丘成桐 量子場論，這裏有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。由於在古典的量子力學裏，有限維流形上的譜分析和classical path有關， 在無限維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係

就是量子場論，這裏有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。由於在古典的量子力學裏，有限維流形上的譜分析和classical path有關， 在無限維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係

我們知道在圓球上所有的測地線（geodesic）都是大圓。假設我們將圓球變形一下，變成凸曲面：convex surface，這問題就變成一個很複雜的數學問題。它的測地線分佈狀態並不明顯，到目前為止沒有辦法處理這個問題，只有在簡單的橢圓體時可以全部解決這個問題。古典力學幫忙我們發現很多不同的工具來解釋測地線的問題


"分子轨道法：
是原子轨道对分子的推广，假定分子中的每个电子在所有
原子核和电子所产生的平均势场中运动，即每个电子可由
一个单电子函数来表示它的运动状态，并称这个单电子函
数为分子轨道，而整个分子的运动状态则由分子所有的电
子的分子轨道组成
　　分子轨道法的核心是HFR方程"
微观粒子运动服从Schrödinger方程，宏观物体可用牛顿定律描述它

们的运动规律，请问如何界定微观粒子与宏观物体的界限?

答：我们可用Heisenberg测不准关系来区分，即坐标与动量不确定量的乘积要大于普

朗克常数的数量级△x·△p≥h

例如质量为0.008kg子弹，运动速度为500ms－1，若速度不确定度为1％，则位置的不

确定度为

子弹弹孔10－32数量级的偏差对任何靶场来说，都是测不出来的，可以忽略。而对原

子、分子中的电子质量为9.1×10－31kg运动速度取2000ms－1，速度不确定度也是1％

，则位置不确定度

原子间距在10－10m数量级，所以10－5m数量级说明电子根本无法测定

[DOC]幾何學的未來發展

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從古典力學到量子力學，更進一步，就是量子場論，這裏有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。 ... 維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係。 .... 這個定理引進所謂內在曲率的觀念，曲率的觀念在Gauss以前就有了。 ..... 更進一步的問題是，什麼時候可以決定一個流形是某些自然結構的模空間。

 

幾何學的未來發展

 

丘成桐                                費爾茨得主 

美國哈佛大學教授

 

校長、院長、及各位同學，今天很榮幸能夠在這裏演講，尤其今年是交通大學一百年校慶紀念，能到一個比較注重工程的學校來講數學，表示交通大學也注重理科方面的工作，這是很有意義的。因為基本科學對於工程學有很重要的啟發性。今天我講的題目是林松山教授給我的。但是學術的未來很難猜測，很多有學問的人都曾經得出錯誤的結論。所以我不作任何猜測，我只能夠根據以前的歷史來做一些建議。

今天要講的歷史主要是從個人的體驗來看。我不是一個歷史學家，我講的很可能是錯誤的。可是這不重要，因為我想講的是我從做學問得出來的觀念，希望能夠以我自己的經驗來做一些建議。清華大學跟交通大學都曾贈予楊振寧先生榮譽博士，我看過楊先生寫的一篇文章，楊先生講做物理好象畫圖畫一樣。我想做幾何也跟畫圖畫差不多，不過我們畫的圖畫更廣泛一點。物理學家要畫的基本上只有一張圖畫，就是自然界的現象。但是幾何學家可以隨意去畫，我們可以畫廣告畫，畫工程學需要的畫，也可以畫印象派的畫和寫實的畫。廣告畫可以在商業上有很大的用處，過幾年後可能成為收藏的對象。但是由於商業氣氛濃厚，一般畫家不大願意認同它們的價值。廣告畫或工程畫卻可能對寫實派的畫和印象派的畫產生相當的影響。不過畫印象派的畫或山水畫，一定要有很深的技術、功力和想法才能畫得好。出名的畫家往往花很多時間在磨練、在猜測，將他的工具不停地推進，在好的氣質修養下，才能夠畫出好的印象派的畫或山水畫。一般數學家和幾何學家也有同樣的經驗，有意義的工作即使是個很小的觀察（observation）,往往花了數學家很大的精力去找尋。找尋的方法不單是從大自然吸取，也從美學和工程學來吸取。怎樣去尋找有意義的工作，跟我們氣質的培養有密切的關係。

現在我想談幾何的歷史，看看從前，再預測未來。因為我沒有想到林松山教授給我這麼長的時間，所以會講長一點。從前我們念中學的時候，念國文、念文學批評，總會說一個時代有一個時代的感慨。數學基本上也是一樣，文學上有古文學、有詩經、有漢賦、有唐詩、有宋詞，從一個時代去學習一個時代，很少能夠學得剛好一樣。我們現在看詩經寫得好得不得了，可是我們學不到詩經裏面的情懷意念。時代不同，感慨也不同了。隨著時代的變遷，因為時代不同的需要，我們培養出不同的感情，取捨自然不一樣。我們可以很羡慕從前大數學家做的工作，可是我們不可能也不一定要跟他們一模一樣。就好像我們現在學蘇東坡的詩和詞，我們不可能也不需要學得一樣，但是我們可以從他的詩詞裏得到想法，幫助我們去理解大自然，找尋表達自己感情的方法。從幾何來說，我們所要尋找的跟物理學一樣，就是真和美這兩個觀念。還有一個很重要而容易忽略的動力，是由工程學對數學需求所產生的。這三個想法推動了幾何學的發展。

美的觀點在不停地改變，改變的方式跟我們當時認識的自然界有很大的關系。一、二千年前我們認識的自然界跟現在我們理解的自然界完全不同，所以數學或者幾何學不停地受到這個變動的影響。在幾何學來說，美可分為兩方面：靜態的美和動態的美。靜態的美，譬如一朵花或雅致的山水，我們大致知道怎樣準確地去描述他們，甚至將我們的感受表達出來。如何描述動態的美對我們來說是一個很困難的問題，例如水在流或天在下雪，在不同的時間、空間，事物會產生激變，這是一個相當美的圖畫。可是到目前為止，激變的研究對理論物理學家、數學家跟幾何學家都是一個很大的挑戰。為了對時空作深入的描述，幾何學家有不同的研究的路徑：有人從物理學的角度去瞭解，有人從微分方程的角度去瞭解，這都成為幾何學的重要課題。

從古至今大家都講美，但是沒有很客觀的標準來決定什麼叫美或者不美。最重要的觀念只有一個，就是簡潔simplicity。這往往是我們審美的一個主要標準。在做幾何、做數學、做物理的研究時，我們都在描述一個很複雜的幾何現象。假如我們沒有辦法將幾何現象用很簡潔的語言表達出來的話，我們不算有一個好的定理或者好的文章。用很簡潔的語言來推導和描述繁雜的幾何現象，在歐幾里得的時代就歸納為用三段論證方法得出的過程。當時有很多定理，從希臘或埃及早期就發現了很多不同的平面幾何現象，但是沒有辦法有系統地放在一起。歐氏很重要的貢獻，就是能夠將定理統一起來，用公理來解釋所有當時發現的定理。例如兩點之間可以用唯一的直線連接起來這個事實，可以推導出很多定理。追求用簡潔的語言來解釋複雜的幾何現象，是幾何學家的目標。物理學也是一樣，物理上很複雜的現象也希望用統一場論來描述。從前中國也發展了平面幾何，可是始終沒有辦法發展成完美的嚴格數學理論。這是中國數學不如西方數學的一個原因。公理化以後我們才能夠統一處理和瞭解繁複的現象，也因此知道歐氏幾何所能解釋的只是很簡單的理想化的幾何現象。

我們在自然界裏面發現的現象遠比平面幾何要複雜得多，阿基米德和牛頓開始用微積分的方法來描述變動的曲線和曲面。引進了微積分以後，幾何學有長足的進步，我們開始知道直線或是圓以外的圖形都可以用嚴格的數學來描述。牛頓從物理的觀點來看質點怎麼變動成一條曲線，從而發展了微積分。幾何學家發現描述幾何圖形非靠微積分不可，幾何學從希臘的公理化到牛頓的微積分是一個很大的進步。

