维纳1863 年提出布朗运动起源于分子的振动，微粒速度与粒度关系, 他的微粒的位移模型不是现代的模型,不是微粒的振动

1923年，诺伯特‧维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。如稳定的Levy分布。如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。 



维纳􁈺1826—1896􁈻1863 年提出布朗运动起源于分子的振动，
还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子
模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是
振动


由Bogolyubov􁈺1946􁈻，Born 和 Green􁈺1949􁈻，Kirkwood􁈺1946􁈻 以
及Yvon􁈺1935􁈻几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。

附录A：Brown 运动
1827 年，苏格兰植物学家R􀵉布朗发现水中的花粉及其它悬浮
的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。布朗运
动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运
动的无规则性，关于它的理论在其他许多领域也有重要应用，如
对测量仪表测量精度限度的研究，对高倍放大的电讯电路中背景
噪声的研究等。 布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的
基础。
一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起
的，维纳􁈺1826—1896􁈻1863 年提出布朗运动起源于分子的振动，
还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子
模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是
振动。 在维纳之后，S􀵉埃克斯纳也测定了微粒的移动速度。他提
出布朗运动是由于微观范围的流动造成的，他没有说明这种流动
的根源，但他看到在加热和光照使液体粘度降低时，微粒的运动
加剧了。就这样，维纳和S􀵉埃克斯纳都把布朗运动归结为物系自
身的性质。这一时期还有康托尼，他试图在热力理论的基础上解
释布朗运动，认为微粒可以看成是巨大分子，它们与液体介质处
于热平衡，它们与液体的相对运动起源于渗透作用和它们与周围
液体之间的相互作用。
到了19 世纪70—80 年代，一些学者明确地把布朗运动归结

为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯
瑞昂，还有耐格里。植物学家耐格里􁈺1879􁈻从真菌、细菌等通过
空气传播的现象，认为这些微粒即使在静止的空气中也可以不沉。
联系到物理学中气体分子以很高速度向各方向运动的结论，他推
测在阳光下看到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向撞击的结果。
他说：“这些微小尘埃就象弹性球一样被掷来掷去，结果如同分子
本身一样能保持长久的悬浮。”不过耐格里又放弃了这一可能达到
正确解释的途径，他计算了单个气体分子和尘埃微粒发生弹性碰
撞时微粒的速度，结果要比实际观察到的小许多数量级，于是他
认为由于气体分子运动的无规则性，它们共同作用的结果不能使
微粒达到观察速度值，而在液体中则由于介质和微粒的摩擦阻力
和分子间的粘附力，分子运动的设想不能成为合适的解释。
1900 年是布朗运动研究的重要分界线。1905 年，爱因斯坦
依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论。就在差不多同时，
斯莫卢霍夫斯基也作出了同样的成果。他们的理论圆满地回答了
布朗运动的本质问题。 爱因斯坦在论文中指出，他的目的是“要
找到能证实确实存在有一定大小的原子的最有说服力的事实。”他
说：“按照热的分子运动论，由于热的分子运动，大小可以用显微
镜看见的物体悬浮在液体中，必定会发生其大小可以用显微镜容
易观测到的运动。可能这里所讨论的运动就是所谓‘布朗分子运
动’”。他认为只要能实际观测到这种运动和预期的规律性，“精确
测定原子的实际大小就成为可能了”。“反之，要是关于这种运动


的预言证明是不正确的，那么就提供了一个有份量的证据来反对
热分子运动观”。
爱因斯坦的成果大体上可分两方面。一是根据分子热运动原
理推导：在t 时间里，微粒在某一方向上位移的统计平均值，即
方均根值，D 是微粒的扩散系数。这一公式是看来毫无规则的布
朗运动服从分子热运动规律的必然结果。 第二个方面是对于球形
微粒，推导出了可以求算阿式中的η 是介质粘度，a 是微粒半径，
R 是气体常数，NA 为阿伏加德罗常数。 爱因斯坦的理论成果为
证实分子的真实性找到了一种方法，同时也圆满地阐明了布朗运
动的根源及其规律性。
本世纪初在研究布朗运动方面一个重大的实验进展是1902
年齐格蒙第􁈺1865—1929􁈻发明了超显微镜，用它可直接看到和测

