写此日志是希望引起同学们对这个领域的兴趣。这里有大量的数学和物理没有被挖掘出来，应该是数学物理的一个热点领域。希望通过我的鼓吹，能够让年轻的学生意识到他们可以选择的方向和问题是非常多的。科学的发展不是把问题变得越来越少，而是越来越多，越来越深刻，越来越有意思。当然真正的去理解我说的这些花里胡哨的术语和名词需要自己去查阅文献和资料，但是我相信通过仅仅通过看书是不行的，主要原因是这些东西在飞速发展，写文章都来不及，更没有多少专家有时间写完整的书。当然有些好书资料整理的不错，可以省掉你不少时间，但是真的做研究的话一些文献还是要亲自读一读，揣摩一下。当然，最后我希望大家不要把自己的大脑弄成存储器，学了一大堆都是别人的，而应该逐渐形成自己的program，对已知的这些所有理论纳入自己的框架。形象的做个比喻，就是把这些已知的理论作为珠子，你要用自己的线把它们连起来。这样每当任何人发展了已知的或者创新了理论你都可以及时的follow，理解他的想法，然后在改进自己的program，使得仍然能够包含他的理论。所以做研究基本就是形成自己的program，理解别人的program，逐渐的改进或者推动自己的理解。当然解决具体问题只是这个过程中的很重要一部分。一旦以这种方式做科研，你就不会愁没有问题可做。
参考资料
1 nLab, QFT with defects,
2 Gregory W.Moore, Lecture notes for Felix Klein Lectures,2012/12/5.
缺陷（defect）我不知道有没有一般的定义，我给出一个我认为应该是最广意义的定义，所谓缺陷应该是量子物理中那些不能够由作用量直接或者完全确定的现象的总称。我们可以把量子场论分为有缺陷的和没有缺陷的。
在最广的意义下，缺陷包括的领域有边界条件（D-brane，boundary QFT），杂质， 对偶性，孤立子，单极子， 对称性破缺，相变，畴壁（domain wall），反常等等。所以说defect 在物理中是无处不在。没有defect的物理系统只是理想的情况。学习数学物理不学习defect是不完整的。我不太关心具体的物理系统，只关心如何从数学上刻画他们。
在以前提供的材料和日志中，我基本上解释了量子场论的数学结构。现在我希望关于defect 的数学结构。当然这是一个非常复杂的课题。希望通过对各种defect的认识，建立对数学和物理更完整的图像，相信通过对defect的了解，你会对你所学的所有的数学有更加深刻的认识，并且会感受到未来数学发展的一些可能性。
0 量子场论的一般图像（General picture of QFT）
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量子场论是公认的难学，我觉得原因在于量子场论的书大都写的很物理，很具体。经过很多数学家的努力，量子场论的结构性的东西越来越多的被提炼出来，并且把量子场论中的很多想法和技巧用来解决数学问题，可以说这一趋势还在不断的发展中。一些著名的场论方法如超对称，拓扑场论，顶点算子代数，BV代数，同伦代数，路径积分的一些近似方法，费曼图，场论的对偶性等等越来越成为数学中的重要概念，并且有统一数学的趋势。
我现在大致总结一些，目前为止人们对于量子场论的形式的认识，大致分三个角度，有兴趣的读者可以到nLab上看相关资料。
1 典型的代表就是Atiyha-Segel 类型的拓扑场论或者共形场论，这些的理论的未来发展可能朝着高阶范畴或者高阶协边范畴的表示发展（extended TQFT），也会发展具有defect的协边范畴的表示理论。J.Lurie 对于协边假设的证明是extended TQFT 的一个重要进展。
这个方向主要侧重于对于路径积分或者历史求和的范畴或者函子结构的认识。当然defect 和范畴化也是这个领域的主题。
