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细致平衡原理
H 定理和热力学第二定律的微观第一性原理证明引起物理学界的争论：既然
Boltzmann 方程具有宏观不可逆性质，那么作为其出发点的微观物理规律的可
逆性呢？
细致平衡原理告诉我们 Boltzmann 方程的微观可逆性：
f fff
。 （2.07）
11
也就是说，如果
dt
时间段的元碰撞引起的分布函数变化
f ff d ddtdd xvv
()
11
c
与相同时段反元碰撞引起的分布函数变化
f ff d ddtdd
xvv
()
11
i
相等，则我们说体系处于“细致平衡”状态。而这个状态就是平衡态。即体系
达到平衡状态的充分必要条件是达到“细致平衡”——这就是细致平衡原理。
emf 4.3.2随机行走与细致平衡 (random walk & detailed balance)
作者：bellbasis 时间：2010-07-18 23:34:52
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-18 20:34:10
首先，你还是要从概率上理解量子力学，而不是波动上。通常的机械波，比如水的表面波，是一个一个挨在一起的水分子震荡，形成的宏观的波动图样。
概率波（你所说的物质波）是单个粒子在空间中出现的概率幅度对应的图样。不是说这个粒子必须一扭一扭地前进。
我们说概率波，说的是复数的概率波形势，概率波的实际观测量都是绝对值的平方，所以有的时候我们看不见波动效应，只是因为概率波绝对值平方是看不出周期规律的。
举个例子，你观测水表面波的时候，波的振幅对应量子力学的粒子的波函数振幅，但是波上每个质点的能量，对应量子力学观测量。你计算一下能量（平均振幅平方）就发现水面的能量分布式均匀的，没有波的形状。
而发生干涉时，水面有的地方振幅永远是0，就是这里的能量也永远是0，画成能量分布图样，就出现干涉条文了。
所以，根本作用的是波的振幅及其相位（波函数），观测结果是振幅平方的分布，所以相互作用的时候是先叠加波函数，再绝对值平方，这个时候就出现干涉了。
静止只是自由运动的一个变换而已（换个参考系而已）没有特殊性。这是物理学基本原理。
下面说量子力学。
自由状态下，动量守恒，所以波函数是exp（-ipx），p是常数，它的绝对值平方才代表可观测的概率，所以是1， 就是说在x方向上个点出现几率相同。所以自由粒子状态下，你看不见“波的图样”，看见的只是一条直线。（波表现在ipx上，因为exp（it）可以写成三角函数，那个是描述波动的，但是因为可观测量是绝对值平方，所以此时观测不到波动的现象）另外，你看不见绝对静止的粒子的绝对位置，因为绝对静止意味着动量为0，而意味着其坐标是无限弥散的（不确定原理)，用函数delta（p）表示。
相对论情况下，有相对论量子力学，量子场论表述。波动方程里的变量都是洛伦茨协变的，满足狭义相对论的洛伦茨变换规律。
混合态只能写成密度矩阵
纯态各分量间的相对相位（不是整体相位）是意义的，但是在混态里没相对相位了，各分量间没有了干涉。
欢迎大家指出错误。
我对这个不理解：
“一个单量子系统也可以处于混合态，只要个成分之间的相干性被破坏。”
这种状态实验上能实现吗？
本征态和纯态？
来自: Logogogo(Pig has Dreams) 2010-07-07 09:42:59
这两个概念在文字描述上好像是一样的：某CSCO的共同本征态。但主要问题是，怎么理解叠加态和混合态？它们似乎都是描述一个系统处在各个本征态的概率的，我的理解是：叠加态是描述单量子系统的，而混合态是描述多量子系统的。那为什么它们的密度矩阵的平方的差异又是怎么来的？看着数学结果摸不透物理意思，真是杯具…
设想有一只碗，碗底形状就好比是势能函数U(x,y)，往碗里倒水，每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数，且取决于势
经典力学的谐振子与薛定谔方程的谐振子解
|||
初等量子力学中，在讲到薛定谔方程时，一般都会求解几个势场作为范例，其中就包含了谐振子解。刚才在豆瓣上看到有人提问，似乎对这个解的含义不甚明了。
量子力学中的波函数Ψ(t,x,y,z)，可以看作一个经典场。这个经典场的特别之处在于其统计诠释，不过在这里可以不管这个。薛定谔方程决定了波函数在时空中的分布，即以(t,x,y,z)为变量，Ψ的函数形式。在定态情形，波函数可分离变量：Ψ(t,x,y,z) = χ(t)ψ(x,y,z)，因此定态薛定谔方程其实给定了一个经典场ψ(x,y,z)在空间中的分布。当然这个分布和势能表达式是有关的，因为定态薛定谔方程中有势能项。打个并不贴切的比方：设想有一只碗，碗底形状就好比是势能函数U(x,y)，往碗里倒水，每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数，且取决于势能分布。假如碗底的形状有二次形式：U = (1/2)mω(x^2 + y^2)，就意味着势能有谐振子形式。倒入一定高度的水（相当于总能量给定），就不难写出此时h(x,y)的表达式。
谐振子的定态波函数解也是差不多的意思，只不过求解过程要更复杂些，最终求得的，是在谐振子这个势场中，波函数经典场的空间分布函数。
定态波函数解和力学中一个动来动去的谐振子有很大不同。定态波函数解的意义已在上面叙述。而经典力学的谐振子，可以理解成一个波包在势场中运动，它的波函数Ψ(t,x,y,z)也是薛定谔方程的解，但却不是定态薛定谔方程的解。
将Ψ(0,x)（只考虑一维，t = 0时的波包）用能量基矢展开：Ψ(0,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x) ，等号右边要对n求和。其中Ψ_{n}(t,x) = Ψ_{n}(0,x) exp(-iE_{n}t)，因此Ψ(t,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x)exp(-iE_{n}t) （等号右边对n求和）。这里的含时项不能从和式中提出，因此Ψ(t,x)不能分离变量，也无法得到关于Ψ(t,x)的定态薛定谔方程。但可以计算各能量本征态的演化，叠加而成Ψ(t,x)的演化规律，从而得到波包的运动图像。这个图像可以和经典谐振子做类比
作者：bellbasis 时间：2010-07-18 05:43:08
作者：bellbasis 时间：2010-07-18 05:43:08
说下我的看法，希望对楼主有帮助。
首先你要理解概率。
1对于粒子，你仍然可以理解成点粒子，但是它出现在一定空间，一定时间，一定动量区间的由概率描述，其概率分布图样表现成波动的外观。粒子沿经典的直线行走，是因为在当前的相互作用下，沿其他路径行走的概率几乎为0。（路径积分的一种解释是走其他路径的概率都干涉相消了）。
2粒子干涉的时候，实际上是粒子出现的概率分布改变了。
3数学上说，粒子由一个抽象的态来描述|phi>， 当我们需要讨论粒子的空间波函数的时候，作用左矢<x|phi> 当我们需要讨论动量分布的时候，作用左矢<p|phi>表征动量分布。所以粒子的空间分布，动量分布，都是由一个态在一种观测下的投影。表示这个投影的函数，就是描述粒子这种概率分布形状的函数（这个函数是复函数，实际上观测的概率分布是要求绝对值平方的）
4，没有相互作用的时候，空间波函数的解是平面波（这是理想状况。实际上任何粒子都是平面波的叠加）有相互作用的时候，可以是共振态，很多短寿命的粒子都是共振态，就是出现极短的时间后，这种特殊的粒子就消失了（衰变成其他相对稳定的粒子）。
5，你只要着重理解概率分布就可以了，它不能预言每个粒子的行为，但是能预言大量粒子的统计行为。而不需要去理解具体一个粒子是如何波动的。
先说这么多。
首先你要理解概率。
1对于粒子，你仍然可以理解成点粒子，但是它出现在一定空间，一定时间，一定动量区间的由概率描述，其概率分布图样表现成波动的外观。粒子沿经典的直线行走，是因为在当前的相互作用下，沿其他路径行走的概率几乎为0。（路径积分的一种解释是走其他路径的概率都干涉相消了）。
2粒子干涉的时候，实际上是粒子出现的概率分布改变了。
3数学上说，粒子由一个抽象的态来描述|phi>， 当我们需要讨论粒子的空间波函数的时候，作用左矢<x|phi> 当我们需要讨论动量分布的时候，作用左矢<p|phi>表征动量分布。所以粒子的空间分布，动量分布，都是由一个态在一种观测下的投影。表示这个投影的函数，就是描述粒子这种概率分布形状的函数（这个函数是复函数，实际上观测的概率分布是要求绝对值平方的）
4，没有相互作用的时候，空间波函数的解是平面波（这是理想状况。实际上任何粒子都是平面波的叠加）有相互作用的时候，可以是共振态，很多短寿命的粒子都是共振态，就是出现极短的时间后，这种特殊的粒子就消失了（衰变成其他相对稳定的粒子）。
5，你只要着重理解概率分布就可以了，它不能预言每个粒子的行为，但是能预言大量粒子的统计行为。而不需要去理解具体一个粒子是如何波动的。
先说这么多。
作者：bellbasis 时间：2010-07-18 23:34:52
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-18 20:34:10
首先，你还是要从概率上理解量子力学，而不是波动上。通常的机械波，比如水的表面波，是一个一个挨在一起的水分子震荡，形成的宏观的波动图样。
概率波（你所说的物质波）是单个粒子在空间中出现的概率幅度对应的图样。不是说这个粒子必须一扭一扭地前进。
我们说概率波，说的是复数的概率波形势，概率波的实际观测量都是绝对值的平方，所以有的时候我们看不见波动效应，只是因为概率波绝对值平方是看不出周期规律的。
举个例子，你观测水表面波的时候，波的振幅对应量子力学的粒子的波函数振幅，但是波上每个质点的能量，对应量子力学观测量。你计算一下能量（平均振幅平方）就发现水面的能量分布式均匀的，没有波的形状。
而发生干涉时，水面有的地方振幅永远是0，就是这里的能量也永远是0，画成能量分布图样，就出现干涉条文了。
所以，根本作用的是波的振幅及其相位（波函数），观测结果是振幅平方的分布，所以相互作用的时候是先叠加波函数，再绝对值平方，这个时候就出现干涉了。
静止只是自由运动的一个变换而已（换个参考系而已）没有特殊性。这是物理学基本原理。
下面说量子力学。
自由状态下，动量守恒，所以波函数是exp（-ipx），p是常数，它的绝对值平方才代表可观测的概率，所以是1， 就是说在x方向上个点出现几率相同。所以自由粒子状态下，你看不见“波的图样”，看见的只是一条直线。（波表现在ipx上，因为exp（it）可以写成三角函数，那个是描述波动的，但是因为可观测量是绝对值平方，所以此时观测不到波动的现象）另外，你看不见绝对静止的粒子的绝对位置，因为绝对静止意味着动量为0，而意味着其坐标是无限弥散的（不确定原理)，用函数delta（p）表示。
相对论情况下，有相对论量子力学，量子场论表述。波动方程里的变量都是洛伦茨协变的，满足狭义相对论的洛伦茨变换规律。
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-18 20:34:10
首先，你还是要从概率上理解量子力学，而不是波动上。通常的机械波，比如水的表面波，是一个一个挨在一起的水分子震荡，形成的宏观的波动图样。
概率波（你所说的物质波）是单个粒子在空间中出现的概率幅度对应的图样。不是说这个粒子必须一扭一扭地前进。
我们说概率波，说的是复数的概率波形势，概率波的实际观测量都是绝对值的平方，所以有的时候我们看不见波动效应，只是因为概率波绝对值平方是看不出周期规律的。
举个例子，你观测水表面波的时候，波的振幅对应量子力学的粒子的波函数振幅，但是波上每个质点的能量，对应量子力学观测量。你计算一下能量（平均振幅平方）就发现水面的能量分布式均匀的，没有波的形状。
而发生干涉时，水面有的地方振幅永远是0，就是这里的能量也永远是0，画成能量分布图样，就出现干涉条文了。
所以，根本作用的是波的振幅及其相位（波函数），观测结果是振幅平方的分布，所以相互作用的时候是先叠加波函数，再绝对值平方，这个时候就出现干涉了。
静止只是自由运动的一个变换而已（换个参考系而已）没有特殊性。这是物理学基本原理。
下面说量子力学。
自由状态下，动量守恒，所以波函数是exp（-ipx），p是常数，它的绝对值平方才代表可观测的概率，所以是1， 就是说在x方向上个点出现几率相同。所以自由粒子状态下，你看不见“波的图样”，看见的只是一条直线。（波表现在ipx上，因为exp（it）可以写成三角函数，那个是描述波动的，但是因为可观测量是绝对值平方，所以此时观测不到波动的现象）另外，你看不见绝对静止的粒子的绝对位置，因为绝对静止意味着动量为0，而意味着其坐标是无限弥散的（不确定原理)，用函数delta（p）表示。
相对论情况下，有相对论量子力学，量子场论表述。波动方程里的变量都是洛伦茨协变的，满足狭义相对论的洛伦茨变换规律。
作者：bellbasis 时间：2010-07-20 23:35:28
可见，量子力学中，两种静止的含义是完全不同的。区分了两种情形，一切的矛盾就不复存在。
===============================
这并没有不同的定义，只是因为不确定原理，你不能同时确定一个粒子的动量和位置而已。也就是说你不能找到一个静止的坐标固定的粒子。只能说当你找到一个坐标固定的粒子时，你不知道它的动量是多大。即不知道它是不是静止。
经典情况下，确定动量和位置的手段都很粗糙，所以可以找到近似静止和近似固定位置的粒子。矛盾只在于精度。
实际上，量子力学有3个解释，薛定谔方程，矩阵力学，路径积分。
第一个和经典类似，很直观，由微分方程表示，只是微分方程的解用量子力学诠释物理意义。
第二个用更数学化，用于理解量子理学概念，进行形式推导更好。其核心思想是粒子用态矢量表示，算符作用于态矢量，需要和测量联系的时候只是求态矢内积。
第三个很强大，认为量子和经典效应是所有可能的粒子路径的叠加。但是计算起来并不简单。
实际上第二种一般出现的场合比较多，因为概念明晰。量子场论也可以认为是和空间，动量相关的算符作用于粒子态上的结果。
粒子态是一种抽象状态，可以用动量，坐标等等表述粒子态的特征。该态可以在坐标，动量上投影，其投影为波函数。
所以，更好的描述是，粒子处于一种状态，经过物理算符作用后变成另一种状态，然后和其他状态进行内积求出需要观测的物理量（由一个态到另一个态的几率）。
所以这个时候其实和“波“并没什么关系，只是其概率分布长得很像波而已。
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这并没有不同的定义，只是因为不确定原理，你不能同时确定一个粒子的动量和位置而已。也就是说你不能找到一个静止的坐标固定的粒子。只能说当你找到一个坐标固定的粒子时，你不知道它的动量是多大。即不知道它是不是静止。
经典情况下，确定动量和位置的手段都很粗糙，所以可以找到近似静止和近似固定位置的粒子。矛盾只在于精度。
实际上，量子力学有3个解释，薛定谔方程，矩阵力学，路径积分。
第一个和经典类似，很直观，由微分方程表示，只是微分方程的解用量子力学诠释物理意义。
第二个用更数学化，用于理解量子理学概念，进行形式推导更好。其核心思想是粒子用态矢量表示，算符作用于态矢量，需要和测量联系的时候只是求态矢内积。
第三个很强大，认为量子和经典效应是所有可能的粒子路径的叠加。但是计算起来并不简单。
实际上第二种一般出现的场合比较多，因为概念明晰。量子场论也可以认为是和空间，动量相关的算符作用于粒子态上的结果。
粒子态是一种抽象状态，可以用动量，坐标等等表述粒子态的特征。该态可以在坐标，动量上投影，其投影为波函数。
所以，更好的描述是，粒子处于一种状态，经过物理算符作用后变成另一种状态，然后和其他状态进行内积求出需要观测的物理量（由一个态到另一个态的几率）。
所以这个时候其实和“波“并没什么关系，只是其概率分布长得很像波而已。
作者：bellbasis 时间：2010-07-21 16:09:31
作者：袁士霄 回复日期：2010-07-21 14:30:09
静止的唯一定义是动量为0～ 我没有限定不能实用 delta（x），我只是说delta（x）不是静止粒子而已。
参考系变换，非相对论情况变化的是v，也就是p，p从+变成0 变成-没什么问题阿？很连续阿？（这时请考察该静止粒子的幅度绝对值平方有没有变化，exp（-ipx），无论p是什么，绝对值都是1）相对论情况，波矢和坐标p，x都是协变/逆变的，px是标量和坐标变换无关，所以和非相对论情况一样。
我前面说过，测量量是振幅的绝对值平方，不是波动复数表达形式本身，楼主把它的平方安参考系变换，再看看有没有变化（那个才是可以和经典类比的东西）。
我一直强调，要理解量子力学，要从态和概率上理解，波动表达形式只是选择参数空间后的一种数学展开（数学描述），并不是本质的。所以不要纠结于和机械波进行类比。2者没有关系 。只是量子力学的数学形式在某些特殊的态下呈现波动的特征而已
静止的唯一定义是动量为0～ 我没有限定不能实用 delta（x），我只是说delta（x）不是静止粒子而已。
参考系变换，非相对论情况变化的是v，也就是p，p从+变成0 变成-没什么问题阿？很连续阿？（这时请考察该静止粒子的幅度绝对值平方有没有变化，exp（-ipx），无论p是什么，绝对值都是1）相对论情况，波矢和坐标p，x都是协变/逆变的，px是标量和坐标变换无关，所以和非相对论情况一样。
我前面说过，测量量是振幅的绝对值平方，不是波动复数表达形式本身，楼主把它的平方安参考系变换，再看看有没有变化（那个才是可以和经典类比的东西）。
我一直强调，要理解量子力学，要从态和概率上理解，波动表达形式只是选择参数空间后的一种数学展开（数学描述），并不是本质的。所以不要纠结于和机械波进行类比。2者没有关系 。只是量子力学的数学形式在某些特殊的态下呈现波动的特征而已
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作者：bellbasis 时间：2010-07-22 03:09:45
bellbasis你说<"所以这个时候其实和“波“并没什么关系，只是其概率分布长得很像波而已。>
本帖子就是说波的,量子力学也从有波起家的,所以把"波"一脚踢开,总有些不厚道，我认为这可不仅仅是吃水不忘挖井人的一个问题,所以你应该像袁怪侠那样说"并不能因此而认为：物质是主体，波只是它的附属。",呵呵.
