"Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2014-04-22 12:30:48
1. 呃，我的意思应该是可以测量的是基态的响应而不是基态本身，而基态的响应依靠激发来实现，如果一个基态上没有激发，你将几乎无法测量这个基态。我们之所以可以通过磁化来测量铁磁基态的原因是铁磁基态上有很多低能的激发。没有激发的基态是没有响应的，就像理想真空一样。
2. 因为Goldstone mode的定义就是恢复对称性的长波涨落，Goldstone定理只不过进一步指出对于连续对称破缺，这些恢复对称性的模式是没有能隙的。SDW 的Goldstone mode是磁子，CDW的Goldstone mode是声子。磁子恢复磁性对称性，声子恢复平移对称性。
3. 因为spin wave是激发不是基态。同样是有空间指向性，放在基态上就是对称破缺，而放在激发上就是对称恢复。任何单个的磁子都没有SU(2)对称性，真是因为如此，把许多磁子乱糟糟地堆在一起，就会获得具有各种指向的自旋构型，磁子激发就像噪声一样打乱了基态的磁有序背景，从而起到恢复SU(2)对称性的作用。"
群、弦理论与完美数&梅森素数
本文从以下两部分来阐述本人的观点，第一部分是有关弦理论的资料，第二部分是本人的观点。
第一部分：有关弦理论的资料
(节选自 弦论通俗演义 李淼 第五章 第一次革命)
……
26 维左手模中的10 个维度和10 维超弦的右手模中的玻色场共同形成物理的10 维时空。换言之，这10 维时空没有紧化，这样右手模和左手合并起来含有10 空间中的引力场，所以这10 维空间是真正的物理空间，因为只有当几何(其激发态是引力子)是可变的时候才是真正意义上的时空。左手玻色场剩下来的16 维没有相应的右手模，从而不可能有相应的引力场，这样这16 维一旦固定下来，就不会发生动力学变化，从而不能被看着是空间，这16 维可以类比于量子场论中的内秉空间，它们的存在仅仅引入新的自由度而已。
稍早，一些其他人一猜测E(8)X E(8) 超弦可以由26 维的玻色弦获得，如芝加哥大学富润(P. G. O. Freund)。富润也知道应当用到一些新的数学，就是我们马上要提到的仿代数(affine algebra) 的顶点算子表示，但他没能有效的将右手和左手分开，所以没有得到大家后来熟知的杂化弦。
现在，仅仅是为了粗糙地理解什么是杂化弦，我们需要引进一些不熟悉的物理和数学概念，这些和环面有关。我们知道，一维的圆可以叫做一维环面，两维环面大家最熟悉，象一个轮胎的表面。同理，我们可以想象高维的环面。现在假定一些物理的空间是环面，弦在这个环面上运动。再假定这个环面是平坦的，没有曲率，但这个环面可以有不同的形状。比如一个两维环面，可以通过黏结一个平行四边形的两对对边得到，所以这个环面可以有不同的形状。用比较数学化的语言，平行四边形的四个定点可以看作一个两维晶格上的点，而一个平行四边形本身可以看作这个晶格的一个基本格子。最后，环面通过把所有平面上的基本格子等价而得到的，这样，环面就是一种最简单的平面陪集，其等价群就是晶格所代表的群。同样，我们可以由一个高维的平坦空间出发，加上一个高维的晶格作为等价群，就可以获得任何想要得到的平坦的高维环面。
当弦在环面上运动时，它可以有振动，这一般叫做激发，而非激发的状态有两组物理量子数来决定，这些通常叫做零模。一组零模就是整个弦的沿环面的动量，而另一组是弦在环面上各个方向缠绕的次数，即绕数。这两组量子很重要，后面谈T 对偶时要起很大作用。对于一个粒子来说，最简单的波函数是平面波，其中的量子数是动量。对于一个弦来说，最简单的波函数也是平面波，但当弦有绕数时，我们要推广这个平面波。这个推广很简单，就是把平面波中的座标用弦的整个座标取代，将右手模和左手模分开，就有了两组动量，而这两组动量是弦的动量和绕数的线性组合。这个平面波波函数当作世界面上的函数看待时，就叫顶点算子。
并不是所有动量和所有绕数都是允许的。我们知道，动量在量子力学中对偶于座标，由于环面上的周期性，动量必须量子化。结论很简单，就是动量也必须处在一个晶格上，这个晶格对偶于用来构造环面的晶格。当然饶数是自动量子化的，很明显，绕数处在原来的晶格上。现在，为了构造杂化弦，我们要求去掉16 维环面上的右手部份，这就要求右手的动量为零，也就是一些总动量和饶数的线性组合为零。这对原来的晶格以及它的对偶晶格加了一些限制条件。弦的一次量子化又要求弦的动量在壳条件，从顶点算子的角度来说，这个算子的左手反常权必须是1，这说明晶格上的一些基本长度是偶整数，从而晶格上的任一点的长度都是偶整数。所有这些条件加起来，我们基本上得到一个结论，就是，这个16 维的晶格是一个偶的并且是自对偶的晶格(even self-dual lattice)。
巧的是，在16 维中，只有两个满足这些条件的晶格，这两个晶格分别对应于两个群，就是SO(32) 和E(8)XE(8)，晶格恰巧是群的极大环面的晶格，也就是说，这些群每个都有一个极大的平坦环面，维数是16，用来构造这个环面的晶格满足我们上述的条件。这样，在晶格上取长度恰为2 的点来构造顶点算子，这些算子再和右手模结合，得到一些完整的算子，这些算子对应于10 维时空中的规范场的激发态。另一个巧合是，每个16 维的晶格上恰有496 个长度为2 的点，和应有的规范场的个数相等。
证明这些顶点算子满足相应的李代数要用到在当时来说是相当新的数学，就是仿代数的顶点算子表示。这个数学分支有一个有趣的历史，在数学方面，先是勒泊斯基(J. Lepowsky)和威尔逊(R. Wilson)开始研究，由富兰克( I. B. Frenkel)、凯兹(V. G. Kac) 等人完成，再由哥达德(P. Goddard) 和奥立弗(D. Olive) 用物理的语言在84 年左右表达出来。所有这些工作早年有物理学家研究过特例，如海尔朋(M. B. Halpern)。在一次革命之后，产生了很多相关工作，当然威顿的对所谓外斯-朱米诺-威顿模型的研究极大推广了这些工作的物理意义，对后来的发展有很大的影响。
杂化弦的右手部份是10 维超弦的一半，所以由此而来的超对称也是10 维超弦的一半，就是N 等于1 的10 维超对称。当群为SO(32)时，零质量场的内容和型-I 超弦没有任何区别。这个重要特征并没有引起任何人的重视，因为很自然地人们以为这是两种完全不同的理论。杂化弦是一个纯闭弦的理论，而型-I 弦含有不可定向的开弦和闭弦。杂化弦左手部份的在环面上的16 个玻色子又可以用32 个费米子取代，这和两维中(世界面)的“费米化”有关。我们不谈费米化，只简单地介绍一下杂化弦在费米表示下的构造。32 个费米子，可以分为两部份，对每部份独立的加周期或反周期条件(即雷芒分支，或内吾-史瓦兹分支)。在壳条件表明，只有两种可能才能得到自洽的谱，就是要么所有32 个费米场满足同样的条件，这样得到群为SO(32)的杂化弦；要么32 个费米子分成每组16 个费米子的两个组，独立地加周期条件。可以很快地得到结论，必须用格舍奥投射(见第四章第四节或更早)，这样投射的结果是在第一个激发上恰有496 个态，这对应于E(8)XE(8)的规范场。可以证明，不能将32 个费米子拆成更多的组。费米子表示的好处是不需要仿代数的顶点算子知识，这也是它的坏处，因李代数的结构不清楚。费米子表示也说明，16 维新的空间的确是内秉空间。