Atiyha-Segel 类型的拓扑场论是对于高维的sigma 模型的微扰量子化，或者说是微扰膜理论。但是由于它的代数结构的特点，人们希望用这套formalism 来发展背景无关的场论。
我在以前的日志里讨论过量子场论的数学结构，我们可以认为量子场论就是某种代数，我们常见的这些代数结构都可以在某种意义上看做是这种代数的子结构，事实上很多数学结构都可以嵌入到量子场论这个巨大的机器之中。那么既然是代数结构，根据我们的经验，我们就会很自然的问这个代数有没有子代数，有没有（左，右，双）模 ，有没有（左，右，双边），有没有商代数，有没有扩张，有没有森田等价，有没有上同调或者形变理论等等。所有的这些关于代数的问题似乎都应该问。我想这些问题在某种层次上都可以对量子场论来提。但是现在这些问题还没有很好的答案，甚至有些问题正确的提法是什么，人们还不清楚，所以这是一块有很多矿产的领域。在物理理论中，物理学家常用的紧化（克鲁扎-克莱因理论），约化，经典近似，有效场论，对称破缺，边界场论等等都还没有很好的被数学家formulate 出来。
我们可以把这类场论称之为categorical or functorial QFT，侧重于路劲积分的张量函子性 的结构，物理上对应的就是S-matrix or Dyson-Schwinger formalism。物理学家关心的是关联函数（S矩阵系数的生成函数），数学家S矩阵具有很好的代数结构，所以这些关联函数也就反映具有很好的函数方程。
以下是个人的一些不成熟的观点：
有一些人很关系数论和量子场论的关系，这部分关系主要的就是如何把数论中的生成函数（L函数，Zeta函数）等等解释为量子场论中的生成函数。量子场论中关联函数的这些系数或者散射振幅都是历史空间上的纤维积分，它们通常有费曼图展开。数论中的生成函数通常都和伽罗华表示的特征表或者弗罗比纽斯元的trace，如果表示是motive的，或者说来自与几何的它们通常可以表示为 轨道积分或者motive 积分。 如果能够把这两类积分联系起来，数论和量子场论就可以联系起来了。
量子场论中重要的空间就是 历史空间或者满足一定边界条件，对称条件或者其他条件的场的模空间，数论中重要的是adelic 代数群的齐性空间（算术Shimura variety or 算术algebraic cycle）或者 某些簇的模空间。 理解这些空间的关系是量子场论应用到数论等等关键。
模空间是数学和物理中研究最多的一类对象，上面已经说过一方面数学家的一些量子场论都和模空间的积分联系起来，比如联络模空间，复结构的模空间，全纯映射的模空间，代数曲线模空间，Hodge 模空间，Higgs模空间，Hitchin 模空间，流形上点的位形空间，希尔伯特概形。这些空间之间可能有着千丝万缕的联系，有些来自物理有些来自几何，有些来自拓扑等等。这些空间上的积分或者相交数给出一些量子数（散射振幅）。数学家可以研究一个模空间的性质，比如紧化，上同调和相交，有理同伦型等等还有些空间有些很好的自然的代数结构或者几何结构（BV代数，homotopy 代数，Frobenius manifold, Hopf algebra，hyperkahler 结构，可积系统，自然地群作用等等），另一方面可能更重要，研究一类模空间上的代数结构可能是更有意义的事情。比如在Segal的共形场论中，黎曼面的模空间， 拓扑引力中 stable 代数曲线的模空间，它们一个是cyclic operad，一个是modular operad，当然它们都是特殊的PROP。
另外，数学中的一些模空间可能和一些（无限维的）代数群的齐性空间相联系。比如hodge模空间和Shimura 簇的联系，
参考资料： J.S.Milne, Shimura varieties and moduli.
