碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率
在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
[PDF]等离子体物理学讲义
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
1.2 Coulomb 碰撞
在质心坐标系中，一个，电荷，以速度射向固定的另一
个电荷粒子，瞄准距离为（也称为碰撞参量），受到有心力场
的作用而发生偏转，偏转角为，速度为。其中为相互作用位
势，特别地带电粒子之间的Coulomb 位势
1
4
取
1
1
1
现在计算粒子的偏转角与碰撞参量之间的关系。在固定力
心的有心力场中，粒子运动保持机械能守恒
图(a) 实验室坐标 (b) 质心坐标系
7
1
＝0
因此偏转角
2 2
d
1
对于Coulomb 位势而言
/
/
其中
/
4
因此
2
arcsin
/
得到Coulomb 散射公式
sin
2
/
或者
tan
2
/
4
当 /时， /2，是偏转角为/2的碰撞参量；当 /时，
/2，为大角度碰撞，称为近碰撞；当 /时， /2，为
小角度碰撞，称为远碰撞。
瞄准距离在~ d为半径的环形面积内的检验粒子，即通过以
d为外半径，为内半径的环形面积2d的粒子，必定散射到
角度在~ d间的空心圆锥体内。从空间几何知，空心圆锥体的
立体角为
d
d
＝
2 sin d
2 sin d
单位时间内面积强度 的粒子束被散射到立体角d 的几率为
2d，因此
2d
sin
d
d
其中称为碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率。根据Coulomb 散射公
式
d
d
/
2
1
sin/2
0
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率
在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
[PDF]等离子体物理学讲义
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动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子. 体的Fokker－轉為繁體網頁
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。
为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。
等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程
相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以
用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式
各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别
开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等
离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一
次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研
究带电粒子之间的Coulomb 碰撞，阐述Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为，的粒子受到相互向心力作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为，，相对速度为 ；
位置，，相对位移是 。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
1.2 Coulomb 碰撞
在质心坐标系中，一个，电荷，以速度射向固定的另一
个电荷粒子，瞄准距离为（也称为碰撞参量），受到有心力场
的作用而发生偏转，偏转角为，速度为。其中为相互作用位
势，特别地带电粒子之间的Coulomb 位势
1
4
取
1
1
1
现在计算粒子的偏转角与碰撞参量之间的关系。在固定力
心的有心力场中，粒子运动保持机械能守恒
图(a) 实验室坐标 (b) 质心坐标系
7
1
＝0
因此偏转角
2 2
d
1
对于Coulomb 位势而言
/
/
其中
/
4
因此
2
arcsin
/
得到Coulomb 散射公式
sin
2
/
或者
tan
2
/
4
当 /时， /2，是偏转角为/2的碰撞参量；当 /时，
/2，为大角度碰撞，称为近碰撞；当 /时， /2，为
小角度碰撞，称为远碰撞。
瞄准距离在~ d为半径的环形面积内的检验粒子，即通过以
d为外半径，为内半径的环形面积2d的粒子，必定散射到
角度在~ d间的空心圆锥体内。从空间几何知，空心圆锥体的
立体角为
d
d
＝
2 sin d
2 sin d
单位时间内面积强度 的粒子束被散射到立体角d 的几率为
2d，因此
2d
sin
d
d
其中称为碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到~ 单位立体角内的几率。根据Coulomb 散射公
式
d
d
/
2
1
sin/2
0
[PDF]等离子体物理学讲义
动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子. 体的Fokker－
引起粒子进入， d速度区间的粒子数，即d的增
加率
||||，dd
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
·
·
＝
||||，dd
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
，
， ，
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程，最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中，实际上含有如下假设：
所有碰撞都是二体碰撞，相互作用长度远远小于发生显著变化的尺
度；碰撞时间远远小于发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发，Landau1936将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面，由于等离子体中远碰撞（小角度偏转）占
主要地位，每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ，Δ都很小，因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ，Δ展开，保
留到二阶小量，就得到Landau 碰撞项，相应的动理学方程称为
Landau 方程
2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞，而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用，粒子间的碰撞大都
是小角度散射，每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用，大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果，Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展，Rosenbluth 等（1957）研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量
Δ都很小，|Δ| ||，可以把Δ视为小量，对Brown 粒子的分布函
数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
运用归一化条件，可以把第一项与等式左边抵消，且注意到分布函数
，，与Δ无关，可以提出到积分号外面
，，
1
Δ
dΔ
Δ · ，Δ
1
2
: ，，
1
Δ
dΔ
ΔΔ ，Δ
定义动摩擦矢量
Δ
Δ
1
Δ
Δ，Δ
dΔ
和扩散张量
ΔΔ
Δ
1
Δ
ΔΔ，ΔdΔ
保留二阶小量，得到Fokker‐Planck 碰撞算子
·
Δ
Δ
，，
1
2
ΔΔ
Δ
，，
其中，第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化，称为动摩擦项；第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来，称为
扩散项。
设速度为分布函数为的粒子与速度为分布函数为
的粒子相碰撞，相对速度为 ；第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
，d ， sin dd
其中，为散射微分截面， 。现有一个分布为
的粒子在单位时间内与一群在~ d的分布为的粒子相
称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
1
，
则有结果
Δ
Δ
，
ΔΔ
Δ
用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
·
1
2
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价，Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断，如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献，也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。
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引起粒子进入， d速度区间的粒子数，即d的增
加率
||||，dd
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
·
·
＝
||||，dd
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
，
， ，
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程，最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中，实际上含有如下假设：
所有碰撞都是二体碰撞，相互作用长度远远小于发生显著变化的尺
度；碰撞时间远远小于发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发，Landau1936将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面，由于等离子体中远碰撞（小角度偏转）占
主要地位，每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ，Δ都很小，因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ，Δ展开，保
留到二阶小量，就得到Landau 碰撞项，相应的动理学方程称为
Landau 方程
2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞，而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用，粒子间的碰撞大都
是小角度散射，每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用，大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果，Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展，Rosenbluth 等（1957）研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量
Δ都很小，|Δ| ||，可以把Δ视为小量，对Brown 粒子的分布函
数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
运用归一化条件，可以把第一项与等式左边抵消，且注意到分布函数
，，与Δ无关，可以提出到积分号外面
，，
1
Δ
dΔ
Δ · ，Δ
1
2
: ，，
1
Δ
dΔ
ΔΔ ，Δ
定义动摩擦矢量
Δ
Δ
1
Δ
Δ，Δ
dΔ
和扩散张量
ΔΔ
Δ
1
Δ
ΔΔ，ΔdΔ
保留二阶小量，得到Fokker‐Planck 碰撞算子
·
Δ
Δ
，，
1
2
ΔΔ
Δ
，，
其中，第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化，称为动摩擦项；第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来，称为
扩散项。
设速度为分布函数为的粒子与速度为分布函数为
的粒子相碰撞，相对速度为 ；第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
，d ， sin dd
其中，为散射微分截面， 。现有一个分布为
的粒子在单位时间内与一群在~ d的分布为的粒子相
称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
1
，
则有结果
Δ
Δ
，
ΔΔ
Δ
用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
·
1
2
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价，Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断，如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献，也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。
由Bogolyubov1946，Born 和 Green1949，Kirkwood1946 以
及Yvon1935几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。
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