Monday, May 11, 2015

高等数学是棵树木得话,那么 极限就是他的根, 函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎; 黎曼球可以看作复数平面上缠一个球体(通过某种形式的立体投影

假如高等数学是棵树木得话,那么 极限就是他的根, 函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎, 可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限, 是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 , 还有个数列极限, (区别在于数列极限时发散的, 是一般极限的一种)

2解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???)
1 等价无穷小的转化, (只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记
(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)
首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!
必须是 X趋近 而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限, 当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件
(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)
必须是 函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导, 直接用无疑于找死!!)
必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法, 这样就能把幂上的函数移下来了, 就是写成0与无穷的形式了 , ( 这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ,尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !!!!)
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母!!!!!!!!!!!
看上去复杂处理很简单 !!!!!!!!!!

5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候, 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!!!

6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ,放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)


8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)
可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系, 已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的 ,应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 !!!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 还有个方法 ,非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!
x的x次方 快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢) !!!!!!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元, 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ,当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法,
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性!!!!!!

16直接使用求导数的定义来求极限 ,
(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式, 看见了有特别注意)
(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!!!)



黎曼球面Riemann sphere对冲基金数学模型方法

(2012-09-24 12:22:45)

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黎曼球可以看作复数平面上缠一个球体(通过某种形式的立体投 


黎曼球面Riemann sphere对冲基金数学模型方法

(2012-09-24 12:22:45)


File:Riemann Sphere.jpg
一个几何球体上的两个方位线之间的区域。 
图片来源:KARTHIK Narayanaswami
The region between two loxodromeson a geometric sphere.
Image credit: Karthik Narayanaswami


黎曼球可以看作复数平面上缠一个球体(通过某种形式的立体投 -详细信息见下文)。
数学中 , 黎曼球 ,19世纪的数学家黎曼的名字命名的,是一个模型的扩展复杂的平面 , 复平面上加上一个无穷远点 。 这个扩展的平面表示扩展的复杂数字 ,即, 复数加一个值∞为无穷大 。 随着黎曼模型,点“∞”是附近非常大的数字,公正的一点是“0”附近寥寥可数。
扩展复数复杂的分析是有用的,因为它们允许 ,在某些情况下,为的方式,使表现形式,如1/0 =∞ 乖巧 。 例如,在复平面上的任何有理函数可以延长黎曼球上的一个连续函数 ,与极点的有理函数映射到无限远。 更一般地说,任何亚纯函数可以想到作为一个连续函数,其值域是Riemann球形。
几何的黎曼领域是一个黎曼曲面的典型例子,是一个最简单的复流形 。 射影几何中 ,可以想到的球体作为复杂的投影线 P1(C)所示,所有的C 2中的复杂的线条的 射影空间 。 球体与任何紧凑黎曼面,也可能被视为一个射影代数曲线 ,使它代数几何中的一个基本例子。 调查也发现依赖于分析和几何形状,如量子力学物理学的其他分支学科的实用程序。
扩展复数
扩展复数由的复数C一起∞。 扩展复数可写为 C∪{∞},并且往往是通过添加一些装饰,如字母 C表示
\帽子{\ mathbf {C}},\四\划线{\ mathbf {C}},\四\ {或} \四\ mathbf {C} _ \ infty的。
几何上,扩展的复数的组被称为为黎曼球体 (或扩展的复平面 )。

编辑 ]算术运算
复数可以延长定义为 z∈C,
Z + \ infty的= \ infty的
任何复数 z,并且可以由乘法
Z \ CDOT \ infty的= \ infty的
所有非零复数 z,与∞⋅∞=∞。 需要注意的是∞+∞,∞ - ∞,0⋅∞未定义。 不同于复数,复数扩展不形成一个字段 ,因为∞不具有乘法逆元素 。 然而,这是习惯定义分裂C∪{∞}
Z / 0 = \ infty的\四\ \四Z / \ infty的{和} = 0
所有非零复数 z,∞/ 0 =∞,0 /∞= 0。