=================
是这样的，也许早期理论探索阶段需要借助波动来理解量子力学，但是当体系完善之后并不需要时时考虑这种事情，波动的“效应”包含在解之中。波动形式的引入只是一种中间状态，整个逻辑出发于粒子态，终结于测量的物理量。波动只是中间的数学手段而已。
还有，位置不确定和静止不矛盾。位置不确定说的是你不知道它静止在什么地方，但是它是静止的。对于无数个粒子统计平均后，你会发现这些粒子均匀分布在空间中。这来自量子力学的基本原理。这种效应只有在极其微观才能发现。过度到经典的时候，你不能找到这么一个动量非常精确的平面波，那么你也就可能找到一个位置不那么弥散的准静止粒子，同理，对于delta（x）的情况，经典的情况是你不可能找到一个delta（x）的粒子（位置测量没那么精确）比如可能是一个高斯波包，那么粒子被限定在一个小范围内，同时也允许你测量它的动量，可能也是一个中心在0的高斯波包，那么就是说你能在一定精度内看见一个准静止，准固定位置的粒子，这就是我们的日常生活。
实际上，delta《-》exp（-ipx）是2种极端精确的情况。只有在微观尺度下，才能看见这种极端精确的现象。
本帖子就是说波的,量子力学也从有波起家的,所以把"波"一脚踢开,总有些不厚道，我认为这可不仅仅是吃水不忘挖井人的一个问题,所以你应该像袁怪侠那样说"并不能因此而认为：物质是主体，波只是它的附属。",呵呵.
=================
是这样的，也许早期理论探索阶段需要借助波动来理解量子力学，但是当体系完善之后并不需要时时考虑这种事情，波动的“效应”包含在解之中。波动形式的引入只是一种中间状态，整个逻辑出发于粒子态，终结于测量的物理量。波动只是中间的数学手段而已。
还有，位置不确定和静止不矛盾。位置不确定说的是你不知道它静止在什么地方，但是它是静止的。对于无数个粒子统计平均后，你会发现这些粒子均匀分布在空间中。这来自量子力学的基本原理。这种效应只有在极其微观才能发现。过度到经典的时候，你不能找到这么一个动量非常精确的平面波，那么你也就可能找到一个位置不那么弥散的准静止粒子，同理，对于delta（x）的情况，经典的情况是你不可能找到一个delta（x）的粒子（位置测量没那么精确）比如可能是一个高斯波包，那么粒子被限定在一个小范围内，同时也允许你测量它的动量，可能也是一个中心在0的高斯波包，那么就是说你能在一定精度内看见一个准静止，准固定位置的粒子，这就是我们的日常生活。
实际上，delta《-》exp（-ipx）是2种极端精确的情况。只有在微观尺度下，才能看见这种极端精确的现象。
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 16:06:20
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-22 03:09:45
bellbasis你也一定程度的认可“高斯波包”对应粒子实在，可怪侠不这么认为，这可不能含糊，这是个很根本的问题，不仅仅是个认知论问题，而是从根本上认知世界的出发点的问题，他是对构建什么更本质性场论以及物理何去何从的方向性问题。当今在科学界对“高斯波包”的认可度能占几成呢？
====================
....................在粒子物理里面，探测器观测到的物理量都是这种高斯波包……因为探测器的精度是有限的。
袁前辈的意思是，一个函数可以fourier展开成平面波叠加，例如delta（x）展开成exp（ipx）的叠加，无穷个动量各不相同的平面波叠加。这只是一种数学手段。我们是否观测到这种平面波（哪个动量分量）取决于我们是否需要测量动量……如果不需要的话，跟本不需要展开。我不知道你对fourier展开有多少了解，但是这和量子力学无关，这只是一种数学而已，在电子电路里面经常用到（当然还有laplace变换），你先想一想这种变换在电路中对电信号的处理，能不能理解，能不能通过你的逻辑。高斯波包的fourier对应变换是高斯波包，所以我们能同时测量坐标和动量（一定精度上）。
另外，我觉得你的问题还是没有理解静止的定义，delta（x）和delta（p）的区别在哪里。如果我们不谈论delta（x），就没有以上问题了。还有，我强调无论粒子以什么波形出现，那只是概率分布图样，不是粒子就是那个样子的……
bellbasis你也一定程度的认可“高斯波包”对应粒子实在，可怪侠不这么认为，这可不能含糊，这是个很根本的问题，不仅仅是个认知论问题，而是从根本上认知世界的出发点的问题，他是对构建什么更本质性场论以及物理何去何从的方向性问题。当今在科学界对“高斯波包”的认可度能占几成呢？
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....................在粒子物理里面，探测器观测到的物理量都是这种高斯波包……因为探测器的精度是有限的。
袁前辈的意思是，一个函数可以fourier展开成平面波叠加，例如delta（x）展开成exp（ipx）的叠加，无穷个动量各不相同的平面波叠加。这只是一种数学手段。我们是否观测到这种平面波（哪个动量分量）取决于我们是否需要测量动量……如果不需要的话，跟本不需要展开。我不知道你对fourier展开有多少了解，但是这和量子力学无关，这只是一种数学而已，在电子电路里面经常用到（当然还有laplace变换），你先想一想这种变换在电路中对电信号的处理，能不能理解，能不能通过你的逻辑。高斯波包的fourier对应变换是高斯波包，所以我们能同时测量坐标和动量（一定精度上）。
另外，我觉得你的问题还是没有理解静止的定义，delta（x）和delta（p）的区别在哪里。如果我们不谈论delta（x），就没有以上问题了。还有，我强调无论粒子以什么波形出现，那只是概率分布图样，不是粒子就是那个样子的……
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 19:19:35
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-22 16:06:20
================================
在一般意义上可用数学方式无穷级数展开,但这里好像不是首先对一个成型函数的展开,而是直接假想出的一种跟数学无穷级数类似的数学模型,当然也只有这样,才能所谓解决类似孤波子不散的理论基础.所以在这里一切都好像本末倒置了,而按你说的,它是对一个什么样子函数实施无穷级数展开的呢?
=============
能使用这个模型，来自于量子力学的基本假设之一，x p的对易关系（p的算符化）。
如果承认这点，后面的都是自然的事情了。
我觉得你一直没明白一件事情，粒子还是粒子，一个粒子不会“散开“即使是平面波。
散开的是粒子出现的概率分布，不是粒子本身。
================================
在一般意义上可用数学方式无穷级数展开,但这里好像不是首先对一个成型函数的展开,而是直接假想出的一种跟数学无穷级数类似的数学模型,当然也只有这样,才能所谓解决类似孤波子不散的理论基础.所以在这里一切都好像本末倒置了,而按你说的,它是对一个什么样子函数实施无穷级数展开的呢?
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能使用这个模型，来自于量子力学的基本假设之一，x p的对易关系（p的算符化）。
如果承认这点，后面的都是自然的事情了。
我觉得你一直没明白一件事情，粒子还是粒子，一个粒子不会“散开“即使是平面波。
散开的是粒子出现的概率分布，不是粒子本身。
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 20:09:32
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-22 19:41:32
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-22 19:19:35
========================
你可能理解错了我说的"散开"这个意思了.
用于表示能量消散,产生辐射,损失能量,只要涉及到波的稳定,这是首当其中考虑的.
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关于能量变化的问题，量子力学认为，最基本的是粒子态，当态不变的时候，能量也不变，能量的变化（态的变化）必然来自于外界的相互作用。辐射的产生来自于，比如一磁场中运动的电子，时刻和磁场（光子）交换着能量。电子的态发生连续变化，那么可能产生辐射。
束缚态的时候，电子可以存在的态是分立的（薛定谔方程的解），意味着不是任何能量的光子都能使得电子从一个态变成另一个态，那么大多数时候也就没法辐射了。
也许你对量子力学的一些基本假设产生疑问？那么只能说实验证明了这些假设的正确，
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-22 19:19:35
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你可能理解错了我说的"散开"这个意思了.
用于表示能量消散,产生辐射,损失能量,只要涉及到波的稳定,这是首当其中考虑的.
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关于能量变化的问题，量子力学认为，最基本的是粒子态，当态不变的时候，能量也不变，能量的变化（态的变化）必然来自于外界的相互作用。辐射的产生来自于，比如一磁场中运动的电子，时刻和磁场（光子）交换着能量。电子的态发生连续变化，那么可能产生辐射。
束缚态的时候，电子可以存在的态是分立的（薛定谔方程的解），意味着不是任何能量的光子都能使得电子从一个态变成另一个态，那么大多数时候也就没法辐射了。
也许你对量子力学的一些基本假设产生疑问？那么只能说实验证明了这些假设的正确，
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 20:19:24
你试试这个逻辑
量子力学基本原理-》薛定谔方程的解-》电子可以存在的状态（其他状态概率为0）-》氢原子情况下是分立的状态的概率分布||自由电子情况下是连续平面波状态的概率分布（只有这里才出现了波）
所以物质波只是一种早期想法，只是量子力学的一个解。你要问氢原子情况下的相速度是没什么意思的，氢原子情况下是只是一种特殊的分布而已。当然这时粒子的速度是可以求得的，但是和平面波没有什么直接关系。
量子力学基本原理-》薛定谔方程的解-》电子可以存在的状态（其他状态概率为0）-》氢原子情况下是分立的状态的概率分布||自由电子情况下是连续平面波状态的概率分布（只有这里才出现了波）
所以物质波只是一种早期想法，只是量子力学的一个解。你要问氢原子情况下的相速度是没什么意思的，氢原子情况下是只是一种特殊的分布而已。当然这时粒子的速度是可以求得的，但是和平面波没有什么直接关系。
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 20:31:52
束缚态的时候，电子可以存在的态是分立的（薛定谔方程的解），意味着不是任何能量的光子都能使得电子从一个态变成另一个态，那么大多数时候也就没法辐射了。
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少数的时候是光子能量刚好等于能级的差别……
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少数的时候是光子能量刚好等于能级的差别……
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 20:37:43
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-22 20:19:24
你在量子力学里舍弃"波"的概念,就像谈论电脑舍弃与或门等电路,舍弃二进位制,从表面上看,你是正确的.
