从数学物理方程到数学物理
终于有点时间写点科普了。主页上我已经分享了足够的多的资料，只要足够努力，英语障碍不大的话，就可以了解数学物理大致是个什么东西。数学物理是个新兴学科（那一年出现？ 可以考究），这个学科和基础数学的其他的其他学科不一样，似有包络万象的感觉。本人虽不是专家，鉴于有兴趣又肯努力，对一些名词术语还是略知一二。下面我就谈谈我所了解的数学物理，虽然主要讲一些ABC和基本的原理但是你也会看到一些非平凡的东西。
注：关于如何学习量子场论，我的建议是从数学家写的材料入手，比如先从拓扑场论学起逐渐过渡到物理中的场论，这种从抽象到具体的方法非常适合数学系的学生。我只推荐两本量子物理的书，一个文小刚的量子多体理论，另一个是徐一鸿（A.Zee）的quantum field theory in a nutshell,可以看他们的书理解物理学家是如何理解量子场论的。有条件的最好买一本，但是网上也有电子版的。我想他们应该不会在意我们免费使用他们的书。 对于数学系的学生而言重要的在于理解量子场论或者弦理论或者凝聚态物理的数学结构，计算不是很重要（至少在初级阶段），越抽象反而越容易掌握本质。不要按照物理系的方法去学，那是最坏的方法。同样不管是看书还是看文章都要求看最新的最抽象的理解，最后再看原始文献（John. Baez 也是这么建议）。对于本科新生建议看http://math.ucr.edu/home/baez/books.html, how to learn math and physics
限于精力，时间有限以及表达方式的局限性，我很难快速的把我了解的东西写出来（我倾向于用图形和表格表达想法）。文章中提到的东西绝大多数都有很好的资料可查。我的目标在于让人很快的理解数学物理整体的宏观的核心的和基本的一些要素，主要强调启发性和概念性，试图传输给读者一个图像。
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理工科大学数学有一门课程叫做数学物理方程或者叫做数学物理方法，在数学系可以会叫偏微分方程，这门课通常在高年级开课，要在学完常微分方程和复变函数之后来学。国内的教学模式千篇一律，打死老师也不敢打乱顺序教。在这门课程里面主要介绍什么是微分方程，通常会主要讲三类方程: 椭圆方程，抛物方程和双曲方程。当然这三类都是线性方程，特别的还是二阶的。椭圆方程的例子就是拉普拉斯或者泊松方程，描述的是位势问题，其物理上对应的系统是静电场及其分布问题，抛物方程也叫二阶线性的发展方程主要的例子就是热传导方程或者扩散方程，双曲方程的典型代表就是波动方程。可以书上讲的都是标量的方程，就是说方程中的未知函数是标量函数。有一点非常重要，就是它们背后都有一个物理的模型在里面，没有物理模型的方程或者一般的方程都很难也没有什么意思。虽然我们有微分方程的一般理论但是我想有意思的是还是一些具体的有物理或实际背景的方程有意思，只有这样的方程我们才可以”理解“，才可以感受到“解的意义”。我希望大家要有一个“思维定势”，那就是说我们不要抽象的谈论一个方程，这样通常没有什么意思，每当我们看到一个方程的时候，我们希望能够“理解”它，能够把它看成一个活的东西，不要被应试的那种训练所僵化思维，一看到方程就想到怎么去解它。我们希望能够看到没一个具体的方程背后的那个生动而丰富的物理系统，能够看到方程的结构，每一个系数的意义。要不然你只是把自己变成一个计算机而已。
下面我希望从数学和物理两个角度来理解这些方程。
先从数学上讲起。方程通常分为线性方程和非线性方程。线性方程的特点是解的叠加性。有一个专门的数学分支叫做泛函分析，这个数学理论可以作为一切线性问题的平台或者理论基础。我们先讲经典的线性理论以及它们的量子化或者量子对应，线性的量子理论就是自由量子场论和微扰量子场论，我们用线性代数，泛函分析或者modular operad（Wick定理的抽象化或者范畴化）可以完全刻画它们，基本上是简单的。对于非线性系统，要研究它们需要更多的数学工具，这个时候拓扑，几何，代数都会进来，指标定理，莫尔斯理论，各种同调理论形变理论，同伦代数，各种对偶性和变换都会进来最后我们来理解朗兰兹纲领和镜对称是怎么回事。我们不准备讨论一般的非线性系统，我们主要限制在可积的系统。大家要注意的是可积系统是非常稀少的，而且在某种意义上是rigid的（不能形变的），在一定程度上是可以完全分类的。这些特点有点象半单李代数，它们同样是稀少的。完全的定义一个非线性的量子系统，意味着我们要定义非微扰量子场论，目前还没有满意的理论，定义它们我们的方法少的可怜，对他们的了解只是瞎子摸象似的进行的推进。但是对于可积的量子系统，定义它们还是比较满意的。虽然可积系统少的可怜，但是在经典的情况我们有KAM定理，我相信在量子的情况会有类似的结论。我来简单的描述一下这个图像：我们可以考虑理论和有效理论的模空间，可积系统就相当于这个模空间上的一些孤立的临界点（关于哪一个morse函数？），在这个模空间上我们有各种对偶变换和重整化群流，这些可积系统就相当于这些重整化群流的不动点。当然除了重整化群流（主要联系于系统的标度行为），我们还有其他的形变理论的方式，不同的形变方式对应于这个模空间上的不同的向量场。理论模空间的几何也是很有意思的问题，这个空间上可能有各种自然的几何结构，比如黎曼结构，辛结构，泊松结构或者hyperkahlar结构?等等。目前数学物理中最重要的问题就是如何定义非微扰的非线性的量子场论，对于简单或者可积的或者一些玩具模型已经有一些有意思的结果，但是最一般的理论还是很难做到的。直接的内蕴的刻画当然是很困难，但是或许换个策略或许可行。
我们给线性方程一个定义：
一个方程称为线性方程当且仅当它描述了一个线性系统的行为。 这是一个废话。
方程都是关于一个未知“函数”（标量的或者向量的，旋量的，张量的，实的或者复的）的等式。这些未知函数可能生活某个空间里面，对于线性方程而言，这样的空间就是一个线性空间（有限维的或者无限维的），线性方程的也可以描述为作用在某个线性空间上的矩阵（或者算子）。简单的可以把线性方程写为 Ax=b的形式，A是一个线性算子A：V---》V，可以是有限维的也可以无限维依赖于V是有限还是无限维的，当是无限维的时候我们通常写成微分算子或者积分算子或者微分积分算子，也可以写成一个矩阵，有限维的矩阵或者无限维的矩阵，x是一个向量，它的角色就是方程的未知函数，b是一个特定的向量或者函数。注意当我们说一个函数是向量的时候，我们是说它是某一个向量空间的元素，同一个函数可以再不同的向量里面，所以当我们说一个函数是向量的时候，意味着我们指定了它是生活在哪一个向量空间里面。所有的线性方程都一定可以写成这个样子。这也几乎是废话，如果你理解线性代数的话。从某种意义上说，一切线性问题的结果都是在解决某一个 线性代数中的问题。泛函分析也是线性代数，你可能会说代数和分析是不一样的吧，是的，形式上是不一样，但是“哲学”上是一样的。分析是形式上的，很多泛函分析的问题就是要证明很多本质上是线性代数的问题确实是线性代数的问题。分析的方法就是要把表面上不是线性代数（无穷维的东西）给控制住使得线性代数的法则是成立的。废了半天话，就是想说你千万不要把泛函分析想的很难，那只不过是推广线性代数的一种努力而已，在意识形态上它是线性代数的，即使你的泛函考的不及格，只要理解我这文章中说的东西，你都应该敢于你学懂了泛函分析。下面我讲的东西，只要你学过线性代数，那对你就不是新的东西。