……
第二部分：本人的观点
2^2-1=4-1=3
4维（时空维数）-1维（时间维数）=3维（可感知空间维数），可感知空间的维数3是最小的梅森素数。
由第一部分有关弦理论的资料可知，完美数496在弦理论的发展中有着极为重要的作用和地位，这仅仅是一个巧合吗？
第一部分有关弦理论的资料中频繁出现2、4、8、16、32等2^n型的数，而梅森素数是2^p-1型的素数，这也是一个有趣的联系。而梅森素数与偶完美数是一一对应关系。
由第一部分有关弦理论的资料可知，群论作为一种重要的数学工具在弦理论的发展中起着极为重要的作用。而在证明用来检验梅森数素性的卢卡斯-莱默检验法的过程中，也用到了群论这种威力强大的重要数学工具。
本人的观点是，完美数&梅森素数与弦理论之间、完美数&梅森素数与群之间、完美数&梅森素数与几何之间也许存在着某种未知的联系，而在证明关于梅森素数分布规律的著名的“周氏猜测”的过程中，可能也会用到群论这种威力强大的重要数学工具。
第一部分：有关弦理论的资料
(节选自 弦论通俗演义 李淼 第五章 第一次革命)
……
26 维左手模中的10 个维度和10 维超弦的右手模中的玻色场共同形成物理的10 维时空。换言之，这10 维时空没有紧化，这样右手模和左手合并起来含有10 空间中的引力场，所以这10 维空间是真正的物理空间，因为只有当几何(其激发态是引力子)是可变的时候才是真正意义上的时空。左手玻色场剩下来的16 维没有相应的右手模，从而不可能有相应的引力场，这样这16 维一旦固定下来，就不会发生动力学变化，从而不能被看着是空间，这16 维可以类比于量子场论中的内秉空间，它们的存在仅仅引入新的自由度而已。
稍早，一些其他人一猜测E(8)X E(8) 超弦可以由26 维的玻色弦获得，如芝加哥大学富润(P. G. O. Freund)。富润也知道应当用到一些新的数学，就是我们马上要提到的仿代数(affine algebra) 的顶点算子表示，但他没能有效的将右手和左手分开，所以没有得到大家后来熟知的杂化弦。
现在，仅仅是为了粗糙地理解什么是杂化弦，我们需要引进一些不熟悉的物理和数学概念，这些和环面有关。我们知道，一维的圆可以叫做一维环面，两维环面大家最熟悉，象一个轮胎的表面。同理，我们可以想象高维的环面。现在假定一些物理的空间是环面，弦在这个环面上运动。再假定这个环面是平坦的，没有曲率，但这个环面可以有不同的形状。比如一个两维环面，可以通过黏结一个平行四边形的两对对边得到，所以这个环面可以有不同的形状。用比较数学化的语言，平行四边形的四个定点可以看作一个两维晶格上的点，而一个平行四边形本身可以看作这个晶格的一个基本格子。最后，环面通过把所有平面上的基本格子等价而得到的，这样，环面就是一种最简单的平面陪集，其等价群就是晶格所代表的群。同样，我们可以由一个高维的平坦空间出发，加上一个高维的晶格作为等价群，就可以获得任何想要得到的平坦的高维环面。
当弦在环面上运动时，它可以有振动，这一般叫做激发，而非激发的状态有两组物理量子数来决定，这些通常叫做零模。一组零模就是整个弦的沿环面的动量，而另一组是弦在环面上各个方向缠绕的次数，即绕数。这两组量子很重要，后面谈T 对偶时要起很大作用。对于一个粒子来说，最简单的波函数是平面波，其中的量子数是动量。对于一个弦来说，最简单的波函数也是平面波，但当弦有绕数时，我们要推广这个平面波。这个推广很简单，就是把平面波中的座标用弦的整个座标取代，将右手模和左手模分开，就有了两组动量，而这两组动量是弦的动量和绕数的线性组合。这个平面波波函数当作世界面上的函数看待时，就叫顶点算子。
并不是所有动量和所有绕数都是允许的。我们知道，动量在量子力学中对偶于座标，由于环面上的周期性，动量必须量子化。结论很简单，就是动量也必须处在一个晶格上，这个晶格对偶于用来构造环面的晶格。当然饶数是自动量子化的，很明显，绕数处在原来的晶格上。现在，为了构造杂化弦，我们要求去掉16 维环面上的右手部份，这就要求右手的动量为零，也就是一些总动量和饶数的线性组合为零。这对原来的晶格以及它的对偶晶格加了一些限制条件。弦的一次量子化又要求弦的动量在壳条件，从顶点算子的角度来说，这个算子的左手反常权必须是1，这说明晶格上的一些基本长度是偶整数，从而晶格上的任一点的长度都是偶整数。所有这些条件加起来，我们基本上得到一个结论，就是，这个16 维的晶格是一个偶的并且是自对偶的晶格(even self-dual lattice)。
巧的是，在16 维中，只有两个满足这些条件的晶格，这两个晶格分别对应于两个群，就是SO(32) 和E(8)XE(8)，晶格恰巧是群的极大环面的晶格，也就是说，这些群每个都有一个极大的平坦环面，维数是16，用来构造这个环面的晶格满足我们上述的条件。这样，在晶格上取长度恰为2 的点来构造顶点算子，这些算子再和右手模结合，得到一些完整的算子，这些算子对应于10 维时空中的规范场的激发态。另一个巧合是，每个16 维的晶格上恰有496 个长度为2 的点，和应有的规范场的个数相等。
证明这些顶点算子满足相应的李代数要用到在当时来说是相当新的数学，就是仿代数的顶点算子表示。这个数学分支有一个有趣的历史，在数学方面，先是勒泊斯基(J. Lepowsky)和威尔逊(R. Wilson)开始研究，由富兰克( I. B. Frenkel)、凯兹(V. G. Kac) 等人完成，再由哥达德(P. Goddard) 和奥立弗(D. Olive) 用物理的语言在84 年左右表达出来。所有这些工作早年有物理学家研究过特例，如海尔朋(M. B. Halpern)。在一次革命之后，产生了很多相关工作，当然威顿的对所谓外斯-朱米诺-威顿模型的研究极大推广了这些工作的物理意义，对后来的发展有很大的影响。
杂化弦的右手部份是10 维超弦的一半，所以由此而来的超对称也是10 维超弦的一半，就是N 等于1 的10 维超对称。当群为SO(32)时，零质量场的内容和型-I 超弦没有任何区别。这个重要特征并没有引起任何人的重视，因为很自然地人们以为这是两种完全不同的理论。杂化弦是一个纯闭弦的理论，而型-I 弦含有不可定向的开弦和闭弦。杂化弦左手部份的在环面上的16 个玻色子又可以用32 个费米子取代，这和两维中(世界面)的“费米化”有关。我们不谈费米化，只简单地介绍一下杂化弦在费米表示下的构造。32 个费米子，可以分为两部份，对每部份独立的加周期或反周期条件(即雷芒分支，或内吾-史瓦兹分支)。在壳条件表明，只有两种可能才能得到自洽的谱，就是要么所有32 个费米场满足同样的条件，这样得到群为SO(32)的杂化弦；要么32 个费米子分成每组16 个费米子的两个组，独立地加周期条件。可以很快地得到结论，必须用格舍奥投射(见第四章第四节或更早)，这样投射的结果是在第一个激发上恰有496 个态，这对应于E(8)XE(8)的规范场。可以证明，不能将32 个费米子拆成更多的组。费米子表示的好处是不需要仿代数的顶点算子知识，这也是它的坏处，因李代数的结构不清楚。费米子表示也说明，16 维新的空间的确是内秉空间。
……
第二部分：本人的观点
2^2-1=4-1=3
4维（时空维数）-1维（时间维数）=3维（可感知空间维数），可感知空间的维数3是最小的梅森素数。