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不一样，撇开数学，波本身不是什么基本的东西，一大堆粒子相互作用的集合的现象而已。
何况概率波和机械波没什么关系,只是用了同样的数学而已。
概率波的效应包含在量子力学的解里面。
好比我们讨论电脑的工作原理，却不需要讨论office2003有什么问题一样。哪怕也许有的人第一次接触电脑用的是office2003
你在量子力学里舍弃"波"的概念,就像谈论电脑舍弃与或门等电路,舍弃二进位制,从表面上看,你是正确的.
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不一样，撇开数学，波本身不是什么基本的东西，一大堆粒子相互作用的集合的现象而已。
何况概率波和机械波没什么关系,只是用了同样的数学而已。
概率波的效应包含在量子力学的解里面。
好比我们讨论电脑的工作原理，却不需要讨论office2003有什么问题一样。哪怕也许有的人第一次接触电脑用的是office2003
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 20:41:28
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-22 20:31:52
少数的时候是光子能量刚好等于能级的差别……
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如果用刚好这个说法的化,世界上没有刚好的能级光子来碰的,所以,也就不可能发生态的跳跃
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我们不可能完全处于绝对精确的那种能级的本征态（实际上是有宽度的，不过和能级之间的宽度相比很小而已），还有实验精度问题。而入射光子也不是单纯平面波，其动量是一个高斯分布，涵盖了需要跃迁能级的区间就可以了。
少数的时候是光子能量刚好等于能级的差别……
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如果用刚好这个说法的化,世界上没有刚好的能级光子来碰的,所以,也就不可能发生态的跳跃
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我们不可能完全处于绝对精确的那种能级的本征态（实际上是有宽度的，不过和能级之间的宽度相比很小而已），还有实验精度问题。而入射光子也不是单纯平面波，其动量是一个高斯分布，涵盖了需要跃迁能级的区间就可以了。
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 20:48:20
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-22 20:41:55
所以把波当成敲门砖,不可能那么侥幸,肘起裤子不认帐,没那么容易.
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科学研究早期的摸索阶段用一些类比是很正常的，但是类比不是等同，你明白这点就可以了。其中最大的不同在于，机械波必须有介质，是介质中物质的相互作用效应，但是概率波不需要“介质“它只是概率分布而已。
所以把波当成敲门砖,不可能那么侥幸,肘起裤子不认帐,没那么容易.
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科学研究早期的摸索阶段用一些类比是很正常的，但是类比不是等同，你明白这点就可以了。其中最大的不同在于，机械波必须有介质，是介质中物质的相互作用效应，但是概率波不需要“介质“它只是概率分布而已。
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 21:12:40
那么请问你，除了数学形式之外，量子力学哪里必须要用波的概念了？
定态的解无非是列出方程之后解方程而已。其解是驻波形式而已。其他更多情况下的解都不是驻波或者平面波形式，非要用波的概念去强行理解这些解么？那只是一种概率分布图样而已。
定态的解无非是列出方程之后解方程而已。其解是驻波形式而已。其他更多情况下的解都不是驻波或者平面波形式，非要用波的概念去强行理解这些解么？那只是一种概率分布图样而已。
作者：bellbasis 时间：2010-07-22 21:23:53
举个例子，伽利略证明2个质量不同的物体可以同时落地，牛顿力学完全可以解释这一现象并给出其他推测，诸如人造卫星运行轨迹。但是你如果要用2个质量不同的物体同时落地去理解为什么人造卫星是这么运动的。当然理解不了。因为你的出发点就不是根本的，只是一个结论而已。所以你用驻波和平面波去理解氢原子基态波函数，谐振子波函数，肯定不明白了。
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作者：bellbasis 时间：2010-07-22 22:15:25
量子力学基本原理
1： 态矢量描述例子态
2： 算符描述物理量
3： 对易关系
4： 薛定谔方程
5： 全同粒子原理。
足够了解方程了。
不需要引入波的概念
1： 态矢量描述例子态
2： 算符描述物理量
3： 对易关系
4： 薛定谔方程
5： 全同粒子原理。
足够了解方程了。
不需要引入波的概念
所以说波粒二相性，关键在于“相”上，只是一种观测结果，不是本质。其本质就是由概率描述的粒子而已。所以科普的时候很多人以为这种矛盾综合的结果是本质，实际上不是。
bellbasis 时间：2010-07-22 23:16:54
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-22 22:50:49
说简单些，定态是量子力学的最重要工程目标，而定态的理论基础是驻波，你说波算老几呢？
===================
无所谓，方程和边界条件列出来了，解出什么是什么，解出驻波是驻波，解出合流超比函数就是氢原子。这只是一个数学问题。一个概率分布函数而已。我没有否认量子力学采用了波的数学形式。但那并不重要。一个量子系统重要的是我们知道概率分布和物理量（平均值），波的数学形式只是中间过程。
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-22 22:50:49
说简单些，定态是量子力学的最重要工程目标，而定态的理论基础是驻波，你说波算老几呢？
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无所谓，方程和边界条件列出来了，解出什么是什么，解出驻波是驻波，解出合流超比函数就是氢原子。这只是一个数学问题。一个概率分布函数而已。我没有否认量子力学采用了波的数学形式。但那并不重要。一个量子系统重要的是我们知道概率分布和物理量（平均值），波的数学形式只是中间过程。
作者：bellbasis 时间：2010-07-27 23:51:45
作者：袁士霄 回复日期：2010-07-27 17:22:07
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薛定谔定态方程的建立确实没有直接借助当时由驻波计算出的各种能级公式，这一点我确实说错了，但薛定谔在建立薛定谔定态方程的时候使用了，Ψ(x，t) = ψ(x)f(t)，而ψ(x)f(t)的数学形式所形成的图像Ψ(x，t) 应该是一个驻波数学图形，所以薛定谔也毕竟是根据当时依据驻波定态的思维模式，殊途同归，并有摘取别人成果果实的嫌疑，而建立的定态薛定谔方程。请你给进一步评述。
================
关于薛定谔方程的建立，先猜出自由粒子对应平面波，然后根据H=P^2/2M ，猜出p对应的算符和t对应的算符。得出自由粒子薛定谔方程。这个时候，你也学可以说借鉴了波，（自由粒子是平面波么），但是引入势能项之后，方程的解就五花八门什么都可以了，平面波或者驻波很多时候就没法解释了。所以楼主有疑问。这个时候，就是纯粹的解方程了，和什么波没什么关系了。
所以当量子理学体系完善以后。我们喜欢用算符做基本假设，而不是平面波做基本假设。因为算符的基本假设逻辑上更根本。平面波只是一个解，驻波也只是一个解，更多时候是非常复杂的乱七八糟函数的解。
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薛定谔定态方程的建立确实没有直接借助当时由驻波计算出的各种能级公式，这一点我确实说错了，但薛定谔在建立薛定谔定态方程的时候使用了，Ψ(x，t) = ψ(x)f(t)，而ψ(x)f(t)的数学形式所形成的图像Ψ(x，t) 应该是一个驻波数学图形，所以薛定谔也毕竟是根据当时依据驻波定态的思维模式，殊途同归，并有摘取别人成果果实的嫌疑，而建立的定态薛定谔方程。请你给进一步评述。
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关于薛定谔方程的建立，先猜出自由粒子对应平面波，然后根据H=P^2/2M ，猜出p对应的算符和t对应的算符。得出自由粒子薛定谔方程。这个时候，你也学可以说借鉴了波，（自由粒子是平面波么），但是引入势能项之后，方程的解就五花八门什么都可以了，平面波或者驻波很多时候就没法解释了。所以楼主有疑问。这个时候，就是纯粹的解方程了，和什么波没什么关系了。
所以当量子理学体系完善以后。我们喜欢用算符做基本假设，而不是平面波做基本假设。因为算符的基本假设逻辑上更根本。平面波只是一个解，驻波也只是一个解，更多时候是非常复杂的乱七八糟函数的解。
作者：bellbasis 时间：2010-07-28 01:07:36
作者：圆周率谐音 回复日期：2010-07-28 00:11:20
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-27 23:51:45
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
方程是人脑思维判断推理的继续，但方程必须有很多的基本数学原理来构建。但人们单靠数学原理也能解决很多的问题，比如民间有很多的数字数学游戏，他们虽然不懂方程，但只要足够聪明，他们也能得出结果，而我们知道这类问题使用方程一般再简单不过了，这就说明方程这个工具的威力，但这种威力跟其建构方程的原理是两码事。
====================
实际上是这个思路：
1： 观测实验，觉得粒子有波动性，猜测自由粒子是平面波，并做一些简单预言。
2： 通过平面波，和薛定谔方程（H|psi>=E|psi>，这个方程很抽象，解决不了任何问题），猜测这个抽象方程的现实对应，即p为坐标的偏微分，E为时间的偏微分。即确定力学量和算符的对应关系。
3：写出H的一般形式,即H包含任何形式的势能。利用偏微分算符，原则上可以解出任何波函数的解，但是这个解不一定是平面波或者驻波，可以是任何东西（引入势能是经典力学哈密顿量要求的，必须有动能项和势能项，你的一切分歧都来此于此，但是这一项是经典要求，不是量子要求）。
4：实验验证一些复杂的解，比如氢原子，比如谐振子，等等，发现和实验相符。
5：确立力学量对应算符作为基本原理。
类比一下这个逻辑：
1， 牛顿看见重物下落
2， 牛顿认为万有引力
3， 牛顿观察开普勒3定律觉得万有引力是平方反比（不记得是不是这样了）
4， 牛顿确定万有引力公式
5， 万有引力公式作为牛顿力学基本原理之一
最初得到定律的时候，需要一些启发性思维和类比（比如你所说的数字游戏)，（比如波动的引入）但是不代表一开始的启发性思维就是整个理论框架的基础。苹果，开普勒3定律都是基本定律描述现象的一个子集，但是他们不能描述其他的东西，所以不是基本的。所以说平面波和驻波有他们存在的地方，但是绝对不是基本的。试图用这个解释一切，是不可能的。
在接触未知世界的时候，第一次观察（接触）会让我们有很多灵感，对于暂时不能列出方程描述的东西，我们会用类比去描述未知事物，但是当充分了解之后，必然有更基本的概念，第一次看见的东西仅仅是微不足道的一小部分而已。你理解了么？
所以你跟着物质波的思路历程，经历的只是发现定律的原初思维，而不是看见了完整的量子力学框架。其实很多科普的手法就是如此的（因为框架总是要涉及方程，方程总是枯燥的），比如非常经典的时空的弯曲用一个膜来描述，但是你能用一个重物和膜去真正计算出黑洞的引力场么？无论你怎么摆弄那个重物恐怕都不行吧。
作者：bellbasis 回复日期：2010-07-27 23:51:45
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方程是人脑思维判断推理的继续，但方程必须有很多的基本数学原理来构建。但人们单靠数学原理也能解决很多的问题，比如民间有很多的数字数学游戏，他们虽然不懂方程，但只要足够聪明，他们也能得出结果，而我们知道这类问题使用方程一般再简单不过了，这就说明方程这个工具的威力，但这种威力跟其建构方程的原理是两码事。
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实际上是这个思路：
1： 观测实验，觉得粒子有波动性，猜测自由粒子是平面波，并做一些简单预言。
2： 通过平面波，和薛定谔方程（H|psi>=E|psi>，这个方程很抽象，解决不了任何问题），猜测这个抽象方程的现实对应，即p为坐标的偏微分，E为时间的偏微分。即确定力学量和算符的对应关系。
3：写出H的一般形式,即H包含任何形式的势能。利用偏微分算符，原则上可以解出任何波函数的解，但是这个解不一定是平面波或者驻波，可以是任何东西（引入势能是经典力学哈密顿量要求的，必须有动能项和势能项，你的一切分歧都来此于此，但是这一项是经典要求，不是量子要求）。
4：实验验证一些复杂的解，比如氢原子，比如谐振子，等等，发现和实验相符。
5：确立力学量对应算符作为基本原理。
类比一下这个逻辑：
1， 牛顿看见重物下落
2， 牛顿认为万有引力
3， 牛顿观察开普勒3定律觉得万有引力是平方反比（不记得是不是这样了）
4， 牛顿确定万有引力公式
5， 万有引力公式作为牛顿力学基本原理之一
最初得到定律的时候，需要一些启发性思维和类比（比如你所说的数字游戏)，（比如波动的引入）但是不代表一开始的启发性思维就是整个理论框架的基础。苹果，开普勒3定律都是基本定律描述现象的一个子集，但是他们不能描述其他的东西，所以不是基本的。所以说平面波和驻波有他们存在的地方，但是绝对不是基本的。试图用这个解释一切，是不可能的。
在接触未知世界的时候，第一次观察（接触）会让我们有很多灵感，对于暂时不能列出方程描述的东西，我们会用类比去描述未知事物，但是当充分了解之后，必然有更基本的概念，第一次看见的东西仅仅是微不足道的一小部分而已。你理解了么？
所以你跟着物质波的思路历程，经历的只是发现定律的原初思维，而不是看见了完整的量子力学框架。其实很多科普的手法就是如此的（因为框架总是要涉及方程，方程总是枯燥的），比如非常经典的时空的弯曲用一个膜来描述，但是你能用一个重物和膜去真正计算出黑洞的引力场么？无论你怎么摆弄那个重物恐怕都不行吧。
作者：bellbasis 时间：2010-07-28 01:29:48
所以说，原初发现定律的时候的思路，和科学体系成熟时的思路是完全不同的。原初发现定律的思路是非常难以理解的，那都是天才的思维，一些结论虽然怪异，但是居然是大部分是正确的。当体系成熟以后，我们不需要天天用那种思维去解决问题
PDF]PDF全文 - 热学精品课程
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kejian.tzc.edu.cn/ckwx/pdf/268.pdf
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为矩阵)，把系统所有可允许的态，成对地联结起来. 量子力学的倒易定理［5］证明：当系统的哈密顿量与时间明显无关时，由时. 间反演对称性可引出原过程的跃迁概率 ...