1 下面我们来说在数学上什么叫一个线性系统。 简单的讲指定一个线性系统包括指定两样东西，一是一个线性空间V，另一个就是作用在这个线性空间上的线性算子A:V---->V. 给定一个线性系统我们马上可以提很多数学问题。比如上面已经写到的Ax=b,这个线性方程的解空间是什么样子的?任意指定V中的一个向量b，我们都可以提这样的问题。数学物理中的术语都比较”怪“，我们 通常不把解空间叫做解空间，而叫做模空间。moduli space就是这么简单的一类东西，通常都是某一个方程的解空间而已。我这里稍微用一点“物理‘的说法。 给定了一个线性系统V和A，我们应该怎么理解它呢。运用我们的”思维定势“，想象 V原来是一个线性系统的态空间，它完全刻画这个系统的运动学行为。A是一个什么东西呢？ 它是描述这个系统的动力学特性的一个东西。当我们给定了一个V中的向量b，并写出Ax=b这个方程时，意味着什么呢？ 我们可以把b理解成一种背景或者一种外在的作用。比如控制压强，温度，用电场极化或者其他的外部控制，等等。我们求解Ax=b就相当于我们在b这个背景下来考察系统的行为。在数学物理方程中会考虑方程的是适定性和稳定性问题，初值问题，边值问题。初值和边值问题相当于对于这个系统的行为的一种限制或者约束。当然对于线性系统而言，这种约束或者限制当然也要是线性的才好，否则我们的系统即使本来是线性系统如果加了非线性的约束那么求解它的问题也变成一个线性问题了。适定性问题和稳定性问题后面在讨论。给定了一个线性系统，因为A是一个线性算子或者矩阵，我们自然可以定义算子的特征多项式，行列式，trace，特征值（或者叫做谱）等等，这些不变量当然我们应该理解为是这个线性系统的一些不变量或者示性数或者“结构常数”。它们会有直接的或者间接的”物理意义“。这些都是我们线代中学到的基本的东西。我现在主要讨论经典问题，后面讨论量子问题，那个时候会更有意思。我想提醒大家的一点是，我们还要有另外一个”思维定势“，那就是想象所有的经典的东西都有量子的对应。当我们考虑一个经典的系统的时候我们都要想象它有一个量子的对应。
刚才定义了数学上的的线性系统。在经典物理系统里面，线性系统都是非常”特殊的“系统，特殊的意思不是说少或者没有意思，而是说从经典物理的角度或者数学数学的角度容易理解。而不同的是所有的量子物理系统都是线性系统，这似乎是一个”悖论“，和我们的第二个”思维定势“一同考虑的话。因为原则上任何一个经典系统都有一个量子的版本，而量子系统都是线性的，经典系统有线性的也有非线性的。应该怎么理解这个事情呢？ 难道量子化是一种线性化？某种意义上这是对的，但是线性化不意味着简单化，事实上量子化之后，系统的更多特性会发掘出来，很多东西在经典物理的范畴中是不存在的甚至是无法想象的。只有量子化之后我们才能看到物质系统更加丰富有趣的那些方面，要不然怎么能说量子物理更基本呢。量子系统的复杂很大程度上来自于它的真空结构的复杂性，每一个稳定的真空都会有一个有效理论，有效理论之间的相变，也会很复杂。我希望以后尽力解释一些。
线性代数或者数学物理方程都会讲一些线性系统的基本特性，那就是线性叠加原理。不管是矩阵方程或者线性多项式方程，线性常微分方程，线性偏微分方程，线性积分方程，统统都是对的，只要是线性系统都对。
当然这个原理只对Ax=0这样的方程成立，这样的方程称为齐次方程。方程的解空间或者零模空间（zero model 或者 moduli of vacuum）是V的一个子空间。
我们都常说线性系统比较简单。那么这个简单是什么意思呢。最起码的可以这么理解，那就是线性系统是可以完全求解的，也就是说存在通解。通解是什么意思呢，就是我们可以找到所有的解，并把他们写成统一的形式，解析的表达出来。数学上有个习惯就是，就是认为只要有具体表达式的东西，都是可以理解的，都是可积的，其实未必是这样的。给一个非常复杂的表达式有时候还不如给一个定性的结论或者数值的图像来的直观。但是不管怎么样，大多数情况，对于线性系统而言，我们总是可以写出通解。总是可以理解它的结构的。有人可能会问，非线性方程或者非线性系统有没有通解的概念，当然有。为什么不提呢，因为没有什么意思，非线性方程的通解通常没有好的表达式，除了少数的特解我们根本不知道其他的解都长的什么样，在数学物理中，通解有另外一个更上档次的名字： 模空间（moduli space）。所以对于任何系统不管线性还是非线性，我们都可以谈论它们的通解或者叫moduli space。但是我要强调一点，moduli space 也不能用的太滥，因为原则上我们可以说所有的东西都是moduli space，这也make sense，但是这样的话，moduli space 和set 和category 就是一样的概念了，我们可以说数学中任何东西都是set 或者都是category，这并没有什么有意义的东西。当然moduli space在一些学科中是有特定的意义的，不是随便用的，比如在代数几何中，模空间真的是参数空间（moduli就是参数的意思），而且还和一些universal性质，可表性，family等”高端“的概念等联系起来，不用害怕他们都是trivial的。数学物理中moduli 这个术语比较常见，modular这个术语也比较常见，有关系么？ 答案是认为有就有。modular function 就是function or generalized function on moduli space。用中文来说的话就有意思了就是说模函数（modular function）是模空间（moduli space）上的函数。还有一对概念类似，D-brane 和 D-module，翻译过来一个是D-膜，一个是D-模，它们之间在一些情况下也是可以等同起来的。数学物理中的术语很有意思，用的时候要主注意语境。
注意在做量子化(正则量子化/路径积分量子化)的时候，模空间的术语也有特别的用法，在规范理论中moduli space 指的是所有的规范场，它们是off shell的也就是其中的元素不是（包括）运动方程的解，在其他的非规范理论中或者经典理论中moduli space则是on shell的，也就是上面所说的通解的意思。反正要分情况来区分。以上这些你不明白也不要紧，因为他们都是trivial的，以后有了必要的背景之后自然会理解。以上都是废话。
