Monday, May 11, 2015

在高維度的微分幾何學裡，曲率可以看成是度量向量場二次微分的交換程度(這與空間的彎曲程度有關係)。辐射能为主的时期，对称性高，高能，然后对称性破却，能量很大部分变成质量的结合能

https://frankliou.wordpress.com/2012/03/19/cartan%E6%B5%81%E5%BD%A2%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%AD%B8%E8%88%87%E6%9B%B2%E7%8E%87%E5%BC%B5%E9%87%8F/

辐射能为主的时期，对称性高，高能，然后对称性破却，能量很大部分变成质量的结合能
曲率的概念是為了度量空間的彎曲程度所產生的數學量，而在高維度的微分幾何學裡，曲率可以看成是度量向量場二次微分的交換程度(這與空間的彎曲程度有關係)。假設 $X,Y,Z$ 是向量場，我們定義

$R(X,Y)Z=D_{X}D_{Y}Z-D_{Y}D_{X}Z-D_{[X,Y]}Z.$

在歐氏空間中，如果 $Z$ 是光滑向量場，我們很自然的可以得到曲率張量為零。然而在一般的黎曼流形中，空間的彎曲程度會影響著向量場的二次微分項。取局部座標 $x^{\mu}$ 後，我們把黎曼曲率張量寫成局部座標的形式:

$R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma}=R_{\sigma\mu\nu}^{\delta}\partial_{\delta}.$

接著我們來定義一些曲率張量。
Ricc曲率張量 $R_{ij}$ 定義為

$R_{ij}=R_{jki}^{k}$

純量張量(Scalar curvature)則定義為

$R=g^{kl}R_{lk}=R_{k}^{k}.$

則我們可以證明下列關係式:
(1)first Bianchi: $R_{ijk}^{l}+R_{jki}^{l}+R_{kij}^{l}=0$
(2)second Bianchi: $D_{l}R_{kij}^{m}+D_{i}R_{kjl}^{m}+D_{j}R_{kli}^{m}=0.$
(3) $\displaystyle D_{m}R_{k}^{m}=\frac{1}{2}D_{k}R$ (換句話說 $\displaystyle\mbox{div}(\mbox{Ric})=\frac{1}{2}dR$ .)
任給 $M$ 上的向量場 $X,Y$ 。假設 $\sigma$ 是 $X(P), Y(P)$ 形成的 $T_{P}M$ 的二維向量子空間，我們定義截面張量

$\displaystyle K(\sigma)=\frac{\langle R(X,Y)Y,X\rangle}{\|X\wedge Y\|^{2}},$

其中 $\|X\wedge Y\|^{2}=\sqrt{\|X\|^{2}\|Y\|^{2}-(\langle X,Y\rangle)^{2}}.$
利用局部座標系，我們還可以把 $R_{ijk}^{l}$ 表示成 $\Gamma_{ij}^{k}$ 的形式:

$\displaystyle R_{jkl}^{i}=\frac{\partial\Gamma_{jk}^{i}}{\partial x_{l}}-\frac{\partial \Gamma_{jl}^{i}}{\partial x_{k}}+\Gamma_{sl}^{i}\Gamma_{jk}^{s}-\Gamma_{ks}^{i}\Gamma_{jl}^{s}.$

Cartan的流形微分學

假設 $E_{1},\cdots,E_{n}$ 是 $M$ 上的向量場。我們說 $\{E_{i}\}$ 是直交的若且唯若

$g(E_{i},E_{j})=\delta_{ij}.$

此時我們稱 $\{E_{1},\cdots,E_{n}\}$ 為 $M$ 上的一組活動標架(moving frame)。令 $\{\theta^{i}:\theta^{i}\in\Gamma(M,T^{*}M)\}$ 表示 $\{E_{i}\}$ 的對偶場。(換句話說， $\theta^{i}(E_{j})=\delta_{j}^{i}.$ )則我們知道 $d\theta^{i}$ 是2-form。
定理:存在one-forms $\omega_{j}^{i}$ 滿足 $\omega_{j}^{i}=-\omega_{i}^{j}$ 使得

$d\theta^{i}=\theta^{j}\wedge \omega_{j}^{i}.$

我們稱 $(\omega_{j}^{i})$ 為connection-one-forms.

