多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变
尺度变换下具有不变性
自组织临界性的系统, 多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变, （Levy flights）的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识
phymath999: wilson 多个独立同分布随机变量序列经过适当 ...
phymath999.blogspot.com/2015/04/blog-post_62.html
轉為繁體網頁
2015年4月19日 - wilson 多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变, 尺度变换下具有不变性; 由于有两个主要 ...轉為繁體網頁
北京大学科学史与科学哲学中心» 分形之父芒德勃罗
hps.phil.pku.edu.cn/2003/06/673/
轉為繁體網頁
2003年6月1日 - 1）发现莱维（Paul Levy,1886—1971）稳定分布的重要性；2）用自相似 ... 莱维飞行（轉為繁體網頁
[PDF]一、 引言 - 物理
www.wuli.ac.cn/fileup/PDF/19840501.pdf
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
由 KG Wilson 著作 - 1984
1984年5月1日 - 渐转到1971一1972年论述重整化群的文章.最 .... 重整化群近似就是依次积分掉涨落， 从原子标. 度的涨 ..... 一M彻) 应按波包函数的@) 的集合来进行.负幂律分布 - 英语单词大全 - 911查询
danci.911cha.com › 英语单词大全
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
幂律分布的英文_幂律分布翻译_幂律分布英语怎么说_海词词典
dict.cn/幂律分布
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
主题：请教幂律分布与负指数分布的关系，以及长尾分布属于哪 ...
cos.name › ... › 讨论区 › 统计学世界 › 数理统计
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
负指数分布_百度百科
baike.baidu.com/view/1868401.htm
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
负幂律分布
负幂律分布 网络例句
1. It is proposed that the root cause of the power-law distribution function of scale of debris flow is the self-organized criticality underlying flowing together process.
首次提出泥石流规模的负幂律分布的产生的主要根源是汇流过程的自组织临界性。
2. Because the system that has self-organized criticality has two important tokens, those are a power-law frequency-area distribution and long correlation in temporal area.
由于自组织临界性的系统有两个主要表征，即在时间域上的负幂律分布和长程相关性。
3. By statistical computation we prove that the confluence process of Jiangjia Ravine obeys the power-law frequency-area distribution.
本文通过统计计算得到，蒋家沟泥石流汇流和流量过程在暴发频率与泥石流总径流量上服从负幂律分布。
4. By 2-D CA model simulation, we get simulative data. And we use statistical computation and relativity analysis for the first time. So we make the conclusion that the simulation system obeys the power-law frequency-area distribution by improved 2-D CA model.
通过改进的二维沙堆自动机模型的构建和模拟，本文得到了一系列模拟数据，并在此基础之上，首次通过统计计算和相关性分析，得到如下结论：(1)改进的二维沙堆自动机所模拟的系统在沙粒暴发频率对暴发规模的关系上服从负幂律分布。
5. The creative works of this dissertation are as follows: The general model of nonlinear economic systems is developed; The classification of nonlinear economic systems is introduced according to different standard; The statistical forecasting method for nonlinear economic systems is put forward; The statistical cycling theory of nonlinear economic systems is presented; The conditions for the emergence of the statistical cycling of the monopoly, oligopoly, non-complete competition and competition models are studied; The unified description for the formation mechanism of the power law, with negative exponent is obtained by using the fractal theory; The nonlinear formation mechanism of the income distribution is studied.
本文的创新之处在于：①建立了非线性经济系统的一般模型；②按不同的标准，对非线性经济系统进行了分类；③提出了非线性经济系统的统计预测方法；④提出了非线性经济系统的统计周期理论，⑤研究了完全垄断、寡头垄断、不完全竞争和完全竞争经济系统宏观状态出现统计周期性的条件；⑥用分形理论对负幂律分布的形成机制进行了统一描述；⑦研究了收入分布的非线性机制。
6. We find out that the relative importance has nothing to do with some basic statistical characteristics, such as volatility clustering, sharp peaks and fat tail distributions of stock yield. Both the investor clusters and stock absolute yield obey negative power law. The change of relative importance influences fractal feature of stock yields.