对称性和热学*
包科达1) 刘锦城2）
摘要 试图探索一条不同于传统做法的、概括和表述热学基本定律的途径.从理论上，把热学置于对称性原理的基础之上，加以概括和解释 关键词时间和空间平移对称性；时间反演对称性；守恒律；对称破缺 分类号 O 414.1
SYMMETRY AND HEAT
Bao Keda1) Liu Jincheng2) ( 1) Department of Physics, Peking University, Beijing, 100871, China; 2) Pingxiang Specialized School, Pingxiang, Jiangxi, 337055, China)
Abstract In this paper we try to explore a way for summalizing and expressing the fundamental laws of heat, entirelly different from the usual practices. The heat will be generalized and described on the principles of symmetry. Key words time and space translation symmetry; time reversal symmetry; conservation law; symmetry breaking
1 引言
对称性原理在物理学中的基础地位，正越来越受到物理学家的重视从单纯地将对称性看作对物理现象可能性的一种限制，转向把它作为确立物理定律的一块基石.整个物理学的发展，就是物理学家通过大量精确的实验观测和深入的理论分析，揭示各种制约自然界物理现象的基本规律，例如力学的牛顿三定律，热学的热力学第一、二、三定律，电磁学的麦克斯韦方程组等.近年来的研究揭示，贯穿于物理学各分支领域里的这些规律中，还存在一些概括性更高的法则，对称性原理就是其中主要的一个.诺贝尔奖得主和对称性原理的主要阐述者之一的Eugene Wigner［1］把对称性与自然定律之间的关系，类比于自然定律与单个事件之间的关系时说：・对称性原理为自然定律提供的构造和相关性，恰似自然定律自身为一组事件提供的构造和相关性.・那末，对称性原理与热学或热物理学(包括热力学和统计物理学)之间有什么关系?我们能否把对称性看作制约热物理学建立和发展的、概括性更高的法则换句话说，我们能否从对称性原理出发引出热学的基础定律?本文试图就此作一些剖析，以引起各界的关注和讨论
2 对称性
尽管可以认为，对称考虑从科学思想产生和发展的一开始，就是科学家的一个基础性的考虑，但直到20世纪量子力学建立和发展之前，对对称性的认识，多数仍仅限于直感的事物对称性的几何方面，把它看作限制物理过程的一种可能性.例如：圆球绕通过它中心的任意轴的转动是对称的；它对含中心的任意平面的反射和对通过中心的反演是对称的；一个立方体绕通过面心轴的四度旋转下是对称的.由于圆球在旋转任意角度下是对称的，旋转角可取任意值，因此圆球的旋转对称性是连续的；反之，上述立方体的旋转对称是离散的.即使依据这样一
些简单的对称性概念，人们就可以避开物理学基本定律，而对物理现象作出合乎实验观测的分析，例如：由简单的对称性分析可知，有心力作用下的行星轨道一定在一个平面内；平衡态气体的时空对称性必导致麦克斯韦的速度分布律；利用对称性可证明，无限长均匀带电直导线周围的电场必垂直导线表面，且呈径向分布；无限长密绕螺线管在空间任意一点产生的磁场与其轴线平行等等. 然而，稍为深入分析几何对称性就会发现，每一个几何对称性在数学上可用一种坐标变换来加以描述，例如对-y平面的反射操作，对应于x→x′，y→y′和z→-z′的变换；而绕轴的四度旋转操作，可通过→y′,y→x′和z→z′加以表述.上述圆球和立方体相对这两种操作都是对称的，这一事实反映在圆球方程和确定立方体的数学关系式相对上列两种变换是不变的. 现若将从几何对称性获得的有关对称性、对称操作和坐标变换等概念，推广应用到更为普遍的情况：一组变量的一种变换定义一个对称操作，若这些变量的函数通过变换后的形式不变，那末就说此函数相对这种操作是对称的.这样，若表述一个物理定律的数学公式在与某种操作相应的变换下保持不变，则该定律相对此操作是对称的.最常用的对称操作有平移、转动、镜像反射、标度变换等空间操作和时间平移、反演等时间操作.例如：对于一个其中的力只是位置函数的力学系统，牛顿运动方程f=m(d2r/dt2)在时间反演操作(r→r′，t→-t′)下是对称的，叫做时间反演对称性.它预示系统中允许的任何运动，必有逆向的运动设想有一盒录像带，记录了月球上宇航员抛射向上的一个球，随后在引力作用下落到表面.那末，不论是正向还是反向放映这盒录像带，观众看起来，都是等同的.而地球的大气层中存在的粘滞阻力，破坏了这种时间反演对称性.由此可见，一个特定系统的动力学行为的对称性是受到动力学方程和决定力的势能函数的性质所制
约的.对于量子力学问题，尽管动力学方程变得略为抽象，牛顿运动方程为薛定谔波动方程所取代，但对称性原理是相同的，薛定谔方程相对时间反演操作也是对称的.
3 内特(Noether)定理
把上述对称性分析应用于力学系统时发现，由此可以引出一些意义深远的结果：一个力学系统动力学行为的每一个对称性都意味着该系统的一个守恒律，这个结论现在称为内特定理，以纪念首创人德国数学家Emmy Noether(1882～1935年). 任何系统的机械运动都是在一定时空中发生的，故当描述一个系统的机械运动时，总是相对一定参考系说的.一般说，不同参考系中的运动规律，不尽相同.惯性参考系是最简单的一种参考系，其中时空是均匀和各向同性的，自由物体在其中或永远静止，或以恒速作直线运动 惯性系中的时间均匀性，要求其中发生的机械运动相对时间的平移操作变换→t+t0不变，即具有时间平移对称性.在物理上，这意味着，若保持封闭的质点系中每个质点的初始位置和速度不变，系统的动力学行为并不会因时间平移而改变由此时间均匀性引出的后果是，封闭系统的势能函数Ep与时间明显无关，即()=0，从而得到dEp=，故封闭质点系的机械能守恒：恒量，这样，内特定理从时间平移对称性预言存在一个守恒量，称它为系统的能量［2］.相应的，空间均匀性和各向同性要求惯性系中发生的动力学行为，相对空间平移操作r→r+r0和转动操作φ→φ+φ0不变，即具有空
则系统的运动状态不变，故系统内力在此位移下所作的总功应为零：，从而引出牛顿第三定律=0，得到封闭质点系的动量守恒定律.空间转动对称性要求空间各取向等效，故角位移δφ后系统内力的总功应为零：，即系统的总力矩为零，从而得到封闭质点系的角动量守恒定律.综上所述，对于一个互作用势能只与质点之间相对位置有关的质点系的时间、空间均匀性及其各向同性的深刻物理后果是系统的能量、动量和角动量守恒，这恰是内特定理要说明的. 倘若我们再依据因果律，把时空均匀性和各向同性，即时空平移对称性和转动对称性，看作原因的对称性，而系统的能量、动量和角动量守恒律看作结果的对称性，则可引出结论：原因中的对称性必反映在结果中，这就是对称性原理，首先由P.居里于1894年提出. 间的平移和转动对称性.空间平移对称性要求空间各点等价，即若有一个封闭的力学系统，其中所有的质点都位移δr，Fij+Fji［3］
4 时间平移对称性和热力学第一定律
两者之间的关系是显而易见的，因为后者表明，对于任一热力学系统必存在一个态函数内能，对于孤立系内能守恒.从微观的意义讲，系统的内能就是组成它的所有粒子的无规则热运动的动能和它们之间相互作用的势能之和. 对于系统的温度、体积和粒子数恒定的正则系综，内能是一个可涨落的量.由于宏观物体包含的粒子数十分巨大，宏观观测的时间和空间的特征尺度较之原子、分子运动的相应特征量大很多，故实验观测到的内能仍取确定的数值，是系统能量的统计平均值，与时间无关 当我们在时间平移对称性基础上，重新认识能量守恒定律时，再简略回顾一
下人们对它的发现和认识是富有启发性的.确认守恒量能量的存在，始于1693年，当时莱布尼茨(Leibniz)观测到，地球重力场中质点的能量(1/2)mv\+2+mgh是一个守恒量.随后的物理学史上不止一次地发生过，在新的物理过程中似乎一部分能量湮没或者无中生有地产生出来，后来的物理学发展又总能确立一种新的能量形式，补偿似已消失或冒出来的那一部分能量，能量守恒定律始终巍然屹立.例如焦耳(Joule)经过几十年的艰辛努力，测定了热功当量，确认热也是一种能量存在的形式.带电体周围的电场具有电场能.燃烧获得的热量来源于物质结构的化学能.1905年爱因斯坦(Einstein)把能量与物质的静止质量联系起来，导出了著名的质能关系式E=mc2.不久，物理学家发现，原子核裂变过程中释放出的能量与相应的质量亏损是符合此关系式的.特别值得一提的是，为了解释β衰变过程中消失掉的那一部分能量，泡利(Pauli)于1931年提出伴随核内中子蜕变为质子和电子的同时，必有一种未被认识的粒子；后来意大利物理学家费米(Fermi)把这种中性且静止质量为零的粒子命名为中微子，从而找回了那一部分丢失的能量，能量守恒定律依旧成立.
5 空间平移和转动对称性与广义的热力学第一定律
当我们确认内特定理，把热力学第一定律和存在态函数内能寓于时间平移对称性中时，自然会联想到，共有7个可加的运动积分，为什么只有能量在热学中起重要作用?而不是动量和角动量?事实是由于传统的因素，我们惯于讨论宏观静止的系统一旦当天文学家应用热物理学于旋转的巨大天体，如银河系时，系统的动量和角动量的作用，将和能量一样，变得十分重要.一个广义的正则系综的概率密度ρi(Ei,pi,Ji,V,N)可写为
ρi=Z-1exp(-βEi-λp.pi-λJ.Ji)
其中Ei，pi和Ji分别表示系统微观态的能量、动量和角动量；而β、λp和λJ分别为相应量的拉格朗日乘子；Z(β,λp,λJ,N,V)是配分函数.因此，广义热力学第一定律应该是时空平移和转动对称性的一个后果.
6 对称破缺和戈德斯通(Goldstone)定理
热力学中还存在一些状态参量，如体积、磁矩、电矩和摩尔数等，它们又是如何从对称性分析中产生出来的?回答是它们存在的基础是对称破缺和戈德斯通定理.譬如体积这个几何状态参量，它与对称破缺概念的联系，可通过晶体的形成过程加以说明.以固态的二氧化碳干冰)晶体为例，在・无限大・的气态O2中，随温度下降而在某局域形成晶核的过程，从对称性观点看，是系统从一个具有连续的完全对称性的气态转变为一个只有离散的较低对称性的固态的过程.在这类晶核化过程中，系统对称性突然自发地降低，称为系统的对称性的・破缺・.从固体物理学我们知道，晶体的振动模式可用波数k=2π/λ和圆频率ω(k)加以描述.长波模式变为简单的声波，并有线性关系ω=vk，故极端模式是在空间均匀的模式，振动频率趋向于零.此时半波长内就包含很多原胞，它们整体地沿同一方向运动，因此晶体可以近似地看成连续介质，而且具有确定的体积著名的物理学家P.W.安德森(Anderson)把这种对称破缺系统具有一个激发谱，当波长趋向无穷时，频率趋向零的性质概括为戈德斯通定理［4］. 相类似地在一些电极化材料例如HCl晶体中，位于格点上的HCl分子中，氢离子围绕相对大的氯离子转动，形成电偶极矩.在转变温度以上，这些电矩的取向是无序的；转变温度以下，偶极矩取向趋向有序，整个晶体拥有净电矩.晶体
从具有较高对称性的状态自发地降低对称性，转变为电矩具有确定轴取向的较低对称性的状态根据戈德斯通定理，这种对称破缺必将导致一个波长为无穷时零频率的元激发在极化晶体中，这类元激发由在净电矩指向附近轴的微小摆动形成的振荡波组成.类似的情况，在居里点附近的铁磁材料中也发生，从而在磁介质热力学中可以引进状态参量总的磁矩.
7 时间反演对称性和细致平衡原理
最后，我们用对称性原理来审视统计物理学的基石・・等概率原理：孤立系达到平衡态时，系统处于任一可能微观运动状态的概率相等.恰是在等概率原理的基础上，才引出了微正则、正则和巨正则分布的极值性质，即在相应的宏观限制条件下，这些分布对应的微观态数目Ω最大，再把熵定义为正比于ln Ω的态函数，从而得出达到平衡态的系统熵最大，构成热力学第二定律的熵增加原理的表述. 一个热力学系统的可允许的微观态，在经典描述中，可用6N维相宇空间里的一个相点表示；在量子描述中，用系统可存在的量子态表示.当系统在外界的扰动下发生微观态之间各种可能的跃迁时，在相宇中勾划出一条迂回曲折、飘忽不定的轨迹.若系统某时刻处于i微观态，随后在外界扰动下跃迁到j态，单位时间里的跃迁概率为ij，这些跃迁概率{pij}在状态空间中构造一个网络在数学上表示为矩阵，把系统所有可允许的态，成对地联结起来. 量子力学的倒易定理［5］证明：当系统的哈密顿量与时间明显无关时，由时间反演对称性可引出原过程的跃迁概率等于逆过程的跃迁概率，即pij=pji.统计物理学中把此倒易定理称为细致平衡原理，它是时间反演对称性的直接后果.显然
是条件概率，表示开始处于i态的系统跃迁到j态的概率.故若用f表示系统处于态的概率，则单位时间里跃迁离开状态的总数正比于；相类似地单位时间里跃迁到状态的总数与成比例.若再考虑到平衡态系统处于i态的概率在时间里是稳恒的，则有 piji
当满足细致平衡时，则对所有状态有fi=fj=Ω-1，这就是等概率原理. 可以设想如此的图象：系统在一切可允许的微观态之间发生各种可能的跃迁，某些态被频繁地访问很大)，另一些只偶尔被访问；一些状态一旦被系统达到后，不易变更(很小)，又有一些状态却要求系统赶快离开它.但由于时间反演对称性，要求达到平衡态的孤立系中，那些只偶尔被访问的态，一定是系统不易变更的态；而那些频繁被访问的态，只允许对它的短暂入主.恰是这种互相抵消的特征，保证了系统处于任一可能微观态的概率相等.由此可见，等概率原理是系统时间反演对称性的一个后果.
