 0.50
Ｄ點的∇ｆ與∇ｈ不平行，
∇ｆ在紅線上有非零分量，可以﹕
一、減少目標函數的值（0.75減至0.50），
二、同時不違反限制條件（不離紅線）。
除Ｃ點以外，所有其他點都有此性質。
<a name=9401a060>
Ｃ點呢？最小值點，特殊點，
Ｃ點的∇ｆ在紅線上的分量為零！
零分量表示∇ｆ與∇ｈ平行，（∇ｈ永遠垂直
於紅線，∇ｆ在Ｃ點垂直於紅線）
若Ｃ點想要減少目標函數的值，必須離開紅線
（走向圓心，圓心的目標函數值為零，最小）
，但是「必須離開紅線」代表違反限制條件，
絕對不許可。
<a name=9401a061>
Ｃ點必須留在紅線上，左看、右看都是上坡，
（增加目標函數的值），怎麼辦呢？中獎啦！
● Ｃ點是最小值點，
● ∇ｆ與∇ｈ平行為判別條件！
如何判別「∇ｆ與∇ｈ平行」？
94,01,29,16,59止
<a name=9401a062>
94,01,28,11,19始
上面已經用普通方法解出山姆向尚圖博士提出
的兩曲線之間最短距離問題，也討論了與朗冠
吉係數法相關的常識。
普通解法、答案；郎係數解法、答案
下面用朗冠吉係數法解相同的問題。
<a name=9401a063>
山姆指出的限制公式為兩條曲線
y = 2x - 3 ……Ａ５２式
y = x^2 ……Ａ５３式
尚圖博士指出的重點是極小化距離函數﹕
sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2]
尚圖博士也告訴讀者略除開平方函數，
不要 sqrt[] ，把目標函數簡化為距離平方
(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2 …Ａ５１式
<a name=9401a064>
以 G() 代表目標函數，
以 R1()代表限制公式一，
以 R2()代表限制公式二，
便利建立朗冠吉函數，列式如下
上面是問題的數學列式，
下面是問題的幾何圖形。
<a name=9401a065>
朗冠吉係數法不利用限制式消除因變數，
朗冠吉係數法把限制式乘以係數再與目標函數
相加，建立朗冠吉函數如下圖Ａ６５式﹕
距離平方 G() 有兩個自變數；兩個因變數﹕
ｘ１ ｘ２；ｙ１ ｙ２
朗冠吉函數 L() 有六個自變數﹕
ｘ１ ｘ２ ｙ１ ｙ２ λ１ λ２
<a name=9401a066>
其中
（ｘ１，ｙ１）是曲線一上任意點，
（ｘ２，ｙ２）是曲線二上任意點。
λ１乘以曲線一公式R1()後加入目標函數 G()，
λ１是曲線一使用的朗冠吉係數。
λ２乘以曲線二公式R2()後加入目標函數 G()，
λ２是曲線二使用的朗冠吉係數。
最終的總組合稱為朗冠吉函數 L() 。
94,01,28,12,07止
<a name=9401a067>
<a name=Lagrfree>
94,01,28,14,18始
因為朗冠吉函數已經納入限制條件因素，
●●朗冠吉函數以外不再有限制條件，所以
● 朗冠吉函數是十足的無限制條件函數。
● 朗冠吉函數的變數如同互不相依的自變數
一個沒有限制條件的函數可以直接執行微分。
朗冠吉函數的變數是
目標函數的變數 ｘ１ ｘ２ ｙ１ ｙ２
加所有朗冠吉係數 λ１ λ２
94,01,28,14,28止
<a name=9401a068>
94,02,01,08,56始
假設目標函數的變數為ｍ＝４個（尚圖解題）
假設限制條件的數目為ｎ＝２個（尚圖解題）
則
朗冠吉函數的變數是ｍ＋ｎ＝６個。
目標函數的自由度為ｍ＝４個
限制條件減少的自由度為ｎ＝２個
目標函數的無限制自由度為ｍ－ｎ＝２個
<a name=9401a069>
如果
ｍ＝４個變數的目標函數受
ｎ＝４個限制條件的約束，
目標函數的無限制自由度為ｍ－ｎ＝０個
零個自由度？！答案只有一個點？！
這是初中學生的代數題目！
不是最佳設計問題！！
這裏主要說明ｍ＞ｎ才是合理的題目。
（ｎ＞０時才需要勞駕朗冠吉）
94,02,01,09,09止
<a name=9401a070>
94,01,28,15,40始
以下是朗冠吉函數對六個自變數的偏微分。
下面是朗冠吉函數的定義式（Ａ７１式）及
朗冠吉函數對六個自變數的偏微分列式
Ａ７２式
至
Ａ７７式
<a name=9401a071>
<a name=9401a072>
∂Ｌ／∂ｘ１ 表示ｘ１微變時，Ｌ的微變量。
如果在點ｘ１＊處 ∂Ｌ／∂ｘ１等於零，我們說
ｘ１＊是靜止點。
下面三種情況都會產生靜止點﹕
如果ｘ１＊是鄰域內的最小值點，
如果ｘ１＊是鄰域內的最大值點，
如果ｘ１＊是鄰域內的轉折點，
這三種情況都會產生 ∂Ｌ／∂ｘ１等於零，
<a name=9401a073>
我們指定 ∂Ｌ／∂ｘ１等於零，就是要求ｘ１
走到靜止點。然後我們可以判斷，這個ｘ１＊
是最小值點？是最大值點？是轉折點？
指定 ∂Ｌ／∂ｘ１等於零，我們人為的加入
一個限制條件，朗冠吉函數的自由度因而減一，
本例題，朗冠吉函數總共有六個自由度，由
Ａ７２式至Ａ７７式，我們指定六個等於零，
朗冠吉函數的自由度減為零，也就是得到唯一
答案。
<a name=9401a074>
解Ａ７２式至Ａ７７式是簡單的計算，請讀者
動筆算一算。
答案應該是
ｘ１ ＝ １．８
ｙ１ ＝ ０．６
ｘ２ ＝ １．０
ｙ２ ＝ １．０
λ１ ＝ ０．８
λ２ ＝－０．８
普通解法、答案；郎係數解法、答案
<a name=9401a075>
下面是答案圖，紅線為最短距離。
94,01,28,16,16止
<a name=9401a076>
94,01,30,15,42始
下面的圖說明
轉折點 Ａ點
最大值點 Ｂ點
最小值點 Ｃ點
一般點 Ｄ點
<a name=9401a077>
轉折點、最大值點、最小值點三者統稱為靜止
點。
靜止點的切線都是水平，
一般點的切線不必水平。
紅線﹕函數曲線
藍線﹕切線
綠線﹕自變數ｘ之定義域
<a name=9401a078>
當我們指定函數的斜率（函數對變數的微分）
為零時，我們找到靜止點，靜止點並不保證為
最小值點（Ｃ點）。
靜止點可能是轉折點 Ａ點
靜止點可能是最大值點 Ｂ點
另外一點也值得注意﹕
最大值點 Ｂ點是本地（鄰域）最大值點，
上圖紅線最右端的函數值比Ｂ點
的函數值大。
最小值點 Ｃ點是本地（鄰域）最小值點，
上圖紅線最左端的函數值比Ｃ點
的函數值小。
<a name=9401a079>
靜止點的「靜止」是指在該點鄰域微動（例如
ｘ加、減 0.001），函數值（ｙ值）不變。
（「不變」指ｙ的一次微變量為零，但是高次
微變量不一定為零）