2 第二类理论称为代数量子场论（AQFT），这一类和泛函分析算子代数的关系比较密切，基本可以认为是魏特曼（Wightman）公理的推广。侧重于量子场论的局部结构和观测量 的反层结构（cosheaf）。sheaf 大家比较熟悉，和它对偶的概念就是co sheaf。数学家不长用，但是对于描述观测理论很重要。所用的工具比较传统，个人不是很喜欢，感兴趣的可以到nLab 或者wiki 了解。
3 第三类就是威尔逊的重整化群和 有效场论
这个可能是对整个科学都有意义的哲学思想。这里的想法就是一切（物理）理论都是有效理论。我们不能孤立的看待一个理论，我们应该在它所在的理论的模空间来看待它。
参考文献：
1 Kevin Costello, Renormalizaton and effective field theory.
2 Kevin Costello, Owen Gwilliam, Factorization algebras in perturbative quantum field theory.
3 Howard Georgi, Effective Field Theory.
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量子场论是一个很庞大的代数系统，这个系统有些自身的相互作用，类似于李代数的伴随表示，但是很多情况下来自于外部系统的作用也很重要。比如我把一个量子场论记做一个代数A，一个自然的代数结构就是A的自同态代数End（A），这个更加复杂的代数 我们可以想象它就是A这个理论所允许的内在的defect。理解这些话的意思首先要注意到，其实这里在语境上有个转变，原先的量子场论的基本概念是 态和态之间的散射，以及可观测量，数值的刻画它们就是关联函数或者转移振幅， 算子的谱和期望值。因为现在要考虑更加复杂的情况，为了说清楚需要更加抽象一些，这个时候最基本的概念就要从态， 态的散射，以及观测过程转变到 边界条件和缺陷，这里的边界条件是非常广泛的概念，既包括一个过程的初始状态和末状态，也包括真正的空间上的边界条件，而缺陷则包括观测过程和具有独立物理自由度的量子客体。其实在做路径积分的时候或者在阿提亚类型的拓扑场论中，初始状态和末状态就可以理解为场的（关于时间的）边界条件，也就是说这里所指的边界条件既包括时间上的边界条件也包括空间上的边界条件。从这个角度来看，量子场论就是描述一个物理系统或者理论所有的边界条件以及边界条件的散射的代数系统， extended TQFT 可以认为就是试图去刻画或者构造这样代数系统或者试图去找到这个代数系统的所满足公理。如果说边界条件是态的概念的推广，那么缺陷则是观测过程和观测量的推广。 继续前面的讨论，如同在代数学中，人们不会只考虑End（A）这样的东西， 人们还会考虑一个代数在另一个代数的作用，即B----》End（A）这样的东西。 在量子物理中也是这样，我们想象A是由一个系统的所有的边界条件和它们之间所有的散射过程构成的代数，End（A）这可以想象为由对这个系统所有可能的操作或者说不违反这个系统的物理规律的所有可能的操作 所构成的系统。那么B---》End（A）这个东西就可以看做是另外一个系统作用在A这个系统上但是不会改变A的物理。
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1 孤子和可积现象
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2 拓扑量子场论和扩展的量子场论（Extended TQFT）
