Sunday, May 10, 2015

BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性粒子非平衡统计物理学方法, 粒子密度很大时,离子间存在强耦合,碰撞往往是多体的

碰撞(散射)微分截面,物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到􀟠~􀟠 􀵅 􀝀􀟠单位立体角内的几率


在较长的时间标度内研究等
离子体,碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。

Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式,由此得到的动
理学方程称为Fokker-Planck 方程。
由于碰撞,设速度􀜞的粒子在时间Δ􀝐内速度获得速度增量Δ􀜞的几
率为􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯,称为转移几率
􀶱 d􁈺Δ􀜞􁈻􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
􀵌 1
其中􀜞,Δ􀜞是独立变量,假定转移几率􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯不显含时间,表示
过程与粒子过去的历史无关,这种过程称为Markov 过程。

§3 BBGKY 理论
前面的碰撞算子都有一系列严格的限制,如两体碰撞,碰撞前后
粒子作自由(匀速直线)运动等等。实际情况中,等离子体存在外磁
场,电场,电磁场,普遍存在湍动的自洽波场,都会影响碰撞前后带
电粒子的运动,增加关联,从而增大碰撞的频率,并是的碰撞频率成
为外场和湍动强度的函数。不但如此,粒子密度很大时,离子间存在
强耦合,碰撞往往是多体的。BBGKY 级次理论(hierarchy theory)

由Bogolyubov􁈺1946􁈻,Born 和 Green􁈺1949􁈻,Kirkwood􁈺1946􁈻 以
及Yvon􁈺1935􁈻几乎同时提出,BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。
[PDF]等离子体物理学讲义
blog.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&id...
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动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型,适用于完全电离等离子. 体的FokkerPlanck 微分碰撞算子,适用于弱电离等离子体的. Boltzmann 积分碰撞算子 ...


等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究,依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质,正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而,需要注意到这个事实,如果在较长的时间标度内研究等
离子体,碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中,一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果,为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞,阐述Coulomb 散射动力学,
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为􀝉􀰈,􀝉􀰉的粒子受到相互向心力􀛴􀰈􀰉􁈺􀝎􁈻作用发
生碰撞,碰撞前,粒子的速度分别为􀜞􀰈,􀜞􀰉,相对速度为􀜝 􀵌 􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉;
位置􀜚􀰈,􀜚􀰉,相对位移是􀜚 􀵌 􀜚􀰈 􀵆 􀜚􀰉。碰撞后,粒子的速度分别为
􀜞􀰈 􁇱
,􀜞􀰉 􁇱 ,相对速度为􀜝􁇱 􀵌 􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
。粒子的运动方程为


等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究,依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质,正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而,需要注意到这个事实,如果在较长的时间标度内研究等
离子体,碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中,一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果,为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞,阐述Coulomb 散射动力学,
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为􀝉􀰈,􀝉􀰉的粒子受到相互向心力􀛴􀰈􀰉􁈺􀝎􁈻作用发
生碰撞,碰撞前,粒子的速度分别为􀜞􀰈,􀜞􀰉,相对速度为􀜝 􀵌 􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉;
位置􀜚􀰈,􀜚􀰉,相对位移是􀜚 􀵌 􀜚􀰈 􀵆 􀜚􀰉。碰撞后,粒子的速度分别为
􀜞􀰈 􁇱
,􀜞􀰉 􁇱 ,相对速度为􀜝􁇱 􀵌 􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
。粒子的运动方程为



1.2 Coulomb 碰撞
在质心坐标系中,一个􀝉􀯍,电荷􀝍􀯍,以速度􀜞􀬴射向固定的另一
个电荷􀝍􀮿粒子,瞄准距离为􀜾(也称为碰撞参量),受到有心力场
􀛴􁈺􀝎􁈻 􀵌 􀝍􀯍􀗏􀟶􁈺􀝎􁈻
的作用而发生偏转,偏转角为􀟠,速度为􀜞􁇱。其中􀟶􁈺􀝎􁈻为相互作用位
势,特别地带电粒子之间的Coulomb 位势
􀟶􁈺􀝎􁈻 􀵌
1
4􀟨􀟝􀬴
􀝍􀮿
􀝎