编辑 ]有理函数
任何有理函数的 函数f(z)= G(Z)次/ h(z)可以被扩展到一个连续函数的黎曼球面上。 具体而言,如果 Z_0 是一个复杂的数量,使得分母 H(Z_0) 是零,但分子 G(Z_0) 为非零,则 F(Z_0) 可以被定义为∞。 (如果两者的分子和分母是零,则它们共享一个共同的因素,并且,该部分应首先被减少到最低的条件。)此外时,f(∞)可以被定义为函数f(z)的限制 , 当 z→∞ ,这可能是有限的或无限的。
例如,给定的功能
函数f(z)= \压裂{6Z + 1} {2Z - 10}
我们可以定义 f(5)=∞由于分母为零在 z = 5,而f(∞)= 3,因为函数f(z)→3作为Ž→∞。 使用这些定义,F本身成为一个连续函数的黎曼球。
当看作是一个复杂的多方面的,合理的功能,其实是全纯函数的黎曼球本身。

编辑 ]作为一个复杂的多方面的
作为一个一维的复杂的歧管,黎曼球可以由两个图表进行说明,都与域等于复数平面 C。 让ζξ是复杂的对 C的坐标。 确定的非零复数ζ的非零复数ξ使用的过渡地图
\ {对齐} \ zeta电= 1 / \十一\ \ [8PT] \ XI = 1 / \泽塔。 \ {对齐}
由于过渡的地图是全纯的 ,他们定义了一个复杂的多方面的,所谓的黎曼球 
直观地说,过渡地图显示如何胶水两架飞机一起,形成黎曼球。 这些飞机都粘在一个“由内而外”的方式,让他们重叠几乎无处不在,每架飞机只能提供一点(它的起源)从另一架飞机失踪。 换言之,(几乎)黎曼球的每一个点在同时具有ζ值和ξ值,并且这两个值之间的关系由ζ= 1 /ξ。 的地步,ξ= 0然后应ζ-值“1/0”,在这个意义上,起源的ξ-图表所扮演的角色的ζ-图表中的“∞”。 对称的起源ζ图中所扮演的角色,∞ξ图。
在拓扑上 ,所得到的空间是一个平面成球体的一点紧 。 然而,黎曼球面不仅是一个拓扑领域。 它是一个球体与一个定义良好的结构复杂 消歧需要 ],因此,在球体上的每一个点周围有可以biholomorphically确定与 C是一个邻里。
另一方面, 均匀化的定理 ,中央在黎曼曲面的分类,国家,只有简单的一维复流形是复平面上, 双曲平面 ,与Riemann球。 其中,黎曼球是唯一的一个,这是一个封闭的表面 紧凑型表面无边界 )。 因此,二维球面承认一个独特的复杂的结构,把它变成一个一维复流形。

编辑 ]复射影线
黎曼球面,也可以被定义为复杂的投影线 。 这是的C 2的子集组成的所有对(α,β)的复数,不同时为零, 等价关系
(\阿尔法\β)=(\拉姆达\阿尔法\拉姆达\试用版)
所有非零复数λ。 复平面 C,与坐标ζ,可以映射到复射影线由
(\α,\β)=(\泽塔,1)。
C的坐标ξ的另一个副本可以被映射到由
(\阿尔法\β)=(1,\十一)。
这两个复杂的图表涵盖了投影线。 对于非零ξ鉴定
(如图1所示,\ⅹⅰ)=(1 / \十一,1)=(\泽塔,1)
表明过渡映射ζ= 1 /ξ和ξ= 1 /ζ,如上。
这种治疗方法的黎曼球最容易射影几何连接。 例如,任何行(或平滑的圆锥)在复杂的投影面是双全纯的复杂的投影线。 这也方便了研究领域的同构 ,在本文的后面。