Ａ、Ｂ、Ｃ三點都有這種「靜止」性質，因為
這三點的切線水平。
其他各點（例如Ｄ點）無此「靜止」性質，因
為其他各點的切線不是水平。
94,01,30,16,08止
<a name=9401a080>
94,01,28,17,47始
請讀者注意﹕
朗冠吉函數對朗冠吉係數的偏微分，重獲原題
的限制條件式。Ａ７６式及Ａ７７式屬此例。
本例題是簡單例題，只計算朗冠吉函數一次偏
微分，雖然得到答案，但是，不足以判別這個
答案點是最小值點？是最大值點？是轉折點？
為了判別，必須使用朗冠吉函數二次偏微分（
本文不討論），得到一個矩陣，計算矩陣的特
徵值，如果矩陣特徵值全部是正值，則保證
ｘ１＊為鄰域內的最小值點。
這是進階論題，本文只討論基本方法，不討論
進階論題。
由本例題的幾何圖可以知道，兩條曲線只有最
近距離，沒有最遠距離，因為最遠距離是無限
遠。（所以不必計算矩陣的特徵值也知道本題
只有最小值，沒有最大值）
<a name=9401a081>
上面談論了普通方法，不用朗冠吉係數，也談
論了朗冠吉係數法，二者都得到正確答案，於
是產生一個問題﹕
普通方法好嗎？還是朗冠吉係數法好？
這個問題取決於限制條件公式的性質。如果限
制條件可以明確析出
因變數等於純自變數函數，也就是可以找到
y = g(x)
那麼，兩種方法都可以解題。反之，如果限制
條件為
y = f(x,y)
無法析出
y = g(x)
則必須用朗冠吉係數法。
<a name=9401a082>
讀者能夠析出
y = f(x,y)
= x*sin(x*y) （等號左右都有 y）
為
y = g(x) （等號右側不含 y）
的形式嗎？
94,01,28,18,19此
<a name=9401a083>
用朗冠吉係數法多花費手腳，解答中包括了
朗冠吉係數的值，本例為
λ１ ＝ ０．８
λ２ ＝－０．８
如果題目的限制條件式可以找到析離的
y = g(x)
仍然用朗冠吉係數法多花費手腳是否為浪費？
<a name=9401a084>
這也就是問﹕
求出朗冠吉係數的值，有用嗎？
答案是﹕有用！
所有的設計數據不能精確至萬分之一寸、不能
精確至萬分之一秒，換言之，都有誤差。
限制條件式要求等於零，但是！
限制條件式不能保證絕對為零！
如果限制條件式有擾動，對於目標函數／成本
函數的影響有多大？
94,01,28,18,35止
<a name=9401a085>
94,01,28,19,14始
請看下面的分析
<a name=9401a086>
朗冠吉係數λ是擾動ｂ對目標函數Ｇ的影響。
朗冠吉係數λ越大
相同的擾動ｂ對目標函數Ｇ的影響越大。
如果要變更設計，朗冠吉係數的值可以協助判
斷優先變更那一個限制條件式。
所以，多花費手腳用朗冠吉係數法求解，得到
朗冠吉係數，協助判斷敏感度，這是簡單方法
（非朗冠吉係數法）所不能取得的資料！
94,01,28,19,21止
<a name=9401a087>
94,01,29,05,39始
上面的Ａ７８式是數學公式，對新手而言，最
好略加解釋。Ａ７８式為
∂Ｇ
－－＝λ
∂ｂ
也就是
∂Ｇ＝λ＊∂ｂ
∂ 代表微變量
∂ｂ 是限制條件之擾動（誤差）
∂Ｇ 是目標函數之擾動（誤差）
λ 是朗冠吉係數
<a name=9401a088>
假設限制條件之擾動 ∂ｂ＝１ 為一個單位
由 ∂Ｇ＝λ＊∂ｂ
如果 λ＝２ 則目標函數之擾動 ∂Ｇ＝２
如果 λ＝５ 則目標函數之擾動 ∂Ｇ＝５
此處可以清楚的看出
● 朗冠吉係數λ代表限制條件之擾動 ∂ｂ
● 對目標函數之擾動 ∂Ｇ 的影響程度。
94,01,29,05,54止
<a name=9401a089>
94,01,29,14,51始
最佳設計、最佳解答的「最」表示至少有兩個
點滿足所有限制條件式，往往有無限多個點。
所有滿足限制條件式的點之集合構成定義域。
當定義域包含兩個點、或數個點、或無限多個
點時，才能考慮一個目標函數，求此目標函數
某個性質的最小值。
我們在小學、中學學解聯立方程式，一個問題
一個唯一答案。例如若問題有三個變數，必須
找到三個關係式解題，解得的答案只有一組。
<a name=9401a090>
● 如果只有一個點滿足所有限制條件式，
● 這是唯一答案，無所謂最佳設計問題。
94,01,29,15,07止
<a name=9401a091>
94,01,31,16,35始
什麼是∇ｆ？
● 什麼是∇ｆ？在二變數設計問題中
● ∇ｆ是 [∂f/∂x , ∂f/∂y] 的簡化代符。
● 在六（多）變數設計問題中，∇ｆ是
[∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ∂f/∂x3, ∂f/∂x4, ∂f/∂x5, ∂f/∂x6]
● 的簡化代符。
●
● ∇ｆ是函數ｆ的梯度向量。
兩個值或多個值用括號括在一起，便稱為向量
，[∂f/∂x , ∂f/∂y]是最簡單的向量（兩
個元素）。
如果 x, y 不是設計參數，
假設 x 是東西向的空間，
假設 y 是南北向的空間，
假設 ｆ是空間中一點的溫度。
向東走溫度逐漸升高 ∂f/∂x 為正溫度梯度。
向北走溫度逐漸降低 ∂f/∂y 為負溫度梯度。
空間中每點的溫度逐漸改變，空間有方向，
雖然溫度沒有方向，溫度梯度有方向！
如果 x, y 改為設計參數，我們借用空間觀念
，把設計參數視如空間坐標軸（可以是超過三
度的高度空間），並且借用「梯度」，稱
● ∇ｆ＝ [∂f/∂x , ∂f/∂y] 為
● 「梯度向量」
=====
<a name=9401a092>
<a name=parallel>
如何判別「∇ｆ與∇ｈ平行」？
這裏使用雙向解釋。
首先看一個向量，若各分量依照相同比例放大
，得到另外一個相似向量。
大家都學過幾何。平面三角形兩腰中點連線平
行於底邊，便屬此例，半腰長比全腰長是一比
二，兩腰都是一比二，所以腰線平行於底邊。
為何說相似？因為各分量依照相同比例放大，
所以放大向量比原向量長。（不同）
也因為各分量依照相同比例放大，所以放大向
量與原向量同向。（相同）
因為同時有不同及相同，所以稱為相似。
下面反過來看。
94,01,31,17,31止
<a name=9401a093>
94,01,30,18,49始
下面用容易畫出的二度空間向量圖解說明。
<a name=9401a094>
紅線是平行向量，
藍線是不平行向量，
綠線是向量分量。
向量ＡＢ＝分量ＡＣ＋分量ＣＢ
向量ＤＥ＝分量ＤＦ＋分量ＦＥ
ＡＣ比ＤＦ＝４比２＝２
ＣＢ比ＦＥ＝２比１＝２
比值皆為二，比值相等，