由第一部分有关弦理论的资料可知，完美数496在弦理论的发展中有着极为重要的作用和地位，这仅仅是一个巧合吗？
第一部分有关弦理论的资料中频繁出现2、4、8、16、32等2^n型的数，而梅森素数是2^p-1型的素数，这也是一个有趣的联系。而梅森素数与偶完美数是一一对应关系。
由第一部分有关弦理论的资料可知，群论作为一种重要的数学工具在弦理论的发展中起着极为重要的作用。而在证明用来检验梅森数素性的卢卡斯-莱默检验法的过程中，也用到了群论这种威力强大的重要数学工具。
本人的观点是，完美数&梅森素数与弦理论之间、完美数&梅森素数与群之间、完美数&梅森素数与几何之间也许存在着某种未知的联系，而在证明关于梅森素数分布规律的著名的“周氏猜测”的过程中，可能也会用到群论这种威力强大的重要数学工具。
楼主：星辰陨落SYJ 时间：2011-08-19 01:41:00
@成康之治 2011-8-19 1:16:00
欢迎楼主 不过 你这写法很多人都看不懂 建议将问题展开论述 写成类似数学哲学的文章
-----------------------------
科学家第一次呈现出"最美"数学结构共248维(图)
2010年01月11日 13:15 来源：人民网
最美的数学结构。据英国《新科学家》杂志报道，在有关奇特晶体的实验室实验中，一个复杂的与弦理论有关的数学对称形态第一次呈现在真实世界面前，它就是248维对称结构。
19世纪晚期，数学家发现了复杂的248维对称结构，被称之为“E8”。这个结构的维数所代表的并不是一个与我们生活的三维空间类似的必要空间，但它们却与数学自由度相符合，每一个维数代表一个不同的变量。
20世纪70年代，这种对称形态出现在与弦理论有关的计算中。弦理论是“万有理论”的一个候选者，可能解释宇宙中所有的力，但它仍需要通过实验进行验证。此外，248维对称结构也是2007年由物理学家加勒特-里希提出的另一个万有理论的基础。他将E8称之为“最美的数学结构”。现在，物理学家又在一个截然不同的领域——超低温晶体实验——发现E8。
牛津大学的拉杜-科尔迪亚及其同事对一个由钴和铌构成的晶体进行冷冻，使其温度降至只比绝对零度高0.04摄氏度的程度。晶体内的原子排列成长长的平行链。由于一种被称之为“旋转”的量子特性，依附在这些原子链上的电子表现出类似条形磁铁的特性，每一个的指向只能是向上或者向下。
在对晶体施加一个强大的5.5特斯拉磁场，与这些电子“磁铁”的方向垂直时，奇怪的事情发生了。链条内旋转的电子会自发地呈现出各种样式，拿3个电子这样一个简单例子来说，它们的方向会是上上下或者下上下以及其它可能性。每一个截然不同的样式拥有与之相关的不同能量。这些不同能量水平的比率显示，旋转电子按照E8对称结构中的数学关系自我调整。
现在就职于新泽西州皮斯卡塔韦大学的亚历山大-查莫罗德契可夫在1989年指出，在理论上预测的类似系统能量与根据E8对称结构得出的预期相符合。但其深层次的原因仍旧是一个谜。纽约厄普顿布克海文国家实验室的罗伯特-科尼克表示，事实是：这样一个简单系统——基本上由一维磁铁链构成——应该表现出令人吃惊的负责对称性。
科尼克并没有参与这项实验。他在接受《新科学家》杂志采访时说：“面对这个系统，你并不会期望它能够在现实世界出现。能够在现实世界观察到数学世界这个如此怪异的角度真的是一件非常引人注目的事情。”
科尼克指出，虽然E8确实在弦理论计算中出现，但在磁晶体实验中观察到这种对称结构并不能为弦理论本身提供任何证据。他说：“事实是，你在这样一个旋转链中看到这个独特的对称结构对于弦理论本身并不意味着什么。这种对称结构存在的意义在于，能够与任何独特的物理学现象分离开来。”出于某种原因，这项实验同样无法为里希提出的立基于E8的万有理论提供任何支撑。
（责任编辑：徐晶慧）
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248=496/2=8*31,有何奥秘？
欢迎楼主 不过 你这写法很多人都看不懂 建议将问题展开论述 写成类似数学哲学的文章
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科学家第一次呈现出"最美"数学结构共248维(图)
2010年01月11日 13:15 来源：人民网
最美的数学结构。据英国《新科学家》杂志报道，在有关奇特晶体的实验室实验中，一个复杂的与弦理论有关的数学对称形态第一次呈现在真实世界面前，它就是248维对称结构。
19世纪晚期，数学家发现了复杂的248维对称结构，被称之为“E8”。这个结构的维数所代表的并不是一个与我们生活的三维空间类似的必要空间，但它们却与数学自由度相符合，每一个维数代表一个不同的变量。
20世纪70年代，这种对称形态出现在与弦理论有关的计算中。弦理论是“万有理论”的一个候选者，可能解释宇宙中所有的力，但它仍需要通过实验进行验证。此外，248维对称结构也是2007年由物理学家加勒特-里希提出的另一个万有理论的基础。他将E8称之为“最美的数学结构”。现在，物理学家又在一个截然不同的领域——超低温晶体实验——发现E8。
牛津大学的拉杜-科尔迪亚及其同事对一个由钴和铌构成的晶体进行冷冻，使其温度降至只比绝对零度高0.04摄氏度的程度。晶体内的原子排列成长长的平行链。由于一种被称之为“旋转”的量子特性，依附在这些原子链上的电子表现出类似条形磁铁的特性，每一个的指向只能是向上或者向下。
在对晶体施加一个强大的5.5特斯拉磁场，与这些电子“磁铁”的方向垂直时，奇怪的事情发生了。链条内旋转的电子会自发地呈现出各种样式，拿3个电子这样一个简单例子来说，它们的方向会是上上下或者下上下以及其它可能性。每一个截然不同的样式拥有与之相关的不同能量。这些不同能量水平的比率显示，旋转电子按照E8对称结构中的数学关系自我调整。
现在就职于新泽西州皮斯卡塔韦大学的亚历山大-查莫罗德契可夫在1989年指出，在理论上预测的类似系统能量与根据E8对称结构得出的预期相符合。但其深层次的原因仍旧是一个谜。纽约厄普顿布克海文国家实验室的罗伯特-科尼克表示，事实是：这样一个简单系统——基本上由一维磁铁链构成——应该表现出令人吃惊的负责对称性。
科尼克并没有参与这项实验。他在接受《新科学家》杂志采访时说：“面对这个系统，你并不会期望它能够在现实世界出现。能够在现实世界观察到数学世界这个如此怪异的角度真的是一件非常引人注目的事情。”
科尼克指出，虽然E8确实在弦理论计算中出现，但在磁晶体实验中观察到这种对称结构并不能为弦理论本身提供任何证据。他说：“事实是，你在这样一个旋转链中看到这个独特的对称结构对于弦理论本身并不意味着什么。这种对称结构存在的意义在于，能够与任何独特的物理学现象分离开来。”出于某种原因，这项实验同样无法为里希提出的立基于E8的万有理论提供任何支撑。
（责任编辑：徐晶慧）
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248=496/2=8*31,有何奥秘？
楼主：星辰陨落SYJ 时间：2011-09-22 18:14:00
黎曼猜想漫谈(节选)
十九. Montgomery-Odlyzko 定律
