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黎曼自然地假定，线元的长度不依赖于位置，用他的话说，“每一条线都可以通过其他的线来度量”,泛函
这里不得不提到两种变换：平行投影变换和中心投影变换。
前者是从一个点出发，散发出条条射线（想象一下物理学中的“点光源”）。后者是构造用一些相互平行的直线，来把将要研究的几何对象上的所有的点，用这些直线来对应到一些新的点。（没有写完，现在我必须下线了。。。）
http://tieba.baidu.com/p/977247426
微积分，线代，实分析，点集拓扑
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除了这些，还需要本科时开的射影几何与微分几何（即曲线与曲面的微分几何），硕士开的李群，微分流型，微分拓扑等
看你是那个方向的（黎曼几何也分很多方向的，如李群方向或调和方向），也会用到代数拓扑与调和分析
古典的射影几何是建立在古典欧几里得几何基础上的，古典欧几里得几何的研究对象是仿射直线、仿射平面、或者三维仿射空间----必须是赋予了一个叫做DISTANCE(距离)或METRIC（度规）的k维仿射空间（k只取1、2、3）----中的点、曲线、曲面。而古典的射影几何的背景空间，是通过把带有度规的k维仿射空间（k只取1、2、3）按某种方式紧化（不是单点紧化），也就是添加了一些无限远的元素而得到的。
射影几何的背景（容器）是通过把带有度规的k维仿射空间紧化，也就是附加了一些东西而得到的。而仿射几何的背景----也就是仿射空间，是通过把带有度规的k维仿射空间的度规所遗忘掉（去掉）而得。直观地说，在欧几里得几何-----也叫距离几何中，我们可以求长度、求面积、求夹角，这都要拜“度规”这个奇妙的朋友所赐，当然还有“平移”--另一位朋友，是比较不那么“奇妙”的。除去了度规后，正交变换会扩大，会有保角变换（也叫共形变换。可回忆一下复变函数里保角映射的定义），还有其他的一些东西。
总之，仿射几何里，长度不可以求，面积无法算，角度也更是无法构造；射影几何也一样。原因就是，仿射几何跟射影几何的背景空间，都没有被赋予度规。
这里不得不提到两种变换：平行投影变换和中心投影变换。
射影几何的背景（容器）是通过把带有度规的k维仿射空间紧化，也就是附加了一些东西而得到的。而仿射几何的背景----也就是仿射空间，是通过把带有度规的k维仿射空间的度规所遗忘掉（去掉）而得。直观地说，在欧几里得几何-----也叫距离几何中，我们可以求长度、求面积、求夹角，这都要拜“度规”这个奇妙的朋友所赐，当然还有“平移”--另一位朋友，是比较不那么“奇妙”的。除去了度规后，正交变换会扩大，会有保角变换（也叫共形变换。可回忆一下复变函数里保角映射的定义），还有其他的一些东西。
总之，仿射几何里，长度不可以求，面积无法算，角度也更是无法构造；射影几何也一样。原因就是，仿射几何跟射影几何的背景空间，都没有被赋予度规。
这里不得不提到两种变换：平行投影变换和中心投影变换。
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