古典力學無論在阿基米德，牛頓或是現代，對幾何學的影響力都是很深遠的。它引進了變分法的觀念，例如我們研究一個簡單的問題：兩點之間最短的線是直線。這是平面幾何要求的。可是假如中間有障礙，就不再是一條直線，並且最短的路徑並不唯一。這是簡單的變分問題，問兩點間最短的線是什麼？怎麼找這些曲線及它的分佈情形，到現在為止還是微分幾何的一個有趣問題。我們知道在圓球上所有的測地線（geodesic）都是大圓。假設我們將圓球變形一下，變成凸曲面：convex surface，這問題就變成一個很複雜的數學問題。它的測地線分佈狀態並不明顯，到目前為止沒有辦法處理這個問題，只有在簡單的橢圓體時可以全部解決這個問題。古典力學幫忙我們發現很多不同的工具來解釋測地線的問題。

到了二十世紀，我們又發覺古典力學和量子力學有密切的關係。一個重要的問題問，當普朗克常數趨向於零的時候，古典力學和量子力學中間的關係如何描述，在這方面有很多重要的工作，例如：WKB的近似方法。它在幾何上產生了有趣的影響。例如Hamiltonian Mechanics裏面的classical path和光譜的關係，引起了微分幾何學家和微分方程學家企圖聯繫Laplace算子的譜和測地線長度的工作。古典力學通過geodesic，量子力學通過Laplace算子得到很多幾何現象，如何將他們聯繫是一個很有趣的幾何問題。我想這方面的研究會有很大的發展。從古典力學到量子力學，更進一步，就是量子場論，這裏有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。由於在古典的量子力學裏，有限維流形上的譜分析和classical path有關， 在無限維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係。在這方面，弦理論已經得到相當大的進步。可是物理學家討論場論的時候，遇到很多困難，起源於無窮維流形算子的譜分析不知如何處理。一個重要例子是loop space，這是將給定的流形上的所有封閉曲線放在一起的空間，我們要尋求在它上面的譜分析，這是一個很困難的問題。量子場論還缺乏嚴格的數學基礎。用Renormalization的方法，出現很多無窮的cancellation問題。在物理上出現的問題在數學上會更為困難。因為物理學家願意接受直觀的證明的觀念，而數學家難以接受。可是從量子力學，量子場論推導出來的數學，幾何學家往往驚歎他們如魔術般的奇妙直覺（intuition）。在有限維空間時，由物理學引起的幾何，我們大致上都可以理解和證明。可是在無窮維空間裏面，我們發覺古典幾何學的直覺與真理有相當遠的距離，沒有辦法將有限維空間的想法簡單地推導到無窮維空間幾何上去。這十五年來，自從弦理論產生以後，我們驚訝地發覺從物理直覺產生的幾何結論往往是正確的。

雖然量子場論本身的基礎不夠精確，它的物理意義也不見得能夠說服所有的物理學家，可是得出來的幾何結論即使不能以物理學的思維來嚴格證明，卻意義深厚且往往可以用不同的數學方法來驗證。現在舉一個例子，這是一個很深奧而古典的問題，已經有一百多年的歷史：一個五次方程，它有五個變數，這是中學生都看得懂的方程。我們要解這個方程，我們問一個很簡單的問題，假如要求尋找這個方程的函數解，它是可以寫成一個參數t的有理函數，問這個方程有多少個這樣的函數解。這是一個很古典的問題，跟Fermat問題很相似。我們的解可以分為不同的類別，我們可以用t的階數來將解分類，一般來說解有無窮個。可是我們可以問階數等於一的時候有多少個解，等於二時有多少個解。古典的幾何學家算出來階數等於一的時候有2875個，等於二的時候也可以算出來，等於三是近幾年才找出來的，我們猜想它有無窮多個解，階數越大時解可能越多。數學家沒有辦法解答這個問題，連猜測都沒有辦法做。這個問題在十年前，用弦理論的鏡對稱猜測到一個公式，來表達所有解的個數。這個鏡對稱理論是十年前我的一個博士後研究員和在德州的一個教授跟他們的同事們建立的。鏡對稱沒有辦法嚴格地去證明這個公式，當時用古典方法一個一個地去檢查，發覺階數小時公式基本上是對的。可是這種檢驗不是公式的證明，從量子場論得來的結果一般來說不能當作定理。今年年初這個公式終於由劉克峰、連幫豪和我、以及俄國數學家Givental用數學的方法給出嚴格的證明。雖然最後的證明跟路徑積分的想法無關，但是得到這個公式的過程有很大的意義，因為在量子場論找到這個公式以前，數學家連怎樣找這個公式都不知道。等到這個公式找出來以後，我們才有辦法從公式本身去著想，得到它的證明。我為什麼要講這個問題呢？因為無窮維空間在物理上有許多直觀的想法，從數學的觀點來看，幾乎是不可能接受的。這種公式往往是從路徑積分加上正規化的觀念導出來的，在嚴格上和直觀上數學家都不能夠接受，但卻得出正確的答案。因此，我們要追究物理學家在量子場論的直觀是怎樣訓練出來的，我們幾何學家缺乏這方面的訓練。近十年來，從量子場論得出來的重要觀念，解決了很多我們以前沒有辦法解決的問題，可以看出古典力學、量子力學、量子場論對幾何的影響是很深遠的。我想這個發展會繼續下去，二十一世紀的上半葉，無窮維空間的幾何要不斷地受到量子場論的影響。如果單從數學出發，我們很容易地定義什麼叫做無窮維空間上的幾何，可是往往沒有辦法得出任何有意義的結論。這是因為幾何學家對現代物理的觀念搞得不清楚，而無窮維的幾何往往不是古典的直觀可以得到的。所以我們要接受從現代物理或其他自然界供給的觀念。這是一個很重要的交匯，數學家自以為很漂亮的工具，往往不能夠解決任何問題。假如物理上的直觀可以代表真的話，這種直觀會成為幾何學的骨幹。

我剛才強調從物理得來的幾何觀念，可是我們也應當知道幾何或數學本身有他生存和美的意義，也有生存和美的價值。我們可以不受到客觀世界的影響，推導很多很漂亮的理論。只要這個理論漂亮而同時能夠解釋很多幾何上的現象的話，他一定有存在的意義，這是我們做數學的人相信的。舉個例子來說，從牛頓以來，古典力學對微分幾何確有深遠的影響。到了十九世紀，Gauss卻有一個很重要的發現，把牛頓以後的微分幾何帶進一個新的紀元。這個定理引進所謂內在曲率的觀念，曲率的觀念在Gauss以前就有了。自微積分被創立以後，我們就知道怎麼處理二維的曲面， Euler等很多重要的數學家在這方面有很大的貢獻。曲率測量二維曲面在三維空間裏面的扭曲性，一般來說有兩個不同的方向，一個得出h，另一方向得出k，它們的乘積hk定義為二維空間的Gauss曲率。Gauss重要的貢獻是發現Gauss曲率只跟曲面的本質計量（intrinsic metric）有關。二維曲面變形時，只要本質計量不變，它的曲率就不變。例如圓形柱中間切一條線以後，張開來變成一個長方形。這個過程並沒有改變度量，所以圓柱的曲率為零。Gauss自己也認為這是一個很重要的發現。發現的過程跟物理或其他的科學沒有直接的關係，大概跟測量地形有間接關係。是Gauss經過很複雜的微積分計算，發現出來的公式，他發現曲率只跟本質計量有關。Gauss的公式並不容易看得懂。事實上，用不適當的座標表達的時候，微分幾何的公式可以變成很複雜，但這也是微分幾何漂亮的地方，往往在選取好的座標時可以得到很簡單的公式。目前在課堂上就可以很容易將Gauss的公式寫下來。這是因為我們已經將Gauss的想法全部吸收而融會貫通的緣故。有了Gauss定理以後才有黎曼幾何的發展。黎曼根據Gauss的發現，發覺我們可以推導一個全部本質的幾何學（intrinsic geometry）。我們只要知道兩點之間的距離怎麼度量，就可以引進曲率的觀念，距離可以決定曲率，這是黎曼幾何一個重大的突破，黎曼幾何要求歐氏幾何在一個無窮小的領域上成立，然後推導了曲率及一系列微分幾何上主要的觀念。

當時黎曼創做這個理論，基本上是好奇。因為他希望能夠重新解釋Gauss定理，同時又將Gauss公式推導到高維空間去，並解釋了幾個重要的觀念，例如歐氏幾何裏所謂平行公理的問題。一直到十九世紀後期，微分度量幾何的發展跟理論物理關係並不大。當年引進了很多不同的觀念都是基於微分幾何學家的好奇心。他們發現很多歐氏空間上能夠做的事情，都有辦法在黎曼流形上面做，微分和積分的觀念全部可以推導到流形上去，到了十九世紀末葉他們已經將微分幾何推廣到抽象而完美的狀態，當時的推導是基於公式的簡潔和優美。1915年，Einstein引進廣義相對論，使黎曼幾何得到進一步的改變。