继续回来讨论方程Ax=b。 当b=0的时候，我们知道这个方程是齐次方程，它的解空间是线性空间，叠加原理成立。当b等于零的时候呢，我们有冲量原理，这个时候解空间不在是一个线性空间，而是一个仿射空间，或者说是V中的一个”超平面“，随便给定Ax=b的一个特解，那么我们用”非齐次的的叠加原理“，可以把零模空间（齐次解空间）沿着这个特解平移就可以得到所有的非齐次方程的解。讲到这里我想多解释些概念。线性空间和仿射空间的区别是什么？ 线性空间是一种代数结构，但是仿射空间应该认为是一种“几何结构”，在线性空间中我们可以做加减，有零元素，但是在仿射空间这些都没有，有的只有平移。理解它们的区别是非常重要的，因为这对理解主丛非常要紧。为了说清它们的区别，我必须要用更抽象的概念，但是同样它们是trivial的，不要害怕抽象的东西。抽象的东西有时反而简单，我想这一点做基础数学的都会认同。当你面对一个复杂的问题的时候，首先想到的应该是把其中的问题抽象出来，从而会简化问题。 我要用到的概念就是群 和群的表示。群是是一个代数系统，它的定义公理我就不细说了，百度就能告诉你答案。一个群G在一个集合X上的作用，称为是原则的（principal）的如果该作用是传递的自由的。prinpal 说明X作为集合和G是一样的，一个principal的作用（左模）称为一个torsor或者主齐性空间。如果G在X上的作用是传递的，则称X是G的一个齐性空间。齐性空间都同构于G的一个商空间，主齐性空间相当于是最大的齐性空间。当我们讨论等变上同调，主丛，杨米尔斯理论和伽罗华理论的时候，这些概念都是基本的，所以大家最好先把这些概念理解下。在上面的情况，齐次解空间的地位相当于G，它是一个阿贝尔群同时有一个相容的域的作用，非齐次空间的地位相当于X，是齐次解空间的主齐性空间，作为集合和G是同构的。G的作用就相当于平移。
给定一个线性系统和背景b，这个系统的所有解或者说运动状态都一一对应于一个仿射空间的向量。为了研究清楚这个系统的”物理特性“，我们只需要研究这个仿射空间的一组”基“的特性就可以了，因为其他的状态都可以由这组基线性加权而得到，原则上可以理解清楚。找到一组基并且把一个一般解展开为这组基的线性加权的过程叫做“模式展开”（model expansion），数学物理或者物理中的用法和数学不一样，空间的基或者更一般的模空间的坐标称为模式（model）。当然对于一般的非线性系统，它的解空间不是线性空间或者仿射空间，不会有整体的坐标，如果解空间空间足够好（有流形结构）我们还是有局部的model的。现在继续考虑方程Ax=b，现在的问题是如果我考虑让b动起来，那么我的解空间也会在空间V中移动，那么有没有一般的规则说明这种依赖关系呢。当然是有的。那就是格林函数或者叫基本解和卷积的概念。可以理解的是我们的解空间和 b 的依赖关系应该有某种“线性关系”，因为我们的问题都所有的东西都要求线性结构。事实正是如此。我想先介绍些抽象的概念，最后再说格林函数或基本解是怎么回事。
在基础数学中，有一些universal的问题，那就是结构和对象的分类，刻 画，构造和实现。从这种高的观点来看的话，线性代数的主要目标就是分类有限维的线性系统。
如果我们的线性系统是有限维的，若当块理论就是我们的最好的结果了。
我要休息了，请大家看看我分享的paper和slide 吧。有时间的同学可以找一些好的文章翻译一下，比如witten，atiyha，segal，Baez 等等的好的review文章，翻译好了通知我，我会分享到万门大学数学系，帮助一下英文不太好的同学。多谢大家。下面是我会讲的东西的一些广告。我希望能够给大家直观的解释什么是langlands program，mirror symmetry为什么会有这个东西，如何自然的去理解它们。 如果等不到我写出来大家看slide也许会更清楚。
2 非线性系统
3 指标定理
4 量子化和几何
5 对偶性 和傅里叶变换
6 可积系统
可积系统是数学物理中的核心理论，分为经典和量子可积系统。从某种意义上可以说数学物理中的绝大多数问题都是可积系统中的问题，也可以说数学物理的起源也是从可积系统开始的，其重要性是怎么夸张都不过分的。经典的可积系统分为两大类：一类是KP理论或者叫做佐藤（Sato）理论，另一类是希钦(hitchin) 可积系统,这是两类可积系统是万有（universal）的，可积系统是可以分类的但是比较复杂。KP理论和hitchin理论包含了所有可能的可积系统，所以称之为万有的。它们的区别在于看待可积系统的角度不同，KP理论可以认为是可积系统的代数理论，其核心是tau函数理论。tau函数是可积系统的示性函数或者生成函数。Hitchin 可积系统的理论可以认为是可积系统的几何理论。但是KP也有一个几何的版本或许可以叫做诺维科夫（Novikov）理论，它和Hitchin本质上是一样的。现在我就分别解读这些理论。
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首先说一下什么是可积系统，我们主要讲有限维可积系统，有限维的懂了无限维的很容易过度。
可积系统的另一个名字叫做刘维尔（Liouville） 可积系统。定义它要在辛几何的框架下讨论。辛几何就是流形上的辛结构的几何理论。辛几何，黎曼几何和复几何常见的三种几何，他们都有对应的一些不变量，辛几何的不变量是格罗莫夫-威腾不变量，弦场论，或者福卡亚范畴，辛几何没有局部的不变量（达布定理），存在一个辛几何的不变量这是一个非平凡的事实，即使现在也不能说这个理论理解的比较清楚了，仅仅是一个开始而已，我们可以把辛几何的不变量理论称为辛拓扑。黎曼几何是有局部的不变量的，黎曼曲率就是一种不变量。黎曼流形上拉普拉斯算子算子的谱也可以认为是度量结构的不变量，因为他们依赖于度量。其中零模部分就是hodge理论中的调和形式，它们对应于某些场论的量子真空。比度量结构稍微深刻一点的是spin（旋量）结构，spin调和形式是狄拉克算子的零模，是spin结构的不变量。复几何的不变量就是Hodge structure，当然也可以说是杜比尔特（Dolbeault）上同调。复结构的形变在同调的水平上就是hodge结构的形变。 黎曼几何和复几何理解起来比较自然，但是辛几何是怎么来的呢？ 辛结构是从哪里来的呢？ 首先他们来自于经典力学，经典力学的抽象形式有三种：一种是拉格朗日力学，一种是哈密尔顿力学，另外一种是波动力学。第三种大家都认为包含在第二种理论里面，但是我还是想强调一下它。拉格朗日力学的方法论是变分法，在这个框架下我们定义一个力学系统，需要制定一个示性函数，它是这个系统的独立动力学自由度的函数，我们称之为作用量（action），通常认为指定了作用量就指定了一个系统，它的全部动力学特性都可以通过作用量来得到。这个作用量和能量差不多，但是又不是能量，我们可以理解作用量就是上帝的化身，action 是指作用的意思，action就是上帝用来做功的那个手指。其实action这个术语的最早意义就是这个。作用量通常用大写的S来表示， 在物理中还有一个量也是用大写的S来表示，它就是熵，这两个东西的地位是相当的， 一个在力学中，我们极值原理或者最小作用量原理，一个是在统计物理中，我们有熵增原理（热力学第二定律）或者最大熵原理。