Montgomery 关于 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的论文于 1973 年发表在美国数学学会的 Proc. Sym. Pure Math. 上。但最初几年里它并不曾吸引多少眼球， 因为无论这种存在于零点分布与随机矩阵理论间的关联有多奇妙， 在当时它还只是一个纯粹的猜测，既没有严格的数学证明， 也没有直接的数值证据。 我们曾在第 十三、 十四 节中介绍过零点计算的简史。在 Montgomery 的论文发表之初， 人们对零点的计算还只进行到几百万个， 而且 - 如我们在 第十五节 中所说 - 那些计算大都只是验证了 “前 N 个零点” 位于 critical line 上， 却不曾涉及零点的具体数值。 既然没有具体数值， 自然就无法用来检验 Montgomery 的对关联假设。 更何况 - 如我们在 第十六节 中所说 - 为了检验后者， 我们需要研究虚部很大的零点，这显然也是当时的计算所远远不及的。 因此当时就连 Montgomery 自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。
但是 Montgomery 和我们在 第十四节 中提到的输掉葡萄酒的 Zagier 一样大大低估了计算机领域的发展速度。在他的论文发表五年之后的一天， 他又来到了 Princeton。 不过这次不是为了觐见 Selberg， 而是来做一个有关 Riemann ζ 函数零点分布的演讲。 在那次演讲的听众中有一位来自 32 英里外的贝尔实验室 (Bell Labs) Murray Hill 研究中心的年轻人， 他被 Montgomery 讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。而他所在的实验室恰好拥有当时著名的 Cray 巨型计算机。 这位年轻人便是我们在 第十六节 中提到的 Andrew M. Odlyzko。
Princeton 真是 Montgomery 的福地， 五年前与 Dyson 在这里的相遇， 使他了解到了零点分布与随机矩阵理论间的神秘关联， 从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。五年后又是在这里， 这种魅力打动了 Odlyzko， 从而有了我们在 第十六节中介绍的 Odlyzko 对 Riemann ζ 函数零点的大规模计算分析。 这些计算为 Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据[注一]。 这种关联， 即经过适当的归一化后 Riemann ζ 函数非平凡零点的间距分布与 Gaussian Unitary Ensemble (参阅 第十八节) 的本征值间距分布相同， 也因此渐渐被人们称为 Montgomery-Odlyzko 定律 (Montgomery-Odlyzko Law)[注二]。 Montgomery-Odlyzko 定律虽然是用 Gaussian Unitary Ensemble 来表述的， 但我们在 第十八节中曾经提到， 随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数 N→∞ 时具有普适性。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律所给出的关联并不限于 Gaussian Unitary Ensemble。 不仅如此，这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综下都相同， 而且对系综中任何一个典型的系统 - 即任何一个典型的随机矩阵 - 都相同。 换句话说， 我们不仅不需要指定系综的分布函数， 甚至连系综本身都不需要，只要随便取出一个随机矩阵就可以了[注三]。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律实际上意味着 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。
Montgomery 当初的研究 - 如我们在 第十六节 中介绍的 - 只涉及零点分布的对关联函数。 在他之后，人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。 1996 年， Z. Rudnick 与 P. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 分别 “证明” 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机矩阵的本征值关联函数相同。美中不足的是， 我们不得不对这种 “证明” 加上引号， 因为它们和 Montgomery 的研究一样， 并不是真正严格的证明，它们或是引进了额外的限制条件 (如 Z. Rudnick 与 P. Sarnak 的研究)， 或是运用了本身尚未得到证明的 Riemann 猜想及强 孪生素数猜想 (如 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 的研究)。
但即便如此，所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布与随机矩阵的本征值分布 - 从而与由随机矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质 - 间的确存在着令人瞩目的关联。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “经验” 意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。
十九. Montgomery-Odlyzko 定律
Montgomery 关于 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的论文于 1973 年发表在美国数学学会的 Proc. Sym. Pure Math. 上。但最初几年里它并不曾吸引多少眼球， 因为无论这种存在于零点分布与随机矩阵理论间的关联有多奇妙， 在当时它还只是一个纯粹的猜测，既没有严格的数学证明， 也没有直接的数值证据。 我们曾在第 十三、 十四 节中介绍过零点计算的简史。在 Montgomery 的论文发表之初， 人们对零点的计算还只进行到几百万个， 而且 - 如我们在 第十五节 中所说 - 那些计算大都只是验证了 “前 N 个零点” 位于 critical line 上， 却不曾涉及零点的具体数值。 既然没有具体数值， 自然就无法用来检验 Montgomery 的对关联假设。 更何况 - 如我们在 第十六节 中所说 - 为了检验后者， 我们需要研究虚部很大的零点，这显然也是当时的计算所远远不及的。 因此当时就连 Montgomery 自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。