定胶体粒子的布朗运动，这也就是证实了胶体粒子的真实性，为
此，齐格蒙第曾获1925 年诺贝尔化学奖。斯维德伯格测定布朗运
动就是用超显微镜进行的。 贝兰差不多同时，斯维德伯格􁈺1907􁈻
用超显微镜观测金溶胶的布朗运动，在测定阿伏加德罗常数和验
证爱因斯坦理论上也作出了出色的工作。可以说他们是最先称得
原子质量的人，所以在1926 年，贝兰和斯维德伯格分别获得了诺
贝尔物理学奖和化学奖

碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到􀟠~􀟠 􀵅 􀝀􀟠单位立体角内的几率


在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。

Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度􀜞的粒子在时间Δ􀝐内速度获得速度增量Δ􀜞的几
率为􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯，称为转移几率
􀶱 d􁈺Δ􀜞􁈻􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
􀵌 1
其中􀜞，Δ􀜞是独立变量，假定转移几率􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。

§3 BBGKY 理论
前面的碰撞算子都有一系列严格的限制，如两体碰撞，碰撞前后
粒子作自由（匀速直线）运动等等。实际情况中，等离子体存在外磁
场，电场，电磁场，普遍存在湍动的自洽波场，都会影响碰撞前后带
电粒子的运动，增加关联，从而增大碰撞的频率，并是的碰撞频率成
为外场和湍动强度的函数。不但如此，粒子密度很大时，离子间存在
强耦合，碰撞往往是多体的。BBGKY 级次理论（hierarchy theory）

由Bogolyubov􁈺1946􁈻，Born 和 Green􁈺1949􁈻，Kirkwood􁈺1946􁈻 以
及Yvon􁈺1935􁈻几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。
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动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子. 体的Fokker－Planck 微分碰撞算子，适用于弱电离等离子体的. Boltzmann 积分碰撞算子 ...


等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为􀝉􀰈，􀝉􀰉的粒子受到相互向心力􀛴􀰈􀰉􁈺􀝎􁈻作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为􀜞􀰈，􀜞􀰉，相对速度为􀜝 􀵌 􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉；
位置􀜚􀰈，􀜚􀰉，相对位移是􀜚 􀵌 􀜚􀰈 􀵆 􀜚􀰉。碰撞后，粒子的速度分别为
􀜞􀰈 􁇱
，􀜞􀰉 􁇱 ，相对速度为􀜝􁇱 􀵌 􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
。粒子的运动方程为


等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为􀝉􀰈，􀝉􀰉的粒子受到相互向心力􀛴􀰈􀰉􁈺􀝎􁈻作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为􀜞􀰈，􀜞􀰉，相对速度为􀜝 􀵌 􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉；
位置􀜚􀰈，􀜚􀰉，相对位移是􀜚 􀵌 􀜚􀰈 􀵆 􀜚􀰉。碰撞后，粒子的速度分别为
􀜞􀰈 􁇱
，􀜞􀰉 􁇱 ，相对速度为􀜝􁇱 􀵌 􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
。粒子的运动方程为