1
􀟤
􀵌
1
􀝉􀯍
􀵅
1
􀝉􀮿
现在计算􀝍􀯍粒子的偏转角􀟠与碰撞参量􀜾之间的关系。在固定力
心的有心力场中,粒子运动保持机械能守恒
􀟠
􀝉􀮿
􀝉􀯍
􀜾
􀝉􀯍
􀝕
􀟠
􀝔
图(a) 实验室坐标 (b) 质心坐标系

7
1 􀵆
􀟶􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻
􀜹
􀵆
􀜾􀬶
􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻􀬶 =0
因此偏转角
􀟠 􀵌 􀟨 􀵆 2􀟮􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻 􀵌 􀟨 􀵆 2 􀶱
􀜾d􀝎
􀝎􀬶􀶧1 􀵆 􀟶􁈺􀝎􁈻
􀜹 􀵆 􀜾􀬶
􀝎􀬶
􀮶
􀯥􀳘􀳔􀳙
对于Coulomb 位势而言
􀝎􀯠􀯜􀯡 􀵌
􀜾􀬶
􀶧􀜾􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
其中
􀜾􀰗/􀬶 􀵌
􀝍􀯍􀝍􀮿
4􀟨􀟝􀬴􀟤􀝒􀬴
􀬶
因此
􀟮􁈺􀝎􀯠􀯜􀯡􁈻 􀵌
􀟨
2
􀵆 arcsin
􀜾􀬴
􀶧􀜾􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
􀬶
得到Coulomb 散射公式
sin 􀵬
􀟠
2
􀵰 􀵌
􀜾􀬴
􀶧􀜾􀬶 􀵆 􀜾􀰗/􀬶
􀬶
或者
tan 􀵬
􀟠
2
􀵰 􀵌
􀜾􀰗/􀬶
􀜾
􀵌
􀝍􀯍􀝍􀮿
4􀟨􀟝􀬴􀜾􀟤􀝒􀬴
􀬶
当􀜾 􀵌 􀜾􀰗/􀬶时,􀟠 􀵌 􀟨/2,􀜾􀬴是偏转角为􀟨/2的碰撞参量;当􀜾 􀵏 􀜾􀰗/􀬶时,
􀟠 􀵏 􀟨/2,为大角度碰撞,称为近碰撞;当������ 􀵐 􀜾􀰗/􀬶时,􀟠 􀵐 􀟨/2,为
小角度碰撞,称为远碰撞。

瞄准距离在􀜾~􀜾 􀵅 d􀜾为半径的环形面积内的检验粒子,即通过以
􀜾 􀵅 d􀜾为外半径,􀜾为内半径的环形面积2􀟨􀜾d􀜾的􀟙粒子,必定散射到
角度在􀟠~􀟠 􀵅 d􀟠间的空心圆锥体内。从空间几何知,空心圆锥体的
立体角为
d􀟗 􀵌
d􀜵
􀝎􀬶 =
2􀟨􀝎 sin 􀟠 􀝎d􀟠
􀝎􀬶 􀵌 2􀟨 sin 􀟠 d􀟠
单位时间内面积强度􀜫 的粒子束被散射到立体角d􀟗 的几率为
􀟪􁈺􀟠􁈻􀝀􀟗 􀵌 2􀟨􀜾d􀜾,因此
􀟪􁈺􀟠􁈻 􀵌
2􀟨􀜾d􀜾
􀝀􀟗
􀵌
􀜾
sin 􀟠
􀸬
d􀜾
d􀟠
􀸬
其中􀟪􁈺􀟠􁈻称为碰撞(散射)微分截面,物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到􀟠~􀟠 􀵅 􀝀􀟠单位立体角内的几率。根据Coulomb 散射公

d􀜾
d􀟠
􀵌 􀵆
􀜾􀰗/􀬶
2
1
sin􀬶􁈺􀟠/2􁈻
􀵏 0


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动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型,适用于完全电离等离子. 体的FokkerPlanck 微分碰撞算子,适用于弱电离等离子体的. Boltzmann 积分碰撞算子 ...