自然的想法是能不能把二者统一起来？ 我相信是可以的，而且在数学物理中有人在试图这么做了，我想这是一个非常自然的事情。要做这样的统一，要在量子物理中或者量子信息的理论中，这样的统一可能最终和量子引力有关。我不想详细的介绍这些东西。等我介绍了费曼规则，和更多的同调物理之后我会回来讨论这个问题。 对作用量变分可到极值点满足的方程，叫做欧拉-拉格朗日方程，我们数学物理方程中的方程都是有物理背景的，它们都可以通过对某个作用量变分得到，所以他们都是欧拉-拉格朗日方程。有作用量有什么好处呢？是不是所有的方程都可以找到作用量？ 能找到是不是唯一的？后两个问题的答案是否定的，完整的回答这个问题需要jet空间的变分双复形理论，可以把上面的两个问题化为障碍类和上同调的问题。数学物理中很多都是这样的，背后都有一个上同调理论来支撑。如果一个方程有作用量，一个最重要的好处就是 我们可以明显的把系统的对称性和系统的守恒量联系起来。这是非常重要的发现，这种联系比被表述成诺特定理。这个定义在物理中可以认为是构造理论的一个普适的原则，在CFT和其他可积的QFT中，这种定理是理解它们的唯一方法，在量子理论中，这个定理的表现形式是沃德（ward）恒等式。
如果我们把经典的物理系统理解为一个动力系统，那么上面的事实则说明物理系统和一般的动力系统不一样，它有自己独特的数学结构。我们来谈第二个经典力学的框架，哈密尔顿力学，哈密尔顿力学把一个经典物理表述成汉密尔顿方程。我们可以理解哈密尔顿方程是欧拉拉格朗日方程的一种延拓的形式，它有一定的独特性。对于好的力学系统（作用量是非退化的），我们通过做一种所谓的勒让德变换从欧拉拉格朗日方程得到哈密尔顿方程。这是理论力学中都会讲到的做法。我不想再详细的分析，我想告诉大家的是辛几何来自由物理系统的变分结构，这里自然就有一个问题，就是如何理解在经典力学的变分结构的框架下来理解辛拓扑。大家要记住的是拉格朗日力学比哈密尔顿力学更有一般性，有更好的性质，只有一些”较正常的“系统才有哈密尔顿力学的描述。第三种框架波动力学，它用哈密尔顿-雅克比方程来描述力学系统，它是非常”接近“量子力学的精神，据说（可能是事实）海森堡方程的发现就是受哈密尔顿-雅克比方程的启发，当我有更好的理解的时候我再回来讨论这个问题。这些东西都是熟知的或者是标准的东西，但是并不是说明这里面就没有什么问题了。对于经典物理理论中的数学结构还有很多未知的东西，比如如何范畴化经典物理，范畴化可积系统，对他们的范畴化意味着什么也是很神秘的东西。我们还是回来讨论已知的东西。
经典的可积系统的全称应该是完全可积动力系统，数学物理中还要加上汉密尔顿这个前缀。所以我们谈的可积系统都是完全可积的哈密尔顿动力系统及其它们的量子对应。事实上，最后发现对于这一类系统，完全可以用纯代数的或者表示论的或者代数几何的结构去刻画它们，比如刘维尔可积系统，hyperkahlar几何，W algebra，lax pair，yang-baxter equation，K-Z equation，零曲率方程，lie algebra，loop group/algebra等等.而动力系统的影子则是不明显的藏在背后。最后去分类和构造这些可积系统就等价于分类和构造一些代数结构，而这些代数通常可以由一些结构常数和它们满足的代数方程来刻画。这些方程可以认为是诺特定理或者ward恒等式的变种。另一方面，代数几何中的各种模空间和可积系统有天然的联系，它们的可积性质有助于我们更好的理解它们的结构。我列举一些可以在可积系统范围内考虑的问题或者说可积系统相关的问题： 可积系统和微分算子的等谱形变有关，可积系统和黎曼面或者代数曲线模空间有关，可积系统和自由量子场论有关，可积系统和无穷维李代数（主要是affine kac moody 代数），可积系统和无穷维的线性群（日本群）自守表示有关和无穷维的格拉斯曼流形几何有关，和无穷维的行列式理论有关，可积系统和量子群有关和矩阵积分有关，可积系统和格罗莫夫威腾不变量有关和量子上同调有关，和很多组合问题有关。
我再列举一些关于可积系统的“传说”，
1 可积系统就是严格可解的系统
2 可积系统就是有足够多对称性的系统
3 可积系统都可以写成Lax pair
4 可积系统是刘维尔可积系统
5 可积系统就是torus fibration
6 可积系统的一般理论是KP理论
7 可积系统也叫孤立子理论
8 可积系统可以定义为Hitchin fibration
9 可积系统就是泊松代数的一个极大交换子代数
10 可积系统 都有满足杨巴斯特方程的R矩阵
11 可积系统把微分方程变成了代数方程或者常微分方程
12 可积系统和双哈密尔顿结构有关和弗洛比纽斯流形有关。
可积系统是个多面手，任何一本书都很难把和可积系统所有相关的问题写清楚，我希望通过我的鼓吹和介绍让大家产生兴趣。
刘维尔可积系统的通常定义是这样的：
首先要给定一个辛流形M（dim M=2n）和辛流形上的一个函数H（Hamiltonian哈密顿量），我们就定义了一个哈密尔顿系统。由于流形有辛结构，H可以自然导致流形上一个动力系统（是一个向量场记为X(H)）。我们要定义这个系统的对称性。流形上的一个向量场如果保持H所生成的动力系统则称为该系统的一个对称性。对于好的对称性（哈密尔顿对称性），我们可以对应一个守恒量（差一个常数的意义下唯一）。
刘维尔可积系统====torus lagrangian fibration，一个刘维尔可积系统就是辛流形上的一个环面主丛结构并且要求纤维都是拉格朗日子流形。
刘维尔可积系统《=====》Hitchin fibration
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momen map
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tau 函数和Sato functor
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交换微分算子理论
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谱曲线
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李代数的上同调
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Sato 格拉斯曼流形
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阿贝尔-雅克比映射
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Novikov functor
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对称函数和杨图