1.2 Coulomb 碰撞
在质心坐标系中，一个􀝉􀯍，电荷􀝍􀯍，以速度􀜞􀬴射向固定的另一
个电荷􀝍􀮿粒子，瞄准距离为􀜾（也称为碰撞参量），受到有心力场
􀛴􁈺􀝎􁈻 􀵌 􀝍􀯍􀗏􀟶􁈺􀝎􁈻
的作用而发生偏转，偏转角为􀟠，速度为􀜞􁇱。其中􀟶􁈺􀝎􁈻为相互作用位
势，特别地带电粒子之间的Coulomb 位势
􀟶􁈺􀝎􁈻 􀵌
1
4􀟨􀟝􀬴
􀝍􀮿
􀝎
取
1
􀟤
􀵌
1
􀝉􀯍
􀵅
1
􀝉􀮿
现在计算􀝍􀯍粒子的偏转角􀟠与碰撞参量􀜾之间的关系。在固定力
心的有心力场中，粒子运动保持机械能守恒
􀟠
􀝉􀮿
􀝉􀯍
􀜾
􀝉􀯍
􀝕
􀟠
􀝔
图(a) 实验室坐标 (b) 质心坐标系

7
1 􀵆
􀟶􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻
􀜹
􀵆
􀜾􀬶
􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻􀬶 ＝0
因此偏转角
􀟠 􀵌 􀟨 􀵆 2􀟮􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻 􀵌 􀟨 􀵆 2 􀶱
􀜾d􀝎
􀝎􀬶􀶧1 􀵆 􀟶􁈺􀝎􁈻
􀜹 􀵆 􀜾􀬶
􀝎􀬶
􀮶
􀯥􀳘􀳔􀳙
对于Coulomb 位势而言
􀝎􀯠􀯜􀯡 􀵌
􀜾􀬶
􀶧􀜾􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
其中
􀜾􀰗/􀬶 􀵌
􀝍􀯍􀝍􀮿
4􀟨􀟝􀬴􀟤􀝒􀬴
􀬶
因此
􀟮􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻 􀵌
􀟨
2
􀵆 arcsin
􀜾􀬴
􀶧􀜾􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
􀬶
得到Coulomb 散射公式
sin 􀵬
􀟠
2
􀵰 􀵌
􀜾􀬴
􀶧􀜾􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
􀬶
或者
tan 􀵬
􀟠
2
􀵰 􀵌
􀜾􀰗/􀬶
􀜾
􀵌
􀝍􀯍􀝍􀮿
4􀟨􀟝􀬴􀜾􀟤􀝒􀬴
􀬶
当􀜾 􀵌 􀜾􀰗/􀬶时，􀟠 􀵌 􀟨/2，􀜾􀬴是偏转角为􀟨/2的碰撞参量；当􀜾 􀵏 􀜾􀰗/􀬶时，
􀟠 􀵏 􀟨/2，为大角度碰撞，称为近碰撞；当������ 􀵐 􀜾􀰗/􀬶时，􀟠 􀵐 􀟨/2，为
小角度碰撞，称为远碰撞。

瞄准距离在􀜾~􀜾 􀵅 d􀜾为半径的环形面积内的检验粒子，即通过以
􀜾 􀵅 d􀜾为外半径，􀜾为内半径的环形面积2􀟨􀜾d􀜾的􀟙粒子，必定散射到
角度在􀟠~􀟠 􀵅 d􀟠间的空心圆锥体内。从空间几何知，空心圆锥体的
立体角为
d􀟗 􀵌
d􀜵
􀝎􀬶 ＝
2􀟨􀝎 sin 􀟠 􀝎d􀟠
􀝎􀬶 􀵌 2􀟨 sin 􀟠 d􀟠
单位时间内面积强度􀜫 的粒子束被散射到立体角d􀟗 的几率为
􀟪􁈺􀟠􁈻􀝀􀟗 􀵌 2􀟨􀜾d􀜾，因此
􀟪􁈺􀟠􁈻 􀵌
2􀟨􀜾d􀜾
􀝀􀟗
􀵌
􀜾
sin 􀟠
􀸬
d􀜾
d􀟠
􀸬
其中􀟪􁈺􀟠􁈻称为碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到􀟠~􀟠 􀵅 􀝀􀟠单位立体角内的几率。根据Coulomb 散射公
式
d􀜾
d􀟠
􀵌 􀵆
􀜾􀰗/􀬶
2
1
sin􀬶􁈺􀟠/2􁈻
􀵏 0

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动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子. 体的Fokker－Planck 微分碰撞算子，适用于弱电离等离子体的. Boltzmann 积分碰撞算子 ...