但是 Montgomery 和我们在 第十四节 中提到的输掉葡萄酒的 Zagier 一样大大低估了计算机领域的发展速度。在他的论文发表五年之后的一天， 他又来到了 Princeton。 不过这次不是为了觐见 Selberg， 而是来做一个有关 Riemann ζ 函数零点分布的演讲。 在那次演讲的听众中有一位来自 32 英里外的贝尔实验室 (Bell Labs) Murray Hill 研究中心的年轻人， 他被 Montgomery 讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。而他所在的实验室恰好拥有当时著名的 Cray 巨型计算机。 这位年轻人便是我们在 第十六节 中提到的 Andrew M. Odlyzko。
Princeton 真是 Montgomery 的福地， 五年前与 Dyson 在这里的相遇， 使他了解到了零点分布与随机矩阵理论间的神秘关联， 从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。五年后又是在这里， 这种魅力打动了 Odlyzko， 从而有了我们在 第十六节中介绍的 Odlyzko 对 Riemann ζ 函数零点的大规模计算分析。 这些计算为 Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据[注一]。 这种关联， 即经过适当的归一化后 Riemann ζ 函数非平凡零点的间距分布与 Gaussian Unitary Ensemble (参阅 第十八节) 的本征值间距分布相同， 也因此渐渐被人们称为 Montgomery-Odlyzko 定律 (Montgomery-Odlyzko Law)[注二]。 Montgomery-Odlyzko 定律虽然是用 Gaussian Unitary Ensemble 来表述的， 但我们在 第十八节中曾经提到， 随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数 N→∞ 时具有普适性。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律所给出的关联并不限于 Gaussian Unitary Ensemble。 不仅如此，这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综下都相同， 而且对系综中任何一个典型的系统 - 即任何一个典型的随机矩阵 - 都相同。 换句话说， 我们不仅不需要指定系综的分布函数， 甚至连系综本身都不需要，只要随便取出一个随机矩阵就可以了[注三]。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律实际上意味着 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。
Montgomery 当初的研究 - 如我们在 第十六节 中介绍的 - 只涉及零点分布的对关联函数。 在他之后，人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。 1996 年， Z. Rudnick 与 P. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 分别 “证明” 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机矩阵的本征值关联函数相同。美中不足的是， 我们不得不对这种 “证明” 加上引号， 因为它们和 Montgomery 的研究一样， 并不是真正严格的证明，它们或是引进了额外的限制条件 (如 Z. Rudnick 与 P. Sarnak 的研究)， 或是运用了本身尚未得到证明的 Riemann 猜想及强 孪生素数猜想 (如 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 的研究)。
但即便如此，所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布与随机矩阵的本征值分布 - 从而与由随机矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质 - 间的确存在着令人瞩目的关联。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “经验” 意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。
楼主：星辰陨落SYJ 时间：2011-09-22 18:15:00
二十. Hilbert-Pólya 猜想
那么在 Riemann ζ 函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论所描述的纯物理现象之间为什么会出现象 Montgomery-Odlyzko 定律那样的关联呢？ 这却是一个我们至今也未能完全理解的谜团。 但有意思的是， 虽然在距离 Montgomery 的论文发表已有三十余年的今天我们仍未能彻底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本质， 可是远在 Montgomery 的论文发表六十余年前的二十世纪一二十年代， 数学界就流传着一个与 Montgomery-Odlyzko 定律极有渊源的猜想 - Hilbert-Pólya 猜想：
Hilbert-Pólya 猜想: Riemann ζ 函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。
更确切地讲， Hilbert-Pólya 猜想指的是： 如果把 Riemann ζ 函数的非平凡零点写成 ρ=1/2+it， 则所有这些 t 与某个厄密算符的本征值一一对应 (自 第十一节 引进 t 以来， 当我们提到 Riemann ζ 函数的非平凡零点时往往指的是 t，这一点读者应该很容易从上下文中判断出来)。 我们知道， 厄密算符的本征值都是实数。 因此如果所有的 t 都与某个厄密算符的本征值相对应， 则它们必定全都是实数， 从而所有非平凡零点 ρ=1/2+it 的实部都等于 1/2， 这正是 Riemann 猜想的内容。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann 猜想也必定成立。
我们在 上节中提到， Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。 这种描述虽然奇妙， 终究只是统计意义上的描述。 但是如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点干脆直接与某个厄密矩阵的本征值一一对应了。这是严格意义上的对应， 有了这种对应， 统计意义上的对应自然就不在话下。 因此 Hilbert-Pólya 猜想虽然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十余年， 却是一个比 Montgomery-Odlyzko 定律更强的命题！