黎曼幾何在Einstein的廣義相對論上有很大的貢獻。由於Einstein對微分幾何不太瞭解的緣故，剛開始推導出來的方程式是有缺陷的。到數學家跟他合作以後，他才推導出正確的方程，對黎曼幾何來說，這是一個很大的鼓舞，抽象的想法竟然得到物理學上的重要應用。反過來說，廣義相對論成功以後，對於黎曼幾何的發展產生了很大的刺激，整體微分幾何跟廣義相對論因此有著密切的關係。在黎曼幾何本身，我們當然能夠找到有意義和漂亮的問題，可是有一些觀念，幾何學家沒法單憑幾何直覺得出。到了物理學家要追求一些實際的問題時候，我們才瞭解它的重要性和解決它的可能性。

十多年前，我跟一個朋友做一個廣義相對論上的題目，這是一個好幾十年的老問題。當時幾何學家不太懂這個問題，物理學家向我們解釋清楚以後，我們才知道，它的特殊情形基本上是一個幾何問題。因此我們對它有很濃厚的興趣。我們將它用幾何的方法解決以後，才去處理物理學家要求的原始問題，我們從古典幾何的觀念來看這個問題的一般情形時，我們認為這是不可思議的。事實上，當我們將這個問題全部解決了以後，一個很有名的幾何學家還堅持這不可能是對的，可以見到古典幾何的直覺有一定的規限。反過來說，物理學家也有他們的規限，例如剛才講這個問題，他們想了很久也沒有辦法解決，而我們用幾何的方法卻將它解決了。所以這是一個互補的情形，有些命題在我們來說幾乎是不可能對的，物理學家卻極力堅持，認為物理的直觀會遇到挑戰，所以我們願意花很大的功夫去瞭解它。假設當時物理學家沒有極力堅持的話，恐怕我們不可能花這麼多時間去考慮它。以後物理學家引進超引力的觀念，簡化了上述問題的證明，反過來對幾何學有很大的幫助。Einstein的引力理論給幾何注進新的生命，物理學和數學的交流至為重要，這是幾何發展的一部分，這條路線會走下去，這是無可置疑的。

未來半個世紀，幾何學家會解決從古典廣義相對論裏面出現的問題，物理學家大概發覺這方面的數學問題有相當的困難性，所以不大願意做古典廣義相對論的理論問題。他們的興趣是時空的量子化，這當然是很重要的，它是統一場論的最關鍵問題：也產生了很多有意義的幾何問題，例如熵的定義就是一個有挑戰性的命題。

古典的Einstein方程是一個很漂亮的方程，產生了很多重要而有意義的幾何現象。其中最重要的是時空的奇異點問題。這幾十年來數學家研究奇異點，在代數幾何方面有很長遠的進步。一個很出名的定理是Hironaka 的Resolution of singularity，這是三十年前做的，與微分幾何不同的地方是代數幾何的奇異點是比較容易定義的。因為代數流型是用一組多項式定義的，流型本身可以定義奇異點。代數幾何學家有很有效的方法來瞭解奇異點的結構。另一方面Mather 和Arnold等好幾個數學家考慮了所謂平滑奇異點(smooth singularity)的問題；不一定由多項式定義，而是由平滑函數（smooth function）定義。他們引進了很多拓撲學的工具。基本上的方法還是變成多項式的情形來解決。可是這些方法對於時空的奇異點問題暫時沒有幫助。

研究一般性的奇異點，無論在物理上、微分方程上或者幾何上，都是基本的問題，這些研究正在萌芽，可是對於真正瞭解它們還是相差很遠。例如在廣義相對論裏，奇異點沒有一個很好的定義。我們知道奇異點是在時空的邊界上，跟我們現在所看到的Minkowski時空是不同的。這是簡單的事實，它的局部性質跟一般時空不一樣，但我們不瞭解他們的內在結構，連該問的問題我們都不太清楚，真是一個很困擾的狀況。廣義相對論的進步，要依靠我們對微分方程的瞭解。為什麼呢？因為古典的廣義相對論本身是由Einstein方程來決定的。假如我們脫離了Einstein方程，得出來的結論只不過是一個抽象的架構，不能夠說符合廣義相對論的要求。不幸的是Einstein方程式是一個很複雜的非線性雙曲線方程組。我們對它的瞭解極為薄弱。我們希望能夠從Einstein方程得到時空的奇異點觀念。當Cauchy problem 的初始值是光滑的時候，時間向前走，我們要問奇異點是怎樣產生的。瞭解了奇異點產生的機制，我們才能瞭解奇異點的結構。在廣義相對論裏，有兩個重要的奇異點：一個就是黑洞，一個就是裸的奇異點(naked singularity)。這兩個不同的奇異點有濃厚的物理意義，我們期望從方程上能夠瞭解他們。當初始值光滑時，這兩種奇異點如何產生。對一般的光滑初始值，裸奇異點可否出現？這是古典相對論最重要的問題。

一般物理學家研究黑洞時，用幾個主要的解來解釋它們的特性，這就是Schwarzschild的解和Kerr的解，可是這兩個解不見得有一般性。我們希望從微分方程或者幾何的觀點來瞭解這些一般解的性質。例如證明星雲毀減時，時空會漸近一些基本解，或者在這些解集合裏跳躍，也希望知道這些基本解奇異點的結構。找出奇異點的結構，不單對黑洞本身的瞭解有重要意義，重力輻射(gravitation radiation)的問題也會得到幫助。現在的觀察儀器差不多可以觀察到重力輻射。可是從觀察得到的資料的意義，還不清楚。因為無論從理論上或計算數學上，我們都沒有辦法從Einstein方程裏將輻射公式很透徹地瞭解。這個問題跟奇異點應該有關，在這幾十年內希望能有很大的進展。

我們看到的幾何現象都會有某種奇異點。我們怎麼去分類它？奇異點有不同的類型，一種是人為的，一種是自然的，這兩類奇異點我們都要去研究。人為的奇異點在工程計算往往會出現，而自然的奇異點則從物理方程可以推導出來。Einstein方程裏邊的奇異點是最困難的問題。規範場的座標沒有選好也可以得出奇異點。

Einstein方程不單是一個最重要的非線性微分方程，也影響時空的拓撲，對微分幾何學家來說是一個挑戰，因為奇異點可以將時空的拓撲吸取。一般來說，微分幾何從幾個背景來建立我們的理論，拓撲結構就是最重要的背景。當奇異點破壞了這個背景時，我們有時會手足無措。

微分幾何學家對拓撲學一直都很重視。現在講最近拓撲學的走向，跟微分幾何的關係。微分幾何跟拓撲學的密切關係可溯源至Euler公式和Poincare天文物理的研究。而複分析卻是微分拓撲萌芽的一個關鍵。它在十九世紀已經有很深入的發展，不過很多自然的複函數有單值化的問題。例如log函數在平面上有branch cut，所以複數分析要處理這個問題。從此處可以引出monodromy群對同調群的作用和整體拓撲學的一個發展，其實monodromy群可以看作規範場理論的一部分。用monodromy群來控制整體幾何和代數系統仍然是一個蓬勃的方向，通過群表示理論，它在幾何學裏起著很大的功用。由複分析理論引出黎曼曲面的理論，可以說是近代拓撲的第一塊基石，我們開始研究外微分形式的週期問題，例如dlog可以在C\{0}上定義而且在任何繞零的閉曲線有同樣的週期，這影響了de Rham定理的發現。拓撲學和複數分析結合起來以後產生了複幾何。高維空間複流形和代數幾何的發展息息相關，homology的觀念和代數Cycle的理論相關而互相輔導，Lefschetz Pencil和Morse 理論的發展也是互助的。二十世紀初期對流體方程和電磁方程的研究，使得幾何學家引進了Hodge理論，以後的Yang-Mills理論源于高能物理方程，卻可以看成為非交換的Hodge理論。為瞭解如何處理整體微分幾何的問題，Cartan,Whitney等引進了很多重要的觀念，其中纖維束和特徵類是其中最重要的。 這幾個觀念影響了二十世紀整個數學的發展，包括了微分幾何、代數幾何、代數和數論。Whitney考慮了tangent bundle, normal bundle 和一般的vector bundle 的觀念。 Vector bundle在Whitney 手上變成拓撲學裏面一個最重要的工具。他考慮了Classifying space 的觀念並研究Grassmanian空間及它的同調群，因此引進了特徵類。他的乘積公式影響至今。Pontryagin 和陳省身更進一步考慮實數和複數空間的特徵類。