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注：关于如何学习量子场论，我的建议是从数学家写的材料入手，比如先从拓扑场论学起逐渐过渡到物理中的场论，这种从抽象到具体的方法非常适合数学系的学生。我只推荐两本量子物理的书，一个文小刚的量子多体理论，另一个是徐一鸿（A.Zee）的quantum field theory in a nutshell,可以看他们的书理解物理学家是如何理解量子场论的。有条件的最好买一本，但是网上也有电子版的。我想他们应该不会在意我们免费使用他们的书。 对于数学系的学生而言重要的在于理解量子场论或者弦理论或者凝聚态物理的数学结构，计算不是很重要（至少在初级阶段），越抽象反而越容易掌握本质。不要按照物理系的方法去学，那是最坏的方法。同样不管是看书还是看文章都要求看最新的最抽象的理解，最后再看原始文献（John. Baez 也是这么建议）。对于本科新生建议看http://math.ucr.edu/home/baez/books.html, how to learn math and physics
限于精力，时间有限以及表达方式的局限性，我很难快速的把我了解的东西写出来（我倾向于用图形和表格表达想法）。文章中提到的东西绝大多数都有很好的资料可查。我的目标在于让人很快的理解数学物理整体的宏观的核心的和基本的一些要素，主要强调启发性和概念性，试图传输给读者一个图像。
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理工科大学数学有一门课程叫做数学物理方程或者叫做数学物理方法，在数学系可以会叫偏微分方程，这门课通常在高年级开课，要在学完常微分方程和复变函数之后来学。国内的教学模式千篇一律，打死老师也不敢打乱顺序教。在这门课程里面主要介绍什么是微分方程，通常会主要讲三类方程: 椭圆方程，抛物方程和双曲方程。当然这三类都是线性方程，特别的还是二阶的。椭圆方程的例子就是拉普拉斯或者泊松方程，描述的是位势问题，其物理上对应的系统是静电场及其分布问题，抛物方程也叫二阶线性的发展方程主要的例子就是热传导方程或者扩散方程，双曲方程的典型代表就是波动方程。可以书上讲的都是标量的方程，就是说方程中的未知函数是标量函数。有一点非常重要，就是它们背后都有一个物理的模型在里面，没有物理模型的方程或者一般的方程都很难也没有什么意思。虽然我们有微分方程的一般理论但是我想有意思的是还是一些具体的有物理或实际背景的方程有意思，只有这样的方程我们才可以”理解“，才可以感受到“解的意义”。我希望大家要有一个“思维定势”，那就是说我们不要抽象的谈论一个方程，这样通常没有什么意思，每当我们看到一个方程的时候，我们希望能够“理解”它，能够把它看成一个活的东西，不要被应试的那种训练所僵化思维，一看到方程就想到怎么去解它。我们希望能够看到没一个具体的方程背后的那个生动而丰富的物理系统，能够看到方程的结构，每一个系数的意义。要不然你只是把自己变成一个计算机而已。
下面我希望从数学和物理两个角度来理解这些方程。
先从数学上讲起。方程通常分为线性方程和非线性方程。线性方程的特点是解的叠加性。有一个专门的数学分支叫做泛函分析，这个数学理论可以作为一切线性问题的平台或者理论基础。我们先讲经典的线性理论以及它们的量子化或者量子对应，线性的量子理论就是自由量子场论和微扰量子场论，我们用线性代数，泛函分析或者modular operad（Wick定理的抽象化或者范畴化）可以完全刻画它们，基本上是简单的。对于非线性系统，要研究它们需要更多的数学工具，这个时候拓扑，几何，代数都会进来，指标定理，莫尔斯理论，各种同调理论形变理论，同伦代数，各种对偶性和变换都会进来最后我们来理解朗兰兹纲领和镜对称是怎么回事。我们不准备讨论一般的非线性系统，我们主要限制在可积的系统。大家要注意的是可积系统是非常稀少的，而且在某种意义上是rigid的（不能形变的），在一定程度上是可以完全分类的。这些特点有点象半单李代数，它们同样是稀少的。完全的定义一个非线性的量子系统，意味着我们要定义非微扰量子场论，目前还没有满意的理论，定义它们我们的方法少的可怜，对他们的了解只是瞎子摸象似的进行的推进。但是对于可积的量子系统，定义它们还是比较满意的。虽然可积系统少的可怜，但是在经典的情况我们有KAM定理，我相信在量子的情况会有类似的结论。我来简单的描述一下这个图像：我们可以考虑理论和有效理论的模空间，可积系统就相当于这个模空间上的一些孤立的临界点（关于哪一个morse函数？），在这个模空间上我们有各种对偶变换和重整化群流，这些可积系统就相当于这些重整化群流的不动点。当然除了重整化群流（主要联系于系统的标度行为），我们还有其他的形变理论的方式，不同的形变方式对应于这个模空间上的不同的向量场。理论模空间的几何也是很有意思的问题，这个空间上可能有各种自然的几何结构，比如黎曼结构，辛结构，泊松结构或者hyperkahlar结构?等等。目前数学物理中最重要的问题就是如何定义非微扰的非线性的量子场论，对于简单或者可积的或者一些玩具模型已经有一些有意思的结果，但是最一般的理论还是很难做到的。直接的内蕴的刻画当然是很困难，但是或许换个策略或许可行。
我们给线性方程一个定义：
一个方程称为线性方程当且仅当它描述了一个线性系统的行为。 这是一个废话。
方程都是关于一个未知“函数”（标量的或者向量的，旋量的，张量的，实的或者复的）的等式。这些未知函数可能生活某个空间里面，对于线性方程而言，这样的空间就是一个线性空间（有限维的或者无限维的），线性方程的也可以描述为作用在某个线性空间上的矩阵（或者算子）。简单的可以把线性方程写为 Ax=b的形式，A是一个线性算子A：V---》V，可以是有限维的也可以无限维依赖于V是有限还是无限维的，当是无限维的时候我们通常写成微分算子或者积分算子或者微分积分算子，也可以写成一个矩阵，有限维的矩阵或者无限维的矩阵，x是一个向量，它的角色就是方程的未知函数，b是一个特定的向量或者函数。注意当我们说一个函数是向量的时候，我们是说它是某一个向量空间的元素，同一个函数可以再不同的向量里面，所以当我们说一个函数是向量的时候，意味着我们指定了它是生活在哪一个向量空间里面。所有的线性方程都一定可以写成这个样子。这也几乎是废话，如果你理解线性代数的话。从某种意义上说，一切线性问题的结果都是在解决某一个 线性代数中的问题。泛函分析也是线性代数，你可能会说代数和分析是不一样的吧，是的，形式上是不一样，但是“哲学”上是一样的。分析是形式上的，很多泛函分析的问题就是要证明很多本质上是线性代数的问题确实是线性代数的问题。分析的方法就是要把表面上不是线性代数（无穷维的东西）给控制住使得线性代数的法则是成立的。废了半天话，就是想说你千万不要把泛函分析想的很难，那只不过是推广线性代数的一种努力而已，在意识形态上它是线性代数的，即使你的泛函考的不及格，只要理解我这文章中说的东西，你都应该敢于你学懂了泛函分析。下面我讲的东西，只要你学过线性代数，那对你就不是新的东西。