8 对称性和选择定则
应用等概率原理分析实际问题时，还必须注意出现零跃迁边界的可能性.零跃迁边界把系统的状态空间譬如说相宇，划分为两个区域，其间不能发生穿越零跃迁边界的跃迁量子理论证明，出现零跃迁边界的物理原因是另一种对称性发挥了作用，并把这种跃迁概率为零的现象称为选择定则实际上，选择定则映射一种对称性，起源于守恒律［6］.譬如，由空间平移对称性引出的动量守恒律要求的选择定则为：末态动量等于初态动量加微扰动量时，跃迁才会发生，否则跃迁
概率为零.由时间平移对称性引出的能量守恒律要求的选择定则为：终态能量等于初态能量加微扰能量.又如在有心力场中运动的电子的选择定则为：角量子数Δl=l′-l=±1，磁量子数Δm=m′-m=0,±1等. 由此可见，为了使热力学的描述完全且有效，必须将能表征状态空间各个分隔区域的全部状态参量包括进来，否则就会引出与实验不一致的结论例如，人们在研究低温下气态氢的热学性质时，就曾发生过这类情况［7］.氢分子的两个核的自旋，可因其取向平行或反平行而区别为正氢和仲氢它们的对称性很不相同，前者相对于垂直分子轴的平面的反射操作是对称的，而后者只相对分子中心的反演操作才具有对称性.选择定则禁止两者之间的转变，故若忽视了这一选择定则，就会导致热力学的不完全描述，引出氢气热力学性质的不正确预言.有趣的是，实验表明，若在氢气中掺进少量的氧或水蒸汽，由于这些气体分子的顺磁性，与氢分子核自旋之间的相互作用，破坏产生选择定则的对称性，从而使得正氢和仲氢之间可互相转变，把氢处理为单一气体的热力学描述又变为完全和有效. 因此，热力学描述的完全性在于确定系统的相关的状态空间时，必须考虑它的所有的对称性.每一个新揭示的对称性，在引进新的状态参量的同时，将热力学的应用范围扩大.从此意义上讲，是否可以在对称性原理的层次上把热物理学概括为一门研究从物理系统的对称性引出的，对物质的热运动可能具有性质的制约的学科.
作者单位： 1) 北京大学物理系，北京 100871； 2) 萍乡专科学校，江西萍乡337055 *原国家教委面向21世纪教学内容和课程体系改革研究项目(编号02-4-5)
9 参考文献
［1］ Wigner E. Symmetry and Conservation Low. Physics Today, 1964,34 (3) ［2］ Мамъееъ А Н.Механпка ц Теорцл Омноспмеlъносмц.20e u3g. u3g. 《Внсшал шкоlа》，1986, 148 ［3］ 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程 第一卷：力学.北京：高等教育出版社，1995.146 ［4］ Anderson P W. Concepts in Solids. N.Y: Benjamin Inc, 1964. 175 ［5］ 张启仁.量子力学.北京：高等教育出版社，1989.286 ［6］ 邹鹏程.量子力学.北京：高等教育出版社，1989.第六、七、八章 ［7］ Callen H B. Thermodynamics and an Introduction to Thermo-statistics. second edition. John Wiley & Sons, Inc, 1985
收稿日期：1998-06-15
[PPT]第八讲
在广义相对论的柔性度规中：; （1）由于全空间没有统一的时间，因此在黎曼空间中
§1.2 基本观念
1, 基本图像：de Broglie关系与波粒二象性
1905年Einstein通过提出下列关系
Eh==νωh，kehec
Epvhv
vv===λ (1.9)
（这里π
2h
=
h），引入光子的概念。这在原先认为光是电磁波的图象
上添加了粒子的图象，这已由上节第一组实验所证实。于是，若知道等式右边的波动参数ω和k，便可用这组关系求得它左边的量所相应的微粒子特性。经过18年之久，de Broglie克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对m=0的情况推广到m≠0的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性1，
cc.sjtu.edu.cn/G2S/Utility/download2.aspx?type=2...
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n例如，发射台不断向接受者发射脉冲信号，无论接受者是静止还是在运动，他接收到脉冲的个数是相同的。所以，相位是一个不变量，对不同的观察者不变。这可以通过洛伦兹变换来证明，但在牛顿力学中，根据伽利略变换与多普勒效应无法保证相位不变性。
n相位不变性是德布罗意发现的，它是研究电磁场的相对论效应乃至量子理论的基础。
在闵可夫斯基背景时空中，由局域惯性系的静电学定律就可以建立电动力学的理论体系，闵氏时空的间隔不变性自动导致光速不变与电磁学的洛伦兹协变性§1.2 基本观念
1, 基本图像：de Broglie关系与波粒二象性
1905年Einstein通过提出下列关系
Eh==νωh，kehec
Epvhv
vv===λ (1.9)
（这里π
2h
=
h），引入光子的概念。这在原先认为光是电磁波的图象
上添加了粒子的图象，这已由上节第一组实验所证实。于是，若知道等式右边的波动参数ω和k，便可用这组关系求得它左边的量所相应的微粒子特性。经过18年之久，de Broglie克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对m=0的情况推广到m≠0的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性1，
繞射原理
當光通過一單狹縫時，如縫愈窄則光線會愈向兩旁擴張，此現象即所謂的繞射。如圖
1（A）為光通過一孔洞（孔徑大小遠大於光波長時），在螢幕上呈現出孔的光點（圖中水
平軸顯示出光強度大小），圖1（B）當隨著孔徑變小時，光的繞射現象便明顯呈現在螢幕
上。
A.單狹縫的繞射實驗
實驗目的
觀察光通過單狹縫時所產生的繞射現象，並測量亮、暗紋的位置和理論值相比較。
實驗方法
將雷射光射入單狹縫片，即可在狹縫另一側之螢幕看見繞射圖案。假設令狹縫的寬度
為b，中心點為O 點，狹縫口被均分成若干點，如圖2 所示。
P0 點光程差為零，稱為中央亮區。P1 點至狹縫頂點的距離比到狹縫底點的距離大一波
長λ，亦就是說P1 點到狹縫頂點的距離，比P1 點到O 點的距離大半波長(λ/2)，所以狹縫
頂點發出光波與由O 點發出的光波在P1 點的光程差為λ/2，干涉結果強度為零。同理狹縫
頂點以下第一點和O 點以下第一點的光程差也為半波長，故在P1 點其強度亦為零。如此，
兩兩相對，整個狹縫的二次子波在P1 點皆干涉為零，因此P1 點為一暗點。依此類推，P3
圖1（A） 圖1（B）
序决定激发，所以传播子既可以看成对序的描述也可以看成对激发的描述，这两种观点仅仅是视角的不同。狭义地说，人们倾向于把传播子的零频率分量称为序，而把有限频率分量称为激发。
零频率:gapless, energy gap
老杨曾经提出一个口号“对称性决定相互作用”，这句话可不可以用凝聚态 哈，早已被组长洗脑。 老杨曾经提出一个口号“对称性决定相互作用”，这句话可不可以用凝聚态的语言理解成“序决定激发”。
6 对称破缺和戈德斯通(Goldstone)定理
當光通過一單狹縫時，如縫愈窄則光線會愈向兩旁擴張，此現象即所謂的繞射。如圖
1（A）為光通過一孔洞（孔徑大小遠大於光波長時），在螢幕上呈現出孔的光點（圖中水
平軸顯示出光強度大小），圖1（B）當隨著孔徑變小時，光的繞射現象便明顯呈現在螢幕
上。
A.單狹縫的繞射實驗
實驗目的
觀察光通過單狹縫時所產生的繞射現象，並測量亮、暗紋的位置和理論值相比較。
實驗方法
將雷射光射入單狹縫片，即可在狹縫另一側之螢幕看見繞射圖案。假設令狹縫的寬度
為b，中心點為O 點，狹縫口被均分成若干點，如圖2 所示。
P0 點光程差為零，稱為中央亮區。P1 點至狹縫頂點的距離比到狹縫底點的距離大一波
長λ，亦就是說P1 點到狹縫頂點的距離，比P1 點到O 點的距離大半波長(λ/2)，所以狹縫
頂點發出光波與由O 點發出的光波在P1 點的光程差為λ/2，干涉結果強度為零。同理狹縫
頂點以下第一點和O 點以下第一點的光程差也為半波長，故在P1 點其強度亦為零。如此，
兩兩相對，整個狹縫的二次子波在P1 點皆干涉為零，因此P1 點為一暗點。依此類推，P3
圖1（A） 圖1（B）
序决定激发，所以传播子既可以看成对序的描述也可以看成对激发的描述，这两种观点仅仅是视角的不同。狭义地说，人们倾向于把传播子的零频率分量称为序，而把有限频率分量称为激发。
零频率:gapless, energy gap
老杨曾经提出一个口号“对称性决定相互作用”，这句话可不可以用凝聚态 哈，早已被组长洗脑。 老杨曾经提出一个口号“对称性决定相互作用”，这句话可不可以用凝聚态的语言理解成“序决定激发”。
6 对称破缺和戈德斯通(Goldstone)定理
热力学中还存在一些状态参量，如体积、磁矩、电矩和摩尔数等，它们又是如何从对称性分析中产生出来的?回答是它们存在的基础是对称破缺和戈德斯通定理.譬如体积这个几何状态参量，它与对称破缺概念的联系，可通过晶体的形成过程加以说明.以固态的二氧化碳干冰)晶体为例，在・无限大・的气态O2中，随温度下降而在某局域形成晶核的过程，从对称性观点看，是系统从一个具有连续的完全对称性的气态转变为一个只有离散的较低对称性的固态的过程.在这类晶核化过程中，系统对称性突然自发地降低，称为系统的对称性的・破缺・.从固体物理学我们知道，晶体的振动模式可用波数k=2π/λ和圆频率ω(k)加以描述.长波模式变为简单的声波，并有线性关系ω=vk，故极端模式是在空间均匀的模式，振动频率趋向于零.此时半波长内就包含很多原胞，它们整体地沿同一方向运动，因此晶体可以近似地看成连续介质，而且具有确定的体积著名的物理学家P.W.安德森(Anderson)把这种对称破缺系统具有一个激发谱，当波长趋向无穷时，频率趋向零的性质概括为戈德斯通定理［4］. 相类似地在一些电极化材料例如HCl晶体中，位于格点上的HCl分子中，氢离子围绕相对大的氯离子转动，形成电偶极矩.在转变温度以上，这些电矩的取向是无序的；转变温度以下，偶极矩取向趋向有序，整个晶体拥有净电矩.晶体
从具有较高对称性的状态自发地降低对称性，转变为电矩具有确定轴取向的较低对称性的状态根据戈德斯通定理，这种对称破缺必将导致一个波长为无穷时零频率的元激发在极化晶体中，这类元激发由在净电矩指向附近轴的微小摆动形成的振荡波组成.类似的情况，在居里点附近的铁磁材料中也发生，从而在磁介质热力学中可以引进状态参量总的磁矩.
"Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2014-04-22 12:30:48
1. 呃，我的意思应该是可以测量的是基态的响应而不是基态本身，而基态的响应依靠激发来实现，如果一个基态上没有激发，你将几乎无法测量这个基态。我们之所以可以通过磁化来测量铁磁基态的原因是铁磁基态上有很多低能的激发。没有激发的基态是没有响应的，就像理想真空一样。
2. 因为Goldstone mode的定义就是恢复对称性的长波涨落，Goldstone定理只不过进一步指出对于连续对称破缺，这些恢复对称性的模式是没有能隙的。SDW 的Goldstone mode是磁子，CDW的Goldstone mode是声子。磁子恢复磁性对称性，声子恢复平移对称性。
3. 因为spin wave是激发不是基态。同样是有空间指向性，放在基态上就是对称破缺，而放在激发上就是对称恢复。任何单个的磁子都没有SU(2)对称性，真是因为如此，把许多磁子乱糟糟地堆在一起，就会获得具有各种指向的自旋构型，磁子激发就像噪声一样打乱了基态的磁有序背景，从而起到恢复SU(2)对称性的作用。
"
什么是Majorana Fermion?
http://www.zhibeifw.com/fjgc/fjykx_list.php?id=2327
对于一个封闭的物理系统，统计学上还有一条叫做细致平衡的规律，对于两个状态，当状态A发生时前往状态B的概率PAB一定等于当B发生时前往A的概率PBA。PAB的值和随机行走时的概率分布有关，即上述例子硬币正反面出现的概率。
4.2.1 对称破碎
4.2.2 混沌，碎形，复杂
4.2.3 微积分的缺陷
4.3.1 相空间上的刘维尔定律 (Louiville Theorem)
4.3.2 随机行走与细致平衡 (random walk & detailed balance)
4.3.3 熵和宇宙的起源
"Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2014-04-22 12:30:48
1. 呃，我的意思应该是可以测量的是基态的响应而不是基态本身，而基态的响应依靠激发来实现，如果一个基态上没有激发，你将几乎无法测量这个基态。我们之所以可以通过磁化来测量铁磁基态的原因是铁磁基态上有很多低能的激发。没有激发的基态是没有响应的，就像理想真空一样。
2. 因为Goldstone mode的定义就是恢复对称性的长波涨落，Goldstone定理只不过进一步指出对于连续对称破缺，这些恢复对称性的模式是没有能隙的。SDW 的Goldstone mode是磁子，CDW的Goldstone mode是声子。磁子恢复磁性对称性，声子恢复平移对称性。
3. 因为spin wave是激发不是基态。同样是有空间指向性，放在基态上就是对称破缺，而放在激发上就是对称恢复。任何单个的磁子都没有SU(2)对称性，真是因为如此，把许多磁子乱糟糟地堆在一起，就会获得具有各种指向的自旋构型，磁子激发就像噪声一样打乱了基态的磁有序背景，从而起到恢复SU(2)对称性的作用。
"
什么是Majorana Fermion?