参考资料
1 nLab, QFT with defects,
2 Gregory W.Moore, Lecture notes for Felix Klein Lectures,2012/12/5.
缺陷（defect）我不知道有没有一般的定义，我给出一个我认为应该是最广意义的定义，所谓缺陷应该是量子物理中那些不能够由作用量直接或者完全确定的现象的总称。我们可以把量子场论分为有缺陷的和没有缺陷的。
在最广的意义下，缺陷包括的领域有边界条件（D-brane，boundary QFT），杂质， 对偶性，孤立子，单极子， 对称性破缺，相变，畴壁（domain wall），反常等等。所以说defect 在物理中是无处不在。没有defect的物理系统只是理想的情况。学习数学物理不学习defect是不完整的。我不太关心具体的物理系统，只关心如何从数学上刻画他们。
在以前提供的材料和日志中，我基本上解释了量子场论的数学结构。现在我希望关于defect 的数学结构。当然这是一个非常复杂的课题。希望通过对各种defect的认识，建立对数学和物理更完整的图像，相信通过对defect的了解，你会对你所学的所有的数学有更加深刻的认识，并且会感受到未来数学发展的一些可能性。
0 量子场论的一般图像（General picture of QFT）
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量子场论是公认的难学，我觉得原因在于量子场论的书大都写的很物理，很具体。经过很多数学家的努力，量子场论的结构性的东西越来越多的被提炼出来，并且把量子场论中的很多想法和技巧用来解决数学问题，可以说这一趋势还在不断的发展中。一些著名的场论方法如超对称，拓扑场论，顶点算子代数，BV代数，同伦代数，路径积分的一些近似方法，费曼图，场论的对偶性等等越来越成为数学中的重要概念，并且有统一数学的趋势。
我现在大致总结一些，目前为止人们对于量子场论的形式的认识，大致分三个角度，有兴趣的读者可以到nLab上看相关资料。
1 典型的代表就是Atiyha-Segel 类型的拓扑场论或者共形场论，这些的理论的未来发展可能朝着高阶范畴或者高阶协边范畴的表示发展（extended TQFT），也会发展具有defect的协边范畴的表示理论。J.Lurie 对于协边假设的证明是extended TQFT 的一个重要进展。
这个方向主要侧重于对于路径积分或者历史求和的范畴或者函子结构的认识。当然defect 和范畴化也是这个领域的主题。
Atiyha-Segel 类型的拓扑场论是对于高维的sigma 模型的微扰量子化，或者说是微扰膜理论。但是由于它的代数结构的特点，人们希望用这套formalism 来发展背景无关的场论。
我在以前的日志里讨论过量子场论的数学结构，我们可以认为量子场论就是某种代数，我们常见的这些代数结构都可以在某种意义上看做是这种代数的子结构，事实上很多数学结构都可以嵌入到量子场论这个巨大的机器之中。那么既然是代数结构，根据我们的经验，我们就会很自然的问这个代数有没有子代数，有没有（左，右，双）模 ，有没有（左，右，双边），有没有商代数，有没有扩张，有没有森田等价，有没有上同调或者形变理论等等。所有的这些关于代数的问题似乎都应该问。我想这些问题在某种层次上都可以对量子场论来提。但是现在这些问题还没有很好的答案，甚至有些问题正确的提法是什么，人们还不清楚，所以这是一块有很多矿产的领域。在物理理论中，物理学家常用的紧化（克鲁扎-克莱因理论），约化，经典近似，有效场论，对称破缺，边界场论等等都还没有很好的被数学家formulate 出来。
我们可以把这类场论称之为categorical or functorial QFT，侧重于路劲积分的张量函子性 的结构，物理上对应的就是S-matrix or Dyson-Schwinger formalism。物理学家关心的是关联函数（S矩阵系数的生成函数），数学家S矩阵具有很好的代数结构，所以这些关联函数也就反映具有很好的函数方程。
以下是个人的一些不成熟的观点：
有一些人很关系数论和量子场论的关系，这部分关系主要的就是如何把数论中的生成函数（L函数，Zeta函数）等等解释为量子场论中的生成函数。量子场论中关联函数的这些系数或者散射振幅都是历史空间上的纤维积分，它们通常有费曼图展开。数论中的生成函数通常都和伽罗华表示的特征表或者弗罗比纽斯元的trace，如果表示是motive的，或者说来自与几何的它们通常可以表示为 轨道积分或者motive 积分。 如果能够把这两类积分联系起来，数论和量子场论就可以联系起来了。
量子场论中重要的空间就是 历史空间或者满足一定边界条件，对称条件或者其他条件的场的模空间，数论中重要的是adelic 代数群的齐性空间（算术Shimura variety or 算术algebraic cycle）或者 某些簇的模空间。 理解这些空间的关系是量子场论应用到数论等等关键。
模空间是数学和物理中研究最多的一类对象，上面已经说过一方面数学家的一些量子场论都和模空间的积分联系起来，比如联络模空间，复结构的模空间，全纯映射的模空间，代数曲线模空间，Hodge 模空间，Higgs模空间，Hitchin 模空间，流形上点的位形空间，希尔伯特概形。这些空间之间可能有着千丝万缕的联系，有些来自物理有些来自几何，有些来自拓扑等等。这些空间上的积分或者相交数给出一些量子数（散射振幅）。数学家可以研究一个模空间的性质，比如紧化，上同调和相交，有理同伦型等等还有些空间有些很好的自然的代数结构或者几何结构（BV代数，homotopy 代数，Frobenius manifold, Hopf algebra，hyperkahler 结构，可积系统，自然地群作用等等），另一方面可能更重要，研究一类模空间上的代数结构可能是更有意义的事情。比如在Segal的共形场论中，黎曼面的模空间， 拓扑引力中 stable 代数曲线的模空间，它们一个是cyclic operad，一个是modular operad，当然它们都是特殊的PROP。
另外，数学中的一些模空间可能和一些（无限维的）代数群的齐性空间相联系。比如hodge模空间和Shimura 簇的联系，
参考资料： J.S.Milne, Shimura varieties and moduli.
