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外尔引入射影和保形结构，不仅有数学上的考虑，同时也有物理上的含义。在爱因斯坦流形中，闵可夫斯基几何在无穷小范围内是有效的。4维世界的直线就是质点循“引导场”运动的测地线，零锥就是从某点发出的光锥。既然射影性质和保形性质唯一地确定了度量关系（准确到一个常数 λ），那么通过观察光线和自由落体轨迹，就可以确定引力场，而无需求助于时钟和刚尺的测量。关于流形上这四种几何结构及其与物理学的关系，外尔在1931年的一篇文章中给出了一个简明图示（【9】，GA III，340）：
保形特性 射影特性 (因果结构)
4． 空间“度量的本质”
在外尔的几何三部曲中，联系仿射联络空间与度量空间这两个环节的关键就是微分几何的基本定理：在黎曼流形或外尔流形上，存在唯一与黎曼度量gij 或外尔度量 (gij, φk)相容的无挠仿射联络 Γ 和 wΓ 。从1920年之后，外尔开始发问，这个定理的逆命题是否成立？【11】或者说，采用二次齐次微分式来定义度量的依据何在？我们能否从一个更直观的基础出发，利用自由运动的合同公理，并假设上述逆命题成立，从而说明黎曼或外尔度量假设的合理性呢？
这就是外尔所说的 “空间问题”(Das Raumproblem)。在黎曼或外尔几何中，线元的长度表示为二次齐次微分式的平方根，用外尔的话讲，就是“在无穷小范围内毕达哥拉斯定理是成立的”。外尔把这个度量假设称作“空间度量的毕达哥拉斯本质”，有时简称为“空间的本质”或“度量的本质” ( die Natur der Metrik)，因为它是与空间中点的位置无关的。在外尔的用语中，“度量的本质”是与“度量在各点的相对定向”比照而言的，后者的意思是说，
1854年的就职讲演中，黎曼确实提到过，度量也可能用四次微分式的四次方根来表示，但他对此未予考虑：
对于这个较一般的情形的研究，实际上并不要求本质上不同的方法，但这要消耗大量时间，并且不会给空间理论带来多少新的知识，特别是这样得出的结果缺少几何意义；因此我只限于研究那些能用二次微分式的平方根表示线元的流形。（【4】，9）
对于这种限制，黎曼的理由是：考虑一个绕某点O的无穷小“圆周”，该圆周上各点（按短程线量度）与O点的距离相同，因此可用一个解析函数方程
F (x1, x2, … , xn) = 常数
来表示。考虑F在O点的泰勒展开，因为F在O点具有极小值并且为0，因此其展开式必以二次项开头。所有的二次项构成一个非负二次型。如果所有的二次项皆为正，并且在高阶项退化的情形下，我们就得到“毕达哥拉斯性质”的ds2。黎曼还假定，线元的长度与位置无关，因此“度量的本质”在空间各点是相同的。按照线性代数的惯性定理，任意一个黎曼空间中各点的度量都对应于同一个标准型
ds2 = (ξ1)2 + (ξ2)2 + … + (ξn)2。
外尔的“空间问题”实际上是赫姆霍兹（H. L. F. von Helmholtz 1821-1894）和李（M. Sophus Lie 1842-1899）的空间问题的推广。赫姆霍兹和李所探讨的问题，简单地说，就是利用刚体的自由运动性和两个定向旗（oriented flag）来刻画齐性黎曼空间(【14】, 80-82)。外尔在1922年马德里讲演中，依据正交群的李代数对赫姆霍兹－李问题作了完整的阐述和严格的证明。所谓n维空间中的自由运动(合同变换)，按照外尔的叙述，
能够把一个任意点移动到任意一点，一条过某固定点的任意定向线元移动到过此点的任意一条定向线元，一个过某固定点以及过该点的固定定向线元的任意定向面元移动到任意一个这样的定向面元，如此直到(n − 1)维定向元。如果某一点、过该点的定向线元、过该点及该线元的定向面元、一直到(n − 1)维定向元全都保持不动，那么除了恒等变换外没有其它的合同变换。（【5】，31）
从这个自由运动公理出发，外尔证明：唯一满足这种自由运动条件的空间是黎曼球空间，唯一满足这种条件的运动群是球空间的合同变换群。
运用赫姆霍兹－李的自由运动公理只能刻画齐性空间的度量。在一般的黎曼空间或外尔空间中，矢量的平行位移依赖于路径，因此赫姆霍兹－李的运动公理是不适用的。按照黎曼
的思想和爱因斯坦的广义相对论，度量场的定量分布完全是任意的，依赖于物质的分布与变化。用外尔的话来讲，空间不是一间造好待租的标准客房，而是像蜗牛一样适应力场的结果。齐性空间与一般黎曼空间的区别，犹如晶体与流体的区别
公设（4）实际上就是度量几何的基本定理：在“度量的本质”所容许的自由范围之内，无论度量场取何种定量形式，总是唯一地确定了仿射联络。在度量几何中，“度量的本质”，即带有确定符号差的二次标准型，是先验的、不变的；随意变化的只是各点度量式相对于标准型的一个线性变换，或者说“空间中各点度量的相对定向”。但在这里，“度量的本质”是由群G来刻画的，“度量的相对定向”即所有的GP都相互共轭。 外尔把“度量的本质”比作国家的宪法，“度量的相对定向”比作公民在宪法所容许的范围之内享有的个人自由。宪法是对全体国民具有约束力的法律，但宪法的本质是最大限度地保障全体的福利
在空间的王国，具有约束力的国家大法就是度量的本质，公民的自由即空间中各点度量取不同相对定向的可能性；那么什么是“全体的福利”呢？只要人们留意一下无穷小几何的构造及其在广义相对论中的应用，不难发现一个关键性的事实, … 即，仿射联络是由度量场所确定的；在我看来，这就触及时空王国内“全体的福利”。（【5】，46
公设（4）实际上就是度量几何的基本定理：在“度量的本质”所容许的自由范围之内，无论度量场取何种定量形式，总是唯一地确定了仿射联络。在度量几何中，“度量的本质”，即带有确定符号差的二次标准型，是先验的、不变的；随意变化的只是各点度量式相对于标准型的一个线性变换，或者说“空间中各点度量的相对定向”。但在这里，“度量的本质”是由群G来刻画的，“度量的相对定向”即所有的GP都相互共轭。 外尔把“度量的本质”比作国家的宪法，“度量的相对定向”比作公民在宪法所容许的范围之内享有的个人自由。宪法是对全体国民具有约束力的法律，但宪法的本质是最大限度地保障全体的福利。
在空间的王国，具有约束力的国家大法就是度量的本质，公民的自由即空间中各点度量取不同相对定向的可能性；那么什么是“全体的福利”呢？只要人们留意一下无穷小几何的构造及其在广义相对论中的应用，不难发现一个关键性的事实, … 即，仿射联络是由度量场所确定的；在我看来，这就触及时空王国内“全体的福利”。（【5】，46）
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