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如何实现Majorana Fermion是现在凝聚态、原子光学等领域最火的一个方向。2011年APS March meeting有好几个会场都是和Majorana Fermion有关，当时很多人提出了各种模型号称可以观察到Majorana Fermion，在2012年APS March meeting就有好几个组报道了Majorana存在的证据。当然在我看来，有些结果可能是打酱油的。在这个领域里面， 有很多中国人在做，比如Fu Liang@Harvard, Yi Cui@Standford等等，其中Fu Liang的贡献最大。在国内Qi Kun Xue@Tsinghua做实验做得很好。我很佩服，因为Xue老师能够以最快的速度把握最前沿的研究方向。其实，国内的大学里面很牛的人很多，但是大部分都不能抓住前沿方向，自从回国以后就一直停留在自己以前做的方向，殊不知前沿的东西总是在变化，于是越做越艰难，越做越不能发好文章。当然这些是题外话，有感而发。这个领域进展神速，我差点就掉队了，不过幸好今年也做了几个个关于Majorana Fermion的理论工作，其中两个是半导体纳米线的，一个是冷原子的。不过每天浏览arxiv，基本上都可以看到关于Majorana的文章，有时候今天有了一个想法，明天就看到别人的文章贴出来了，想想，还是很惊心动魄的。
我们可以把任何一个Fermi子分解成实部和虚部
a = b + ic (Eq. 1)
其中, b, c为Majorana算子，而且满足 b+ = b, c+ = c, 这样我们可以证明{a, a+} = 1。 由于b, c也是Fermion，所以它们也满足{b, b+} =1, => b2 = 1/2， 类似的，{c, c+} =1, => c2 = 1/2。 其中1/2表示半个Fermion （half fermion)，不是一个完整的Fermion。这个想法很不得了，写出这个公式来，也就注定流芳百世。
Eq. 1的反解可以得到
b = a + a+, c = i (a - a+)
我们可以定义a = h+, 也就是说，利用电子-空穴关系，这样我们有
b = a + h, c = i(a - h)
这个结果表明，每个Majorana粒子包括了等权重的电子(particle)-空穴(hole). 所以总的电荷等于0.这也是为什么Majorana
Fermion最早用于描述中微子的原因。由于总的电荷等于0，所以它不应该耦合电磁场。
物理和数学的差别也就在此，对于做数学的人来说，Eq. 1也许意味这某种变换，但是对于做物理的人而言，Eq.1应该有具体的物理意义，或者说，b, c应该不是虚拟的，而是有可能存在的。这一找，到现在找了80年，还是没有找到。最近几年之所以特别火，是因为也许我们终于可以找到了。想想，Majorana已经去世80年了，但是大家还是不能忘记他的思想，而且从来不记。
这里我要讨论一下proximity effect. 这个效应最早是用于研究磁学性质的，后来用于研究超导的proximity effect. 当把一个超导体和半导体放在一起，超导的库珀对会隧穿到半导体中，其空间范围和相干长度差不对。一般来说相干长度为um量级，但是半导体纳米线或者纳米阱一般为20 nm左右，所以proximity effect可以被观察到。由于超导体和半导体的接触一般都非常复杂，至于其proximity effect到底如何，其实是很难简单说明白的。现在大部分人都还没有开始关注这个问题，以后肯定会有很多。我们注意到自从Andreev reflection提出来以后，现在有大量的人关注界面对Andreev reflection的影响，也有很多tight-binding的文章。随着实验的进展，在超导的proximity effect上也肯定有很多。我已经写了一个tight-binding的程序，以后可以做这个方面的计算。这个方法最好的地方是可以研究disorder对proximity effect的影响。
http://blog.sciencenet.cn/blog-709494-558639.html 此文来自科学网龚明博客，转载请注明出处。
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我们可以把任何一个Fermi子分解成实部和虚部
a = b + ic (Eq. 1)
其中, b, c为Majorana算子，而且满足 b+ = b, c+ = c, 这样我们可以证明{a, a+} = 1。 由于b, c也是Fermion，所以它们也满足{b, b+} =1, => b2 = 1/2， 类似的，{c, c+} =1, => c2 = 1/2。 其中1/2表示半个Fermion （half fermion)，不是一个完整的Fermion。这个想法很不得了，写出这个公式来，也就注定流芳百世。
Eq. 1的反解可以得到
b = a + a+, c = i (a - a+)
我们可以定义a = h+, 也就是说，利用电子-空穴关系，这样我们有
b = a + h, c = i(a - h)
这个结果表明，每个Majorana粒子包括了等权重的电子(particle)-空穴(hole). 所以总的电荷等于0.这也是为什么Majorana
Fermion最早用于描述中微子的原因。由于总的电荷等于0，所以它不应该耦合电磁场。
物理和数学的差别也就在此，对于做数学的人来说，Eq. 1也许意味这某种变换，但是对于做物理的人而言，Eq.1应该有具体的物理意义，或者说，b, c应该不是虚拟的，而是有可能存在的。这一找，到现在找了80年，还是没有找到。最近几年之所以特别火，是因为也许我们终于可以找到了。想想，Majorana已经去世80年了，但是大家还是不能忘记他的思想，而且从来不记。
这种half fermion在现实世界中很难找到，尤其是在固体物理框架下很难观察到（很抱歉我对粒子物理不是很熟悉，但是我估计固体物理中也很难，因为尽管Majorana提出它的模型是为了揭示中微子，但是好像失败了）。其原因大概有这几个。(1) 固体物理基本都是和电荷有关，而且是电荷守恒的(U(1) gauge invariant，所以耦合电磁波); (2）按照公式（Eq.1)分解的两个half Fermion由于很强的库伦相互作用，所以很快会复合成单个普通的Fermion。（3）系统必须在某种拓扑区域。在实际过程中，要满足第二个条件，要求系统是金属，这样电荷的屏蔽效益可以让电子变成短程相互作用。第一个条件要求破坏U(1)规范不变性，比如超导体。 超导体基本可以同时满足第一和第二两个条件，但是很难满足第三个条件。因为绝大部分材料是s-wave的，p-wave的很少(实验证明还很难)。Green和Read在2000年的PRB证明p-wave超导体可以观察到这种粒子，这个工作很有启发性，也激发了很多人对超导体的兴趣(大量的工作都和这个工作有关，包括anomalous Andreev reflection等等). 但是由于这种超导体很少，要观察到这种粒子看似遥遥无期，我不指望。但是从物理上来说，研究p-wave的拓扑相变曾经是物理中的研究热点，包括其在冷原子物理中的一些实现，以及可能的拓扑量子计算 (S. Darma, Freedman等人做了很多工作，2006 - 2008年S. Darma组发了很多PRL文章都和它有关).
既然很难实现，那么是否有其它可能的方法？这个进展一个很有趣的想法是自旋轨道耦合+s-wave超导等价于一个p-wave超导体。它又激发了大家一轮新的讨论, 从2010年到现在，大量的工作都和这个想法有关。Chuanwei Zhang@WSU在2008年首先在冷原子中意识到了这个关系，后来在2010年被他的同事(Jay D. Sau et al) 应用到纳米线中(利用了proximity effect, Liang Fu在里面做了很多工作). 需要注意这个关系其实Rashba等人早就意识到了，它做了一个坐标变化于是得到了single pairing和triplet pairing, 但是他没有把它和拓扑相变以及Majorana联系在一起，于是和这么重要的发现失之交臂，可惜可惜。
这里我要讨论一下proximity effect. 这个效应最早是用于研究磁学性质的，后来用于研究超导的proximity effect. 当把一个超导体和半导体放在一起，超导的库珀对会隧穿到半导体中，其空间范围和相干长度差不对。一般来说相干长度为um量级，但是半导体纳米线或者纳米阱一般为20 nm左右，所以proximity effect可以被观察到。由于超导体和半导体的接触一般都非常复杂，至于其proximity effect到底如何，其实是很难简单说明白的。现在大部分人都还没有开始关注这个问题，以后肯定会有很多。我们注意到自从Andreev reflection提出来以后，现在有大量的人关注界面对Andreev reflection的影响，也有很多tight-binding的文章。随着实验的进展，在超导的proximity effect上也肯定有很多。我已经写了一个tight-binding的程序，以后可以做这个方面的计算。这个方法最好的地方是可以研究disorder对proximity effect的影响。
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1 yangwencao
发表评论 评论 (4 个评论)
- [3]霍东明
- 龚老师，我想问一下，什么是Majorana Fermion零模呢？
- 博主回复(2014-12-25 09:42)：Majorana fermion has energy = 0, so it also called zero mode.
量子力学中动量的定义是单位距离积累的相位，而不是质量乘以速度
http://www.zhibeifw.com/fjgc/fjykx_list.php?id=2327
对于一个封闭的物理系统，统计学上还有一条叫做细致平衡的规律，对于两个状态，当状态A发生时前往状态B的概率PAB一定等于当B发生时前往A的概率PBA。PAB的值和随机行走时的概率分布有关，即上述例子硬币正反面出现的概率。
在数学上可以推导随机行走和细致平衡是统一的，但光看结论，也许可以引发一些决定非决定论的思考。通常人们当下的每个决定，是结合那个时候自身和环境种种因素而考虑的，如同硬币给球的启示。对于久远的过去，没有记忆；对于遥远的未来，也没有预测。但在无始无终的时间之流中，细致平衡似乎揭示了一个上下沉浮的相似流转。当经历事件A时，与之同行的事件B也必然会在某个时间出现
世界 你从何处来
作者：圆浩法师，原美国田纳西大学化学系博士后。
序言 为什么谈论世界观
我们对于生存的世界，以及自己本身的存在，多多少少都会有一个基本的见地。不论这个见地是怎么建立的，来自家庭熏陶，或学校教育，乃至整个人文环境的影响，更或者某次偶然的经历,一旦这个见地建立了，它将自然而然地渗透到种种日常行为当中，并指导生命中的任何重大决定，以及决定死亡时采取什么方式作最后的告别。这个基本的见地就是世界观。
佛陀曾告诉我们，在无明的支配下，人由各种情绪引发八万四千烦恼，最根本的烦恼可概括为十种。在这十大根本烦恼中，除了贪嗔痴慢疑，剩下五个都和见地有关。也就是说，如果在最根本的见地上出了问题，那烦恼就会像汹涌的波涛般无法止息。
那么，最根本的见地是什么呢？就是如何认识生命。到底该如何树立呢？这是个有关生命本质的疑问。一个很现实的问题是，人死之后，到底有没有来世？答案只有两种：或者生命随着肉体的消亡而消亡，或者生命将舍弃现有的肉体而继续流转。
这个问题具有现实意义的原因是，如果确信生命只有此世，人死如灯灭，那么就如同确信没有明天，大可今朝有酒今朝醉。所有的奋斗目标，只为了去追逐眼前的利益，而所有的理想楷模也只是此生圆满富足、功成名就的人。随之而来的还有两个信条：或者确信只要自己勤奋努力，一定会像他们一样；或者埋怨生长环境、人文环境，乃至社会体制等种种客观因素使自己的理想不能实现，自己的欲望不能满足。人们大多时候在这两个信条之间摇摆。很遗憾，世间大部分是这一类身心贫乏的人。
相反，如果确信有来世，生命将不断流转，那也如同确信有明天一样，现在做的事情不得不为明天考虑，就需要一个长远的计划来安排当下的生活。更重要的是，因为确定有来世，就必须去了解，生生世世的流转机理是什么？只有相应于这个机理，才能从现在开始，为一个美好的来世而努力。否则所作所为很可能把自己带入烦恼更加炽盛、痛苦更加不堪的来世。
因此，树立一个正确的世界观至关重要。特别在这个年代，自然、人为灾难频频发生，倘若还没来得及深挖我们的见地，就稀里糊涂死掉了，而恰好有个更加惨不忍睹的后世在迎接自己，那时的懊悔与恐怖必定会无法言喻。
１．轮回
轮回，梵语“流转”之意。转世之说不仅仅存在于印度的古老宗教，在中国，道教也承认转世，比如老子有八十一化。另外，在东汉、三国、六朝和唐朝的典籍里，都有转世之说的记载。
《太平广记》记载，一个叫刘三复的人，能记三生事。曾为马，伤蹄则心痛。转世为人，乘马至硗确之地必缓辔，有石必去。古希腊的哲学家也相信转世论，如柏拉图在《费多》和《理想国》里都有提及。据说毕达哥拉斯是第一位深入发展转世概念的哲学家。在古老的玛雅文明中，也阐述了死并不是人生的终点，只不过是新旅程的开始。
在以千万年为单位的无尽循环的历史长河中，玛雅人认识到生与死都如同朝露般短暂，并且他们相信依照生前的善和恶，死后会进入天堂或堕入地狱。现代盛行的天主教、基督教、伊斯兰教等，亦相信遵从上帝或真主的旨意行善，可以在死后前往上帝的天堂。
由此看来，除了近三百多年来伴随着工业革命、世界大战而兴起的现代科学，大部分宗教信仰是承认有来世的。其实在佛陀年代唯独有一个教派不承认来世，叫作顺世外道。据说诸位大智者、大成就者，都认为这种观点太下劣，而不会花太多篇章去破斥。当今时代科学所立足的基本见地，最接近于当年顺世外道的观点。
因此，本文接下来会先列举一些转世的证明，然后给出佛陀对于轮回的教言。最后再分析现代科学发展到今天，在描述世界和生命的真相这一至关重要的问题上，所遇到的种种局限和一些启示，以此来审思我们内心的见地，是否真正相合于真理。
２．现代的转世证明
对于任何一个现象，无论是科学或哲学命题，证明它不存在往往要比证明它存在困难千万倍。因为前者要把所有可能存在的情形逐个破除，而对于后者，只要寻找到一个实例，就算完成了存在的证明。对于转世或者生命不息的证明，从古至今已有很多公案，涉及到未成年人、成年人，宗教徒、非宗教徒，佛教徒、非佛教徒……大量实例不胜枚举。
堪布慈诚罗珠仁波切在《前世今生论》中举出的回忆前世的案例，全部都有当时的见证人，可以说是铁一般的事实，不容狡辩。而近代西方盛行的濒死体验，也客观地证明了肉身之外，还有一个叫做灵魂、意识、神识的，可感知的生命体存在，而且它曾经经历了或者正在踏上现存的肉身完全不可能跟随的旅途。