1 下面我们来说在数学上什么叫一个线性系统。 简单的讲指定一个线性系统包括指定两样东西，一是一个线性空间V，另一个就是作用在这个线性空间上的线性算子A:V---->V. 给定一个线性系统我们马上可以提很多数学问题。比如上面已经写到的Ax=b,这个线性方程的解空间是什么样子的?任意指定V中的一个向量b，我们都可以提这样的问题。数学物理中的术语都比较”怪“，我们 通常不把解空间叫做解空间，而叫做模空间。moduli space就是这么简单的一类东西，通常都是某一个方程的解空间而已。我这里稍微用一点“物理‘的说法。 给定了一个线性系统V和A，我们应该怎么理解它呢。运用我们的”思维定势“，想象 V原来是一个线性系统的态空间，它完全刻画这个系统的运动学行为。A是一个什么东西呢？ 它是描述这个系统的动力学特性的一个东西。当我们给定了一个V中的向量b，并写出Ax=b这个方程时，意味着什么呢？ 我们可以把b理解成一种背景或者一种外在的作用。比如控制压强，温度，用电场极化或者其他的外部控制，等等。我们求解Ax=b就相当于我们在b这个背景下来考察系统的行为。在数学物理方程中会考虑方程的是适定性和稳定性问题，初值问题，边值问题。初值和边值问题相当于对于这个系统的行为的一种限制或者约束。当然对于线性系统而言，这种约束或者限制当然也要是线性的才好，否则我们的系统即使本来是线性系统如果加了非线性的约束那么求解它的问题也变成一个线性问题了。适定性问题和稳定性问题后面在讨论。给定了一个线性系统，因为A是一个线性算子或者矩阵，我们自然可以定义算子的特征多项式，行列式，trace，特征值（或者叫做谱）等等，这些不变量当然我们应该理解为是这个线性系统的一些不变量或者示性数或者“结构常数”。它们会有直接的或者间接的”物理意义“。这些都是我们线代中学到的基本的东西。我现在主要讨论经典问题，后面讨论量子问题，那个时候会更有意思。我想提醒大家的一点是，我们还要有另外一个”思维定势“，那就是想象所有的经典的东西都有量子的对应。当我们考虑一个经典的系统的时候我们都要想象它有一个量子的对应。
刚才定义了数学上的的线性系统。在经典物理系统里面，线性系统都是非常”特殊的“系统，特殊的意思不是说少或者没有意思，而是说从经典物理的角度或者数学数学的角度容易理解。而不同的是所有的量子物理系统都是线性系统，这似乎是一个”悖论“，和我们的第二个”思维定势“一同考虑的话。因为原则上任何一个经典系统都有一个量子的版本，而量子系统都是线性的，经典系统有线性的也有非线性的。应该怎么理解这个事情呢？ 难道量子化是一种线性化？某种意义上这是对的，但是线性化不意味着简单化，事实上量子化之后，系统的更多特性会发掘出来，很多东西在经典物理的范畴中是不存在的甚至是无法想象的。只有量子化之后我们才能看到物质系统更加丰富有趣的那些方面，要不然怎么能说量子物理更基本呢。量子系统的复杂很大程度上来自于它的真空结构的复杂性，每一个稳定的真空都会有一个有效理论，有效理论之间的相变，也会很复杂。我希望以后尽力解释一些。
线性代数或者数学物理方程都会讲一些线性系统的基本特性，那就是线性叠加原理。不管是矩阵方程或者线性多项式方程，线性常微分方程，线性偏微分方程，线性积分方程，统统都是对的，只要是线性系统都对。
当然这个原理只对Ax=0这样的方程成立，这样的方程称为齐次方程。方程的解空间或者零模空间（zero model 或者 moduli of vacuum）是V的一个子空间。
我们都常说线性系统比较简单。那么这个简单是什么意思呢。最起码的可以这么理解，那就是线性系统是可以完全求解的，也就是说存在通解。通解是什么意思呢，就是我们可以找到所有的解，并把他们写成统一的形式，解析的表达出来。数学上有个习惯就是，就是认为只要有具体表达式的东西，都是可以理解的，都是可积的，其实未必是这样的。给一个非常复杂的表达式有时候还不如给一个定性的结论或者数值的图像来的直观。但是不管怎么样，大多数情况，对于线性系统而言，我们总是可以写出通解。总是可以理解它的结构的。有人可能会问，非线性方程或者非线性系统有没有通解的概念，当然有。为什么不提呢，因为没有什么意思，非线性方程的通解通常没有好的表达式，除了少数的特解我们根本不知道其他的解都长的什么样，在数学物理中，通解有另外一个更上档次的名字： 模空间（moduli space）。所以对于任何系统不管线性还是非线性，我们都可以谈论它们的通解或者叫moduli space。但是我要强调一点，moduli space 也不能用的太滥，因为原则上我们可以说所有的东西都是moduli space，这也make sense，但是这样的话，moduli space 和set 和category 就是一样的概念了，我们可以说数学中任何东西都是set 或者都是category，这并没有什么有意义的东西。当然moduli space在一些学科中是有特定的意义的，不是随便用的，比如在代数几何中，模空间真的是参数空间（moduli就是参数的意思），而且还和一些universal性质，可表性，family等”高端“的概念等联系起来，不用害怕他们都是trivial的。数学物理中moduli 这个术语比较常见，modular这个术语也比较常见，有关系么？ 答案是认为有就有。modular function 就是function or generalized function on moduli space。用中文来说的话就有意思了就是说模函数（modular function）是模空间（moduli space）上的函数。还有一对概念类似，D-brane 和 D-module，翻译过来一个是D-膜，一个是D-模，它们之间在一些情况下也是可以等同起来的。数学物理中的术语很有意思，用的时候要主注意语境。
注意在做量子化(正则量子化/路径积分量子化)的时候，模空间的术语也有特别的用法，在规范理论中moduli space 指的是所有的规范场，它们是off shell的也就是其中的元素不是（包括）运动方程的解，在其他的非规范理论中或者经典理论中moduli space则是on shell的，也就是上面所说的通解的意思。反正要分情况来区分。以上这些你不明白也不要紧，因为他们都是trivial的，以后有了必要的背景之后自然会理解。以上都是废话。