向量ＡＢ平行於向量ＤＥ。
<a name=9401a095>
證明非常簡單。
角∠ＡＣＢ是直角，
角∠ＤＦＥ是直角，
ＡＣ比ＤＦ＝４比２＝２
與
ＣＢ比ＦＥ＝２比１＝２
相等，
所以
三角形ＡＢＣ與三角形ＤＥＦ相似，
<a name=9401a096>
結論﹕角∠ＢＡＣ與角∠ＥＤＦ相等，
這兩個角相等是
向量ＡＢ平行於向量ＤＥ的充分、必要條件。
至此得證
向量ＡＢ平行於向量ＤＥ。
反之，看三角形ＧＨＩ，
雖然有
角∠ＡＣＢ是直角，
角∠ＧＩＨ是直角，
<a name=9401a097>
但是
向量ＡＢ與向量ＧＨ的分量比值不同
ＡＣ比ＧＩ＝４比２＝２
ＣＢ比ＩＨ＝２比３＝０‧６６７
０‧６６７不等於２
所以
三角形ＡＢＣ與三角形ＧＨＩ ●不● 相似，
角∠ＢＡＣ與角∠ＨＧＩ ●不● 相等，
結論﹕
向量ＡＢ ●不● 平行於向量ＧＨ
上面是用可以畫在紙張上的二度空間為例題，
設計變數必定超過兩個變數，設計變數可以視
為高度設計變數空間問題，推理相同
<a name=9401a098>
只要計算得出
● ∂f/∂x1 比 ∂h/∂x1 值
● ∂f/∂x2 比 ∂h/∂x2 值
● .....
● ∂f/∂x6 比 ∂h/∂x6 值
●
● 這些比值全部相同
● 或誤差的平方小於萬分之一（舉例）
便可以結論
● 「∇ｆ與∇ｈ平行」
94,01,30,19,14止
（終止使用<br> 9402012246）
<a name=9401a099>
94,01,30,19,25始
由
可以說明另外一個關鍵問題。
<a name=9401a100>
因為
向量ＡＢ平行於向量ＤＥ，
所以
向量ＤＥ乘負二，再加向量ＡＢ，結果為零。
「負二」具有朗冠吉係數角色。
當兩個向量平行時，可以調節朗冠吉係數。使
目標函數梯度＋朗冠吉係數＊限制條件式梯度
＝零
<a name=9401a101>
反之
向量ＡＢ ●不● 平行於向量ＧＨ時，由上
面圖解可以看出
目標函數梯度＋朗冠吉係數＊限制條件式梯度
不可能＝零！即使朗冠吉係數＝零
目標函數梯度＋朗冠吉係數＊限制條件式梯度
＝目標函數梯度＋零＊限制條件式梯度
＝目標函數梯度
仍然不＝零！
所以，在使用朗冠吉係數法時，必須有
目標函數梯度 平行於 限制條件式梯度
<a name=9401a102>
上面是一個限制條件式的論點，一個限制條件
式只有一個梯度向量。
如果在可能最佳點有兩個或多個等號限制條件
式同時為真，
有多個限制條件式梯度向量納入考慮，但是，
只有一個目標函數梯度向量出場應付，
如何處理？
目標函數梯度（一個向量）應該
平行於
所有
朗冠吉係數乘限制條件式梯度向量
之和
<a name=9401a103>
也就是要求
目標函數梯度向量
＋朗冠吉係數一＊限制條件一式梯度向量
＋朗冠吉係數二＊限制條件二式梯度向量
……………
＋朗冠吉係數丁＊限制條件丁式梯度向量
＝零
此時個別限制條件式梯度向量不必平行於
目標函數梯度向量。
94,01,30,19,57止
<a name=9401a104>
94,01,30,14,35始
關於為什麼
朗冠吉函數＝目標函數
＋朗冠吉係數一＊限制條件一式
＋朗冠吉係數二＊限制條件二式
……………
＋朗冠吉係數丁＊限制條件丁式
有一篇網路文章解釋的很好。
Lagrange Multipliers - 01/08/1998
I have a problem with Lagrange Multipliers
- can you help?
93,12,13,17:22:44
http://mathforum.org/library/drmath/view/51455.html
<a name=9401a105>
Date: 01/08/98 at 17:10:48
From: Doctor Anthony
Subject: Re: Lagrange Multipliers
這是安松尼博士回答的解釋。安松尼博士舉例
如下
目標函數
f(x,y) = 2x^2 + 3y^2 ……Ａ７９式
限制條件公式
2x + y = 1. ……Ａ８０式
解題步驟是找
f(x,y)
的靜止點（可能有最大值、可能有最小值、也
可能是轉折點）
同時受到限制條件公式
g(x.y) = 2x + y - 1 = 0
的約束。
<a name=9401a106>
在 f(x,y) 的靜止點有
df = part(df/dx)*dx + part(df/dy)*dy = 0
（註﹕以下是自由人意見，不是安松尼博士意見
，如果錯誤，是自由人的責任。9402060920）
（註 part(df/dx)中的「part」表示偏微分）
為什麼上式有「 = 0」？因為我們指定在靜止
點，而靜止點的特徵就是在該點的微變量(df)
為零。
94,01,30,14,52止
<a name=9401a107>
94,01,30,16,15始
請再看
part(df/dx)*dx + part(df/dy)*dy
這個乘積之和恰好是兩個向量的點積。
[ part(df/dx), part(df/dy) ]
及
[ dx ,
dy ]
[ part(df/dx), part(df/dy) ]
是橫列向量。
[ dx ,
dy ]
是縱列向量。
<a name=9401a108>
依據向量點積規則，
橫列向量
[ part(df/dx), part(df/dy) ]
點積
縱列向量
[ dx ,
dy ]
計算法則為
橫列第一元素（part(df/dx)）
乘
縱列第一元素（dx）
加
橫列第二元素（part(df/dy)）
乘
縱列第二元素（dy）
<a name=9401a109>
向量點積所得的結果是非向量，正好是
part(df/dx)*dx + part(df/dy)*dy
（註﹕以上是自由人意見，不是安松尼博士意見
，如果錯誤，是自由人的責任。9402060923）
所以，
part(df/dx)*dx + part(df/dy)*dy = 0
代表向量
[ part(df/dx), part(df/dy) ]
與向量
[ dx ,
dy ]
相垂直。
「相垂直」來自向量點積結果「 = 0」
<a name=9401a110>
上面是目標函數
f(x,y) = 2x^2 + 3y^2
下面是限制條件
g(x,y) = 0
同樣取微分
dg = part(dg/dx)*dx + part(dg/dy)*dy = 0
依據同理得到限制條件梯度向量
[part(dg/dx), part(dg/dy)]
與自變數微分向量
[dx, dy].
