碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率
在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
§3 BBGKY 理论
前面的碰撞算子都有一系列严格的限制，如两体碰撞，碰撞前后
粒子作自由（匀速直线）运动等等。实际情况中，等离子体存在外磁
场，电场，电磁场，普遍存在湍动的自洽波场，都会影响碰撞前后带
电粒子的运动，增加关联，从而增大碰撞的频率，并是的碰撞频率成
为外场和湍动强度的函数。不但如此，粒子密度很大时，离子间存在
强耦合，碰撞往往是多体的。BBGKY 级次理论（hierarchy theory）
由Bogolyubov1946，Born 和 Green1949，Kirkwood1946 以
及Yvon1935几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。
[PDF]等离子体物理学讲义
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
1.2 Coulomb 碰撞
在质心坐标系中，一个，电荷，以速度射向固定的另一
个电荷粒子，瞄准距离为（也称为碰撞参量），受到有心力场
的作用而发生偏转，偏转角为，速度为。其中为相互作用位
势，特别地带电粒子之间的Coulomb 位势
1
4
取
1
1
1
现在计算粒子的偏转角与碰撞参量之间的关系。在固定力
心的有心力场中，粒子运动保持机械能守恒
图(a) 实验室坐标 (b) 质心坐标系
7
1
＝0
因此偏转角
2 2
d
1
对于Coulomb 位势而言
/
/
其中
/
4
因此
2
arcsin
/
得到Coulomb 散射公式
sin
2
/
或者
tan
2
/
4
当 /时， /2，是偏转角为/2的碰撞参量；当 /时，
/2，为大角度碰撞，称为近碰撞；当������ /时， /2，为
小角度碰撞，称为远碰撞。
瞄准距离在~ d为半径的环形面积内的检验粒子，即通过以
d为外半径，为内半径的环形面积2d的粒子，必定散射到
角度在~ d间的空心圆锥体内。从空间几何知，空心圆锥体的
立体角为
d
d
＝
2 sin d
2 sin d
单位时间内面积强度 的粒子束被散射到立体角d 的几率为
2d，因此
2d
sin
d
d
其中称为碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率。根据Coulomb 散射公
式
d
d
/
2
1
sin/2
0
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率
在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
§3 BBGKY 理论
前面的碰撞算子都有一系列严格的限制，如两体碰撞，碰撞前后
粒子作自由（匀速直线）运动等等。实际情况中，等离子体存在外磁
场，电场，电磁场，普遍存在湍动的自洽波场，都会影响碰撞前后带
电粒子的运动，增加关联，从而增大碰撞的频率，并是的碰撞频率成
为外场和湍动强度的函数。不但如此，粒子密度很大时，离子间存在
强耦合，碰撞往往是多体的。BBGKY 级次理论（hierarchy theory）
由Bogolyubov1946，Born 和 Green1949，Kirkwood1946 以
及Yvon1935几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。
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动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子. 体的Fokker－轉為繁體網頁
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
1.2 Coulomb 碰撞
在质心坐标系中，一个，电荷，以速度射向固定的另一
个电荷粒子，瞄准距离为（也称为碰撞参量），受到有心力场
的作用而发生偏转，偏转角为，速度为。其中为相互作用位
势，特别地带电粒子之间的Coulomb 位势
1
4
取
1
1
1
现在计算粒子的偏转角与碰撞参量之间的关系。在固定力
心的有心力场中，粒子运动保持机械能守恒
图(a) 实验室坐标 (b) 质心坐标系
7
1
＝0
因此偏转角
2 2
d
1
对于Coulomb 位势而言
/
/
其中
/
4
因此
2
arcsin
/
得到Coulomb 散射公式
sin
2
/
或者
tan
2
/
4
当 /时， /2，是偏转角为/2的碰撞参量；当 /时，
/2，为大角度碰撞，称为近碰撞；当������ /时， /2，为
小角度碰撞，称为远碰撞。
瞄准距离在~ d为半径的环形面积内的检验粒子，即通过以
d为外半径，为内半径的环形面积2d的粒子，必定散射到
角度在~ d间的空心圆锥体内。从空间几何知，空心圆锥体的
立体角为
d
d
＝
2 sin d
2 sin d
单位时间内面积强度 的粒子束被散射到立体角d 的几率为
2d，因此
2d
sin
d
d
其中称为碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率。根据Coulomb 散射公
式
d
d
/
2
1
sin/2
0
[PDF]等离子体物理学讲义
动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子. 体的Fokker－
引起粒子进入， d速度区间的粒子数，即d的增
加率
������||||，dd
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
·
·
＝
||||，dd
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
，
， ，
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程，最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中，实际上含有如下假设：
所有碰撞都是二体碰撞，相互作用长度远远小于发生显著变化的尺
度；碰撞时间远远小于发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发，Landau1936将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面，由于等离子体中远碰撞（小角度偏转）占
