Fokker－Planck 方程 Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量很小, 对Brown 粒子的分布函数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式

[PDF]等离子体物理学讲义

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§3 BBGKY 理论
前面的碰撞算子都有一系列严格的限制，如两体碰撞，碰撞前后
粒子作自由（匀速直线）运动等等。实际情况中，等离子体存在外磁
场，电场，电磁场，普遍存在湍动的自洽波场，都会影响碰撞前后带
电粒子的运动，增加关联，从而增大碰撞的频率，并是的碰撞频率成
为外场和湍动强度的函数。不但如此，粒子密度很大时，离子间存在
强耦合，碰撞往往是多体的。BBGKY 级次理论（hierarchy theory）


由Bogolyubov􁈺1946􁈻，Born 和 Green􁈺1949􁈻，Kirkwood􁈺1946􁈻 以
及Yvon􁈺1935􁈻几乎同时提出，BBGKY 级次方程组是处理强耦合中性
粒子非平衡统计物理学方法。

 

 

动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子. 体的Fokker－Planck 微分碰撞算子，适用于弱电离等离子体的. Boltzmann 积分碰撞算子 ...

引起􀟙粒子进入􀵫􀜞􀰈，􀜞􀰈 􀵅 d􀜞􀰉􀵯速度区间的粒子数，即􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增
加率

􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯􀵧|􀜝|􀟪􀵫|􀜝|，􀟠􀵯d􀟗d􀜞􀰉
􀰉
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
􀟲􀝂
􀟲􀝐
􀵅 􀜞 · 􀪸􀝂 􀵅
􀛴
􀝉
·
􀟲􀝂
􀟲􀜞
＝ 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈
􁇱􀝂􀰉
􁇱 􀵆 􀝂􀰈􀝂􀰉􀵧|􀜝|􀟪􀵫|􀜝|，􀟠􀵯d􀟗d􀜞􀰉
􀰉
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
􀝂􀰈
􁇱 􀵌 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻，􀝂􀰉
􁇱 􀵌 􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯，􀝂􀰈 􀵌 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻，􀝂􀰉 􀵌 􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程，最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中，实际上含有如下假设：
所有碰撞都是二体碰撞，相互作用长度远远小于􀝂􀰈发生显著变化的尺
度；碰撞时间远远小于􀝂􀰈发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立


。因为正反过程完全对称，所以􀜾􁇱d􀜾􁇱d􀟮􁇱 􀵌 􀜾d􀜾d􀟮，对于弹性碰
撞，􀸫􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
􀸫 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫 􀵌 |􀜝|，而且变换的Jacobi 行列式
􀟲􀵫􀜞􀰈 􁇱
，􀜞􀰉 􁇱
􀵯
􀟲􀵫􀜞􀰈，􀜞􀰉􀵯
􀵌 1
则有
d􀜞􀰈 􁇱
d􀜞􀰉 􁇱
􀵌 d􀜞􀰈d􀜞􀰉
因此得􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
d􀜞􀰈 􀵌 􀶱 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰈d􀜞􀰉
碰撞引起的粒子净增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
􀵆 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭭􀭳􀭲
将对􀟚求和以考虑各种粒子的贡献
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
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􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯􀵧|􀜝|􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰉
􀰉
利用微分截面定义
􀜾d􀜾d􀟮 􀵌 􀟪􀵫|􀢛|，􀟠􀵯d􀟗
则碰撞算子改写为


。因为正反过程完全对称，所以􀜾􁇱d􀜾􁇱d􀟮􁇱 􀵌 􀜾d􀜾d􀟮，对于弹性碰
撞，􀸫􀜞􀰈 􁇱
􀵆 􀜞􀰉 􁇱
􀸫 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫 􀵌 |􀜝|，而且变换的Jacobi 行列式
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，􀜞􀰉 􁇱
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􀵌 1
则有
d􀜞􀰈 􁇱
d􀜞􀰉 􁇱
􀵌 d􀜞􀰈d􀜞􀰉
因此得􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻d􀜞􀰈的增加数为
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􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
d􀜞􀰈 􀵌 􀶱 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰈d􀜞􀰉
碰撞引起的粒子净增加数为
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭧􀭬
􀵆 􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀭭􀭳􀭲
将对􀟚求和以考虑各种粒子的贡献
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀷍 􀶱􀵣􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈 􁇱
􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉 􁇱
􀵯 􀵆 􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯􀵧|􀜝|􀜾d􀜾d􀟮d􀜞􀰉
􀰉
利用微分截面定义
􀜾d􀜾d􀟮 􀵌 􀟪􀵫|􀢛|，􀟠􀵯d􀟗
则碰撞算子改写为