垂直。
<a name=9401a111>
因為
目標函數梯度向量
[ part(df/dx), part(df/dy) ]
及
限制條件梯度向量
[part(dg/dx), part(dg/dy)]
都與
與自變數微分向量
[dx, dy].
垂直。
<a name=9401a112>
必定有
目標函數梯度向量
[ part(df/dx), part(df/dy) ]
平行於
限制條件梯度向量
[part(dg/dx), part(dg/dy)]
因為
目標函數梯度向量
平行於
限制條件梯度向量
<a name=9401a113>
於是我們可以寫
[part(df/dx), part(df/dy)]
- k[part(dg/dx), part(dg/dy)]
= [0, 0]
安松尼博士指出上面的討論可以總結為﹕
寫一個朗冠吉函數 phi(x,y)
phi(x,y) = f(x,y) - kg(x,y)
其中
k是朗冠吉係數
f(x,y) 是目標函數
g(x,y) 是限制條件
對朗冠吉函數微分，令微分值等於零以解題。
94,01,30,16,40止
<a name=9401a114>
94,01,30,19,19始
安松尼博士繼續的工作是解題，解題與本文解
題步驟相似，不必重複。
自由人主要截取安松尼博士所論的
[[
目標函數梯度向量
[ part(df/dx), part(df/dy) ]
及
限制條件梯度向量
[part(dg/dx), part(dg/dy)]
都與
與自變數微分向量
[dx, dy].
垂直。
必定有
目標函數梯度向量
平行於
限制條件梯度向量
於是我們可以寫
[part(df/dx), part(df/dy)]
- k[part(dg/dx), part(dg/dy)]
= [0, 0]
]]
94,01,30,19,23止
<a name=9401a115>
94,02,01,22,05始
請讀者注意﹕下面兩個圖有根本上的差異！
<a name=9401ab03>
<a name=9401a116>
上圖二變數，ｘ１、ｘ２都是變數軸
<a name=9401ag02>
下圖單變數，ｘ軸是變數軸，ｙ軸是函數軸。
<a name=9401a117>
9401ab圖有兩個變數，目標函數值需要第三軸
，第三軸應該立出紙面，不可能，故目標函數
值投影，畫等高線。
9401ag圖有一個變數ｘ，目標函數值需要第二
軸ｙ，第二軸可以與第一軸同畫在紙面上。
9401ab圖的紅線是定義域。
9401ag圖的紅線是函數曲線。
9401ab圖及9401ag圖有此根本差異，
自由人以廣大讀者為對象，所以提出上面的說
明。
94,02,01,22,20止
=====[=]
=====[][]
=====<L>
<a name=9401a118>
94,01,29,15,08始
寫這一篇「一條令許多人昏倒的題目」（討論
朗冠吉係數），自由人的閱讀資料如下﹕
Lagrange Multipliers - 01/08/1998
I have a problem with Lagrange Multipliers
- can you help?
93,12,13,17:22:44
http://mathforum.org/library/drmath/view/51455.html
=====
<a name=9401a119>
Lagrange Multipliers and Constraints - 11/24/1998
When using the Lagrange Multiplier
method, how do you determine which
of the two equations is the constraint?
93,12,13,17:29:19
http://mathforum.org/library/drmath/view/52071.html
=====
<a name=9401a120>
93,12,14,16,29
Lagrange multipliers
http://encyclopedia.thefreedictionary.com/Lagrange+multipliers
C:\$fm\ph\Lagrange\define00.htm
93,12,14,16,35 開始閱讀
C:\$fm\ph\Lagrange\define00.htm
93,12,14,16,45 完成閱讀
=====
<a name=9401a121>
93,12,15,20:47:56
http://www.slimy.com/~steuard/tutorials/Lagrange.html
c:\$fm\ph\lagrange\define03.htm
93,12,15,21:00 開始閱讀
c:\$fm\ph\lagrange\define03.htm
93,12,15,21:27 完成閱讀
=====
<a name=9401a122>
以上是近日讀過的四份主要網路文章。
以下是近日讀過的以往課本及參考書﹕
一﹕課本
Applied Optimal Design
Mechanical and Structural Systems
Professor Edward J. Haug
Professor Jasbir S. Arora
ISBN 0-471-04170-X
John Wiley & Sons, Inc 1979
收據顯示購買日期為 1 18 82
民國七十一年一月十八日購買 $38.93
兩位作者
Professor Edward J. Haug
Professor Jasbir S. Arora
都是愛荷華大學教授，也是授課老師。
<a name=9401a123>
二、參考書
Introduction to Optimal Design
Professor Jasbir S. Arora
ISBN 0-07-002460-X
McGraw-Hill Publishing Company 1989
收據顯示購買日期為 03 29 90
民國七十九年三月二十九日購買 $40.56
=====
<a name=9401a124>
民國七十九年二月二十一日愛荷華大學工學院
寫信通知〔自由人〕通過筆試。
民國七十九年三月十七日愛荷華大學工學院寫
信通知〔自由人〕沒有通過口試。
民國七十九年三月二十九日購買參考書，已經
不可能是課本了，只是有興趣買一本參考而已
。
<a name=9401a125>
本文使用的圖片 9401ab 圖
掃描自
Introduction to Optimal Design
第114 頁， 3.13 圖
同時
Applied Optimal Design
第 50 頁， 2.7 圖
是類似圖片，比較簡單。
94,01,29,15,55止
<a name=9401a126>
94,01,29,17,30始
如果有人要翻譯自由人文章至其他語言，自由
人表示歡迎與感謝。唯一的要求是
●● 請保持內容的正確性。
這個要求有兩方面的解釋﹕
一、如果自由人論述正確，請不要錯誤翻譯。
二、如果自由人論述錯誤，請更正錯誤。
其他情況，例如，翻譯本刪除作者自由人名字
，這並不違反「保持內容的正確性」的要求，
無所謂，刪就刪吧。
（。。。已經習慣了，哎。。。9403271509）
作者及譯者的目的是為讀者服務，自由人生活
在孤立環境中，無人校對，所以，請譯者仔細
閱讀，更正所有可能的錯誤。謝謝。
自由人 中國九十四年一月二十九日
94,01,29,17,44止
<a name=9401a127>
94,02,01,09,24始
解
Ａ７２式
至
Ａ７７式
還是我來搖一搖筆桿子吧。
Ａ７３式加Ａ７５式得
λ１ ＋ λ２ ＝ ０ ……Ｘ０１式
Ａ７２式加Ａ７４式得
－２＊λ１－２＊λ２＊ｘ２ ＝ ０ ……Ｘ０２式
<a name=9401a128>
由Ｘ０１式及Ｘ０２式消去λ１得
２＊λ２－２＊λ２＊ｘ２ ＝ ０
也就是
２＊λ２＊（１－ｘ２） ＝ ０ ……Ｘ０３式
Ｘ０３式表示
λ２ ＝ ０
或者
１－ｘ２ ＝ ０
<a name=9401a129>
但是 λ２＝０ 表示第二限制式可以任意違反，
因為
朗函數＝目標函數＋朗係數＊限制公式
其中 限制公式＝０ 代表符合限制條件，現在
朗冠吉係數＝０，那麼 限制公式可以不＝０
限制公式不＝０ 代表違反限制條件！