主要地位，每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ，Δ都很小，因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ，Δ展开，保
留到二阶小量，就得到Landau 碰撞项，相应的动理学方程称为
Landau 方程
2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞，而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用，粒子间的碰撞大都
是小角度散射，每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用，大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果，Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展，Rosenbluth 等（1957）研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量
Δ都很小，|Δ| ||，可以把Δ视为小量，对Brown 粒子的分布函
数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
运用归一化条件，可以把第一项与等式左边抵消，且注意到分布函数
，，与Δ无关，可以提出到积分号外面
，，
1
Δ
dΔ
Δ · ，Δ
1
2
: ，，
1
Δ
dΔ
ΔΔ ，Δ
定义动摩擦矢量
Δ
Δ
1
Δ
Δ，Δ
dΔ
和扩散张量
ΔΔ
Δ
1
Δ
ΔΔ，ΔdΔ
保留二阶小量，得到Fokker‐Planck 碰撞算子
·
Δ
Δ
，，
1
2
ΔΔ
Δ
，，
其中，第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化，称为动摩擦项；第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来，称为
扩散项。
设速度为分布函数为的粒子与速度为分布函数为
的粒子相碰撞，相对速度为 ；第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
，d ， sin dd
其中，为散射微分截面， 。现有一个分布为
的粒子在单位时间内与一群在~ d的分布为的粒子相
称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
1
，
则有结果
Δ
Δ
，
ΔΔ
Δ
用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
·
1
2
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价，Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断，如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献，也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。
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引起粒子进入， d速度区间的粒子数，即d的增
加率
������||||，dd
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
·
·
＝
||||，dd
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
，
， ，
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程，最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中，实际上含有如下假设：
所有碰撞都是二体碰撞，相互作用长度远远小于发生显著变化的尺
度；碰撞时间远远小于发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发，Landau1936将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面，由于等离子体中远碰撞（小角度偏转）占
主要地位，每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ，Δ都很小，因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ，Δ展开，保
留到二阶小量，就得到Landau 碰撞项，相应的动理学方程称为
Landau 方程
2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞，而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用，粒子间的碰撞大都
是小角度散射，每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用，大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果，Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展，Rosenbluth 等（1957）研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量
Δ都很小，|Δ| ||，可以把Δ视为小量，对Brown 粒子的分布函
数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
运用归一化条件，可以把第一项与等式左边抵消，且注意到分布函数
，，与Δ无关，可以提出到积分号外面
，，
1
Δ
dΔ
Δ · ，Δ
1
2
: ，，
1
Δ
dΔ
ΔΔ ，Δ
定义动摩擦矢量
Δ
Δ
1
Δ
Δ，Δ
dΔ
和扩散张量
ΔΔ
Δ
1
Δ
ΔΔ，ΔdΔ
保留二阶小量，得到Fokker‐Planck 碰撞算子