从二十世纪初开始流传的 Hilbert-Pólya 猜想在无形之中与半个多世纪后才出现的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越时间的遥远呼应。
但是这一呼应委实是太过遥远了， Montgomery 的论文尚且因为缺乏证据而遭冷场， Hilbert-Pólya 猜想就更无人问津了。 这种冷落是如此地彻底， 以至于当 Montgomery 的论文及后续研究重新燃起人们对 Hilbert-Pólya 猜想的兴趣， 从而开始追溯它的起源时，大家惊讶地发现不仅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 不曾在人们找寻得到的任何发表物或手稿中留下过一丝一毫有关 Hilbert-Pólya 猜想的内容。 而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字中竟也找不到任何与这一猜想相关的叙述。 一个隐约流传了大半个世纪的数学猜想竟似没有落下半点文字记录，却一直流传了下来， 真是一个奇迹！
1981 年 12 月 8 日， Odlyzko 给 Pólya 发去了一封信， 询问 Hilbert-Pólya 猜想的来龙去脉。 当时 Pólya 已是九十四岁高龄， 卧病在床，基本不再执笔回复任何信件， 但 Odlyzko 的信却很及时地得到了他的亲笔回复。 毕竟， 对一位数学家来说， 自己的名字能够与伟大的 Hilbert 出现在同一个猜想中是一种无上的荣耀。 Pólya 在回信中写道[注四]：
很感谢你 12 月 8 日的来信。 我只能叙述一下自己的经历。
1914 年初之前的两年里我在 Göttingen。 我打算向 Landau 学习解析数论。 有一天他问我： “你学过一些物理，你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必须成立吗？” 我回答说， 如果 ξ-函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联，使得 Riemann 猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实， 那么 Riemann 猜想就必须成立。
三年后 Pólya 离开了人世，他的这封信便成了迄今所知有关 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字记录。 至于早已过世的 Hilbert 在什么场合下提出过类似的想法， 则也许将成为数学史上一个永远的谜团了。
那么在 Riemann ζ 函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论所描述的纯物理现象之间为什么会出现象 Montgomery-Odlyzko 定律那样的关联呢？ 这却是一个我们至今也未能完全理解的谜团。 但有意思的是， 虽然在距离 Montgomery 的论文发表已有三十余年的今天我们仍未能彻底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本质， 可是远在 Montgomery 的论文发表六十余年前的二十世纪一二十年代， 数学界就流传着一个与 Montgomery-Odlyzko 定律极有渊源的猜想 - Hilbert-Pólya 猜想：
Hilbert-Pólya 猜想: Riemann ζ 函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。
更确切地讲， Hilbert-Pólya 猜想指的是： 如果把 Riemann ζ 函数的非平凡零点写成 ρ=1/2+it， 则所有这些 t 与某个厄密算符的本征值一一对应 (自 第十一节 引进 t 以来， 当我们提到 Riemann ζ 函数的非平凡零点时往往指的是 t，这一点读者应该很容易从上下文中判断出来)。 我们知道， 厄密算符的本征值都是实数。 因此如果所有的 t 都与某个厄密算符的本征值相对应， 则它们必定全都是实数， 从而所有非平凡零点 ρ=1/2+it 的实部都等于 1/2， 这正是 Riemann 猜想的内容。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann 猜想也必定成立。
我们在 上节中提到， Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。 这种描述虽然奇妙， 终究只是统计意义上的描述。 但是如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点干脆直接与某个厄密矩阵的本征值一一对应了。这是严格意义上的对应， 有了这种对应， 统计意义上的对应自然就不在话下。 因此 Hilbert-Pólya 猜想虽然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十余年， 却是一个比 Montgomery-Odlyzko 定律更强的命题！
从二十世纪初开始流传的 Hilbert-Pólya 猜想在无形之中与半个多世纪后才出现的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越时间的遥远呼应。
但是这一呼应委实是太过遥远了， Montgomery 的论文尚且因为缺乏证据而遭冷场， Hilbert-Pólya 猜想就更无人问津了。 这种冷落是如此地彻底， 以至于当 Montgomery 的论文及后续研究重新燃起人们对 Hilbert-Pólya 猜想的兴趣， 从而开始追溯它的起源时，大家惊讶地发现不仅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 不曾在人们找寻得到的任何发表物或手稿中留下过一丝一毫有关 Hilbert-Pólya 猜想的内容。 而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字中竟也找不到任何与这一猜想相关的叙述。 一个隐约流传了大半个世纪的数学猜想竟似没有落下半点文字记录，却一直流传了下来， 真是一个奇迹！
1981 年 12 月 8 日， Odlyzko 给 Pólya 发去了一封信， 询问 Hilbert-Pólya 猜想的来龙去脉。 当时 Pólya 已是九十四岁高龄， 卧病在床，基本不再执笔回复任何信件， 但 Odlyzko 的信却很及时地得到了他的亲笔回复。 毕竟， 对一位数学家来说， 自己的名字能够与伟大的 Hilbert 出现在同一个猜想中是一种无上的荣耀。 Pólya 在回信中写道[注四]：
很感谢你 12 月 8 日的来信。 我只能叙述一下自己的经历。
1914 年初之前的两年里我在 Göttingen。 我打算向 Landau 学习解析数论。 有一天他问我： “你学过一些物理，你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必须成立吗？” 我回答说， 如果 ξ-函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联，使得 Riemann 猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实， 那么 Riemann 猜想就必须成立。