    Pontryagin Class 和 Chern Class都可以用曲率表示，他們代表了大範圍的拓撲學觀念，而曲率是一個局部的觀念，這兩個觀念結合起來以後，我們就可以將局部的微分幾何跟大範圍的拓撲比較。微分幾何從古至今都期望從局部的結構來瞭解大範圍的幾何結構，這也是物理學家的期望，他們希望由微小的粒子理論和微分方程來推導宇宙的結構，可見物理學家跟幾何學家有很

多共同的想法。也因此我們都想瞭解奇異點的局部結構。

    決定了流形的結構後，我們要研究它上面的規範場，由不

同的vector bundle可以得到不同的Yang-Mills場。Grothendick 建議將所有vector bundle放在一起，然後做簡單的等價和加法就得到所謂K群的觀念，這是幾何學很重要的不變量，Atiyah和Bott利用它解決了多個重要的問題，對時空的結構本身有基本的貢獻。通過特徵類，我們可以得到由K群到同調群的一個很重要的映射，這映射與Riemann-Roch定理有密切關係，這定理可以解決代數流形上的存在性問題，它能夠計算代數方程的解。從前Riemann 跟Roch在一維情形下首先得到這個公式。到了五十年代由於Sheaf 理論和特徵類的發展，Hirzebruch成功地將它推廣到高維空間。這可以說是本世紀一個偉大的定理。

有了Riemann-Roch定理，Atiyah-Singer將它普遍化成index theory。Atiyah-Singer發覺Riemann-Roch定理不單在代數流形上成立，同時也可以推廣到一般流形上。事實上這是橢圓微分算子指標的問題。加上Bochner的消滅理論，Index理論可以將橢圓算子的解的個數。變成拓撲學上的演算法。這個發展對近代物理，尤其是高能物理裏的anomoly理論有很大的貢獻。

Yang-Mills理論在物理上有基本性的貢獻。在近代拓撲學上也是舉足輕重的。事實上數學家對規範場論的觀念很早就有了。從Whitney發展vector bundle理論後，幾何學家也考慮其上的聯絡和曲率，但很奇怪的是他們沒有發展Yang-Mills理論。Yang－Mills理論考慮規範場的曲率，將它平方積分然後做變分得到Yang-Mills方程。從前的幾何學家對方程的興趣不大，有些古典幾何學家認為只有工程師才會去解方程。七十年代中葉才將Atiyah－Singer 的理論用到Yang－Mills理論上去，得到長遠的進步。以後最出名的工作當然是Donaldson的理論。以前物理學家只討論上的規範場，問Yang—Mills方程的解的維數有多少或者怎樣去描述解的樣子。可是很少人問在一般的流形上，我們怎麼去解這個方程。Uhlenbeck首先考慮一般空間上的規範場的性質，而Taubes用Singular perturbation的方法更證明一個很重要的存在性定理。 Donaldson用了Taubes的存在性定理再加上Atiyah-Singer的理論，研究四維空間上Yang－Mills場的moduli space，他因此構造了四維拓撲學的不變量。這是很重要的貢獻，他解決了四維空間裏一個很重要的拓撲學問題。這裏可以看出來幾何學家的走法和物理學家不一定相同，物理學家當時只想解決上面的問題。可是我們基於好奇心，發展了一套美麗的一般理論，然後解決了拓撲學上重要的問題。

Donaldson的工作以後，Mrowka 和Kronheimer 做了重要的貢獻。他們將Donaldson 的多項式結構搞得很清楚，引起了Witten的注意，Witten企圖要從量子場論來解釋這個公式。物理學家對Donaldson的不變量一直在注意，可是始終沒有辦法將他解釋得很清楚。到了Kronheimer和Mrowka將這個公式搞清楚了以後，Witten才用路徑積分的方法來瞭解Donaldson的不變量究竟在物理上是什麼意義。他與Seiberg用supersymmetric Yang-Mills的想法，得出所謂Seiberg－Witten不變量。這兩年來極為流行，在代數拓撲、微分幾何跟代數幾何發展裏面是一個很重要的工具。很多Donaldson理論沒有辦法解決的問題，例如Thom猜測，卻可以用Seiberg－Witten的辦法解決。Seiberg－Witten不變量跟原來Donaldson的不變量關係密切，但有驚人的簡化。Seiberg-Witten方程是非線性U(1) gauge方程 coupled with spinor得來的。Seiberg－Witten理論的最重要的定理是Taubes定理。他證明Symplectic流形的Pseudo-holomorphic curve 的個數與Seiberg-Witten 不變量基本等價,這是一個很深入的存在性定理,對四維的Symplectic 流形有深刻的貢獻,解決了很多古老的唯一性問題。究竟Taubes定理在高維空間有沒有好的推廣仍然懸而未決。一般來說, Symplectic空間的自構群是無限維的,所以橢圓形方程方法比較難以應用,但Taubes定理指出它的可行性,以後應當有進一步的發展。

很多四維甚至三維空間的問題由Seiberg－Witten不變量得到解決。是不是所有四維的問題都可以由此解決呢？我想差得很遠，四維空間的拓撲學實在很複雜，不可能由一兩個想法全部解決。由於複曲面是四維空間最基本的例子,任何四維空間的結構性理論都將與複結構有關,橢圓方程理論應當想辦法找出可積的複結構的條件。這樣會給出重要的訊息,也將是一個困難的工作。但可以確信的是，低維空間的幾何和拓撲息息相關。物理學指出八維以下的空間的理論都可能有交匯的地方。

三維空間的問題是一個很基本的問題，我想這裏面有一個很重要的工具還沒有完全掌握的。這就是存在性的問題。微分方程學常問什麼時候存在解？事實上在數學發展的歷史上，一個主要的突破是找到存在性定理的證明。我們在四維三維空間的存在性問題還沒有完全解決。我們希望微分方程能夠幫忙：橢圓系統存在性運用於低維的拓撲學上會有宏大的威力。我猜至少要幾十年我們才能夠將這些結構全部搞清楚。但是可以看出微分幾何會是物理、方程跟拓撲結合在一起的領域。從前Thurston用黎曼曲面和三維拓撲的方法得到一個重要的幾何結構存在性的定理,但他的假設使得他的定理不能概括所有三維拓撲。二十年前我建議Hamilton用他的方程來創造幾何結構,並解決Thurston的問題由於Hamilton頑強的分析能力,此事已有長足的進步.希望在未來二十年內, Hamilton方程能夠發揮威力來解決三維甚至四維拓撲的古老問題。

偶數維空間都與複幾何有關,但在四維和八維時有更豐富的幾何結構.它們可以有sp(1)和sp(2)為和樂群的結構.而八維時更可以存在spin(7)的結構.在七維空間則可以有結構.他們的Ricci度量都等於零,而他們之間息息相關。物理學家很重視這些具有超對稱的結構,給我們帶進新的觀念,但是微分方程還是主要的工具。如何證明這些結構的存在性是極為有意義的分析問題,這些自然的幾何結構很有可能具有某些簡單的奇異點,這些奇異點往往有自然的物理和幾何意義,我們一定要解釋它在整體空間的地位。

在研究這些結構時,我們要考慮它的模空間,一般來說,有意義的幾何結構的模空間是有限維的。同時在可能的情形下，保持Hausdorff的性質。在Geometric invariant theory 的理論中，引進了結構穩定的觀念，就是為了對付這個問題。有時為了達到結構的穩定，我們可能在原來的結構上再加其他新的構造。

二十多年前,我考慮Calabi猜測這個問題,解決了相當廣泛的代數流形上的Kahler Einstein度量的存在性問題,這是重要的幾何結構.當時我應用它得出代數流形的重要拓撲量的不等式,在差不多同時，代數幾何學家Bogomolov和 Miyaoka利用代數穩定性理論亦可以得出類似的不等式,所以我開始尋找代數流形穩定性和Kahler Einstein度量的關係.第一個重要的結論是Donaldson在代數曲面和Uhlenbeck和我在一般複流形上的定理。在holomorphic vector bundle穩定的情形下，我們證明它有Hermitian Yang Mills場，這是一個很重要的結論，無論在物理學上和在代數幾何學上都有它的貢獻。以後李駿、鄭方陽和我更利用這個定理用來解決一個重要的複曲面的問題。因此我進一步猜測假如第一陳類可用Kähler的常數倍來表示，則Kähler- Einstein 度量的存在性和流形本身的穩定性等價，在我的討論班上，這是一個主要的討論項目。我曾經提出一系列的研究這個問題的方法，我的研究生例如田剛、羅華章等的博士論文都與這個問題有關，但這個問題還待深入理解。