引起􀟙粒子进入􀵫􀜞􀰈,􀜞􀰈 􀵅 d􀜞􀰉􀵯速度区间的粒子数,即􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增
加率

􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯������|􀜝|􀟪􀵫|􀜝|,􀟠􀵯d􀟗d􀜞􀰉
􀰉
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
􀟲􀝂
􀟲􀝐
􀵅 􀜞 · 􀪸􀝂 􀵅
􀛴
􀝉
·
􀟲􀝂
􀟲􀜞
= 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈
􁇱􀝂􀰉
􁇱 􀵆 􀝂􀰈􀝂􀰉􀵧|􀜝|􀟪􀵫|􀜝|,􀟠􀵯d􀟗d􀜞􀰉
􀰉
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
􀝂􀰈
􁇱 􀵌 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻,􀝂􀰉
􁇱 􀵌 􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯,􀝂􀰈 􀵌 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻,􀝂􀰉 􀵌 􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程,最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中,实际上含有如下假设:
所有碰撞都是二体碰撞,相互作用长度远远小于􀝂􀰈发生显著变化的尺
度;碰撞时间远远小于􀝂􀰈发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立


。因为正反过程完全对称,所以􀜾􁇱d􀜾􁇱d􀟮􁇱 􀵌 􀜾d􀜾d􀟮,对于弹性碰
撞,􀸫􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
􀸫 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫 􀵌 |􀜝|,而且变换的Jacobi 行列式
􀟲􀵫􀜞􀰈 􁇱
,􀜞􀰉 􁇱
􀵯
􀟲􀵫􀜞􀰈,􀜞􀰉􀵯
􀵌 1
则有
d􀜞􀰈 􁇱
d􀜞􀰉 􁇱
􀵌 d􀜞􀰈d􀜞􀰉
因此得􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
d􀜞􀰈 􀵌 􀶱 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰈d􀜞􀰉
碰撞引起的粒子净增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
􀵆 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭭􀭳􀭲
将对􀟚求和以考虑各种粒子的贡献
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯􀵧|􀜝|􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰉
􀰉
利用微分截面定义
􀜾d􀜾d􀟮 􀵌 􀟪􀵫|􀢛|,􀟠􀵯d􀟗
则碰撞算子改写为


。因为正反过程完全对称,所以􀜾􁇱d􀜾􁇱d􀟮􁇱 􀵌 􀜾d􀜾d􀟮,对于弹性碰
撞,􀸫􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
􀸫 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫 􀵌 |􀜝|,而且变换的Jacobi 行列式
􀟲􀵫􀜞􀰈 􁇱
,􀜞􀰉 􁇱
􀵯
􀟲􀵫􀜞􀰈,􀜞􀰉􀵯
􀵌 1
则有
d􀜞􀰈 􁇱
d􀜞􀰉 􁇱
􀵌 d􀜞􀰈d􀜞􀰉
因此得􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
d􀜞􀰈 􀵌 􀶱 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰈d􀜞􀰉
碰撞引起的粒子净增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
􀵆 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭭􀭳􀭲
将对􀟚求和以考虑各种粒子的贡献
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯􀵧|􀜝|􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰉
􀰉
利用微分截面定义
􀜾d􀜾d􀟮 􀵌 􀟪􀵫|􀢛|,􀟠􀵯d􀟗
则碰撞算子改写为



2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发,Landau􁈺1936􁈻将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面,由于等离子体中远碰撞(小角度偏转)占
主要地位,每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ􀜞􀰈,Δ􀜞􀰉都很小,因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ􀜞􀰈,Δ􀜞􀰉展开,保
留到二阶小量,就得到Landau 碰撞项,相应的动理学方程称为
Landau 方程


2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞,而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用,粒子间的碰撞大都
是小角度散射,每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用,大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果,Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展,Rosenbluth 等(1957)研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大,受到周围分子碰撞时,每个速度改变量
Δ􀜞都很小,|Δ􀜞| 􀘧 |􀜞|,可以把Δ􀜞视为小量,对Brown 粒子的分布函

