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any spike, 该点上的泛函 is way down below

《微分几何入门与广义相对论（上册·第二版）》的笔记-第三章黎曼内稟曲率张量

李瞬生 (多大欲望就做多大的事别欲求不满)

章节名：第三章黎曼内稟曲率张量
2014-09-11 20:43:25

本章内容大致与作者老师所作 http://book.douban.com/subject/1768648/ 第三章相同 适合交叉阅读

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几何学的目的是研究单参变换群下的不变量 此过程开发出来的几何语言常用于描述物理世界

在欧氏几何中这些不变量通常由 点 矢量 距离 夹角等概念描述

欧氏空间是平直的 矢量沿任何轨迹的平移都不会影响夹角 两条平行线永远也不会相交 但经验发现 欧式几何不足以描述物理世界的规律

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在微分几何中 空间不再假设为平直的 每一点上都有局部特殊的矢量空间 这些矢量被定义为该点上的泛函 微积分中的导数算子也被推广到这些矢量及相应的张量上 且可以写作偏微分算子与克氏符的形式



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为了比较矢量 

 在某曲线上的平移由以下包含导数算子的微分方程定义 其中 

 为曲线的切矢



若要求矢量在平移过程中夹角不变（内积不变） 则导数算子可由度规张量唯一确定 其微分方程为



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将欧氏几何中直线的概念进行推广 定义测地线为切矢沿自己平移的曲线 对应方程为


从上面的常微分方程易知 和欧式空间类似 在流形上 一个点和该点的一个矢量确定一条测地线

和欧氏空间不同的是 流形上 两点间测地线不一定最长 但其长度一定是极值

如在狭义相对论中的闵氏时空 两点间总纯在长度为0的类光曲线

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既然微分几何舍弃了欧氏几何的平直假设 因此作为定量分析空间内稟曲率的工具 黎曼曲率张量被定义为

欧式空间和闵氏时空的黎曼曲率张量都为零 因此其空间被称为平直的

黎曼曲率张量还能用来描述使空间连续性破裂的奇点 如黑洞

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利用黎曼曲率张量的一些基本性质 可定义里奇张量与标量曲率 并用于定义爱因斯坦张量 及广义相对论中的爱因斯坦方程中

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关于空间的曲率 可分为外稟曲率与内稟曲率

如在三维空间里观察一个弯曲的二维曲面 这样观察到的弯曲被称为外稟曲率 因为这是从二维曲面 外 的三维空间所作出的观察

若我们人在四维的时空中 发现重力作用下空间发生了弯曲 这样观察到的弯曲被称为内稟曲率 因为这是在弯曲空间内部作出的观察