引起􀟙粒子进入􀵫􀜞􀰈，􀜞􀰈 􀵅 d􀜞􀰉􀵯速度区间的粒子数，即􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增
加率

􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯������|􀜝|􀟪􀵫|􀜝|，􀟠􀵯d􀟗d􀜞􀰉
􀰉
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
􀟲􀝂
􀟲􀝐
􀵅 􀜞 · 􀪸􀝂 􀵅
􀛴
􀝉
·
􀟲􀝂
􀟲􀜞
＝ 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈
􁇱􀝂􀰉
􁇱 􀵆 􀝂􀰈􀝂􀰉􀵧|􀜝|􀟪􀵫|􀜝|，􀟠􀵯d􀟗d􀜞􀰉
􀰉
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
􀝂􀰈
􁇱 􀵌 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻，􀝂􀰉
􁇱 􀵌 􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯，􀝂􀰈 􀵌 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻，􀝂􀰉 􀵌 􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程，最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中，实际上含有如下假设：
所有碰撞都是二体碰撞，相互作用长度远远小于􀝂􀰈发生显著变化的尺
度；碰撞时间远远小于􀝂􀰈发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立


。因为正反过程完全对称，所以􀜾􁇱d􀜾􁇱d􀟮􁇱 􀵌 􀜾d􀜾d􀟮，对于弹性碰
撞，􀸫􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
􀸫 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫 􀵌 |􀜝|，而且变换的Jacobi 行列式
􀟲􀵫􀜞􀰈 􁇱
，􀜞􀰉 􁇱
􀵯
􀟲􀵫􀜞􀰈，􀜞􀰉􀵯
􀵌 1
则有
d􀜞􀰈 􁇱
d􀜞􀰉 􁇱
􀵌 d􀜞􀰈d􀜞􀰉
因此得􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
d􀜞􀰈 􀵌 􀶱 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰈d􀜞􀰉
碰撞引起的粒子净增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
􀵆 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭭􀭳􀭲
将对􀟚求和以考虑各种粒子的贡献
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯􀵧|􀜝|􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰉
􀰉
利用微分截面定义
􀜾d􀜾d􀟮 􀵌 􀟪􀵫|􀢛|，􀟠􀵯d􀟗
则碰撞算子改写为


。因为正反过程完全对称，所以􀜾􁇱d􀜾􁇱d􀟮􁇱 􀵌 􀜾d􀜾d􀟮，对于弹性碰
撞，􀸫􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
􀸫 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫 􀵌 |􀜝|，而且变换的Jacobi 行列式
􀟲􀵫􀜞􀰈 􁇱
，􀜞􀰉 􁇱
􀵯
􀟲􀵫􀜞􀰈，􀜞􀰉􀵯
􀵌 1
则有
d􀜞􀰈 􁇱
d􀜞􀰉 􁇱
􀵌 d􀜞􀰈d􀜞􀰉
因此得􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
d􀜞􀰈 􀵌 􀶱 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰈d􀜞􀰉
碰撞引起的粒子净增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
􀵆 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭭􀭳􀭲
将对􀟚求和以考虑各种粒子的贡献
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯􀵧|􀜝|􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰉
􀰉
利用微分截面定义
􀜾d􀜾d􀟮 􀵌 􀟪􀵫|􀢛|，􀟠􀵯d􀟗
则碰撞算子改写为



2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发，Landau􁈺1936􁈻将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面，由于等离子体中远碰撞（小角度偏转）占
主要地位，每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ􀜞􀰈，Δ􀜞􀰉都很小，因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ􀜞􀰈，Δ􀜞􀰉展开，保
留到二阶小量，就得到Landau 碰撞项，相应的动理学方程称为
Landau 方程