我認為幾何穩定性理論除了對複幾何外，對一般非線性方程亦會有貢獻。我相信非線性微分方程，幾何穩定性和幾何結構的交匯是一個很基本的問題，在未來的幾十年裏將會有深入的互動，更可以想像的是它跟物理學上的renormalization flow會有密切關係。當結構穩定後，我們希望將全部結構完成一個緊致空間，因此要引進半穩定結構的觀念，而這些結構可以看做模空間的邊界,也因此一般來說它們有奇異點,這種自然產生的奇異點是微分幾何學裏面重要的奇異點,在這些空間上,研究它們的幾何結構,規範場和子流行是很有意思的事情,往往經過singular perturbation後,我們對原來光滑的幾何結構會有更深入的瞭解。

除了研究幾何結構的模空間外，還有規模場、子流形和全純映射空間的模空間，周煒良在代數子流形模空間上有偉大的貢獻。這些模空間的拓撲和陳氏類都是代數流形的重要不變量。他們有重要的物理意義，Donaldson 的不變量是從規範場的模空間引出，上述的弦理論在代數幾何上的應用是從全純映射的模空間得出，如何暸解這些模空間的拓撲意義是極為重要的。事實上，Donaldson理論的一個重要起點在於Hermitian Yang Mill和anti-self-dual connection 的等價性，而後者在一般的四維流形亦可定義，其模空間在generic的黎曼度量下最為清楚。代數幾何的工具可以計算Donaldson不變量。而後者讓Donaldson證明它是微分不變量。Donaldson對這些模空間的瞭解是他的理論成功的一個原因。

代數幾何學裏一個最重要的問題乃是Hodge猜測。如何知道一個拓撲同調類可以由代數子流形來表示，這是一個困擾了數學家大半世紀以上的問題，它在數論上亦占一個重要地位，在未來的世紀裏它應該得到解決。與此相關的一個極為重要的問題問：複的vector bundle 在甚麼流形下有全純結構？及複流形什麼時候存在可積的複結構？這都是極為重要的問題。它們的模空間如何描述？Hodge結構和Torelli定理就是很重要的關鍵，它在高維空間的推廣和在vector bundle的意義是值得發展的方向。

弦理論引進了奇妙的對偶觀念，我們需要深入地瞭解其中的幾何意義，這些對偶將上述各種幾何結構、規範場和子流形漂亮地連結起來而得到出乎意表的結果，我們不可能漠視他們的重要性。基本上，幾何學家應當有宏觀的視野，表面上不同的結構可藏有深入的聯繫。

算術幾何的發展使代數幾何開闊了視野，它引進了重要的工具，也漸漸地影響了微分幾何的看法，尤其是Calabi-Yau流形與算術幾何的關係日益密切，弦理論的對偶理論和算術幾何的L函數的發展應當指日可待。

算術和幾何的互動無可避免會考慮Arakalov幾何和由此引出的微分幾何問題。有限域上的幾何可以提供微妙的方法來瞭解一般代數流形的性質。在這方面最著名的定理是Mori在有理曲線方面的著名工作。我們希望能夠從不同的角度用幾何方法來瞭解Frobenius action.最近幾年來在Calabi-Yau流形上的工作，顯示它在算術上的關係將會愈來愈密切。我們需要一個通盤的考慮，將算術幾何、代數幾何、微分幾何、分析和弦理論的保角場理論結合在Calabi-Yau流形上來討論。

Shimura流形在算術幾何和分析中有很重要的應用，但我們對它的拓撲和種種幾何性質瞭解並不清楚。我想在這個問題上，高維拓撲的理論會重新發現它的重要性。舉例來說，如何決定一個流形拓撲與Shimura variety同胚是一個有趣的問題。

更進一步的問題是，什麼時候可以決定一個流形是某些自然結構的模空間。研究模空間的拓撲性質需要融合幾何幾個不同領域的學問，它的intersection cohomology和 L² cohomology的關係就是一個例子。

微分幾何經過種種的融合後將會是多姿多彩的，但是它能否有足夠豐富的結構來迎合近代物理時空量子化的需要，這是一個意義深長的問題，有人建議用非交換幾何的架構，有人建議碎形幾何，讓我們拭目以待罷。

開始時，我談到幾何的發展受到應用數學的影響。在古代測量地形和建造房屋、金字塔的時候很明顯地意識到平面和立體幾何的重要性，以後Kepler對二次曲線和正立體的興趣更指出天文物理和幾何的密切關係。

自從古典力學和工程學得到良好的結合以後，很多自然界的現象，例如水流、湍流、光波散射的種種問題都得到某些認識並引出優美的幾何現象，例如geometric optics和孤立子Soliton等理論都是很有意思的問題，近代電腦的進步影響了圖論的發展，更引進了很多幾何的觀念，而pattern recognition, computer graphics更是直接的用到幾何的方法，例如多維圖形的剖分，離散群和格點的分佈等等，可以見到幾何學家不應忽視工程上的問題。

微分幾何確是一門豐富的學問，本文並未概括所有有意義的工作，但已經看出二十一世紀的幾何學將會是數學和一般科學的中心。

 

2004年10月18日

  

第三章、最小作用量原理

             (二）

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1819年，高斯在题为《论新的力学普遍原理》一书中，提出了作为更为普遍原理的结论，无摩擦的约束系统在任意力作用下将这样运动： 来自约束的对系统的拘束和施加于约束上的压力均取极小值。高斯用以下方式阐述了他的最小拘束原理。[18]

“倘若质点是自由的，那么对以任何方式联系起来的，受任意影响的质点系来说，它在每一时刻的运动都要完全或只是有可能完全依照这些质点本来就有的方式进行活动，也就是说运动要以尽可能小的拘束进行。如果在无限小的瞬间，对每一质点的质量和该质点现在的位置的偏离量的平方之积取和，这个和则可作为对拘束的量度”。[19]以Z表示这个和，由于所研究的质点是n个，则可写为

若没有内部约束则括号内的量将为 0 ，此时就有

括号内的差值不为零，说明质点与其自由运动出现偏离，也就是显示出来自内部约束的结果，也可以把上述差值看成是丢失的力除以质量。我们还记得达朗贝尔曾把作用于系统中，但不影响质点系所达到的运动的那部分力，叫做“被丢失的力”。 若以 Fk 表示此力，则

 

在上式中拘束量度曾作为高斯的最小二乘法表示式出现过。读者还记得，在1795年就已为十八岁的高斯所发现，但是到1818年才发表的这种著名的方法。这个方法能够由包含偶然误差的一系列测量中求得与真值偏离最小的量。[20]在最简单的情况下用最小二乘法得到的测量值的估计是测量中所得数值的线性函数。如果此时测量误差是偶然误差而且是独立的，并且服从正态分布，则最小二乘法就使得用最小的方差的平均值来估计这一未知的量成为可能。

用yi(i=1,2,…,n)表示为定义量x进行的n次独立测量所得到值，pi表示测量的权这时就可以取值X作为量x的估计，对这一估计可用平方和的最小值表示:

要是这一表示式和高斯的拘束量度相一致，则质量的倒数相当于统计权而丢失的力相当于误差。

一方面是力学的普遍原理另一方面是误差理论的基本数量关系之一，即最小二乘法，它们二者之间相互对应，这对高斯来说是意味深长的。在最小拘束原理一文中，高斯是用这一句话来结束的。“很明显，当自由运动和系统的本质互不相容时，就要使其改变。正如几何学家所做的那样，在其计算中为使结论和问题的本质所规定的必要条件不发生抵触而对其计算运用最小二乘法从而改变了由直接计算而得到的结论。”[21]

在指出这种对应之后，高斯并未宣布其思想要向何方发展，因为上述对比在任何意义上来看都是 “极其显著”的，这里也许就象其他一系列情况那样，高斯不去发展，至少没有下决心公开宣布其最彻底的概念。不过很难判定对 “城邦分子叫嚣” 的畏惧就不影响到上述那些情况。