美国盖洛普(Gallup)公司在1992年的统计调查表明，仅在美国就有130万人有濒死体验的经历；德国2001年一次2000人的抽样调查表明，在本国人口中有濒死体验的比率是4%；而荷兰的一次长达13年的调查发现，344名心脏病猝发病人，从昏迷状态中清醒过来后，确定经历了濒死体验的有8~12%，其中有18%知道在他们被认定临床死亡后发生了什么事(Lancet, Dec 15, 2001)；另外，肯耐斯·瑞恩博士等人的研究更表明有大约35%的人，接近死亡时有濒死体验。
很多有濒死体验的人能精确描述，在他们临床死亡时，在感觉器官不起任何作用的情况下“看到”的周围事物。很少有人否定濒死体验的存在，即使是无神论者。海明威19岁在意大利前线的救护车队服役时，曾有过一次“灵魂离体”的经历。当时是1918年7月8日 的午夜时分，一枚弹片击中了海明威的双腿，使他身受重伤。事后他告诉他的朋友盖伊·希科说：“我觉得自己的灵魂从躯体内走了出来，就像拿着丝手帕的一角把它从口袋拉出来一样。丝手帕四处飘荡，最后终于回到老地方，进了口袋。”
德国伟大诗人歌德、法国批判现实主义作家莫泊桑、俄国19世纪著名作家陀思妥耶夫斯基、美国著名小说家爱伦坡、英国著名作家劳伦斯等，都曾有过类似的体验。他们认为：人的灵魂藏于肉体之内，而且是肉体完美的复制品，由极轻的东西组成，发光、半透明、十分适合于进行体外的活动，灵魂离开身体时，跟做梦差不多。
雷蒙·穆迪(Raymond Moody)博士在他的一本书《光亮之外》(The Light Beyond)提到了一个九岁女孩的濒死体验，她在一次阑尾手术中失去知觉，被抢救过来以后，她回忆道：“我听见他们说我的心跳停止了，我发现我飘在天花板上往下看，我从那儿可以看见所有的东西，然后我走到走廊上，我看见我妈妈在哭，我问她为什么要哭，但她听不见我，医生们认为我死了。然后一位美丽的女士走到我面前想帮助我，因为她知道我害怕。我们走过一条隧道，隧道又黑又长，我们走得很快，在隧道的尽头是很亮的光，我感觉非常愉快。”
目前有关濒死体验的科研论文、专著、网站层出不穷，比如濒死体验研究基金网站专门列出种种研究成果，并鼓励更多的人把自己的濒死体验发布在网站上。为了确保这些体验是真实经历而非凭空捏造，网站会要求发布者先填写一个一百问的调查试卷。《后世的证明》(Evidence of the Afterlife)一书正是基于这些素材而出版的。
濒死体验的种种证据给医学家、心理学家、物理学家和哲学家提出了许多具有挑战性的问题。如：人的灵魂是永存的吗？人的意识产生于大脑吗？人的善恶行为有记录有后果吗？人生的目的是什么？不管科学家怎么解释，绝大多数濒死体验经验者的世界观都发生了重大的变化，这是一个令人深思的现象。
３．佛陀的教言
“佛”就是觉悟的意思，就像从混乱的梦境中醒来一样，是完全的、绝对的、最究竟彻底的觉悟，因而也叫大觉。作为佛陀的追随者，相信前世后世之流转，以及轮回中因果不虚的法则，是佛陀证悟并开示于我们的最根本的见地，也即一个佛教徒的世界观。有了这个见地才能真正了知苦及苦因，从而生起出离轮回的意乐，趋入诸位智者证悟的道，乃至获得涅槃的大自在。
那么，当年佛陀是如何给世人证明前后世存在的？《楞严经》第二卷首段所记载的佛陀与波斯匿王的对话，很明确地回答了这个问题。
波斯匿王问佛：“我在未受佛教化之前，曾听说，此身死后，一切都断绝灭亡，即是无因无果，没有后世，这样就叫做不生不灭的涅槃法。我现在虽然遇到佛教化，但此心还有狐疑，是不是真的死后都没有了？怎样才能证明这个真心自性，确是不生不灭？”
佛对波斯匿王说：“你相信外道，死后断灭，但我不问你死后事，就问你现在之事。你这个肉身，是同金刚之坚固、永远不变坏，还是会腐朽变坏呢？”王答：“世尊，我这个肉身，终归会变坏毁灭的。”
佛说：“大王，你身还未曾变灭，怎能知道将来必定会变坏灭亡呢？”王答：“世尊，我这个无常而随时变坏的身体，现在虽然还没有变坏，但是当我仔细观察，现前的情形，是念念变迁，前念灭，后念生，如波浪一样，一波起，一波灭，时时刻刻都在变迁谢落。因此我坚决地相信，这无常变坏之身，一定会终归灭亡的。”
佛又对大王说：“你看到变化，迁移不停，就领悟到身体一定会灭亡。但在变迁的过程中，你能知道一个不生灭的自性存在吗？”王答：“我实在不知道。”佛说：“你既然不知道，我现在就指示你，这个不生灭的自性。”
佛再问：“你二十岁时，身体衰于十岁；乃至现在，随著年月的变迁，更加衰坏。但当你三岁的时候，看见恒河，到十三岁的时候，再看见恒河，它的水又怎样呢？”王答：“那河水还同我三岁的时候一样，直到现在，亦没有变样。”
佛再问：“你现在自悲衰老，发白面皱。但是你观看河水的见性，和童年时观看河水的见性，是否有童耄呢？是否有变动衰老呢？”王答：“世尊，一点都无变异。”
佛说：“你的身体面貌，虽然衰皱，但这个能见的见精自性，并未曾衰皱。所以知道，能变皱者才是变，见性不变，就不会皱。会变坏当然有生灭，那个不变坏的，自然无生灭。原无生灭的见性，云何会在你身中，受你能变之身一同生死呢？因此应该知道，能变之身虽坏，真性是常存的。为何要引彼诸外道，都说此身，死后完全灭亡呢？”
王听见佛所说，才相信此身死后不致断灭，只是舍这个生，而再趣别个生。这样他断灭的疑心终于被解除了。
４．科学的局限与启发
不幸的是，我们没有生在佛陀那个年代，或者确切地说，往昔我们没有依照佛陀的教导而觉悟，所以在如今这个纷繁复杂、五光十色的时代里，不得不再度思考我们的见地这个最基本的问题。毫无疑问，我们大多数人在所谓科学的熏陶下成长，并切身体验到科学带来的种种便利。很大一部分人以此觉得这个时代比古代优越多了，现代人通常会有这种相对于古人的傲慢。或者更近一点说，当我拿着iPad在机场登机时，肯定不愿意回到我的父辈那个在布满石头的小路上骑自行车颠簸的年代。
但与此相反，也让我们不得不面对的是，现代人的生活就像上紧的发条一样，已经失去了“采菊东篱下，悠然见南山”的悠闲，现代人的焦虑和压抑是古人无法想象的。这就是一个很现实的问题：科学到底会把我们带到哪里？
本文试图分析，科学发展到今天所面临的种种局限，以及对于如何建立世界观的一些启发。以下总体的分析思路，是以作者有限的知识为出发点，但其中提到的任何学术观点，都为科学界认可且有据可查。
4.1科学的见地或出发点
1972年，诺贝尔物理学奖得主安德森(P.W. Anderson)，结合另一位著名物理学家威斯科夫（V.F. Weisskopf)的观点，在《科学》杂志上发表了一篇文章 (More Is Different, Science, 177, 4047)，来阐述科学研究的基本出发点与实际的偏离。文中首先给出威斯科夫的观点：现代科学发展可明显分为两个趋势：深度研究和广度研究。
其中深度研究在于探索基础原理，比如核物理；而广度研究则是把已有的基础理论迅速应用于新的领域去解释未知现象或发展新应用，比如固态物理、等离子物理，乃至生物学，它们的理论基础源于核物理。
科学家或国家政府，往往在广度研究上比深度研究投入更多精力。安德森接着说，在人们的想象中似乎有这样的科学架构：从简单系统得到的理论知识可以应用于复杂系统。
比如对基础粒子的了知可以应用于多粒子系统，而多粒子系统的知识可应用于普通物理，再从普通物理到化学，从化学到分子生物学、细胞学，甚至最后推到心理学和社会学。这个过程在学术上叫归约化。
安德森根据自己的经验说，对基础粒子物理研究得越多，就越发现我们从中得到的理论，与其他科学或者社会学相关甚少，根本不能解决实际面临的问题。对于科学研究，当一个系统尺度变大后，它将又是一个全新的系统，有待于重新认识。马克思曾说，事物的发展是从量变到质变，这个过程用数学公式，很难跟踪或统一描述。
然而在过去一个世纪，科学确实建立了这种基本架构，试图用人类有限的基于简单系统的知识去研究复杂的自然和社会，甚至深广无边的宇宙。比如牛顿经典物理学、量子力学作为基础理论，代表了物理史上两个辉煌的时代，它们都试图用数学公式来描述地球和宇宙的基本法则，而且也确实使现代文明大大迈进。但至今让人争论不休的是：这些数学公式里并没有表达时间的不可逆性，也就是说，只要某种条件成立，经典和量子物理都允许时间回到过去，融化的雪人可以复原。这样的时间机器真的存在么？这仍然是现代科学要回答的问题。
威斯科夫还说过一句话，人类的存在基于两点：慈悲和知识。没有知识的慈悲是无用的，而没有慈悲的知识是非人道的。作者认为它恰如其分地表达了现代科学的迷茫。(Human existence is based upon two pillars: Compassion and knowledge. Compassion without knowledge is ineffective; knowledge without compassion is inhuman.)
4.2基础理论的缺失
对称破碎描述这样一种现象：当一个稳态系统接近极限点时，一个微小的，或者无限小的扰动会决定这个系统以后新的状态。理论上这个系统可产生的结果不唯一，它们具有对称性，但扰动只会促使一个结果出现，而这个结果是随机出现的，理论无法预测。
用日常生活来解释，在一个尖尖的山顶上放一个球，这时球具备对称性，但是它不稳定，突然一阵微风或者一声尖叫，球会掉落山底，于是对称性就被打碎了，因为它掉落的方向是单一的，随机不可预测。这个观察看上去很无聊，然而对称破碎在微观世界里很重要。因为量子力学遵循对称性，它给出量子化的能级和能级的叠加态，以及这些叠加态发生的概率，并确保可观测值的稳定性。
对称性破碎意味着某种程度上量子理论的失效。上述山顶的例子恰恰是用来解释某些粒子现象的，此山在数学上叫墨西哥帽势能(the Mexican hat potential)。
1957年李政道和杨振宁因发现在弱交互作用下对称破碎（宇称不守恒，parity，左右对称），并推测其为普遍性的基础科学原理，而获得诺贝尔奖。2008年诺贝尔物理学奖颁给了两位日本科学家和一位日裔美国籍科学家，因为他们发现了分别在强和弱的交互作用下对称性破碎的机理。这也恰恰说明目前科学仍在与对称性这一高深莫测的命题奋斗。
事实上，从目前人们可以认知事物的角度看，自然界很多奇特景象、美丽的图案，都可能是在对称性破碎的状态下随机出现的。甚至把一杯水烧开，或者凝结成冰，这个相变的过程也离不开对称性破碎。
如前所述，科学家试图从简单到复杂来研究这个世界，在对称性破碎这一事实前，这个见地失败了。我们或者承认这个世界有随机产生的可能，或者承认科学的缺失。当然科学家仍然在不辞辛苦地寻找出路。
对称性破碎不只限于微观世界，它在宏观世界也被广泛地研究。比如针对经济涨落或发展，有人推测为什么看上去宏观指标都相似的两个区域，最终也会发展成一个富有、一个落后。人们可以从各方面找原因，勤劳或懒惰，是否具备企业精神、地理因素、气候等等。但对称性破碎要传达的一个核心概念是，一个看似均一平等的状态，会因为看上去不相关因素的微小变化，而出现显著差异。从这点来说，很多经济学家建立数学模型的努力，也许是徒劳的。
佛陀早在两千多年前就教导我们，诸法因缘生，诸法因缘灭。在漫长的轮回中，因果丝毫不虚，如是因必得如是果。佛陀又告诫我们，即使是阿罗汉或者登地菩萨，想要洞彻种种前因后果，以他们的智慧也是不可能的，更何况凡夫。
佛陀虽然彻底了知世界上任何一个现象的缘起，包括孔雀的羽毛为何有若干颜色，一棵树上的叶子有多少……但他不会为弟子宣讲这些，因为与解脱无关。佛陀只会宣讲令众生从无明黑暗中觉醒的法门，而觉醒意味着显露我们本有的、无边的清净智慧。相反，如果背道而驰，随逐外境寻找实相，只会困在自己分别念的牢笼里无法出离。
这些仍然是遍及很多领域的现代科学名词，是科学理论发展中的重大障碍，但又与我们日常生活直接相关。近半个世纪以来，与对称性破碎类似，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但对其行径却无法加以预测。
美国数学家(Stephen Smale)发现某些物体的行径经过某种规则性变化后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的状态。这就是所谓的“混沌”。人们熟知的蝴蝶效应就是一个典型的混沌现象。
混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的影响。这个放大用数学公式描述，其速度通常是自然指数级的(exponential)。简单来说：混沌是科学不能准确估量的现象，但它存在于最简单的现象中。
“碎形”一词于1975年由曼德博(B.B Mandelbrot)提出，可以说是混沌现象在空间尺度的体现。碎形指一个粗糙或零碎的几何形状可以分成数个部分，且每一部分都（至少大略）是整体缩小尺寸的形状，这一相似的性质称为自相似。
自然界有许多现象属于碎形，比如雪花、海岸线、山脉，乃至一片树叶或者土壤的堆积。对于研究基础粒子的物理学家来说，原子本身就是碎形的体现：原子分成原子核和电子，原子核又分成质子和中子，又分到夸克，它们之间有很大的自相似。一个简单的数学方程没办法完全表达“碎形”，然而它又是如此简单的自然现象。
曼德博曾于1967年在《科学》杂志上发表文章，题为《不列颠的海岸线有多长？》，这是科学家研究“碎形”的一个经典代表(Science, 155, 636)。
你也许会惊讶，对于“复杂”这一现象，至今还没有统一的科学定义，因为这个现象对于科学家而言，远比混沌、碎形更加复杂。引用麻省理工学院一位理论物理学家(Michel Baranger)的描述如下：复杂系统里有很多不同的部分，它们互相依存；复杂系统有从大到小的不同尺度系统；复杂系统中混沌和非混沌并存同时发生作用；复杂系统的行为有涌现性和自组织性。
生物系统、人体、人类组织、社会、文化都是复杂这一现象的代表。比如人体，可分为头、四肢和躯体，再分出骨骼、肌肉、内脏、神经，又可分出不同的细胞，最后分到染色体、DNA、基因……任何一个尺度系统都不能用简单的理论表达。
简单的行走是一个涌现，因为它牵涉到全身；涌现行为在某种条件下，可改变或产生新的组织结构。事实上，整个自然就是在如此美妙地运作，但科学却远远落在了她的后面。人类建造出来的现代文明大都市，从自然的角度来看是多么的生硬和冷酷。
上述这些现象，虽然简单而自然，但基本上都颠覆了传统的科学概念，让我们认识到科学的理论架构有很大的缺失。这里试图从数学角度，来解释一下上述不足的原因。
无论经典力学或量子力学，它们的基础都是数学微积分，它们的表达形式在数学上相同，都叫二次偏微分方程。微积分的基础假设，是所研究的对象必须平滑连续。平面上一条看似很不规则的曲线，只要它是平滑连续的，都可用微分的概念，把它分成无数个小线段，每一个线段，可以用线性方程准确表达。
积分则是通过这些小线段，来求取相对于某条参照线而言这条曲线所覆盖的面积。这就是微积分在实际应用中的核心思想。相反，如果这条曲线不是平滑连续的，比如有很多不规整跳跃，微积分就失效了。
两百多年前微积分的建立，给科学家提供了强大有效的工具，来描述这个世界。它给人类社会带来了不可估量的作用，以至于人们很少去回顾连续平滑这个前提，直到混沌现象逐渐浮出水面，让科学家无法回避。
在微积分世界里，混沌有时被称作噪声(noise)而忽略。从另一个角度，混沌、碎形、复杂，都是无法线性化的现象，因为这些系统的本质是非线性。人体、自然界、宇宙，恰恰都是非线性系统。不应该说“恰恰”，而应当说，科学意欲把复杂系统线性化的想法，比较天真。这个时候我们或许可以引用米兰·昆德拉的名言：“人类一思索，上帝就发笑。因为人们愈思索，真理离他越远。”