<a name=9401a130>
λ２＝０ 表示第二限制式不存在！不合題意！
所以
拋棄 λ２＝０，採納 １－ｘ２ ＝ ０
得到
ｘ２ ＝ １ ……Ｘ０４式
由Ａ７７式得到
ｙ２ ＝ ｘ２＊ｘ２ ＝ １ ……Ｘ０５式
<a name=9401a131>
ｘ２及ｙ２已經求出，
下面求ｘ１及ｙ１。
Ａ７６式是ｘ１及ｙ１關係式，我們需要另外一個
ｘ１及ｙ１關係式。
Ａ７３式乘二加Ａ７２式，消去λ１
同時利用Ｘ０４式及Ｘ０５式，得到
２＊ｘ１＋４＊ｙ１－６ ＝ ０
所以
ｘ１＋２＊ｙ１ ＝ ３ ……Ｘ０６式
<a name=9401a132>
重寫Ａ７６式如下
２＊ｘ１－ｙ１ ＝ ３ ……Ｘ０７式
Ｘ０６式＋２＊Ｘ０７式，消去ｙ１，得到
（１＋２＊２）＊ｘ１＋０＝３＋２＊３
ｘ１ ＝ ９／５ ＝ １‧８ ……Ｘ０８式
Ｘ０８式代入Ｘ０７式消去ｘ１，得到
ｙ１＝２＊１‧８－３＝０‧６ ……Ｘ０９式
<a name=9401a133>
由Ａ７３式
λ１ ＝ －２＊（ｙ１－ｙ２）
＝ －２＊（０‧６－１）
即
λ１ ＝ ０‧８ ……Ｘ１０式
由Ｘ０１式
λ２ ＝ －λ１ ＝ －０‧８ ……Ｘ１１式
Ｘ０４式、Ｘ０５式、Ｘ０８式、Ｘ０９式、
Ｘ１０式、Ｘ１１式為山姆、尚圖論題的
朗冠吉係數法解答。
94,02,01,10,20止
<a name=9401a134>
朗冠吉生平簡介（英文）
94,02,01,17,12,48
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lagrange.html
朗冠吉照片
94,02,01,17,16,25
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Lagrange.html
一張朗冠吉照片網址
94,02,01,17,31,26
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BigPictures/Lagrange_6.jpeg
下面是本站朗冠吉照片
http://freeman2.com/Lagrange.jpg
=====
<a name=9401a135>
94,02,06,09,30始
如果有人巧辯﹕
限制式
x+y=5
移項變為
x+y-5=0
出現等於常數（零）。
那麼，極小化
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
也可以移項變為
G(x,y) - (x-1)*(x-1) - (y-2)*(y-2) = 0（錯！）
也出現等於常數（零）。如此，
不能等於常數的目標函數確實等於常數零！
<a name=9401a136>
這種巧辯是讓新手困惑的事情。
我們來比較差異
第一﹕
x+y=5
其中5 是常數，使 x、y 兩個自變數相關連，
指定x=2、y必須=3
x+y=5
從兩個自由度變為一個自由度。
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
其中 G(x,y) 不是常數，不能使 x、y 兩個自
變數相關連，全式仍然為兩個自由度。
<a name=9401a137>
第二﹕
x+y=5
中，5 不是x+y 的代符，x+y 可以等於七，
x+y 可以等於三十。
但是
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
中 G(x,y) 是 (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
的簡化代符，依據使用原則
G(x,y) 就是 (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
(x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2) 就是 G(x,y)
某甲減掉某甲它自己？！這是無意義的運算！
我們不能使用「某甲減掉某甲它自己」，因此
巧辯
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
也可以移項變為
G(x,y) - (x-1)*(x-1) - (y-2)*(y-2) = 0（錯！）
是錯誤論點！
94,02,06,09,49止
<a name=9401a138>
94,02,13,13,22始
『「不變」指ｙ的一次微變量為零』
什麼是「一次微變量」？
一個函數可以是任何形式，例如
ｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｘ＊ｘ）
ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ｐｉ）
等等。這些函數都比較不容易求值，如果我們
知道ｘ＝ａ，其中ａ是已知常數，我們可以在
ｘ＝ａ鄰域找一個多項式ｐ（ｘ），使多項式
ｐ（ｘ）與原函數ｆ（ｘ）在鄰域非常近似，
● 多項式容易計算。
<a name=9401a139>
泰勒級數ｐｎ（ｘ）與原函數ｆ（ｘ）之關係如
Ａ８１式
<a name=9401a140>
ａ是固定點
ｘ是鄰域變動值
（ｘ－ａ）是微變量 ●（ａ－ｘ）是錯誤用法●
含（ｘ－ａ）１項是一次微變量
含（ｘ－ａ）２項是二次微變量
含（ｘ－ａ）３項是三次微變量
餘類推
<a name=9401a141>
『「不變」指ｙ的一次微變量為零』
這句話是要求
在固定點ｘ＝ａ的函數一次微分值為零。
也就是我們指定在ｘ＝ａ處的
ｄｆ（ｘ）／ｄｘ＝０
為什麼要求在ｘ＝ａ處的
ｄｆ（ｘ）／ｄｘ＝０
？
反過來看，如果在ｘ＝ａ處的
ｄｆ（ｘ）／ｄｘ不＝０
那麼
函數的一次微變量
〔ｄｆ（ｘ）／ｄｘ〕＊（ｘ－ａ）
會因為ｘ小於ａ或者ｘ大於ａ而改變正負號，
<a name=9401a142>
但是！
ａ是最小值點要求
ｘ小於ａ的函數值ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）
或者
ｘ大於ａ的函數值ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）
ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）一律為正，不能改變正負
號。
ａ是最大值點要求
ｘ小於ａ的函數值ｆ（ｘ）＜ｆ（ａ）
或者
ｘ大於ａ的函數值ｆ（ｘ）＜ｆ（ａ）
ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）一律為負，不能改變正負
號。
但是（ｘ－ａ）的奇數次方會因為ｘ小於ａ或
者ｘ大於ａ而改變正負號，
解決方法是我們規定在ｘ＝ａ處的
〔ｄｆ（ｘ）／ｄｘ〕＝０
０乘（ｘ－ａ）！隨你（ｘ－ａ）去變，反正
不起作用！
<a name=9401a143>
二（偶）次微分項的情況則大不相同，因為二
（偶）次微分項有 （ｘ－ａ）＊（ｘ－ａ）
，不需要我們消滅 （ｘ－ａ）＊（ｘ－ａ）
，（ｘ－ａ）＊（ｘ－ａ）絕對不會是負值。
由在ｘ＝ａ處的
ｄ２ｆ（ｘ）／ｄｘ２
的正負號可以判別該點是
最大值〔ｄ２ｆ（ｘ）／ｄｘ２＜０〕
或者是
最小值〔ｄ２ｆ（ｘ）／ｄｘ２＞０〕
94,02,13,14,39止
<a name=9401a144>
94,02,13,14,40始
自由人的物理、化學、數學是在台北建國中學
求學時期奠定的基礎。建國中學是中華民國一
流的中學，初中部為三年，高中部為三年，許
多人都是讀三年或者讀六年，自由人在建國中
學讀五年，原因請見自由人小傳
http://freeman2.com/biogc001.htm#900214
94,02,13,14,48止
<a name=940323d>
94,03,23,09,50始
「因為 PQ 只為正數或零，不會是負數」
如果
a >= 0
b >= 0
則
a >= b
與
a*a >= b*b
是同一回事。
反之，
如果
a >0, = 0, <0
b >0, = 0, <0
則
a >= b
與
a*a >= b*b
不是同一回事。
只需要舉一個實例即可
假設
a = 1
b = -2 （注意，此處為負數）
a > b
1 > -2 為真
a*a > b*b
1*1 > (-2)*(-2) ?