编辑 ]作为一个球体


赤平投影到一个点α的黎曼球的复数 a
Riemann球形可以作为单位球面上的可视化X = 1的三维实空间 3。 为此,考虑从单位球面减去点(0,0,1)的立体图的投影到平面上,z = 0时,我们确定与复平面上由ζ= + iy的。 笛卡尔坐标系 (的x,y,z)的 ,在球体上的球面坐标 (φ,θ)(与φ的天顶角和θ的方位角),突起是
\泽塔= \压裂{X + IY} {1 - Z} = \婴儿床(\ tfrac {1} {2} \ PHI)\,E ^ {I \西塔}。
同样,从(0,0,-1)的立体图投影到平面 z = 0时,与复平面上的另一个副本为ξ= iy的标识,被写入
\十一\压裂{X - IY} {1 + z} = \棕褐色(\ tfrac {1} {2} \ PHI)\ E ^ {-I \西塔}。
为了掩盖的单位球,需要两个立体的预测:第一个将覆盖整个领域,除了点(0,0,1)和第二点(0,0,-1)除外。 因此,一个需要两个复杂的平面,一个为每个突起,可以直观地视为粘在z = 0的后端到背面。 请注意,两个确定复杂的平面以不同的方式与在z = 0 平面 。 一种取向反转是必要的,以保持一致的取向,在球体上,并在特定的复合共轭导致过渡映射到全纯。
ζ-坐标和ξ坐标的过渡之间的映射是通过以下方式获得构成一个突起与其他逆。 它们变成是ζ= 1 /ξ和ξ= 1 /ζ,如上面所述。因此,单位领域是微分同胚的黎曼球。
在此微分同胚,在单位圆中的ζ图,ξ图的单位圆,赤道单位球面的确定。 单位圆|ζ| <1是确定的南半球Z <0,当本机磁盘|ξ| <1的识别与北半球Z> 0。

编辑 ]公制
一个黎曼面不配备任何特定的黎曼度量 。 然而,复杂的结构,唯一确定的黎曼面共形等价度量。 (两个度量所述是共形等价的,如果它们的差异通过一个正的平滑函数的乘法。)相反,一个定向的表面上的任何度量唯一地确定一个复杂的结构,这取决于对度量最多只能适形等价。 取向的表面上的复杂的结构,因此与该表面上的度量的保角类在一个一一对应。
在一个给定的保形类,可以使用形对称性找到一个方便性能指标代表。 特别是,总是有一个在任何给定的共形类的恒定曲率的完备度量。
在黎曼球的情况下, Gauss-Bonnet定理意味着,恒定曲率度量必须有积极的曲率 K表 。 它如下度量必须是等距的球体半径 1 / \开方K表 通过立体投影R 3。 在黎曼球面的ζ-图表,K = 1时的度量与由下式给出
DS ^ 2 = \(\压裂{2} {1 + | \泽塔| ^ 2} \右)^ 2 \,| D \泽塔| ^ 2 = \压裂{4} {\离开(1 + \ zeta电\圆钢\ zeta电\)^ 2} \ D \ zeta电\,D \酒吧\泽塔。
在实际坐标ζ= u + iv的,计算公式为
DS ^ 2 = \压裂{4} {\离开(1 + U ^ 2 + V ^ 2 \)^ 2} \离开(DU ^ 2 + DV ^ 2 \右)。
最多一个常数因子,这个衡量标准与标准的富比尼研究度量复射影空间(其中的黎曼球就是一个例子)。
相反,,让S表示球体(作为一个抽象的平稳拓扑流形 )。 通过统一化定理,存在一个独特的结构复杂, 在 S。 任何度量S 上共形的圆形度量。 所有这些指标确定相同的形几何。 因此,圆的度量是不是内在的黎曼球,因为“圆”是一个不变的形几何。 黎曼球仅仅是一个保形歧管 ,而不是一个黎曼流形 。 但是,如果人都需要做黎曼几何上的黎曼领域中,圆度量值是一个自然的选择。