·
Δ
Δ
，，
1
2
ΔΔ
Δ
，，
其中，第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化，称为动摩擦项；第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来，称为
扩散项。
设速度为分布函数为的粒子与速度为分布函数为
的粒子相碰撞，相对速度为 ；第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
，d ， sin dd
其中，为散射微分截面， 。现有一个分布为
的粒子在单位时间内与一群在~ d的分布为的粒子相
称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
1
，
则有结果
Δ
Δ
，
ΔΔ
Δ
用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
·
1
2
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价，Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断，如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献，也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。
由Bogolyubov1946，Born 和 Green1949，Kirkwood1946 以
及Yvon1935几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。
附录A：Brown 运动
1827 年，苏格兰植物学家R布朗发现水中的花粉及其它悬浮
的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。布朗运
动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运
动的无规则性，关于它的理论在其他许多领域也有重要应用，如
对测量仪表测量精度限度的研究，对高倍放大的电讯电路中背景
噪声的研究等。 布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的
基础。
一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起
的，维纳1826—18961863 年提出布朗运动起源于分子的振动，
还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子
模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是
振动。 在维纳之后，S埃克斯纳也测定了微粒的移动速度。他提
出布朗运动是由于微观范围的流动造成的，他没有说明这种流动
的根源，但他看到在加热和光照使液体粘度降低时，微粒的运动
加剧了。就这样，维纳和S埃克斯纳都把布朗运动归结为物系自
身的性质。这一时期还有康托尼，他试图在热力理论的基础上解
释布朗运动，认为微粒可以看成是巨大分子，它们与液体介质处
于热平衡，它们与液体的相对运动起源于渗透作用和它们与周围
液体之间的相互作用。
到了19 世纪70—80 年代，一些学者明确地把布朗运动归结
为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯
瑞昂，还有耐格里。植物学家耐格里1879从真菌、细菌等通过
空气传播的现象，认为这些微粒即使在静止的空气中也可以不沉。
联系到物理学中气体分子以很高速度向各方向运动的结论，他推
测在阳光下看到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向撞击的结果。
他说：“这些微小尘埃就象弹性球一样被掷来掷去，结果如同分子
本身一样能保持长久的悬浮。”不过耐格里又放弃了这一可能达到
正确解释的途径，他计算了单个气体分子和尘埃微粒发生弹性碰
撞时微粒的速度，结果要比实际观察到的小许多数量级，于是他
认为由于气体分子运动的无规则性，它们共同作用的结果不能使
微粒达到观察速度值，而在液体中则由于介质和微粒的摩擦阻力
和分子间的粘附力，分子运动的设想不能成为合适的解释。
1900 年是布朗运动研究的重要分界线。1905 年，爱因斯坦
依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论。就在差不多同时，
斯莫卢霍夫斯基也作出了同样的成果。他们的理论圆满地回答了
布朗运动的本质问题。 爱因斯坦在论文中指出，他的目的是“要
找到能证实确实存在有一定大小的原子的最有说服力的事实。”他
说：“按照热的分子运动论，由于热的分子运动，大小可以用显微
镜看见的物体悬浮在液体中，必定会发生其大小可以用显微镜容
易观测到的运动。可能这里所讨论的运动就是所谓‘布朗分子运
动’”。他认为只要能实际观测到这种运动和预期的规律性，“精确
测定原子的实际大小就成为可能了”。“反之，要是关于这种运动
的预言证明是不正确的，那么就提供了一个有份量的证据来反对
热分子运动观”。
爱因斯坦的成果大体上可分两方面。一是根据分子热运动原
理推导：在t 时间里，微粒在某一方向上位移的统计平均值，即
方均根值，D 是微粒的扩散系数。这一公式是看来毫无规则的布
朗运动服从分子热运动规律的必然结果。 第二个方面是对于球形
微粒，推导出了可以求算阿式中的η 是介质粘度，a 是微粒半径，
R 是气体常数，NA 为阿伏加德罗常数。 爱因斯坦的理论成果为
证实分子的真实性找到了一种方法，同时也圆满地阐明了布朗运
动的根源及其规律性。
本世纪初在研究布朗运动方面一个重大的实验进展是1902
年齐格蒙第1865—1929发明了超显微镜，用它可直接看到和测
定胶体粒子的布朗运动，这也就是证实了胶体粒子的真实性，为
此，齐格蒙第曾获1925 年诺贝尔化学奖。斯维德伯格测定布朗运
动就是用超显微镜进行的。 贝兰差不多同时，斯维德伯格1907
用超显微镜观测金溶胶的布朗运动，在测定阿伏加德罗常数和验
证爱因斯坦理论上也作出了出色的工作。可以说他们是最先称得
原子质量的人，所以在1926 年，贝兰和斯维德伯格分别获得了诺
贝尔物理学奖和化学奖
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