三年后 Pólya 离开了人世，他的这封信便成了迄今所知有关 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字记录。 至于早已过世的 Hilbert 在什么场合下提出过类似的想法， 则也许将成为数学史上一个永远的谜团了。
楼主：星辰陨落SYJ 时间：2011-09-22 18:16:00
二十一. Riemann 体系何处觅？
如上所述， 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。我们知道厄密算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量， 而厄密算符的本征值则对应于该量子力学体系的能级。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点有可能对应于某个量子力学体系的能级，非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 我们把这一特殊的量子力学体系称为 Riemann 体系， 把这一体系的哈密顿量称为 Riemann 算符[注五]。
那么这个 Riemann 体系 - 如果存在的话 - 会是一个什么样的量子力学体系呢？
有关这个问题最重要的线索显然来自 Montgomery-Odlyzko 定律。 由于 Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同， 因此我们不难猜测， Riemann 算符是一个随机厄密矩阵。那么由随机厄密矩阵所描述的量子力学体系具有什么特点呢？ 这个问题自二十世纪七十年代末以来有许多人研究过。 1984 年， O. Bohigas 提出了一个猜想， 即由随机矩阵理论描述的量子体系在经典近似下对应于经典混沌体系[注六]。这一猜想已经有了许多数值计算的支持， 但至今仍未得到严格的证明。 不过从物理角度上讲，与经典混沌体系相对应的量子体系的波函数会在一定程度上秉承经典轨迹的混沌性， 从而使得哈密顿量的矩阵元呈现随机性，这正是随机矩阵的特点。
由此看来 Riemann 体系很可能是一个与经典混沌体系相对应的量子体系。 那么这个与 Riemann 体系相对应的经典混沌体系又会具有什么样的特征呢？这个问题人们也做过一些研究。 由于我们所知有关 Riemann 体系最明确的信息是 Riemann ζ 函数的非平凡零点， 即 Riemann 体系的能谱。 因此寻找 Riemann 体系的努力显然要从能谱入手。描述量子体系能谱的一个很有用的工具是所谓的能级密度函数：
ρ(E) = Σnδ(E-En)
早在二十世纪六十年末和七十年代初， M. C. Gutzwiller 就对这一能级密度函数的经典极限做了研究， 得到了一个我们现在称为 Gutzwiller 求迹公式 (Gutzwiller Trace Formula) 的结果。 在对应的经典体系具有混沌性的情形下， Gutzwiller 求迹公式为：
ρ(E) = ρ(E) + 2 ΣpΣk Ap,kcos(2πkSp/h + αp)
其中 h 为 Planck 常数， ρ(E) 是一个平均密度。 我们感兴趣的是第二项， 它包含一个对经典极限下所有闭合轨道 p 及正整数 k (沿闭合轨道的绕转数) 的双重求和。 求和式中的 Sp 是闭合轨道 p 的作用量， αp 是一个被称为 Maslov phase 的相位。 而 Ap,k 与闭合轨道的性质有关， 可以表示为：
Ap,k = Tp/h[det(Mpk-I)]1/2
其中 Tp 是闭合轨道 p 的周期， Mp 则是描述闭合轨道 p 稳定性的 monodromy matrix。
另一方面， 我们也可以计算 Riemann ζ 函数非平凡零点的密度函数：
ρ(t) = Σnδ(t-tn)
1985 年， M. V. Berry 给出了这一计算的结果：
ρ(t) = ρ(t) - 2 ΣpΣk [ln(p)/2π]exp[-k ln(p)/2]cos[k t ln(p)]
要注意的是， 这里的 p 是素数而非一般的自然数！ 将这个结果与前面有关量子体系能级密度的计算相比较， 我们发现为使两者一致， 必须：
αp = π
Tp = ln(p)
Sp = (ht/2π) Tp
Ap,k = Tp/[2π exp(kTp/2)]
这其中最简洁而漂亮的关系式就是 Tp = ln(p)，它表明与 Riemann 体系相对应的经典体系具有周期等于素数对数 ln(p) 的闭合轨道！ 这无疑是这一体系最奇异的特征之一。
研究 Riemann 体系的努力仍在继续着，在一些数学物理学家心目中， 它甚至已经成为了一种证明 Riemann 猜想的新的努力方向， 即物理证明。会不会有一天人们在宇宙的某个角落里发现一个奇特的物理体系， 它的经典基本周期恰好是 ln2, ln3, ln5, ...？或者它的量子能谱恰好包含 14.1347251, 21.0220396, 25.0108575, ...？ 我们不知道。也许并不存在这样的体系， 但如果存在的话， 它无疑将是大自然最美丽的奇迹之一。 只要想到象素数和 Riemann ζ 函数非平凡零点这样纯粹的数学元素竟有可能出现在物理的天空里， 变成优美的轨道和绚丽的光谱线， 我们就不能不惊叹于数学与物理的神奇，惊叹于大自然的无穷造化。 而这一切， 正是科学的伟大魅力所在。
注释
这种数值证据之一便是我们在 第十六节 中给出的关于 Montgomery 零点对关联函数的拟合曲线。
这 “定律” 二字通常在物理学中用得比在数学中多， 它很贴切地表达了这一命题虽有大量的数值证据，却缺乏数学意义上的严格证明这一特点。
当然， 别忘了 N→∞， 以及矩阵为幺正 (对演化算符而言) 或厄密 (对哈密顿量而言) 这些条件。
Pólya 提到的 ξ-函数应该是指我们在 第四篇的[注一]中提到的 Riemann 本人所定义的 ξ 函数。 Riemann 猜想等价于那个 ξ 函数的零点为实数。
严格讲， 量子力学中所有的可观测量都是由厄密算符表示的， 哈密顿量只是其中之一。 不仅如此，由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力学中的物理量。 从 Pólya 给 Odlyzko 的信中也可以看到， Pólya 当年并没有对与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的 “物理问题” 做具体的猜测。 因此从 Hilbert-Pólya 猜想到 Riemann 体系是后人所做的进一步猜测。 之所以做这种猜测， 除了哈密顿量对物理体系所具有的重要性外，或许是因为随机矩阵理论最初是在研究原子核能级时被引入物理学中的。 另一方面， 量子体系的能级是自然界中含义最为深刻的离散现象之一，这或许也是人们把注意力集中到这一方向上的原因之一。