也许你有这样的疑问：两百多年前的假设，为什么一直可以把它放在一边高枕无忧呢？物理学家不是不了解混沌，但从整个时代有限的眼光来看，微积分已经足够翻天覆地地改变人类生活，新科技层出不穷的应用甚至把人类送到月球。我们的五官已经来不及追踪时代环境的变迁，因此对于难以归约化的混沌，或许可以暂时不管。
正如前文所说，人们对广度研究往往要比深度研究更加重视。当我们对科学产生这样一种盲目而强大的自信后，它所带来的环境污染、生态破坏，以及臭氧洞出现，乃至种种现代心理疾病，也就不足为奇了。
4.3熵，热力学定律，统计力学
对基础理论科学做一番简单介绍后，还有必要谈一下统计力学(Statistical Mechanics)。
理论研究和统计力学，应该说是科学研究的左右手。对于上述复杂系统，基于理论的归约化公式无能为力时，概率统计就显得很必要。从微观世界到宏观社会，都可以从基本的统计原理展开研究。统计中的一个核心概念就是“熵”，表达系统的混沌状态，或者说相反于系统已知的信息量。
1865年，德国物理学家克劳修斯提出熵的概念，来描述系统热量改变相对于温度的商数。这时“熵”仅限于热力学的一个状态函数，而热力学是一门建立在实验基础上，研究热、功、内能等状态函数的学科。
比如烧开一杯水需要多少热量？蒸汽做功的效率有多大？对于封闭系统，热力学第一定律说能量守恒，第二定律说热量只会从高温传到低温，也即系统向熵增的方向发展，第三定律说温度趋近于绝对零度时，熵会趋于零，但这个状态基本不可能达到。
1877年，玻尔兹曼把熵引入统计力学，用来描述一个微观体系所有可能出现的状态数。比如扔一枚硬币，朝上的只有两种可能性，正面或背面，所以扔硬币这个系统的熵值正比于ln(2)(自然对数)。
在传统微观体系，考虑到每一个粒子在三维空间中的位置和速度，可能出现的状态数是无限的，由此也有了相空间的定义(phase space, 1901年提出)，描述一个高维次（N个粒子，维次至少为N^6）的抽象空间，包含一个给定系统所有可能出现状态。因此它本质上是个高维概率空间。这个空间上存在概率流，也就是系统某个时间的可能状态，随着时间在相空间里的迁流，从状态甲迁流到状态乙等。
对熵的重新定义被认为是统计力学的基础，以此对系统的宏观状态展开分析，会发现热力学与统计力学是一回事。热是无序的状态，热力学在描述系统有序和无序之间的变迁。
明白了熵的统计学内涵，人们更加意识到，熵增原理如同射出去的时间之箭，不可阻挡地统宰着我们这个现实世界，一杯热茶自然会变凉，人自然会变老，覆水难收，聚际必散，逝者不返。在现实中没有什么能超越熵增原理。
熵代表混沌，也即对某个系统的未知程度。从这个角度看，概率、熵、相空间，只是人们对于这个世界的主观认知。我们只选择自己可以解读的规律，然后把自己不能跟踪的信息丢掉。特别是在数值计算中，给它取了个名词叫噪音。那么由此出发，我们对世界认知了多少呢？
前面提到人们利用相空间来描述对于给定系统，某个时间下所有可能状态（概率密度）随着时间的迁流，刘维尔定律给出了迁流的原则，即概率密度的流动守恒。简单来说，在初始状态T0下系统有N个可能性，在相空间上是体积为V的一个集合体。换句话说，对于这个系统，我们仅了知T0时刻它一定存在于这个体积为V的集合内。
随着时间的推移，N个可能性会向不同的方向迁移，这个过程就像清水中的一滴墨水一样，不断扩散，直到均匀布满整个空间。结果使我们对于这个初始的系统再也无法了知，就好像原来认识的一个人逐渐隐没在茫茫人海中再也无法寻觅一样。这就是我们每时每刻所体验的熵增原理。
因此这个扩散的过程是一个无法追踪的混沌现象。但同时刘维尔定律又告诉我们，正如同那滴墨水，事实上这个系统并没有凭空消失或者增加，扩散到整个相空间后它的体积仍然是V，只是表面积无限增大了，超出了我们所能了知的范围。因此人们会对蝴蝶效应如此惊异，但事实就是如此。
由此想到了因果法则里的业力不空。不要忘记那滴墨水代表的是某个状态发生的可能性。佛陀说，当下每件事、每个念头，如果它的力量强大到可以积业，那么这个业力在久远的将来是不会空耗的，必然以不同的形式表现出来。
断见派或者某些禅定有限的宗派看不了前后这么久远的事，故否定了因果存在。作者个人的解读是：把当下造的业纳入那滴墨水，或者体积为V的集合体，刘维尔定律便隐射了在相空间中，这个状态将继续以不同的形式迁流下去，不会凭空消失。当然刘维尔无法跟踪每个状态的迁流轨迹，遍知的佛陀却可以。
在哲学上有决定论和非决定论。关于决定论，可以引用1814年的拉普拉斯信条(Laplace's demon)来说明：谁若知道某一刻所有的事实并对其分析，则所有控制世界的自然法则都会包含在一条公式中。对于智者来说，没有事物是含糊的，未来只会像过去般出现在他面前。当然科学发展到今天已经不会再承认这种观点，但在哲学上它仍然是决定论的一个代表。
叔本华是非决定论的一个代表。他曾说，大家都相信自己先天是完全自由的，甚至涵盖个人行动。但后天，从经验上，他会惊讶地发现自己并不自由，而是受制于必需品，而且尽管他有这样那样的决心，他终究无法依此改变自己的行为，而这就形成从他生命开始到结束的生活，他必须扮演自己谴责的角色。爱因斯坦说这个观点影响了他一生，使他更易于接受他人的那些令人烦恼的行为。
在计算机模拟中，人们通常用随机行走模拟一个粒子在格子空间(lattice space)上的轨迹，或者一条分子链在某个环境中的自然形状。简单来说可以这样解释随机行走：一个球沿一条直线运动，它只可能向前或向后，如果旁边有人投硬币，面朝上时球向前一步，面朝下时后退一步，球下一步的方向和之前的移动完全没关，即没有记忆，这就是一个随机行走的过程，在计算机模拟中发挥着很基础的作用。
但同时对于一个封闭的物理系统，统计学上还有一条叫做细致平衡的规律，对于两个状态，当状态A发生时前往状态B的概率PAB一定等于当B发生时前往A的概率PBA。PAB的值和随机行走时的概率分布有关，即上述例子硬币正反面出现的概率。
在数学上可以推导随机行走和细致平衡是统一的，但光看结论，也许可以引发一些决定非决定论的思考。通常人们当下的每个决定，是结合那个时候自身和环境种种因素而考虑的，如同硬币给球的启示。对于久远的过去，没有记忆；对于遥远的未来，也没有预测。但在无始无终的时间之流中，细致平衡似乎揭示了一个上下沉浮的相似流转。当经历事件A时，与之同行的事件B也必然会在某个时间出现。
放眼浩瀚宇宙，若它作为一个孤立系统，熵值不断增大，这个世界是如何起源的？宇宙大爆炸学说于1949年提出后，不断得到实验证明，已被科学界接受。
1951年教皇也声称，大爆炸理论和天主教的创世概念相符合。依照大爆炸理论推算，宇宙现在的寿命约是137亿年。但在熵增原理的前提下，如果宇宙由大爆炸而来，那么最初必然有个极低的熵值。对于宇宙诞生最早期的那一刻，人们还几乎一无所知。同时人们还疑惑，既然漫长的时间以来熵值不断增大，那么为什么我们如今观察到的仍然是一个秩序井然的宇宙？
剑桥大学教授Roger Penrose（The Road to Reality，《真实之路》，2004）猜测，这个低熵状态出现的概率是10-10^122，怎么可能出现呢？
一种观点认为，宇宙也许只是由于真空里能量波动而出现的，也就是从一无所有产生。这个概率似乎比大爆炸的概率更高。
还有观点认为宇宙总体是围绕平衡状态波动，熵值维持最大。但平衡状态中偶尔发生的波动会把系统带到一个熵值很低的状态，而人类推测的大爆炸，只是那个巨大波动所引发的瞬间现象。就像无边的大海，偶尔掀起一个巨大的浪花，大爆炸就在那个时候发生了，然后熵值开始持续增大，有了现在的我们。
一百多亿年过去了，这个波动仍然没有回归到平衡状态。其实，宇宙由随机波动而产生的观点，类似于19世纪麦克斯韦提出的假设。我们自身，以及我们所观察到的有序世界，都只不过是混沌的宇宙一次随机波动的结果。这一命题被称为麦克斯韦大脑。
当然，研究宇宙起源的科学家还有一个最关键的人择原则：我们观察到不可能存在宇宙，因为我们人类早已存在于这个世界了(We observe this very unlikely universe because the unlikely conditions are necessary for us to be here，Wikipedia)。
故而，既然我们存在，那么概率再小的事件也已然发生了。想象一下宇宙无边无际，时间也漫漫无尽，这个概率相对于我们基本上为零，但也许相对于宇宙还是可能实现的。似乎爱因斯坦过去也提起过，他说你恰好出生在这个时代而不是新石器时代或者古罗马时代的概率不需要去关心，因为你已经出生了。
上述观点，一方面表现了目前科学家对于人类自身存在的迷惑不解；另一方面，假设这些推断趋近于事实，回顾佛陀所说的人身暇满难得，如盲龟值轭，也许我们可以用科学家的勇气，想象一下人身难得的概率。
盲龟所在的海洋大如三千大千世界。一百年浮出水面一次的盲龟，恰好头伸入漂浮在海上的木轭孔的概率，远远比大爆炸低。佛陀是实语者，不会用一个夸张的例子来描述暇满，但是实际的可能性，远远小于我们分别念所能计算的概率，故只好用比喻说明。也正如科学家们所说，概率确实趋近于零，然而人类确实存活在这个星球上了。故而我们既然已经身为人，确实应该思维一下生命的何去何从。
５．结语
本文试图论述前后世的存在，却把重点放在了科学所面临的局限上。因为作者猜测同我一般的大众，若要认真思索和建立世界观，也许需要一定的科学来辅助探讨，毕竟从小到大，科学与我们的生活息息相关。
当然，依照佛陀的智慧，我们无需探索深广的宇宙，只观察当下这个念头的生灭，就足以洞察万法。比如宗萨仁波切在巴西宣讲入行论时，有人曾问这个世界怎么运作，人类是如何进化或发展的。仁波切反问了三个问题作为回答：
你看到的杯子和我看到的杯子是一个么？
在你不认识我之前，对你而言我存在么？
客体先于主体产生么？
很可惜，在科学知识的训练中，思维已经习惯了在外境中寻找二元对立，总有一个很自信的常识，在比较大小、长短、好坏、真假、美丑，等等。
但这完全不是指责或者嘲讽科学家的迷失。他们的勤奋、严谨、热情，以及坚持不懈的投入，具有颠覆精神的大胆猜想，并付诸行动，绝对值得任何人敬仰。在探索真理面前，无论宗教徒或非宗教徒，也许都需要这种勇于面对的大无畏精神吧。
作为结尾，权且再次引用昆德拉的话以自警、共勉。
人类一思索，上帝就发笑，
因为人们愈思索，真理离他越远。
因为人们从来就跟他想象中的自己不一样。
思考从来就不是阻碍自己进步的原因，
思考的目的在于找出自身的弱点并实践改进，
想太多而不做，或是不想而假装接受，
这才是上帝发笑的原因。
因为这种思考，
叫做自己骗自己。
６．回向致谢
但愿以此文之缘，作者和读者都能重新审视自己，所持的见地是否与真理相合，并扎根于心田坚不可摧。但愿轮回和因果的真理，渗透在每个人的心念中，成为行为取舍的智慧。但愿我们对未来无有恐惧和妄想，一心安住于证悟之道！
祈愿所有的众生都能圆满证悟佛陀般的智慧，获得最究竟的解脱。祈愿佛法智慧明灯永久住世，遣除众生的无边黑暗。
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A quantum mechanical model of adaptive mutation
Johnjoe McFadden a,*, Jim Al-Khalili b
a Molecular Microbiology Group, School of Biological Sciences, Uni6ersity of Surrey, Guildford, Surrey GU2 5XH, UK
b Department of Physics, Uni6ersity of Surrey, Guildford, Surrey GU2 5XH UK
Received 10 August 1998; accepted 15 January 1999
Abstract
The principle that mutations occur randomly with respect to the direction of evolutionary change has been
challenged by the phenomenon of adaptive mutations. There is currently no entirely satisfactory theory to account for
how a cell can selectively mutate certain genes in response to environmental signals. However, spontaneous mutations
are initiated by quantum events such as the shift of a single proton (hydrogen atom) from one site to an adjacent one.
We consider here the wave function describing the quantum state of the genome as being in a coherent linear
superposition of states describing both the shifted and unshifted protons. Quantum coherence will be destroyed by the
process of decoherence in which the quantum state of the genome becomes correlated (entangled) with its surroundings.
Using a very simple model we estimate the decoherence times for protons within DNA and demonstrate that quantum
coherence may be maintained for biological time-scales. Interaction of the coherent genome wave function with
environments containing utilisable substrate will induce rapid decoherence and thereby destroy the superposition of
mutant and non-mutant states. We show that this accelerated rate of decoherence may significantly increase the rate
of production of the mutated state. © 1999 Elsevier Science Ireland Ltd. All rights reserved.
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