2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞，而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用，粒子间的碰撞大都
是小角度散射，每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用，大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果，Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展，Rosenbluth 等（1957）研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量
Δ􀜞都很小，|Δ􀜞| 􀘧 |􀜞|，可以把Δ􀜞视为小量，对Brown 粒子的分布函

数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度􀜞的粒子在时间Δ􀝐内速度获得速度增量Δ􀜞的几
率为􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯，称为转移几率
􀶱 d􁈺Δ􀜞􁈻􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
􀵌 1
其中􀜞，Δ􀜞是独立变量，假定转移几率􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。


运用归一化条件，可以把第一项与等式左边抵消，且注意到分布函数
􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯与Δ􀜞无关，可以提出到积分号外面
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵌
􀟲
􀟲􀜞
􁉊􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯 􁉈
1
Δ􀝐
􀶱 d􁈺Δ􀢜􁈻
􀮶
􀬿􀮶
Δ􀜞 · 􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯􁉉􁉋
􀵅
1
2
􀟲􀬶
􀟲􀜞􀟲􀜞
: 􁉊􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯 􁉈
1
Δ􀝐
������ d􁈺Δ􀢜􁈻
􀮶
􀬿􀮶
Δ􀜞Δ􀜞 􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯􁉉 􀵅 􀚮 􁉋
定义动摩擦矢量
􀵼
Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌
1
Δ􀝐
􀶱 Δ􀜞􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
d􀬷􁈺Δ􀜞􁈻
和扩散张量
􀵼
Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌
1
Δ􀝐
􀶱 Δ􀜞Δ􀜞􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯d􀬷􁈺Δ􀜞􁈻
􀮶
􀬿􀮶
保留二阶小量，得到Fokker‐Planck 碰撞算子
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵌 􀵆􀪸􀜞 · 􀵤􀵼
Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯􀵨 􀵅
1
2
􀪸􀜞􀪸􀜞 􀗷 􀵤􀵼
Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯􀵨
其中，第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化，称为动摩擦项；第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来，称为
扩散项。
设速度为􀜞􀰈分布函数为􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻的􀟙粒子与速度为􀜞􀰉分布函数为
􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯的􀟚粒子相碰撞，相对速度为􀜝 􀵌 􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉；第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
􀟪􀵫􀝑，􀟠􀵯d􀟗 􀵌 􀟪􀵫􀝑，􀟠􀵯 sin 􀟠 d􀟠d􀟶
其中􀟪􀵫􀝑，􀟠􀵯为散射微分截面，􀝑 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫。现有一个分布为􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻
的粒子在单位时间内与一群在􀜞􀰉~􀜞􀰉 􀵅 d􀜞􀰉的分布为􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯的粒子相

称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
􀟲
􀟲􀜞􀰈
􀵬
1
􀝑
􀵰 􀵌 􀵆
􀜝
􀝑􀬷 ，
􀟲􀬶􀝑
􀟲􀜞􀰈􀟲􀜞􀰈
􀵌
􀝑􀬶􀛷 􀴿
􀵆 􀜝􀜝
􀝑􀬷
则有结果
􀵼
Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌 􀟁􀰈
􀟲􀜪􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈
， 􀵼
Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌 􀟁􀰈
􀟲􀬶􀜩􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈􀟲􀜞􀰈
用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀟁􀰈 􁉊􀵆
􀟲
􀟲􀜞􀰈
· 􁉈􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜪􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈
􁉉 􀵅
1
2
􀟲􀬶
􀟲􀜞􀟲􀜞
􀗷 􁉈􀝂 􀰈
􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀬶􀜩􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈􀟲􀜞􀰈
􁉉􁉋
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价，Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断，如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献，也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。

由Bogolyubov􁈺1946􁈻，Born 和 Green􁈺1949􁈻，Kirkwood􁈺1946􁈻 以
及Yvon􁈺1935􁈻几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法




金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )

　　1 布朗运动及其在金融市场的应用

　　1.1 布朗运动与EMH

　　布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征。其轨迹处处没有切线；粒子移动互不相关。

　　原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特‧维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。如稳定的Levy分布。如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。

　　1.2 布朗运动在金融市场的应用

　　将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的里程碑，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场大部分力量是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性和最大的力量，是股票市场的常态。

　　1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定价理论(APT)。

　　布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。

　　2 分数布朗运动与分形资本市场

　　2.1 分数布朗运动

　　世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿，而现实宇宙充满了分形。在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律。因此被称为1/f族随机过程。Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。其定义如下：

　　设0<H<1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程，且 ，协方差为 。H=1/2时， 即为标准布朗运动 。

　　分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的，分数布朗运动（分形噪声）的分维值alpha等于1/H，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。

　　Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:

　　R/S=(aN)H

　　通过对上式取对数，可得：

　　log(R/S)=H(logN十loga)

　　只要找出R/S关于N的log/log图的斜率，就可以来估计H的值。 Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。当0.5<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0<H<0.5时，序列是反持续性的。可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。

　　2.1 分形资本市场

　　自然界不是一个重复模式的序列，它的特点是局部的随机性和全局的秩序。每一个存在于实际生活中的分形都是在细节上不同而在整体概念上类似的。现实世界中的分形与全局由统计结构所控制，同时又保持局部的随机性。而实际上，大多数人在接到信息时并不马上做出决策，他们会等着确认信息，且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。这样，因证实一个趋势所需的确认信息的时间不同，对于学习的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游动。曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动。这也就是说，金融市场服从分数布朗运动，有效市场理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形。分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似。彼得斯(Peters)就利用上述方法，在《资本市场的混沌与秩序》中证明了资本市场是分形市场。事实上，证券市场中收益率明显存在自相似性：日、周和月收益率图形根本难以区分。另外，他还用相关维方法分析了美国、英国和日本的股票市场指数的分形特征，发现美、英、德的股票市场指数分形维都在2与3之间，这意味着对于经济学系统的股票系统可以用三个变量来建立动力学模型。最后他得出结论：大多数资本市场价格走势实际上是一个分形时间序列，分形时间序列是以长期记忆过程为特征的，它们有循环和趋势双重特征。信息并没有像EMH所描述的那样会立即被反映在价格中。所以将趋势和随机运动两者联系起来会使我们进入一个全新的领域。

　　Edgar E·Peters(1996)提出了分形市场假说（Fractal Market Hypothesis , FMH）。分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环(Nonpelriodic Cycles)，证明资本市场是非线性系统。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为0.661和0.643，周期为195天；徐绪松等 (2004) 指出稳定的Levy分布作为R/S分析的理论基础有重大缺陷，分析了分数布朗运动与R/S分析在含义和逻辑上的紧密联系，提出了分数布朗运动是R/S分析的理论基础的观点。

　　分形理论藉助定量参数分维数来描述系统的分形特征，揭示隐藏在复杂现象背后的规律，以及局部与整体之间的本质联系。静态分维数在计算中没有引入时间因素，如Hausdrff维数、合维数、信息维数等，均为系统中某一常数。动态分维数（都兴富，1994）则是在考虑随时间而变化的基础上计算普通函数和迭代函数的分维数。运用动态分维数可以对股票期货价格行为的临界点（转捩点）进行辨识且效果较好。如侯晓鸿和李一智等(1999) 首次应用分形理论的动态分维数研究期货价格行为，对期货价格曲线上峰和谷点进行了辨识，进而判别期价的走势和预测反转。我们应用动态分维数建立了不动点（转捩点）的非线性动态规划模型（见本专题文章“基于鞅与不动点的非线性动态规划投机原理”）。

　　结语

　　广义的布朗运动是研究和发展数理金融学的基石。布朗运动的理论构筑了金融经济学（数理金融学）的完整体系，而分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机，使金融经济学研究向一个崭新的领域——分形维数理金融学拓展