数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式,由此得到的动
理学方程称为Fokker-Planck 方程。
由于碰撞,设速度􀜞的粒子在时间Δ􀝐内速度获得速度增量Δ􀜞的几
率为􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯,称为转移几率
􀶱 d􁈺Δ􀜞􁈻􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
􀵌 1
其中􀜞,Δ􀜞是独立变量,假定转移几率􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯不显含时间,表示
过程与粒子过去的历史无关,这种过程称为Markov 过程。


运用归一化条件,可以把第一项与等式左边抵消,且注意到分布函数
􀝂􀰈􀵫􀜚,􀜞,􀝐􀵯与Δ􀜞无关,可以提出到积分号外面
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵌
􀟲
􀟲􀜞
􁉊􀝂􀰈􀵫􀜚,􀜞,􀝐􀵯 􁉈
1
Δ􀝐
􀶱 d􁈺Δ􀢜􁈻
􀮶
􀬿􀮶
Δ􀜞 · 􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯􁉉􁉋
􀵅
1
2
􀟲􀬶
􀟲􀜞􀟲􀜞
: 􁉊􀝂􀰈􀵫􀜚,􀜞,􀝐􀵯 􁉈
1
Δ􀝐
􀶱 d􁈺Δ􀢜􁈻
􀮶
􀬿􀮶
Δ􀜞Δ􀜞 􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯􁉉 􀵅 􀚮 􁉋
定义动摩擦矢量
􀵼
Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌
1
Δ􀝐
􀶱 Δ􀜞􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
d􀬷􁈺Δ􀜞􁈻
和扩散张量
􀵼
Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌
1
Δ􀝐
􀶱 Δ􀜞Δ􀜞􀜲􀰈􀵫􀜞,Δ􀜞􀵯d􀬷􁈺Δ􀜞􁈻
􀮶
􀬿􀮶
保留二阶小量,得到Fokker‐Planck 碰撞算子
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵌 􀵆􀪸􀜞 · 􀵤􀵼
Δ􀜞
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􀝂􀰈􀵫􀜚,􀜞,􀝐􀵯􀵨 􀵅
1
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􀪸􀜞􀪸􀜞 􀗷 􀵤􀵼
Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀝂􀰈􀵫􀜚,􀜞,􀝐􀵯􀵨
其中,第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化,称为动摩擦项;第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来,称为
扩散项。
设速度为􀜞􀰈分布函数为􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻的􀟙粒子与速度为􀜞􀰉分布函数为
􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯的􀟚粒子相碰撞,相对速度为􀜝 􀵌 􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉;第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
􀟪􀵫􀝑,􀟠􀵯d􀟗 􀵌 􀟪􀵫􀝑,􀟠􀵯 sin 􀟠 d􀟠d􀟶
其中􀟪􀵫􀝑,􀟠􀵯为散射微分截面,􀝑 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫。现有一个分布为􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻
的粒子在单位时间内与一群在􀜞􀰉~􀜞􀰉 􀵅 d􀜞􀰉的分布为􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯的粒子相

称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
􀟲
􀟲􀜞􀰈
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1
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􀵆 􀜝􀜝
􀝑􀬷
则有结果
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, 􀵼
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用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
􀵬
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􀵰
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􀟲􀜞􀰈
· 􁉈􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜪􁈺􀜞􀰈􁈻
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􀟲􀬶􀜩􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈􀟲􀜞􀰈
􁉉􁉋
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价,Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断,如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献,也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。



由Bogolyubov􁈺1946􁈻,Born 和 Green􁈺1949􁈻,Kirkwood􁈺1946􁈻 以
及Yvon􁈺1935􁈻几乎同时提出,BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。