2 第二类理论称为代数量子场论（AQFT），这一类和泛函分析算子代数的关系比较密切，基本可以认为是魏特曼（Wightman）公理的推广。侧重于量子场论的局部结构和观测量 的反层结构（cosheaf）。sheaf 大家比较熟悉，和它对偶的概念就是co sheaf。数学家不长用，但是对于描述观测理论很重要。所用的工具比较传统，个人不是很喜欢，感兴趣的可以到nLab 或者wiki 了解。
3 第三类就是威尔逊的重整化群和 有效场论
这个可能是对整个科学都有意义的哲学思想。这里的想法就是一切（物理）理论都是有效理论。我们不能孤立的看待一个理论，我们应该在它所在的理论的模空间来看待它。
参考文献：
1 Kevin Costello, Renormalizaton and effective field theory.
2 Kevin Costello, Owen Gwilliam, Factorization algebras in perturbative quantum field theory.
3 Howard Georgi, Effective Field Theory.
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量子场论是一个很庞大的代数系统，这个系统有些自身的相互作用，类似于李代数的伴随表示，但是很多情况下来自于外部系统的作用也很重要。比如我把一个量子场论记做一个代数A，一个自然的代数结构就是A的自同态代数End（A），这个更加复杂的代数 我们可以想象它就是A这个理论所允许的内在的defect。理解这些话的意思首先要注意到，其实这里在语境上有个转变，原先的量子场论的基本概念是 态和态之间的散射，以及可观测量，数值的刻画它们就是关联函数或者转移振幅， 算子的谱和期望值。因为现在要考虑更加复杂的情况，为了说清楚需要更加抽象一些，这个时候最基本的概念就要从态， 态的散射，以及观测过程转变到 边界条件和缺陷，这里的边界条件是非常广泛的概念，既包括一个过程的初始状态和末状态，也包括真正的空间上的边界条件，而缺陷则包括观测过程和具有独立物理自由度的量子客体。其实在做路径积分的时候或者在阿提亚类型的拓扑场论中，初始状态和末状态就可以理解为场的（关于时间的）边界条件，也就是说这里所指的边界条件既包括时间上的边界条件也包括空间上的边界条件。从这个角度来看，量子场论就是描述一个物理系统或者理论所有的边界条件以及边界条件的散射的代数系统， extended TQFT 可以认为就是试图去刻画或者构造这样代数系统或者试图去找到这个代数系统的所满足公理。如果说边界条件是态的概念的推广，那么缺陷则是观测过程和观测量的推广。 继续前面的讨论，如同在代数学中，人们不会只考虑End（A）这样的东西， 人们还会考虑一个代数在另一个代数的作用，即B----》End（A）这样的东西。 在量子物理中也是这样，我们想象A是由一个系统的所有的边界条件和它们之间所有的散射过程构成的代数，End（A）这可以想象为由对这个系统所有可能的操作或者说不违反这个系统的物理规律的所有可能的操作 所构成的系统。那么B---》End（A）这个东西就可以看做是另外一个系统作用在A这个系统上但是不会改变A的物理。
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1 孤子和可积现象
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2 拓扑量子场论和扩展的量子场论（Extended TQFT）
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