Bohigas 猜想的原始表述是只针对 Gaussian Orthogonal Ensemble 的。
(文:卢昌海,二零零四年十一月二十一日写于纽约)
如上所述， 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。我们知道厄密算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量， 而厄密算符的本征值则对应于该量子力学体系的能级。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点有可能对应于某个量子力学体系的能级，非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 我们把这一特殊的量子力学体系称为 Riemann 体系， 把这一体系的哈密顿量称为 Riemann 算符[注五]。
那么这个 Riemann 体系 - 如果存在的话 - 会是一个什么样的量子力学体系呢？
有关这个问题最重要的线索显然来自 Montgomery-Odlyzko 定律。 由于 Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同， 因此我们不难猜测， Riemann 算符是一个随机厄密矩阵。那么由随机厄密矩阵所描述的量子力学体系具有什么特点呢？ 这个问题自二十世纪七十年代末以来有许多人研究过。 1984 年， O. Bohigas 提出了一个猜想， 即由随机矩阵理论描述的量子体系在经典近似下对应于经典混沌体系[注六]。这一猜想已经有了许多数值计算的支持， 但至今仍未得到严格的证明。 不过从物理角度上讲，与经典混沌体系相对应的量子体系的波函数会在一定程度上秉承经典轨迹的混沌性， 从而使得哈密顿量的矩阵元呈现随机性，这正是随机矩阵的特点。
由此看来 Riemann 体系很可能是一个与经典混沌体系相对应的量子体系。 那么这个与 Riemann 体系相对应的经典混沌体系又会具有什么样的特征呢？这个问题人们也做过一些研究。 由于我们所知有关 Riemann 体系最明确的信息是 Riemann ζ 函数的非平凡零点， 即 Riemann 体系的能谱。 因此寻找 Riemann 体系的努力显然要从能谱入手。描述量子体系能谱的一个很有用的工具是所谓的能级密度函数：
ρ(E) = Σnδ(E-En)
早在二十世纪六十年末和七十年代初， M. C. Gutzwiller 就对这一能级密度函数的经典极限做了研究， 得到了一个我们现在称为 Gutzwiller 求迹公式 (Gutzwiller Trace Formula) 的结果。 在对应的经典体系具有混沌性的情形下， Gutzwiller 求迹公式为：
ρ(E) = ρ(E) + 2 ΣpΣk Ap,kcos(2πkSp/h + αp)
其中 h 为 Planck 常数， ρ(E) 是一个平均密度。 我们感兴趣的是第二项， 它包含一个对经典极限下所有闭合轨道 p 及正整数 k (沿闭合轨道的绕转数) 的双重求和。 求和式中的 Sp 是闭合轨道 p 的作用量， αp 是一个被称为 Maslov phase 的相位。 而 Ap,k 与闭合轨道的性质有关， 可以表示为：
Ap,k = Tp/h[det(Mpk-I)]1/2
其中 Tp 是闭合轨道 p 的周期， Mp 则是描述闭合轨道 p 稳定性的 monodromy matrix。
另一方面， 我们也可以计算 Riemann ζ 函数非平凡零点的密度函数：
ρ(t) = Σnδ(t-tn)
1985 年， M. V. Berry 给出了这一计算的结果：
ρ(t) = ρ(t) - 2 ΣpΣk [ln(p)/2π]exp[-k ln(p)/2]cos[k t ln(p)]
要注意的是， 这里的 p 是素数而非一般的自然数！ 将这个结果与前面有关量子体系能级密度的计算相比较， 我们发现为使两者一致， 必须：
αp = π
Tp = ln(p)
Sp = (ht/2π) Tp
Ap,k = Tp/[2π exp(kTp/2)]
这其中最简洁而漂亮的关系式就是 Tp = ln(p)，它表明与 Riemann 体系相对应的经典体系具有周期等于素数对数 ln(p) 的闭合轨道！ 这无疑是这一体系最奇异的特征之一。
研究 Riemann 体系的努力仍在继续着，在一些数学物理学家心目中， 它甚至已经成为了一种证明 Riemann 猜想的新的努力方向， 即物理证明。会不会有一天人们在宇宙的某个角落里发现一个奇特的物理体系， 它的经典基本周期恰好是 ln2, ln3, ln5, ...？或者它的量子能谱恰好包含 14.1347251, 21.0220396, 25.0108575, ...？ 我们不知道。也许并不存在这样的体系， 但如果存在的话， 它无疑将是大自然最美丽的奇迹之一。 只要想到象素数和 Riemann ζ 函数非平凡零点这样纯粹的数学元素竟有可能出现在物理的天空里， 变成优美的轨道和绚丽的光谱线， 我们就不能不惊叹于数学与物理的神奇，惊叹于大自然的无穷造化。 而这一切， 正是科学的伟大魅力所在。
注释
这种数值证据之一便是我们在 第十六节 中给出的关于 Montgomery 零点对关联函数的拟合曲线。
这 “定律” 二字通常在物理学中用得比在数学中多， 它很贴切地表达了这一命题虽有大量的数值证据，却缺乏数学意义上的严格证明这一特点。
当然， 别忘了 N→∞， 以及矩阵为幺正 (对演化算符而言) 或厄密 (对哈密顿量而言) 这些条件。
Pólya 提到的 ξ-函数应该是指我们在 第四篇的[注一]中提到的 Riemann 本人所定义的 ξ 函数。 Riemann 猜想等价于那个 ξ 函数的零点为实数。
严格讲， 量子力学中所有的可观测量都是由厄密算符表示的， 哈密顿量只是其中之一。 不仅如此，由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力学中的物理量。 从 Pólya 给 Odlyzko 的信中也可以看到， Pólya 当年并没有对与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的 “物理问题” 做具体的猜测。 因此从 Hilbert-Pólya 猜想到 Riemann 体系是后人所做的进一步猜测。 之所以做这种猜测， 除了哈密顿量对物理体系所具有的重要性外，或许是因为随机矩阵理论最初是在研究原子核能级时被引入物理学中的。 另一方面， 量子体系的能级是自然界中含义最为深刻的离散现象之一，这或许也是人们把注意力集中到这一方向上的原因之一。
Bohigas 猜想的原始表述是只针对 Gaussian Orthogonal Ensemble 的。
(文:卢昌海,二零零四年十一月二十一日写于纽约)
楼主：星辰陨落SYJ 时间：2011-09-22 18:22:00
就像 Riemann 猜想与某个量子力学体系有联系一样，也许梅森素数或完美数也与某个物理体系有着深刻的联系，这一物理体系或许就是超弦理论吧！
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