但是与这种见解无关的，在最小拘束原理和最小二乘法之间对应关系的物理解释，就像对非欧几何的物理解释一样，在十九世纪廿至卅年代同样是不可能出现的。要是最小二乘法和最小拘束原理间的类似是一种比单纯的相似更为深刻的相似，那么质点的真实运动和可能的运动之间的区别可就具有统计的特征了。由约束引起的作用使大量的质点偏离其自由运动，这好象是在客观表象里许多不同的，被忽略的原因引起大量的误差一样，在约束的作用下质点运动的变化获得统计规律的形式。不过要是质点在确定的路径上之运动认为是大量之作用的统计的平均结果，这只能在对质点自身同一性进行相对论化的基础上才有可能。当然，这将是一百多年以后的事了。但是现在我们还要再回到最小拘束原理。这个原理要求前述表示式中Z取最小值以使变分δZ等于零。变分并不改变第Ｋ个质点的位置xk ，速度 ，作用于系统上的约束条件和质量mk ，改变的只是加速度   。根据这些条件就可以得到该系统的拉格朗日方程，因此最小拘束原理和达朗贝尔原理一样也可以得到运动方程，从这个意义上同样可以把它认为是力学 的基本原理。和达朗贝尔原理一样，最小拘束原理也是一微分原理，它所研究的既不是过去也不是未来，仅仅是该系统在给定时刻的状态。这一状态决定系统以后的行为。这样，在此情况下，系统状态和系统在某个空间和时间隔中的全部行为的关系就和拉格朗日拉普拉斯机械的决定论不发生矛盾了。此外，上述关系的积分形式的原理就是莫培督原理和哈米顿原理。

高斯观念的发展是1892——1893年赫兹提出的最直路径原理。这个原理同时延续了雅考毕的思路，即对全部变分原理和动力学加以几何化。这一问题在众所周知，赫兹不用力的概念而要建立起力学的尝试中得到阐明。这个尝试是在《力学原理》这本书上讲的（1892）。[22]

赫兹在这本书上打算把力学归结为三个基本概念，即空间、时间和质量。因此骤然看来他的概念似乎是笛卡尔派的回潮，即力图建立动理学体系。然而这只是那些观念在逻辑上历史上实际关系的一个部分。赫兹在《力学原理》一书中仍旧是延续这一理论，力求把复杂的，不可归结为力学的十九世纪的物理概念还原为动理学图景。这个图景中有时也包含着假定的隐蔽的运动和质量。在十九世纪八十年代赫姆霍茨也曾进行过这尝试，他运用了遁环运动，这种遁环运动的特性与坐标量无关只取决于其变化的速度。

就赫兹而论，与其说他力求把物理规律归结为古典力学的概念，不如说他力求把古典力学概念本身归结为动理学模型。就历史而论，这种发展趋势与其说是把物理学归结为力学的这种意愿造成的，还不如说这是由于对力学的物理解释，由于力学基本概念的变化，以及由于具有能量量纲的一些标量进入力学之后所造成的。

赫兹特别强调他的力学和能量转化原理间的紧密联系。旧的力学把现象都归结为原子之间的一定距离上起作用的有心力。被引力联系在一起的各个分立物体的图景就是科学解释世界的最终目的。赫兹这样说道：“然而到十九世纪末，物理学已倾向于另一种观点，在能量守恒定律的发现对物理学发生强烈影响的作用下，在物理学中偏向于对凡是涉及到它的领域之中的现象，都着成是一种形式的能量向另一种形式能量的转化，并且只以发现现象归结为能量转化定律为最终目的。”[23]

然而赫兹并不要求用唯象的表示替代引力质量的力学图景，也就是说不打算让只包括作为基本量而不提出离散物体及其运动模型的公式所限制。所以赫兹就用某些隐蔽质量的实在的运动取代力。

“如果意欲得到一个圆满的、自身完备的、合乎规律的世界图景，那么我们看到的实体背后应当容许有一种不为我们所视见之实体，并且也应当在我们的感觉之外寻求某种隐蔽之物的作用。即使就在最早的两种世界图景里我们已然承认了这种深深埋藏的作用的存在，并且可以把它设想为特殊类型的实质，现在为了在我们的世界图景中把它复制出来，所以建立了力和能量的概念”，[24]反过来看，这些概念也形成了这样一种印象，除了物质及其运动以外，似乎这个世界还存在着另一种实在。因此，赫兹才倾向于用隐蔽的运动和质量取代能量和力。

“我们能够承认某种隐蔽之物会有其作用，但是我们也能够否认此物应属于某个特殊的范畴。于是就把采用下述方式的可能性展现在我们面前，这种隐蔽之物不会是别的，仍旧是运动和质量。它和我们视见之物的区别不在于其实质而只在于它和我们通常的知觉方式之间关系和差异，这一观点才是形成我们假定的本质。”[25]

赫兹并不是很快地接近其基本目标，即把世界图景归结为时间，空间和质量。起初他打算用运动质点动能的概念取代力的概念。把势能和一切形式的能量都归结为动能这种事在物理学中我们也遇到过。用普朗克的话来说：“赫兹拒绝接受动能势能间的区别，因而同时也就拒绝研究能量的特定形式时所遇到的一切问题，赫兹的看法不单是物质只具有质点这种唯一的形式，而且能量也只有动能这种唯一的形式。其余一切形式的能量，比如我们表示势能，电磁能，化学能和热能等，实际上表现为运动质点的动能，正是自然界中这些质点的位置，速度之间所存在的那些恒定不变的联系也才使所有形式的作用变得如此不同，这样，按赫兹的说法自然界中所有的运动最终只是建筑在物质惰性的基础之上”。

当赫兹谈到理论力学的新任务，谈到他力图把力学现象看成是一种形式的能量向着另一种形式能量的转化，直至把力学现象都归结为能量转化时，那么这时的情况就同十九世纪科学的实际发展趋势完全相一致了。力学实际经受着来自既不能归结为它但又从它里面解放出来的物理学影响。实质上，十八十九世纪所进行的把力学原因加以综合以及力求根据一个原理推演出力学的一切尝试都显示在这一发展趋势之中。力学发展中的两方向（即用数学工具加以概括和在力学中那种本质上是物理的能量与作用量概念的出现）本身就是联系在一起的，并且在历史上也互相支持。

赫兹力图建立的力学和牛顿不同，其基础不是力，而是物理学的基本概念。为此赫兹在他称之为具有数学特征的两个概念时间和空间后面它补充上两个具有物理本质的概念质量和能量。这些概念表示在孤立系统中仍旧保持不变的物理实质。空间、时间、质量、能量它们自身可以借助于哈米顿原理联系在一起。赫兹这样阐述了未来理论体系的基本精神：“天然质量的每一个系统好象都是完成这样一种任务而运动，既要在给定时刻达到给定位置，又要使在全部所论时间之中，平均说来动能和势能之差要取尽可能小的极值。”照赫兹看来这样一种表象比建立在力而不是建立在能量基础之上的牛顿的图景具有一系列优越性。

以后赫兹认为有可能建立第三个世界图景，在此图景中作为基本概念而引入的只有时间、空间和质量。这里不只是力，就是能量也应归结为空间、时间和质量这三个概念。而这三个概念被统一到好象是惯性定律的规律之中。“独立的物质系统的每一种自然运动是该系统要以恒定的速度按其最直路径之一所发生的运动”。显然，惯性定律和最小拘束原理都被统一到这一形式里面去了。

按照赫兹的理解所谓“直”的和“最直”的路径是什么样的呢？所谓直路径是全体路径元都有相同方向，且以此区别于有不同方向路径元的被弯曲的路径。在点的位置变化时，方向改变的速度对应于曲率。赫兹研究了表征最小弯曲的路径，这就是所谓最直路径。有时最直路径和最短路径相一致。这样赫兹就使几何概念即曲率的理论向力学的基本原理靠拢了。

在把最直路径原理和最小拘束原理加以对照之后，其意义就可以显示出来了。正如我们所看到的那样，高斯认为拘束的量度是

赫兹引入单位质量的概念（ｍｋ＝１）以取代上面表示式中质量单位数ｍｋ。他只研究了自由系统和Ｘ等于零的情况，因此高斯的拘束量度就要取以下形式：

此式和高斯的公式除去mk=1和Xk=0之外还有一个情况不同，即对加速度的平方要从１到Ｎ取和。Ｎ是对于应于赫兹力学中替代力的单位质量和约束的某个数。

接着赫兹又引入对于力学基本原理几何化这一任务至关重要的概念，即系统所经历轨迹之曲率K及长度元ds。轨迹的长度元ds是和引入所论系统的单位质量的轨迹的长度元dxk以二次式联系在一起