證明:令 $D$ 表示 $M$ 上的黎曼聯絡，且 $\omega_{j}^{i}$ 定義來自:

$\displaystyle D_{X}E_{i}=\sum_{j=1}^{n}\omega_{i}^{j}(X)E_{j}.$

那麼利用黎曼聯絡的性質，我們可以得到此結果。

定義

$\Omega_{j}^{i}=d\omega_{j}^{i}+\omega_{k}^{i}\wedge \omega_{j}^{k}.$

則我們稱矩陣 $(\Omega_{j}^{i})$ 是curvature- 2-form。由於 $\theta^{i}\wedge\theta^{j}$ 在每個點 $P$ 上都是 $\Lambda^{2}T_{P}^{*}M$ 的基底，因此我們可以把 $\Omega_{j}^{i}$ 寫成 $\theta^{i}\wedge\theta^{j}$ 的表示:

$\displaystyle\Omega_{j}^{i}=-\sum_{1\leq k<l\leq n}R_{jkl}^{i}\theta^{k}\wedge\theta^{l}.$

其中 $R_{jkl}^{i}$ 為黎曼曲率張量。其中， $R_{jkl}^{i}=-R_{kjl}^{i}.$

範例:假設 $(M,g)$ 為黎曼曲面，則curvature 2-form為

$\Omega_{2}^{1}=-R_{212}^{1}\theta^{1}\wedge\theta^{2}.$

其中我們知道曲面的高斯曲率為 $K=R_{212}^{1}.$

註記:所以大家應該可以看到，利用活動標價的方法(Cartan的微分學)可以簡化很多流形上張量的計算。應用的話，大家可以閱讀:曲面的高斯曲率的計算。

《微分几何入门与广义相对论（上册·第二版）》的笔记-第三章黎曼内稟曲率张量

李瞬生 (多大欲望就做多大的事别欲求不满)

读过微分几何入门与广义相对论（上册·第二版）

章节名：第三章黎曼内稟曲率张量
2014-09-11 20:43:25

本章内容大致与作者老师所作 http://book.douban.com/subject/1768648/ 第三章相同 适合交叉阅读

-
几何学的目的是研究单参变换群下的不变量 此过程开发出来的几何语言常用于描述物理世界

在欧氏几何中这些不变量通常由 点 矢量 距离 夹角等概念描述

欧氏空间是平直的 矢量沿任何轨迹的平移都不会影响夹角 两条平行线永远也不会相交 但经验发现 欧式几何不足以描述物理世界的规律

-

在微分几何中 空间不再假设为平直的 每一点上都有局部特殊的矢量空间 这些矢量被定义为该点上的泛函 微积分中的导数算子也被推广到这些矢量及相应的张量上 且可以写作偏微分算子与克氏符的形式



-

为了比较矢量 

 在某曲线上的平移由以下包含导数算子的微分方程定义 其中 

 为曲线的切矢



若要求矢量在平移过程中夹角不变（内积不变） 则导数算子可由度规张量唯一确定 其微分方程为



-

将欧氏几何中直线的概念进行推广 定义测地线为切矢沿自己平移的曲线 对应方程为


从上面的常微分方程易知 和欧式空间类似 在流形上 一个点和该点的一个矢量确定一条测地线

和欧氏空间不同的是 流形上 两点间测地线不一定最长 但其长度一定是极值

如在狭义相对论中的闵氏时空 两点间总纯在长度为0的类光曲线

-

既然微分几何舍弃了欧氏几何的平直假设 因此作为定量分析空间内稟曲率的工具 黎曼曲率张量被定义为

欧式空间和闵氏时空的黎曼曲率张量都为零 因此其空间被称为平直的

黎曼曲率张量还能用来描述使空间连续性破裂的奇点 如黑洞

-

利用黎曼曲率张量的一些基本性质 可定义里奇张量与标量曲率 并用于定义爱因斯坦张量 及广义相对论中的爱因斯坦方程中

-

关于空间的曲率 可分为外稟曲率与内稟曲率

如在三维空间里观察一个弯曲的二维曲面 这样观察到的弯曲被称为外稟曲率 因为这是从二维曲面 外 的三维空间所作出的观察

若我们人在四维的时空中 发现重力作用下空间发生了弯曲 这样观察到的弯曲被称为内稟曲率 因为这是在弯曲空间内部作出的观察