附录A:Brown 运动
1827 年,苏格兰植物学家R􀵉布朗发现水中的花粉及其它悬浮
的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动,称为布朗运动。布朗运
动代表了一种随机涨落现象,它不仅反映了周围流体内部分子运
动的无规则性,关于它的理论在其他许多领域也有重要应用,如
对测量仪表测量精度限度的研究,对高倍放大的电讯电路中背景
噪声的研究等。 布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的
基础。
一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起
的,维纳􁈺1826—1896􁈻1863 年提出布朗运动起源于分子的振动,
还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子
模型还不是现代的模型,他看到的实际上是微粒的位移,并不是
振动。 在维纳之后,S􀵉埃克斯纳也测定了微粒的移动速度。他提
出布朗运动是由于微观范围的流动造成的,他没有说明这种流动
的根源,但他看到在加热和光照使液体粘度降低时,微粒的运动
加剧了。就这样,维纳和S􀵉埃克斯纳都把布朗运动归结为物系自
身的性质。这一时期还有康托尼,他试图在热力理论的基础上解
释布朗运动,认为微粒可以看成是巨大分子,它们与液体介质处
于热平衡,它们与液体的相对运动起源于渗透作用和它们与周围
液体之间的相互作用。
到了19 世纪70—80 年代,一些学者明确地把布朗运动归结

为液体分子撞击微粒的结果,这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯
瑞昂,还有耐格里。植物学家耐格里􁈺1879􁈻从真菌、细菌等通过
空气传播的现象,认为这些微粒即使在静止的空气中也可以不沉。
联系到物理学中气体分子以很高速度向各方向运动的结论,他推
测在阳光下看到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向撞击的结果。
他说:“这些微小尘埃就象弹性球一样被掷来掷去,结果如同分子
本身一样能保持长久的悬浮。”不过耐格里又放弃了这一可能达到
正确解释的途径,他计算了单个气体分子和尘埃微粒发生弹性碰
撞时微粒的速度,结果要比实际观察到的小许多数量级,于是他
认为由于气体分子运动的无规则性,它们共同作用的结果不能使
微粒达到观察速度值,而在液体中则由于介质和微粒的摩擦阻力
和分子间的粘附力,分子运动的设想不能成为合适的解释。
1900 年是布朗运动研究的重要分界线。1905 年,爱因斯坦
依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论。就在差不多同时,
斯莫卢霍夫斯基也作出了同样的成果。他们的理论圆满地回答了
布朗运动的本质问题。 爱因斯坦在论文中指出,他的目的是“要
找到能证实确实存在有一定大小的原子的最有说服力的事实。”他
说:“按照热的分子运动论,由于热的分子运动,大小可以用显微
镜看见的物体悬浮在液体中,必定会发生其大小可以用显微镜容
易观测到的运动。可能这里所讨论的运动就是所谓‘布朗分子运
动’”。他认为只要能实际观测到这种运动和预期的规律性,“精确
测定原子的实际大小就成为可能了”。“反之,要是关于这种运动


的预言证明是不正确的,那么就提供了一个有份量的证据来反对
热分子运动观”。
爱因斯坦的成果大体上可分两方面。一是根据分子热运动原
理推导:在t 时间里,微粒在某一方向上位移的统计平均值,即
方均根值,D 是微粒的扩散系数。这一公式是看来毫无规则的布
朗运动服从分子热运动规律的必然结果。 第二个方面是对于球形
微粒,推导出了可以求算阿式中的η 是介质粘度,a 是微粒半径,
R 是气体常数,NA 为阿伏加德罗常数。 爱因斯坦的理论成果为
证实分子的真实性找到了一种方法,同时也圆满地阐明了布朗运
动的根源及其规律性。
本世纪初在研究布朗运动方面一个重大的实验进展是1902
年齐格蒙第􁈺1865—1929􁈻发明了超显微镜,用它可直接看到和测

定胶体粒子的布朗运动,这也就是证实了胶体粒子的真实性,为
此,齐格蒙第曾获1925 年诺贝尔化学奖。斯维德伯格测定布朗运
动就是用超显微镜进行的。 贝兰差不多同时,斯维德伯格􁈺1907􁈻
用超显微镜观测金溶胶的布朗运动,在测定阿伏加德罗常数和验
证爱因斯坦理论上也作出了出色的工作。可以说他们是最先称得
原子质量的人,所以在1926 年,贝兰和斯维德伯格分别获得了诺
贝尔物理学奖和化学奖

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