 

加速度 ，被xk对ds的二阶导数所代替，赫兹根据拘束的量度Z的高斯表示式得到下式：

 

此时所用的其它变换就不讲了，这里K（确切地说是k的平方根）就是轨迹的曲率。这个由Z所得到的量，对实际运动应取最小值即：

                         δK=0

当然“元长”和“曲率”表示式的意义是N维的，它们由相应的N维几何所决定，而且还是N维欧氏几何。因为路径元ds2是作为dxk的平方和而被定义的，即ds2=dx12+dx22+…+dxN2。

从历史观点看赫兹力学的多维几何学的特征指出了一个重要的情况，赫兹并没有成功地把力学归结为三维空间中（那怕是隐蔽的质量）运动的动理学图景，他得到了多维的弯曲的空间，这件事最终指出了力的不可排除性，力代表了质量在其上按测地线运动的多维的曲面的弯曲。

按照赫兹的话来说，在提出质点系及其运动的几何表象时很容易看出，最小作用原理实质上就是几何原理“而这一原理的建立及发展可以完全独立于力学，并且也看出不出该原理同力学中所用的另外一些几何知识有更紧密的联系。”在对这种观念的发展中，赫兹又提出了一个结论，最直路径和测地线相一致。每条测地线也就是质点最直运动的一种形式，在多维空间中则是质点系的一种最捷运动形式。不过赫兹预先申明：测地线并不永远反映最捷路径。只有当运动质点或质点系的位置足够接近时测地线方能和最捷路径相一致。

上述赫兹和十九世纪后半叶某些其他物理学家的观念具有重要的历史意义。数学几何化，对照变分原理的几何化和多维几何的关系可以看出，对古典力学进行综合总结是如何为相对论准备了概念和方法。这件事不仅阐明变分原理的逻辑结构，同时也阐明了它的历史作用。到十九世纪末对力学变分原理几何化的尝试几乎没有停止。在一定程度上，赫兹那种用多维空间的点代表动力学系统的观点开始起着很重要的作用。在这种情况下，力场就要由被弯曲的，破坏其欧几里德性质的多维空间所表示。这样一来就可以把系统看成是自由的，力可以用约束取代，而约束则看成是多维空间的弯曲。系统从一个状态到另一状态的变化认为是某个点在测地线上运动。这样，对系统在力场中的运动来说惯性定律和变分原理间的区别就消失了。或者更确切地说这种区别就变成“平直”的多维空间和弯曲的多维空间之间纯属几何上的区别了。

后来的广义相对论实现这个纲领。广义相对论仅仅把引力场几何化。当然所谓“仅仅”应加上引号，这是因为从时空而言，万有引力是实物和场的普遍联系的集中点，因此在空间中（冲量守恒）和时间中（能量守恒）决定这些集中点的行为的规律是同引力的规律联系在一起的。最小作用原理本身就意味着没有场的作用时，质点将在欧氏空间的测地线上，也就是在直线上运动。在一般情况下，即存在场的作用时将沿着具有某个曲率的曲面上的测地线运动。

迄今为止根据引力场方程推出运动方程（要是就宏观物理而论）既是从最根本上排除了力，同时也是对古典物理学原始抽象的最根本的限制条件。倘若我们研究了引力场的相对论（非线性）方程，并且从它推出运动方程，这就意味着不再把力当成是外加的，给定的，所论问题终极的实质。现在运用恩格斯的术语来说：力可以看作是运动的主动的或是被动的方面。[26]现在所谓运动物体和场的相互作用，这种用抽象的形式也消除不了的相互作用，就像古典物理学所做的那样使方程具有线性的特征。

上述情况并不完全是指赫兹而言。力不是用动理学表象所取代而是改变了它自身的意义，力的概念和承受力的作用的物体的概念获得另外的特征。对力的概念的这种变更是同对原始抽象的限制联系在一起的。这就是并不把质点看成是以绝对的形式区别于包围它并且又在其中运动的介质的某种东西，而把质点看成是位于实在的物理介质（引力场）的时空中的奇点。不过相对论的宏观特征却使自身同一的粒子的观念失去加以修正的可能。

我们现在分析一下由于赫兹试图从力学中排除力而提出的最短距离原理。在此之前让我们先返回到与这种尝试无关的变分原理。当然，这并不是返回它的形式化的发展过程，而是返回到填充新的物理内容的拉格朗日，哈米顿，雅考毕的形式的结构。只是在新的实验事实的影响下才能发生用新的物理内容去充实形式化的原理。

在十九世纪证实了代入到哈米顿原理公式中的量只能由实验所确定。最小作用原理在其发展过程中不必引入实验事实就能极为具体地指出我们用于研究客观的物理数量关系的数列之特性，但不能指出这种数量关系本身的特性。然而最小作用原理则以不变的形式表征出客观的物理关系。这一情况不仅决定了这一原理在十九世纪物理学中的意义，而且也决定了它在近代物理中的命运。对其内容不必作出什么新的物理假设就可以把最小作用量原理以哈米顿公式的形式运用于相对论物理。相对论使变分原理的一个重要的，反复讨论多次的一个方面的问题得到彻底的阐明。哈米顿公式中引入的作用量（动能与势能之差并对时间积分）和拉格朗日的作用量（动能对时间的积分）不同，在从一个惯性系变到另一惯性系时前者是不变的。换言之，前者对洛仑兹变换是不变的。这就表现出哈米顿作用的四维本质。四维时空的“距离”和三维的纯空间的距离不同，它是洛仑兹变换下的不变量。表征质点或质点系在某一时刻的量是四维客体在三维空间之投影，其变化只取决于四维世界里空间截面的选择。表征系统在某一有限时间间隔内行为的量在一定条件下可能与这种选择无关。如果根据在一段不仅包括过去也可以包括末来的有限的时间间隔内（例如根据系统在11点到下午1点系统的行为决定系统在中午的状态）系统的行为决定系统在某一时刻的状态，那么这就毫无目的论可言了。这个问题原则上同另一问题没有区别，这就是说空间某点的现象由空间中一个在它前面，一个在它后面的两个点的现象所决定。在相对论中，时间空间是平等的，这就取消了曾经在最小作用原理的历史中起过重要作用的，所谓“有目的起作用的自然界”这一问题。为了算出系统的作用量，必须对包容系统且为物体所填充的空间和时间进行积分。这时我们就得到了从一个惯性系变到另一个惯性系时不变的四维量了。根据一些类似的情况普朗克指出，假定对一切四维宇宙坐标是对称的最小作用原理（对时间的积分并不能推出时间坐标，因为哈米顿作用量关于洛仑兹变换是不变的）可以成为核心的原理，这个原理以三个动量的守恒定律投影于空间之中，而投影在时间中则是能量守恒定律。[27]

这样，相对论运用时空事件的四维世界把最小作用量原理解释为能够从可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。在这种情况下相对论并没有给最小作用原理添加进新的物理内容。这种物理内容可以为量子物理所引入。只有作出某种把相对论和微观世界联系在一起的解释的情况下，根据更为一般的设想，相对论或许有“推出”最小作用原理的可能。在建立广义相对论时爱因斯坦用过最小作用原理。此时作用量的概念得到某些新的解释。如所周知，在决定空间和时间的曲率时借助于四个恒等式，并且力求排除表征空间时间特性但不表征曲率的多余的参量。这些恒等式按其物理意义而言表示不同坐标系中空间和时间曲率的同一性，曲率张量取决于能量冲量张量。在研究此问题时，爱因斯坦指出，上述四个恒等式有物理意义，也就是具有守恒定律的意义，并且表示了空间时间的特性。然而，现在当我们谈能量冲量张量时，空间的首要特性，即其均匀性对应于冲量分量守恒；而时间的均匀性对应于能量守恒。这样，守恒定律就对应于曲率张量之间恒等的数量关系，作为与这种或那种坐标表示无关的物理特性的曲率对应于作用量。爱丁顿提出在广义相对论中对作用量这一概念意义的极为精细、深刻的说法。他指出：对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度。我们顺便指出：在叙述魏尔的统一场论时爱丁顿曾顺带提到对作用量的一种很有益的解释。爱丁顿说，可能作用量就是概率的函数，然而当把一些概率连乘，则作用量就相加，从而作用量可以认为是概率的对数。由于概率的对数是负数，所以作用量就要看成是概率的对数再加上负号，此时最小作用原理则表示实际实现的运动的最大概率。