+1 > +4 ?! 錯
所以當 a, b 異號時，
a >= b
與
a*a >= b*b
不是同一回事。
94,03,23,09,57止
<a name=940323e>
94,03,23,15,11始
朗冠吉係數法的精要是把限制條件公式與目標
函數組合，形成朗冠吉函數，因為所有限制條
件公式都已經納入朗冠吉函數，朗函數以外不
再有其他限制條件，根據微分的基本原則
朗冠吉函數沒有限制條件，所以朗冠吉函數的
變數互不相依，可以各別微分。
現在的問題是﹕
朗冠吉函數＝目標函數＋朗係數＊限制條件
如果用其他方法組合，有什麼利弊？例如定義
馬冠吉函數＝目標函數＊限制條件
也納入了所有限制條件公式，馬冠吉函數以外
也不再有其他限制條件。
英文字母Ｌ之後為Ｍ，此處借用Ｍ，稱為馬冠
吉函數（Ｍａｇｒａｎｇｅ），只是為了便利
討論。
<a name=940323f>
以下說明我們不能使用馬冠吉函數。
一、朗冠吉函數的物理意義與目標函數的物理
意義完全相等。
若目標函數是面積，朗冠吉函數也是面積
若目標函數是能量，朗冠吉函數也是能量
但是
馬冠吉函數的物理意義與目標函數的物理
意義完全不等。
若目標函數是面積、若限制條件是長度，
則馬冠吉函數的物理意義是體積！（面積
乘以長度）不是題目要求的目標函數面積
。基於這一個理由，我們必須棄馬取朗。
因為極小化面積與極小化體積會得到不同
答案，換言之，改變公式物理意義之後，
得不到正確答案。
<a name=940323g>
二、朗冠吉函數把目標函數與限制條件以加法
組合，構成新的函數。
在執行朗函數對朗係數偏微分之後，原有
限制條件重現，供我們解題使用。
但是，
馬冠吉函數把目標函數與限制條件以乘法
組合，構成新的函數，再也無法析出原有
限制條件公式，無法踏出第二步。
所以略加思考，我們知道還是朗冠吉函數可愛
，只有朗冠吉係數法可以解題。
94,03,23,15,47止
<a name=940323h>
94,03,23,16,03始
不等距離產生之錯覺。
民國九十四年二月八日十二點半左右，自由人
到圖書館舊書部看見一本「宇宙剖析」
Universe Explained by Colin A. Ronan
ISBN 0-8050-5031-0 page 112
該書第一一二頁有一張照片，
<a name=940323i>
下面說明這張照片的物理意義。
一個發光體的明亮程度有兩種定義，
第一是發光體自身的定義，
第二是受光體感覺的定義。
發光體自身的定義是發光體表面每個單位面積
射出的光子數，例如每平方寸射出十萬個光子
。我們稱為光度——發光的程度。
受光體感覺的定義是受光體表面每個單位面積
接受的光子數，例如每平方寸收到五百個光子
。我們稱為亮度——明亮的程度。
<a name=940323j>
發光體射出的光子以球面向四面八方擴散。假
設有一兆個光子平均分布於以發光體為中心、
一百里為半徑的球面上，半毫秒之後，這一兆
個光子到達二百里為半徑的球面上，距離乘二
，面積乘四，總光子數不變，單位面積所有的
光子數減為四分之一。換言之
距離變為甲倍
亮度變為甲乘甲分之一倍。
發光體自身的光度沒有距離因素，但是
受光體觀察的亮度含有距離因素！
<a name=940323k>
我們看天上的星星，我們評論哪個亮、哪個暗
，我們（普通人）從來沒有納入距離因素，
有可能
亮度低的星星，其光度甚強，只因為距離遙遠
變為暗淡。
有可能
亮度高的星星，其光度較弱，只因為距離較近
顯得光亮。
以上討論的重點是
<a name=940323l>
● 當我們忽略距離因素時，
● 可能會做出錯誤的判斷！
94,03,23,16,54止
<a name=940328a>
94,03,28,13,15始
上面說「光子數減為四分之一」，這是很籠統
的說法，甚至可以說是錯誤的說法。光同時具
有波動性質及具有粒子性質，上面的說法把光
視為粒子，而忽略波動性質。自由人用粒子性
質的「光子」解說，比較省事，若用波動性質
語句則為「光波強度減為四分之一」。
距離乘二，光波強度或光子數，
不論那一種說法，都是「減為四分之一」。
94,03,28,11,32得悉為「減為二分之一」！！
<a name=940328b>
九十四年三月二十八日上午閱讀 Feynman
Lectures on Physics 第二十八章「電磁輻射
」第一頁，費因曼教授說﹕
馬克思威爾(J.C. Maxwell)在研究電磁場理論
時，發覺當世的理論公式並不協調，為了獲得
完整的理論，他必須在公式中多加入一項，根
據這個新加入的公式項，得到一個令人驚異的
預測，這就是電磁場中的一部分衰退率不是四
分之一，而是二分之一。（自由人註
四分之一衰退率是強度與距離二次方成反比，
二分之一衰退率是強度與距離一次方成反比）
所以他領悟到甲地的電流可以影響遠距離以外
乙地的電荷。他預測了這種基本效應，這就是
今日我們都十分熟悉的無線電、雷達等。
以上是費因曼教授課本內容。
<a name=940328c>
強度與距離二次方成反比是自由人所熟悉的，
強度與距離一次方成反比！嗯！要好好學習！
讀者閱讀本文時，請做適當調整，
「距離變為甲倍，亮度變為甲乘甲分之一倍」
應該改為
「距離變為甲倍部分亮度變為甲乘甲分之一倍
另外部分亮度變為甲分之一倍。」
94,03,28,13,56止
<a name=940325a>
94,03,25,07,58始
94,03,25,07,46打開以前讀過的動力學課本
Classical Dynamics of particles and
systems. second edition, Jerry B, Marion
Academic Press ISBN 0-12-472252-0 page 191
購買日期六十九年八月二十九日 $22.02
第一九一頁底有朗冠吉係數法的問世日期﹕
The function lambda(x) is known as Lagrange
undetermined multiplier, and was introduced
in Lagrange's Mechanique Analytique 1788
係數 lambda(x)稱為朗冠吉未定乘數，出現於
一七八八年朗冠吉出版的「解析力學」。
94,03,25,08,10止
<a name=940325b>
94,03,25,09,21始
按照英文語句，應該翻譯為「朗冠吉乘數」，