继续回来讨论方程Ax=b。 当b=0的时候，我们知道这个方程是齐次方程，它的解空间是线性空间，叠加原理成立。当b等于零的时候呢，我们有冲量原理，这个时候解空间不在是一个线性空间，而是一个仿射空间，或者说是V中的一个”超平面“，随便给定Ax=b的一个特解，那么我们用”非齐次的的叠加原理“，可以把零模空间（齐次解空间）沿着这个特解平移就可以得到所有的非齐次方程的解。讲到这里我想多解释些概念。线性空间和仿射空间的区别是什么？ 线性空间是一种代数结构，但是仿射空间应该认为是一种“几何结构”，在线性空间中我们可以做加减，有零元素，但是在仿射空间这些都没有，有的只有平移。理解它们的区别是非常重要的，因为这对理解主丛非常要紧。为了说清它们的区别，我必须要用更抽象的概念，但是同样它们是trivial的，不要害怕抽象的东西。抽象的东西有时反而简单，我想这一点做基础数学的都会认同。当你面对一个复杂的问题的时候，首先想到的应该是把其中的问题抽象出来，从而会简化问题。 我要用到的概念就是群 和群的表示。群是是一个代数系统，它的定义公理我就不细说了，百度就能告诉你答案。一个群G在一个集合X上的作用，称为是原则的（principal）的如果该作用是传递的自由的。prinpal 说明X作为集合和G是一样的，一个principal的作用（左模）称为一个torsor或者主齐性空间。如果G在X上的作用是传递的，则称X是G的一个齐性空间。齐性空间都同构于G的一个商空间，主齐性空间相当于是最大的齐性空间。当我们讨论等变上同调，主丛，杨米尔斯理论和伽罗华理论的时候，这些概念都是基本的，所以大家最好先把这些概念理解下。在上面的情况，齐次解空间的地位相当于G，它是一个阿贝尔群同时有一个相容的域的作用，非齐次空间的地位相当于X，是齐次解空间的主齐性空间，作为集合和G是同构的。G的作用就相当于平移。
给定一个线性系统和背景b，这个系统的所有解或者说运动状态都一一对应于一个仿射空间的向量。为了研究清楚这个系统的”物理特性“，我们只需要研究这个仿射空间的一组”基“的特性就可以了，因为其他的状态都可以由这组基线性加权而得到，原则上可以理解清楚。找到一组基并且把一个一般解展开为这组基的线性加权的过程叫做“模式展开”（model expansion），数学物理或者物理中的用法和数学不一样，空间的基或者更一般的模空间的坐标称为模式（model）。当然对于一般的非线性系统，它的解空间不是线性空间或者仿射空间，不会有整体的坐标，如果解空间空间足够好（有流形结构）我们还是有局部的model的。现在继续考虑方程Ax=b，现在的问题是如果我考虑让b动起来，那么我的解空间也会在空间V中移动，那么有没有一般的规则说明这种依赖关系呢。当然是有的。那就是格林函数或者叫基本解和卷积的概念。可以理解的是我们的解空间和 b 的依赖关系应该有某种“线性关系”，因为我们的问题都所有的东西都要求线性结构。事实正是如此。我想先介绍些抽象的概念，最后再说格林函数或基本解是怎么回事。
在基础数学中，有一些universal的问题，那就是结构和对象的分类，刻 画，构造和实现。从这种高的观点来看的话，线性代数的主要目标就是分类有限维的线性系统。
如果我们的线性系统是有限维的，若当块理论就是我们的最好的结果了。
我要休息了，请大家看看我分享的paper和slide 吧。有时间的同学可以找一些好的文章翻译一下，比如witten，atiyha，segal，Baez 等等的好的review文章，翻译好了通知我，我会分享到万门大学数学系，帮助一下英文不太好的同学。多谢大家。下面是我会讲的东西的一些广告。我希望能够给大家直观的解释什么是langlands program，mirror symmetry为什么会有这个东西，如何自然的去理解它们。 如果等不到我写出来大家看slide也许会更清楚。
2 非线性系统
3 指标定理
4 量子化和几何
5 对偶性 和傅里叶变换
6 可积系统
可积系统是数学物理中的核心理论，分为经典和量子可积系统。从某种意义上可以说数学物理中的绝大多数问题都是可积系统中的问题，也可以说数学物理的起源也是从可积系统开始的，其重要性是怎么夸张都不过分的。经典的可积系统分为两大类：一类是KP理论或者叫做佐藤（Sato）理论，另一类是希钦(hitchin) 可积系统,这是两类可积系统是万有（universal）的，可积系统是可以分类的但是比较复杂。KP理论和hitchin理论包含了所有可能的可积系统，所以称之为万有的。它们的区别在于看待可积系统的角度不同，KP理论可以认为是可积系统的代数理论，其核心是tau函数理论。tau函数是可积系统的示性函数或者生成函数。Hitchin 可积系统的理论可以认为是可积系统的几何理论。但是KP也有一个几何的版本或许可以叫做诺维科夫（Novikov）理论，它和Hitchin本质上是一样的。现在我就分别解读这些理论。
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首先说一下什么是可积系统，我们主要讲有限维可积系统，有限维的懂了无限维的很容易过度。
可积系统的另一个名字叫做刘维尔（Liouville） 可积系统。定义它要在辛几何的框架下讨论。辛几何就是流形上的辛结构的几何理论。辛几何，黎曼几何和复几何常见的三种几何，他们都有对应的一些不变量，辛几何的不变量是格罗莫夫-威腾不变量，弦场论，或者福卡亚范畴，辛几何没有局部的不变量（达布定理），存在一个辛几何的不变量这是一个非平凡的事实，即使现在也不能说这个理论理解的比较清楚了，仅仅是一个开始而已，我们可以把辛几何的不变量理论称为辛拓扑。黎曼几何是有局部的不变量的，黎曼曲率就是一种不变量。黎曼流形上拉普拉斯算子算子的谱也可以认为是度量结构的不变量，因为他们依赖于度量。其中零模部分就是hodge理论中的调和形式，它们对应于某些场论的量子真空。比度量结构稍微深刻一点的是spin（旋量）结构，spin调和形式是狄拉克算子的零模，是spin结构的不变量。复几何的不变量就是Hodge structure，当然也可以说是杜比尔特（Dolbeault）上同调。复结构的形变在同调的水平上就是hodge结构的形变。 黎曼几何和复几何理解起来比较自然，但是辛几何是怎么来的呢？ 辛结构是从哪里来的呢？ 首先他们来自于经典力学，经典力学的抽象形式有三种：一种是拉格朗日力学，一种是哈密尔顿力学，另外一种是波动力学。第三种大家都认为包含在第二种理论里面，但是我还是想强调一下它。拉格朗日力学的方法论是变分法，在这个框架下我们定义一个力学系统，需要制定一个示性函数，它是这个系统的独立动力学自由度的函数，我们称之为作用量（action），通常认为指定了作用量就指定了一个系统，它的全部动力学特性都可以通过作用量来得到。这个作用量和能量差不多，但是又不是能量，我们可以理解作用量就是上帝的化身，action 是指作用的意思，action就是上帝用来做功的那个手指。其实action这个术语的最早意义就是这个。作用量通常用大写的S来表示， 在物理中还有一个量也是用大写的S来表示，它就是熵，这两个东西的地位是相当的， 一个在力学中，我们极值原理或者最小作用量原理，一个是在统计物理中，我们有熵增原理（热力学第二定律）或者最大熵原理。自然的想法是能不能把二者统一起来？ 我相信是可以的，而且在数学物理中有人在试图这么做了，我想这是一个非常自然的事情。要做这样的统一，要在量子物理中或者量子信息的理论中，这样的统一可能最终和量子引力有关。我不想详细的介绍这些东西。等我介绍了费曼规则，和更多的同调物理之后我会回来讨论这个问题。 对作用量变分可到极值点满足的方程，叫做欧拉-拉格朗日方程，我们数学物理方程中的方程都是有物理背景的，它们都可以通过对某个作用量变分得到，所以他们都是欧拉-拉格朗日方程。有作用量有什么好处呢？是不是所有的方程都可以找到作用量？ 能找到是不是唯一的？后两个问题的答案是否定的，完整的回答这个问题需要jet空间的变分双复形理论，可以把上面的两个问题化为障碍类和上同调的问题。数学物理中很多都是这样的，背后都有一个上同调理论来支撑。如果一个方程有作用量，一个最重要的好处就是 我们可以明显的把系统的对称性和系统的守恒量联系起来。这是非常重要的发现，这种联系比被表述成诺特定理。这个定义在物理中可以认为是构造理论的一个普适的原则，在CFT和其他可积的QFT中，这种定理是理解它们的唯一方法，在量子理论中，这个定理的表现形式是沃德（ward）恒等式。