2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发，Landau􁈺1936􁈻将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面，由于等离子体中远碰撞（小角度偏转）占
主要地位，每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ􀜞􀰈，Δ􀜞􀰉都很小，因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ􀜞􀰈，Δ􀜞􀰉展开，保
留到二阶小量，就得到Landau 碰撞项，相应的动理学方程称为
Landau 方程


2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞，而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用，粒子间的碰撞大都
是小角度散射，每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用，大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果，Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展，Rosenbluth 等（1957）研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量
Δ􀜞都很小，|Δ􀜞| 􀘧 |􀜞|，可以把Δ􀜞视为小量，对Brown 粒子的分布函

数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度􀜞的粒子在时间Δ􀝐内速度获得速度增量Δ􀜞的几
率为􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯，称为转移几率
􀶱 d􁈺Δ􀜞􁈻􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
􀵌 1
其中􀜞，Δ􀜞是独立变量，假定转移几率􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。


运用归一化条件，可以把第一项与等式左边抵消，且注意到分布函数
􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯与Δ􀜞无关，可以提出到积分号外面
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵌
􀟲
􀟲􀜞
􁉊􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯 􁉈
1
Δ􀝐
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􀮶
􀬿􀮶
Δ􀜞 · 􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯􁉉􁉋
􀵅
1
2
􀟲􀬶
􀟲􀜞􀟲􀜞
: 􁉊􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯 􁉈
1
Δ􀝐
􀶱 d􁈺Δ􀢜􁈻
􀮶
􀬿􀮶
Δ􀜞Δ􀜞 􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯􁉉 􀵅 􀚮 􁉋
定义动摩擦矢量
􀵼
Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌
1
Δ􀝐
􀶱 Δ􀜞􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯
􀮶
􀬿􀮶
d􀬷􁈺Δ􀜞􁈻
和扩散张量
􀵼
Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌
1
Δ􀝐
􀶱 Δ􀜞Δ􀜞􀜲􀰈􀵫􀜞，Δ􀜞􀵯d􀬷􁈺Δ􀜞􁈻
􀮶
􀬿􀮶
保留二阶小量，得到Fokker‐Planck 碰撞算子
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵌 􀵆􀪸􀜞 · 􀵤􀵼
Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯􀵨 􀵅
1
2
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Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀝂􀰈􀵫􀜚，􀜞，􀝐􀵯􀵨
其中，第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化，称为动摩擦项；第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来，称为
扩散项。
设速度为􀜞􀰈分布函数为􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻的􀟙粒子与速度为􀜞􀰉分布函数为
􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯的􀟚粒子相碰撞，相对速度为􀜝 􀵌 􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉；第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
􀟪􀵫􀝑，􀟠􀵯d􀟗 􀵌 􀟪􀵫􀝑，􀟠􀵯 sin 􀟠 d􀟠d􀟶
其中􀟪􀵫􀝑，􀟠􀵯为散射微分截面，􀝑 􀵌 􀸫􀜞􀰈 􀵆 􀜞􀰉􀸫。现有一个分布为􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻
的粒子在单位时间内与一群在􀜞􀰉~􀜞􀰉 􀵅 d􀜞􀰉的分布为􀝂􀰉􀵫􀜞􀰉􀵯的粒子相

称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
􀟲
􀟲􀜞􀰈
􀵬
1
􀝑
􀵰 􀵌 􀵆
􀜝
􀝑􀬷 ，
􀟲􀬶􀝑
􀟲􀜞􀰈􀟲􀜞􀰈
􀵌
􀝑􀬶􀛷 􀴿
􀵆 􀜝􀜝
􀝑􀬷
则有结果
􀵼
Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌 􀟁􀰈
􀟲􀜪􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈
， 􀵼
Δ􀜞Δ􀜞
Δ􀝐
􀶀
􀰈
􀵌 􀟁􀰈
􀟲􀬶􀜩􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈􀟲􀜞􀰈
用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
􀵬
􀟲􀝂􀰈
􀟲􀝐
􀵰
􀯖
􀵌 􀟁􀰈 􁉊􀵆
􀟲
􀟲􀜞􀰈
· 􁉈􀝂􀰈􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜪􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈
􁉉 􀵅
1
2
􀟲􀬶
􀟲􀜞􀟲􀜞
􀗷 􁉈􀝂 􀰈
􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀬶􀜩􁈺􀜞􀰈􁈻
􀟲􀜞􀰈􀟲􀜞􀰈
􁉉􁉋
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价，Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断，如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献，也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。