但是，在論述中說「乘以朗乘數」比較繞口，
若稱「乘以朗係數」比較順口。另一方面，乘
數與係數是同一回事，所以，自由人論述使用
「朗冠吉係數」。
94,03,25,09,25止
<a name=940325c>
94,03,25,15,36始
使用朗冠吉係數法容易犯錯的一步
是在納入限制條件公式時忽略常數項。
說明如下。
本文的重要關鍵有三點
● 因為限制條件「等於零」才能還原限制條件
● 極小化問題列式之判別規則
● 為什麼朗冠吉函數所有變數不相依？
<a name=940325d>
自由人思考獲得答案的時間順序如下
● 極小化問題列式之判別規則
在十五年至二十年前思考時獲得答案。
● 為什麼朗冠吉函數所有變數不相依？
在九十三年十二月十三日開始注意朗冠吉係數
法之後獲得答案。
（這個問題也是驅使自由人思考朗冠吉係數法
的動力。9403271514）
● 因為限制條件「等於零」才能還原限制條件
在九十四年二月二日想通。
94,02,02,18,54閱讀網路朗冠吉係數文章
94,02,02,19,05發覺他的導證步驟忽略了限制
條件公式的常數項，在朗函數對朗係數微分時
不能還原限制條件公式！由此領悟到為什麼
朗冠吉係數法規則中有「限制條件公式移項改
為等於零……」。
<a name=940325e>
如果拋棄限制式的常數 ●錯誤步驟●
朗函數對朗係數微分時不能重獲原有常數！
限制條件公式的常數項對目標函數的變數微分
都變為零，因此，有些人以為限制式的常數項
可以忽略。例如
L(x,y,λ) = x*x+y*y + λ*(x+y-2)
dL()/dx 時 -2 變為零。
（因為 -2 沒有乘 x， x來自…/dx）
但是！
在朗函數對朗係數微分時，限制式的常數不為
零！例如
L(x,y,λ) = x*x+y*y + λ*(x+y-2)
dL()/dλ 時，結果為(x+y-2)常數 -2 保留。
（因為 -2 有乘λ，λ來自…/dλ）
如果我們丟掉常數，後面的步驟不能還原限制
條件公式。
<a name=940325f>
朗冠吉係數法規則為「限制條件公式移項改為
等於零……」，
重點是常數保留、移項，可以一步完成解題，
而不是常數拋棄、再抄。
使用朗冠吉係數法容易累贅的一步
是在納入限制條件公式時忽略常數項，然後，
在解題時，再把原題的限制條件公式搬過來，
丟掉的常數也一並搬過來（因為微分步驟不能
還原），
這種丟掉再抄的方法是兩步解題法。
只要讀者了解朗冠吉係數法的基本原理，讀者
應該同意在運算過程中保留限制式的常數項。
=====
<a name=940325g>
下面是自由人工作時間記錄，顯示
『第三、限制條件全部調整為「等於零」』
是後來加入的資料。
[[
94,01,22,11,45始
第一
因為不等於零的限制式在移項之後變為等於零
第二
如果限制條件全部調整為等於零，那麼，
朗冠吉函數的值與目標函數的值相等。
94,02,02,19,06加入始
第三
限制條件全部調整為「等於零」可以還原限制
條件。
94,02,02,19,39加入止
94,01,22,12,48止
]]
94,03,25,16,42止
<a name=940329a>
94,03,29,13,33始
時間與長度可以相加嗎？
九十四年三月二十九日上午閱讀 Feynman
Lectures on Physics 第二十九章「（光波的
）干擾」第三頁中間有一個數學項
ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）
ｔ是時間，ｘ是長度。
由此想起一個（對初學者的）問題
時間與長度可以相加嗎？
答案是﹕不可以相加。（但是可以相乘）
不同的物理量不能相加。然而我們可以在偶然
的機會看見時間項與長度項相加！為什麼？
答案是﹕雖然時間與長度不可以相加，但是，
● 純數與純數可以相加（減）。
三角函數ｃｏｓ（）的輸入值ωｔ－ｋｘ必須
是純數，輸出值必須是純數。
ｔ是時間，在除以特徵時間ｔ0之後
ｔ／ｔ0是純數
特徵時間ｔ0是每周期所需時間。
ｘ是長度，在除以特徵長度ｘ0之後
ｘ／ｘ0是純數
特徵長度ｘ0是每周期所行距離。
純數與純數可以相加（減）
ｔ及ｘ都是變數，
ｔ0及ｘ0都是常數。
上面的數學項ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）
ω＝２π／ｔ0
ｋ＝２π／ｘ0
弧度的定義是弧長除以半徑，即長度除以長度，
所以，弧度是純數。
ω是角速度，即每秒鐘轉動的弧度，一周＝２π
弧度。
ω是弧度／秒
ωｔ是（弧度／秒）＊秒＝弧度，弧度是純數。
ｋ是每尺的弧度數，一個整波繞２π弧度一次。
ｋ是弧度／尺
ｋｘ是（弧度／尺）＊尺＝弧度，弧度是純數。
純數與純數可以相加（減），因此
ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）
同時含有純數時間與純數長度是合理的表示法。
這個分析主要是為新學者提供參考。
94,03,29,14,35止
<a name=9606260443a>
96,06,26,04,43始
前面談到
[[
● 因為朗冠吉係數法解題時有一步為令
● 朗冠吉函數對朗冠吉係數微分＝０，
● 唯有限制條件全部調整為「等於零」
● ，然後拋棄「等於零」，把剩餘部分
● 乘以朗冠吉係數，再納入朗冠吉函數
● ，等候在微分過程中，限制條件獲取
● 一個「等於零」，如此才可能還原限
● 制條件。
]]
現在問題是為什麼要拋棄限制條件式的「等於零」部份？
這個問題沒有直接討論，但是有間接說明，以下直接討論
為什麼要拋棄限制條件式的「等於零」部份？
<a name=9606260443b>
目標函數必須不能等於常數，才能在變動值中找到最小值
（或者找到最大值）
限制條件式必須等於常數，才能減少一個自由度。
這兩個要求是相反的。
朗冠吉係數法的特點是建立一個朗冠吉函數，
此朗冠吉函數沒有任何限制條件式，
我們才能根據微積分基本定理對朗函數各個變數微分，直
接令微分結果等於零（因為朗函數沒有限制條件公式）。
（相比於原有目標函數，微分之後的結果不能令為零，因為
原有目標函數有限制公式）
<a name=9606260443c>
朗冠吉函數是目標函數，是變動值，不能等於常數，
原有目標函數，本來就是變動值 （不能等於常數），
但是原有限制條件公式等於常數零，
變動值的目標函數加任何常數（加等於零的限制條件公式），