如果我们把经典的物理系统理解为一个动力系统，那么上面的事实则说明物理系统和一般的动力系统不一样，它有自己独特的数学结构。我们来谈第二个经典力学的框架，哈密尔顿力学，哈密尔顿力学把一个经典物理表述成汉密尔顿方程。我们可以理解哈密尔顿方程是欧拉拉格朗日方程的一种延拓的形式，它有一定的独特性。对于好的力学系统（作用量是非退化的），我们通过做一种所谓的勒让德变换从欧拉拉格朗日方程得到哈密尔顿方程。这是理论力学中都会讲到的做法。我不想再详细的分析，我想告诉大家的是辛几何来自由物理系统的变分结构，这里自然就有一个问题，就是如何理解在经典力学的变分结构的框架下来理解辛拓扑。大家要记住的是拉格朗日力学比哈密尔顿力学更有一般性，有更好的性质，只有一些”较正常的“系统才有哈密尔顿力学的描述。第三种框架波动力学，它用哈密尔顿-雅克比方程来描述力学系统，它是非常”接近“量子力学的精神，据说（可能是事实）海森堡方程的发现就是受哈密尔顿-雅克比方程的启发，当我有更好的理解的时候我再回来讨论这个问题。这些东西都是熟知的或者是标准的东西，但是并不是说明这里面就没有什么问题了。对于经典物理理论中的数学结构还有很多未知的东西，比如如何范畴化经典物理，范畴化可积系统，对他们的范畴化意味着什么也是很神秘的东西。我们还是回来讨论已知的东西。
经典的可积系统的全称应该是完全可积动力系统，数学物理中还要加上汉密尔顿这个前缀。所以我们谈的可积系统都是完全可积的哈密尔顿动力系统及其它们的量子对应。事实上，最后发现对于这一类系统，完全可以用纯代数的或者表示论的或者代数几何的结构去刻画它们，比如刘维尔可积系统，hyperkahlar几何，W algebra，lax pair，yang-baxter equation，K-Z equation，零曲率方程，lie algebra，loop group/algebra等等.而动力系统的影子则是不明显的藏在背后。最后去分类和构造这些可积系统就等价于分类和构造一些代数结构，而这些代数通常可以由一些结构常数和它们满足的代数方程来刻画。这些方程可以认为是诺特定理或者ward恒等式的变种。另一方面，代数几何中的各种模空间和可积系统有天然的联系，它们的可积性质有助于我们更好的理解它们的结构。我列举一些可以在可积系统范围内考虑的问题或者说可积系统相关的问题： 可积系统和微分算子的等谱形变有关，可积系统和黎曼面或者代数曲线模空间有关，可积系统和自由量子场论有关，可积系统和无穷维李代数（主要是affine kac moody 代数），可积系统和无穷维的线性群（日本群）自守表示有关和无穷维的格拉斯曼流形几何有关，和无穷维的行列式理论有关，可积系统和量子群有关和矩阵积分有关，可积系统和格罗莫夫威腾不变量有关和量子上同调有关，和很多组合问题有关。
我再列举一些关于可积系统的“传说”，
1 可积系统就是严格可解的系统
2 可积系统就是有足够多对称性的系统
3 可积系统都可以写成Lax pair
4 可积系统是刘维尔可积系统
5 可积系统就是torus fibration
6 可积系统的一般理论是KP理论
7 可积系统也叫孤立子理论
8 可积系统可以定义为Hitchin fibration
9 可积系统就是泊松代数的一个极大交换子代数
10 可积系统 都有满足杨巴斯特方程的R矩阵
11 可积系统把微分方程变成了代数方程或者常微分方程
12 可积系统和双哈密尔顿结构有关和弗洛比纽斯流形有关。
可积系统是个多面手，任何一本书都很难把和可积系统所有相关的问题写清楚，我希望通过我的鼓吹和介绍让大家产生兴趣。
刘维尔可积系统的通常定义是这样的：
首先要给定一个辛流形M（dim M=2n）和辛流形上的一个函数H（Hamiltonian哈密顿量），我们就定义了一个哈密尔顿系统。由于流形有辛结构，H可以自然导致流形上一个动力系统（是一个向量场记为X(H)）。我们要定义这个系统的对称性。流形上的一个向量场如果保持H所生成的动力系统则称为该系统的一个对称性。对于好的对称性（哈密尔顿对称性），我们可以对应一个守恒量（差一个常数的意义下唯一）。
刘维尔可积系统====torus lagrangian fibration，一个刘维尔可积系统就是辛流形上的一个环面主丛结构并且要求纤维都是拉格朗日子流形。
刘维尔可积系统《=====》Hitchin fibration
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momen map
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tau 函数和Sato functor
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交换微分算子理论
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谱曲线
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李代数的上同调
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Sato 格拉斯曼流形
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阿贝尔-雅克比映射
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Novikov functor
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对称函数和杨图
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陈静远Kirk 回复2014年01月21日 19:36:51咦正文呢
王赫 回复2014年01月21日 19:39:06and？that is all?
超级表情
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