如题，近自由电子模型的未受微扰的解不就和量子自由电子论是一样的么？在量子自由电子论推导费米能级的过程中，认为一个波矢表示一种状态，一种状态中可以安置两个电子，并依此推导出费米能级。
然而在近自由电子模型中，由于引入了周期场近似，于是一个波矢就对应多个能量值了，这时候一个波矢不就不能表示一种状态了么，那费米能级还能适用么？明显是适用的，为什么呢？
另外，费米波矢
是否在第一布里渊区内部？若在，为何只选了
一个能量态；若不在，那又如何解释？
问题补充：近自由电子近似首先假定势能为零是的自由电子，之后加入了势能的影响，那么在加入势能影响之前，他应该就是自由电子吧。
然而在加入势能影响之前这一种情况下，如果引入了周期场近似，这时候的模型即空格子模型（注意不是近自由电子模型！！！），它的能量表达式是
，波函数是1/L^(1/2)exp[ik·r]，这时候的波失和推导费米能级的波失是一个了吧。
那么现在问题来了，为什么这个时候一个波失可以表示多种状态值呢？？周期场近似对它做了什么？
然而在近自由电子模型中，由于引入了周期场近似，于是一个波矢就对应多个能量值了，这时候一个波矢不就不能表示一种状态了么，那费米能级还能适用么？明显是适用的，为什么呢？
另外，费米波矢
问题补充：近自由电子近似首先假定势能为零是的自由电子，之后加入了势能的影响，那么在加入势能影响之前，他应该就是自由电子吧。
然而在加入势能影响之前这一种情况下，如果引入了周期场近似，这时候的模型即空格子模型（注意不是近自由电子模型！！！），它的能量表达式是
，波函数是1/L^(1/2)exp[ik·r]，这时候的波失和推导费米能级的波失是一个了吧。那么现在问题来了，为什么这个时候一个波失可以表示多种状态值呢？？周期场近似对它做了什么？
评论 (11) 只看楼主
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1楼 2014-10-24 13:34 浔荆 取消只看Ta看到你的问题，回去翻了翻固体物理教材，才发现原来我的固体物理学的这么渣。[0] |
其实你的推断基本没错，从晶体模型角度出发，第一布里渊区的体积为1/V(v为正空间元胞体积，有的教材上喜欢用(2pi)^3/V，只是倒格矢单位的差别，没有本质影响)，若一个元胞内只含一个电子——注意，这点很重要——那么正好，所有电子正好把整个第一布里渊区填满。此时第一布里渊区的表面就是费米面。
但是元胞内的原子一般不会是氢原子，所以倒空间内含有n*N个电子（N为宏观晶体原子个数,n为原子序数)。此时第一布里渊区不足以放下如此多的电子，于是电子继续填充第二、第三、、、一直到第n个布里渊区，此时第n布里渊区的表面就为费米面。
再回到你的问题，为什么加了周期场近视，一个波矢就对应多个能量本征值了呢？
晶体中的多个能量本征值来自不同的布里渊区，电子填满第一布里渊区后，向其他布里渊区填充便会得到更高的能量，在波恩-卡曼边界条件下，各个布里渊区都是等价的，所以成了一个波矢的不同本征值。
如果我们把自由电子气也看成处于一个周期场下，只不过这个周期场强度处处都为0，所以周期场的周期也为0。那么此时布里渊区的体积1/V为一个无穷大的值。所以电子无论如何是填不满第一布里渊区的，此时一个波矢便只有一个能量值
- 4楼 2014-10-25 10:34 浔荆 取消只看Ta[0] |
引用@东方日月 的话：你说的都看懂了，不过怪我没表述清楚。。。。=_=。。。我问题的核心是这句话就是因为基本上之前的所有公式包括能态密度等等都是按照一个波失表示一种状态来推导的，可这时候突然告诉我一个波失可以表示好多种状态...
也怪我没有把重点说清吧。。。
周期性场下的多个能量值来自周期性边界条件下，倒空间也呈现出的周期性。也就是说，将波矢k增大一个布里渊区长度的值，体系能量本征值的大小并不改变。所以可以把第N能带理解成原本第N布里渊区内的能带，只是在周期性条件下平移到第一布里渊区了而已。
实际上，我认为没有周期场时这种平移对称性也是存在的，只不过正空间的平移周期变为0，倒空间的平移周期变为无穷大。所以——针对你的问题——在没有周期场的作用下，一个波矢也可以有很多能量本征态的。只不过这个能量值无穷大，永远不能被电子填充而已。
题外话：其实我不太喜欢能带的近自由电子近似，用紧束缚近似理解起来多形象啊。一句话就可以概括——能带结构是高度简并的原子轨道能级在周期性势场微扰下的分裂。 - 6楼 2014-10-26 08:41 浔荆 取消只看Ta1、没错没错，就是这两张图。将第一张图做周期性的平移就得到了第二张图了，实际上两个图表达的是一个内容。
2、你指那些结论不能推倒出来呢？倒空间周期无穷大其实就等于没有周期性，这点在数学上（应当）是等价的，第二能级能量为无穷大其实也就等价于没有第二能级。所以把自由电子当做平面波来处理还是没有问题的。
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