编辑 ]同构


莫比乌斯变换作用的领域,在飞机上立体投影
主要文章: Möbius变换
任何数学对象的研究,借助于其基团的同构的理解,这意味着从对象到其自身的地图,保存的基本结构的对象。 在黎曼球的情况下,同构是一个可逆的双全纯映射到自身的黎曼球。 事实证明,只有这样的地图是莫比乌斯变换 。 这些函数的形式
(\泽塔)= \压裂{\ zeta电+ B} {C \ zeta电+ D},
其中的A,B,c和d是复数,使得 一个D - B C \ NEQ 0 。 莫比乌斯变换的例子包括扩张 消歧需要 , 旋转 , 翻译 ,和复杂的反转。 事实上,任何Möbius变换可以被写入作为这些的组合物。
莫比乌斯变换盈利看作是复杂的投影线的转换。 在射影坐标,变换f的可写入
α,F(\ \β)=(A \α+ B \β,C \α+ D \β)= \开始的{pmatrix} \ ALPHA&\测试\的{pmatrix} \ BEGIN {pmatrix}的一个&C \ \ B&D \ {pmatrix}。
莫比乌斯变换可以描述为2×2复杂的矩阵与非零的决定因素 ;两个矩阵得到相同的Mobius变换,当且仅当它们相差一个非零的因素。 因此莫比乌斯变换射影线性变换 PGL(2,C)完全相符。
如果赋予黎曼球面与富比尼-研究公制 ,不是所有的莫比乌斯变换是等距同构,例如,伸缩和平移都没有。 等距形成PGL(2,C)中,即电源模块(2)的一个适当的子群。 此子群是同构的旋转组,SO(3),它是在 3(其中,限制为球体时,成为的等距球体)的组中的单位球面的对称性的影响。

编辑 ]应用程序
在复杂的分析,亚纯函数在复平面上(或任何黎曼曲面上,对这一问题)是一种比F / G的两个全纯函数 和 g。 作为复杂的数字地图,它是不确定的地方g是零。 但是,它会引起一个全纯映射(F,G)复射影线,是良好定义的, 其中 g = 0。 这种结构有助于在全纯与亚纯函数的研究。 例如,在一个紧凑的黎曼面有没有非定常全纯映射到复数,但全纯映射到复射影线丰富。
黎曼球在物理学有许多用途。 在量子力学中,复杂的投影线的点光子 极化状态, 大量 粒子的自旋为1/2的自旋状态,和2态粒子的一般的自然价值。[ 为什么? ]黎曼球被建议作为一个相对论 天球模型。 弦理论中 ,的弦的worldsheets是黎曼曲面,和黎曼球,是最简单的黎曼面,起到了重要的作用。 同样重要的是在磁扭线理论 

本文包含一个列表的引用 ,相关阅读或外部链接 ,但它的来源仍不清楚,因为它缺乏内联的参考文献 , 改善本文通过引入更精确的参考文献。(2010 年8月)

本文列举了它的来源 ,但不提供页面引用 您可以通过引入更精确的参考文献, 有助于改善它 。(2010 年9月)

布朗,詹姆斯和丘吉尔,鲁埃尔(1989年), 复变函数与应用 。 纽约:麦格劳-希尔。 ISBN 0-07-010905-2 
格里菲思,菲利普·哈里斯,约瑟夫(1978年)。 代数几何原理 。 约翰Wiley&Sons出版, ISBN 0-471-32792-1 
彭罗斯,罗杰 (2005)。 现实之路 。 纽约:Knopf出版社, ISBN 0-679-45443-8 
鲁丁,瓦尔特(1987年)。 真实和复杂的分析 。 纽约:麦格劳-希尔。 ISBN 0-07-100276-6 
编辑 ]外部链接
Hazewinkel,米歇尔,编辑。 (2001年), “黎曼球” , 百科全书
莫比斯转换揭晓 ,由: 阿诺德·道格拉斯N.和乔纳森Rogness(两所大学的教授明尼苏达州的一个视频解释和说明莫比乌斯变换,从一个球体的立体投影)
分类: 股票数学模型

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