在微分之後，常數部份都變為零，所以，
加任何常數，對變動值的目標函數都沒有影響。
因為朗函數有微分就可以令為零的完美性質，所以我們要
根據原有目標函數及原有限制條件公式建立朗冠吉函數，
<a name=9606260443d>
為了使限制條件公式對目標函數有影響，及
為了適應目標函數不等於常數的要求，
我們拋棄限制條件公式等於零的「等於零」部份，剩下的
「限制條件公式」不等於常數，吻合目標函數之要求。
乘以朗係數之後，加入原有目標函數，構成新的目標函數
<a name=9606260443e>
朗冠吉函數
＝原有目標函數＋朗係數１＊限制條件１＋朗係數２＊限制條件２
多個限制條件式之處理方法一樣，各個限制公式使用不同
的朗係數即可。
<a name=9606260443f>
這種方法形成的朗冠吉函數沒有其他相關公式，也就是沒 //重點
有限制公式，這個性質（沒有限制公式）是我們的目標， //重點
這個性質使朗函數有微分就可以令為零的完美性質。 //重點
<a name=9606260443g>
我們拋棄了「等於零」部份，並沒有改變題目，因為，最
後在對朗冠吉函的朗係數微分時，重新獲得「等於零」，
限制公式得以還原，題目不變。換言之，在解答點的那一
點，不偏不倚，剛好滿足去零的「限制公式」部份又等於
零。
以上是拋棄等於零的理由。
96,06,26,05,21止
<a name=9607080913>
96,07,08,09,13始
前面說
目標函數加零不改變目標函數的值 //這是不恰當的論點，
雖然「目標函數加零不改變目標函數的值」確實為真
但是，目標函數加零或者目標函數加任何非零常數都
不是討論中心，為何不討論「目標函數加非零常數」？
變動的目標函數加常數有什麼問題？請看下面說明。
當求函數最小值（或最大值）時，最小值表現於 y 軸，答案出
現於 x 軸。原曲線（紅曲線）加常數一向上平移至藍曲線，對
於在 x 軸上的答案沒有影響。討論朗冠吉係數法時，如果原
有目標函數加等於常數（零）的限制條件，我們預知不改變答案
，所以目標函數加常數沒有意義。如果限制條件公式拋棄等於
常數（零）部份，此時變動值限制公式與變動值原有目標函數相
加才有意義。本圖是示意圖，只有一個自變數，無所謂限制式。
「有意義」指能夠找最小值。反之，
一條常數水平直線找什麼最小值呢？處處等值！
需要至少兩個自變數，才能應用限制公式，將兩個自變數減為
一個自變數，但是，兩個自變數加上函數值是三個變數，需要
立體圖形才能表達。（所以上圖平面曲線只是示意圖）
96,07,08,10,42止
<a name=9607100007a>
96,07,10,00,07始
上面說「目標函數加任何非零常數都不是討論中心，
目標函數加常數一向上平移至藍曲線，對於在 x 軸上的答案
沒有影響。」
還有一個問題需要討論，這就是常數，包括目標函數的常數
及限制條件的常數。
假設目標函數為（此式構成三度空間的一個曲面）
w(x,y)= x*x + y*y - 5
假設限制公式為
f(x,y)= x*y - 1 = 0
<a name=9607100007b>
目標函數有常數 -5，限制公式有常數 -1。
這兩個常數對答案都沒有影響嗎？（二者皆可拋？）錯！
這兩個常數其中一個對答案有影響嗎？（另者可拋？）
這兩個常數都對答案有影響嗎？（二者皆不可拋？）討論
（有部份人在微分之前，先行拋棄常數項，需要在此討論）
這裏有兩個自變數 x, y 所以，目標函數的自由度原本為
兩度，這句話的意思是說
x值可以隨意變動， y值不受牽連，及
y值可以隨意變動， x值不受牽連。
但是，限制公式的出現，使 x, y 互相牽制。於是目標函數
的自由度由二減一，變為一個自由度。
<a name=9607100007c>
請注意﹕
w(x,y) 是變動值，所以目標函數可以找最小值。但是
f(x,y) 是固定值零。f(x,y) 必須要等於常數，才能夠
構成一個限制公式，才能減少一個自由度。
<a name=9607100007d>
朗冠吉函數之構成如下
L(x,y) = w(x,y) + lambda * f(x,y)
= x*x + y*y - 5 + lambda * (x*y - 1)
朗冠吉函數溶合了原有目標函數及限制條件公式，
朗冠吉函數除了它自身之外，沒有其他相關公式，
所以朗冠吉函數對自變數微分，可以直接令為零。
<a name=9607100007e>
問題的答案是
目標函數常數 -5，（任何其他常數一樣）可以拋棄，
限制公式常數 -1，（任何其他常數一樣）不能拋棄。
<a name=9607100007f>
朗冠吉函數對朗冠吉係數 lambda 微分令為零
必須重新獲得原有限制條件公式，否則題意改變。
為這個理由，限制公式常數不能丟。
（把 -1 丟掉，那就變成另外一個題目了）
所以，
原有目標函數常數 -5 可以拋棄，
原有限制公式常數 -1 不能拋棄。
若原有目標函數常數及原有限制公式常數都不拋棄，
肯定不會出錯！（對常數微分，自然得零，不必先丟）
96,07,10,00,47止
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93,12,04,20,31始
本卷卷名
http://freeman2.com/tutc0001.htm
tut 表示自修、家教 (TUTor)
c 表示中文 (Chinese)
所有圖畫卷
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t 表示自修、家教 (Tutor)
c 表示中文 (Chinese)
9312 九十三年十二月
a1 圖片序號
93,12,04,20,37止
自修網頁目錄
http://freeman2.com/tutindex.htm
自修網頁第一頁，朗冠吉係數法解限制條件極小化問題。
http://freeman2.com/tutc0001.htm
自修網頁第二頁，球體大圓、小圓通式。
http://freeman2.com/tutc0002.htm
自修網頁第三頁，立體幾何，納皮爾規則 Napier's Rule
http://freeman2.com/tutc0003.htm
本頁建立於中國九十三年十二月四日
本頁網址為
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