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引起粒子进入， d速度区间的粒子数，即d的增
加率
||||，dd
称为Boltzmann 碰撞积分算子。碰撞项算子取Boltzmann 碰撞积分
算子的动理学方程
·
·
＝
||||，dd
称为Boltzmann 方程。其中引入记号
，
， ，
Boltzmann 方程是一个非线性积分微分方程，最初是对中性气体导出
来的。在求Boltzmann 碰撞积分算子的过程中，实际上含有如下假设：
所有碰撞都是二体碰撞，相互作用长度远远小于发生显著变化的尺
度；碰撞时间远远小于发生显著变化的时间。这种假设对于完全电
离等离子体不成立
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
。因为正反过程完全对称，所以dd dd，对于弹性碰
撞，
||，而且变换的Jacobi 行列式
，
，
1
则有
d
d
dd
因此得d的增加数为
d
dddd
碰撞引起的粒子净增加数为
将对求和以考虑各种粒子的贡献
||ddd
利用微分截面定义
dd ||，d
则碰撞算子改写为
2.2 Landau 方程
从Boltzmann 碰撞积分算子出发，Landau1936将粒子碰撞取
Coulomb 场散射微分截面，由于等离子体中远碰撞（小角度偏转）占
主要地位，每次碰撞带电粒子速度的改变量Δ，Δ都很小，因此
可以把Boltzmann 碰撞积分中的分布函数对小量Δ，Δ展开，保
留到二阶小量，就得到Landau 碰撞项，相应的动理学方程称为
Landau 方程
2.3 Fokker‐Planck 方程
Boltzmann 碰撞积分一开始就假定碰撞是短程的两体碰撞，而等
离子体中带点粒子之间是长程的Coulomb 作用，粒子间的碰撞大都
是小角度散射，每个粒子同时要与周围的大量粒子相互作用，大角度
偏转主要是小角度偏转累积的结果，Landau 碰撞算子对此有所改进。
20 世纪对Brown 运动进展，Rosenbluth 等（1957）研究导出新的碰
撞算子。Brown 粒子质量大，受到周围分子碰撞时，每个速度改变量
Δ都很小，|Δ| ||，可以把Δ视为小量，对Brown 粒子的分布函
数作Taylor 展开。这样得到的碰撞算子为微分形式，由此得到的动
理学方程称为Fokker－Planck 方程。
由于碰撞，设速度的粒子在时间Δ内速度获得速度增量Δ的几
率为，Δ，称为转移几率
dΔ，Δ
1
其中，Δ是独立变量，假定转移几率，Δ不显含时间，表示
过程与粒子过去的历史无关，这种过程称为Markov 过程。
运用归一化条件，可以把第一项与等式左边抵消，且注意到分布函数
，，与Δ无关，可以提出到积分号外面
，，
1
Δ
dΔ
Δ · ，Δ
1
2
: ，，
1
Δ
dΔ
ΔΔ ，Δ
定义动摩擦矢量
Δ
Δ
1
Δ
Δ，Δ
dΔ
和扩散张量
ΔΔ
Δ
1
Δ
ΔΔ，ΔdΔ
保留二阶小量，得到Fokker‐Planck 碰撞算子
·
Δ
Δ
，，
1
2
ΔΔ
Δ
，，
其中，第一项表示碰撞引起的粒子束流速度慢化，称为动摩擦项；第
一项表示碰撞把初始单一方向分布的粒子在速度空间扩散开来，称为
扩散项。
设速度为分布函数为的粒子与速度为分布函数为
的粒子相碰撞，相对速度为 ；第一个粒子被散射
到立体角内的几率为
，d ， sin dd
其中，为散射微分截面， 。现有一个分布为
的粒子在单位时间内与一群在~ d的分布为的粒子相
称为Rosenbluth 势函数。注意到关系式
1
，
则有结果
Δ
Δ
，
ΔΔ
Δ
用Rosenbluth 势函数表示Fokker‐Planck 碰撞算子
·
1
2
Landau 碰撞算子与用Rosenbluth 势函数表示的Fokker‐Planck 碰撞
算子完全等价，Landau 碰撞算子形式更对称。经过适当的截断，如
果用Coulomb 散射截面计算Boltzmann 碰撞算子并只保留小角度散
射的贡献，也可以得到Fokker‐Planck 碰撞算子。
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