在现代量子力学中最小作用量原理起着重要作用。不但如此，对于作用量概念的思考也激起对现存理论进行总结的尝试。表征微观世界之基本量，即作用量子和引入到宏观力学的基本数量关系中的量，即由能量按时间积分，这两个量的量纲一致，促使近代理论家在一系列设想上尽管没有引出什么具体的物理理论，但是却引出一些看来是很有前途的物理理论。

下面讲一下罗素的某些看法。[28]根据质量和能量的相对论的数量关系，罗素推出把质量和时间之积当成作用量的可能性。但是，引力质量还有与其相等的惯性质量可以由距离代表，这时作用量就是长度和时间的乘积了。用这种观点来看待普朗克常量，罗素说：要是把作用量取作物理学的基本概念，我们或许能建立起来全是原子论的，极适于检验的物理学。

罗素接着指出：相对论中时间空间间隔的不变性和作用量的意义（即在微观世界中的作用量）之间的联系是意味深长的。与上述类似的一些设想并不能引起物理知识的实际的进展，不过却很值得提出来，因为此后推广量子力学时要用作用量来表征近代物理的特征和风格。

从历史的观点应着重指出，发现作用量的不连续性表明哈米顿原理发展到一个新的阶段。哈米顿的最小作用原理公式是同光学力类比紧密地联系在一起的。然而十九世纪这种类比只能引起把连续介质中波动规律和离散物体运动统一在一起的一些不明确的设想。相反，在廿世纪以普朗克的伟大发现为开端的物理学，光学力学类比已然成为物理学中起关键性作用的观念。哈米顿曾经讲过等作用量的曲面，并且在不涉及周期过程的情况下，也研究过在此曲面上的运动。和等相位面类比本身遇到了本质上的困难，光学力学类比要求在所谓波动的公式中角度的余弦是一无量纲的量，为此必须要使作用量除以某个和它有相同量纲的量，这个量由普朗克引入到物理学之中，在此之后德布罗意就能对波写出下式：

此式中余弦就有物理意义了。光学力学类比使德布罗意有可能对于波尔的量子条件做出合理的解释，同时也使最小作用量原理和费马的光学原理之间所进行的多次类比具有物理意义。

在量子力学的发展中，作用量的不连续性不以其最初的假定方式保持下来。这种不连续性使解释量子力学的数量关系成为可能，但却没有去找这种解释。这样，不连续性就以终极概念的身份出现了。作用量不连续在日后推广为相对论的量子论中可以得到因果性的解释。看来这种推广的尝试对作用量概念本身带来某些新的认识，就像时空网格数的概念那样，用普朗克常数去除作用量的表象没有被排除，嬗变过程就在此网格中发生，在宏观的近似中网格可以作为自身同一的基本粒子的世界线而加以研究。此时世界线的概率就同爱丁顿所说的那种数量关系的作用量联系在一起，于是最小作用量原理就成为最大概率原理。

 

　

注释： 

１．Л．С．Полак．　Варационные　принципы　механики，их　развисии　и　некоторые　применения　в　физике（в　печати）．Дальнейшее　изложение　истории　вариционных　принципов　опирается　на　эту　работу．

２．Ｌｅｉｂｎｉｚ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ　Ｓｃｈｒｉｆｔｅｎ．　Ｈｅｒａｕｓｇ．ｖ．Ｇｅｒｈａｒｄｔ，ｔ．Ⅱ，Bd.Ⅱ１８６０，Ｓ．３４５－３６６．

３．Ｌｅｉｂｎｉｚ．Ａｃｔａ　Ｅｒｏｄｉｔｏｒｕｍ．１７５１，ｔ．Ⅱ，Ｓ．１７６

４．Эта　книга　издана　в　русском　переводе　в　１９３４　г．（ГТТИ）．

５．马克斯．　《数学手稿》　人民出版社　１４７页　　　　　　　　　－－译者

６．Л．С．Полак．Вариационные　принципы　механики，их　развитие　и　некоторое　примение　в　физике．

７．Л．С．Полак．　Вариационные　принципы，гл．Ⅲ．

８．Ｈａｍｉｌｔｏｎ．　Ｏｎ　ａ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｐａｔｈｓ　ｏｆ　ｌｉｇｈｔ　ａｎｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｐｌａｎｅｔ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｏｆ　ａ　Ｃａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｍａｔｈ．Ｐａｐ．，ｖ．Ｉ，ｐ．３１４．

９．Ｗｈｉｔｔａｋｅｒ．Ａｎａｌｙｔｉｓｃｈｅ　Ｄｙｎａｍｉｋ　ｄｅｒ　Ｐｕｎｋｔｅ　ｕｎｄ　ｓｔａｒｒｅｎ　Ｋｏｒｐｅｒ．　Ｂｅｒｌｉｎ，１９２４，Ｓ．３２３．

１０．Л．С．Полак．Вариационные　принципы，гл．Ⅲ

１１. 雅考毕.

１２．Якоби．Лекции　по　динамике．М．－－Л．，１９３６，стр．４４．

１３．[法]Ｍ．Ｏｓｔｒｏｇｒａｄｓｋｉ．Ｍｅｍｏｉｒｅ　ｓｕｒ　ｌｅｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｅｌｌｅｓ　ｒｅｌａｔｉｖｅｓ　ａａｕ　ｐｒｏｂｌｅｍｅｓ　ｉｓｏｐｅｒｉｍｅｔｒｅｓ．　Ｍｅｍ．ｄ．　ｌ＇Ａｃａｄ．ｄ．Ｓｃ．，Ｓｔ．Ｐｅｔｅｒｓｂ．，１８５０，ｐ．３８５－５１７．[e上有撇]

１４．Ｌｉｅ　Ｓｏｐｈｕｓ　１８４２－１８９９　挪威数学家

１５．М．Планк．Физические　очерки．Ｍ．，　１９２５，стр．９５．

１６．К．Маркс　и　Ф．Энгельс．Соч．，т．ⅩⅣ，стр．６３９．

１７．城邦（Ｂｏｉｏｔｉａ）原指迈锡尼时代之一种政权组织形式——译者

１８．这一原理在许良英译《物理学的基础》（商务印书馆　１９６４　第一版，１３７页）中译为‘最少约束原理’。本书作者未用约束（связь）这一提法而用拘束（прнуждение）。我认为作者的提法是恰当的，约束是条件，拘束是此条件对系统的作用。——译者

１９．Русск．пер．статьи　Гаусс　в　примечании　к　《Аналитической　механике》　Лагранжа．　Ｔ．Ⅱ．М．－Л．，１９５０，стр．４１２．

２０．Ф．Клейн　Лекции　о　развитии　математики　в　ⅩⅨ　столетии　М．－Л．，１９３７，　ｃтр．６１；А．С．Чеботарев．Способ　наименьших　квадратов　с　основами　теории　вероятностей．М．，１９３６；Н．И．Идельсон．　Способ　наименьших　квадратов　и　теория　математической　обработки　наблюдений．М．，１９４７．

２１．《Аналитическаямеханика》Лагранж（см．сноку　на　стр．６２）．

２２．Ｈ．Ｈｅｒｔｚ．Ｄｉｅ　Ｐｒｉｎｚｉｐｉｅｎ　ｄｅｒ　Ｍｅｃｈａｎｉｋ　ｉｎ　Ｚｕｓａｍｍｅｎｈａｎｇｅ　ｄａｒｇｅｓｔｅｌｌｔ．Ｇｅｓａｍ．Ｗｅｒｋｅ，Ｂｄ．３，Ｌｐｚ．，１９１０

２３．Ｄｉｅ　Ｐｒｉｎｚｉｐｉｅｎ　ｄｅｒ　Ｍｅｃｈａｎｉｋ．Ｇｅｓａｍ．　Ｗｅｒｋｅ，Ｂｄ．３．Ｓ．１７．

２４．同上书．Ｓ．３０．

２５．同上．

２６．Ф．Энгльс　Диалектика　природы．　М．，１９５５　стр．２２５．

２７．М．Планк　Физические　очерки．М．，１９２５，стр．９５－９６．

２８．同上书．стр．５０．

２９．Ｂ．Ｒｕｓｓｅｌ．Ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｍａｔｔｅｒ．１９２７，ｐ．３４２．