研究结果表明，变化的网络密度和股价波动状况权重系数，不影响股票收益率分布的非正态、尖峰厚尾和收益率波动聚集等特征；投资者集簇规模及股票绝对收益率呈负幂律分布；权重系数的变化会影响股票收益率的分形特征。
7. The general model and classification of nonlinear economic systems are introduced. Based on the general model, the micro mechanisms of macro states of discrete and continuous nonlinear economic systems are discussed respectively and some general conclusions are obtained. The analyses of monopoly, oligopoly, non-complete competition and competition models are made respectively by applying those conclusions. The conditions of coexistence of cooperation and competition and statistical cycling of macro states of nonlinear economic systems are discussed and the statistical forecasting method is introduced. Applying the conclusions, the coexistence of cooperation and competition on Internet is discussed. The power law with negative exponent is a quantitative description of the relation between the macro state and the micro mechanism. At last, using the fractal theory, the formation mechanisms of power law with negative exponent are studied and the conclusions are used on the analysis of income distribution.
首先建立了非线性经济系统的一般模型，并对非线性经济系统进行了分类，在此基础上分别对离散型和连续型非线性经济系统的宏观状态演化和微观机制的关系进行了探讨，得到了具有一般意义的结论，然后将这些结论应用于完全垄断、寡头垄断、不完全竞争和完全竞争经济系统的分析中，讨论了在非线性经济系统中竞争与合作共存、宏观状态出现统计周期性的条件，提出了非线性经济系统的统计预测方法，并将这些理论和方法初步应用于分析计算机互联网中竞争与合作共存的情形，负幂律分布是非线性经济系统宏观状态与微观机制关系的一种定量描述，在论文的最后，应用分形理论，研究了负幂律分布的形成机制，并将得到的结论应用到收入分布的分析之中。
首次提出泥石流规模的负幂律分布的产生的主要根源是汇流过程的自组织临界性。
2. Because the system that has self-organized criticality has two important tokens, those are a power-law frequency-area distribution and long correlation in temporal area.
由于自组织临界性的系统有两个主要表征，即在时间域上的负幂律分布和长程相关性。
3. By statistical computation we prove that the confluence process of Jiangjia Ravine obeys the power-law frequency-area distribution.
本文通过统计计算得到，蒋家沟泥石流汇流和流量过程在暴发频率与泥石流总径流量上服从负幂律分布。
4. By 2-D CA model simulation, we get simulative data. And we use statistical computation and relativity analysis for the first time. So we make the conclusion that the simulation system obeys the power-law frequency-area distribution by improved 2-D CA model.
通过改进的二维沙堆自动机模型的构建和模拟，本文得到了一系列模拟数据，并在此基础之上，首次通过统计计算和相关性分析，得到如下结论：(1)改进的二维沙堆自动机所模拟的系统在沙粒暴发频率对暴发规模的关系上服从负幂律分布。
5. The creative works of this dissertation are as follows: The general model of nonlinear economic systems is developed; The classification of nonlinear economic systems is introduced according to different standard; The statistical forecasting method for nonlinear economic systems is put forward; The statistical cycling theory of nonlinear economic systems is presented; The conditions for the emergence of the statistical cycling of the monopoly, oligopoly, non-complete competition and competition models are studied; The unified description for the formation mechanism of the power law, with negative exponent is obtained by using the fractal theory; The nonlinear formation mechanism of the income distribution is studied.
本文的创新之处在于：①建立了非线性经济系统的一般模型；②按不同的标准，对非线性经济系统进行了分类；③提出了非线性经济系统的统计预测方法；④提出了非线性经济系统的统计周期理论，⑤研究了完全垄断、寡头垄断、不完全竞争和完全竞争经济系统宏观状态出现统计周期性的条件；⑥用分形理论对负幂律分布的形成机制进行了统一描述；⑦研究了收入分布的非线性机制。
6. We find out that the relative importance has nothing to do with some basic statistical characteristics, such as volatility clustering, sharp peaks and fat tail distributions of stock yield. Both the investor clusters and stock absolute yield obey negative power law. The change of relative importance influences fractal feature of stock yields.
研究结果表明，变化的网络密度和股价波动状况权重系数，不影响股票收益率分布的非正态、尖峰厚尾和收益率波动聚集等特征；投资者集簇规模及股票绝对收益率呈负幂律分布；权重系数的变化会影响股票收益率的分形特征。
7. The general model and classification of nonlinear economic systems are introduced. Based on the general model, the micro mechanisms of macro states of discrete and continuous nonlinear economic systems are discussed respectively and some general conclusions are obtained. The analyses of monopoly, oligopoly, non-complete competition and competition models are made respectively by applying those conclusions. The conditions of coexistence of cooperation and competition and statistical cycling of macro states of nonlinear economic systems are discussed and the statistical forecasting method is introduced. Applying the conclusions, the coexistence of cooperation and competition on Internet is discussed. The power law with negative exponent is a quantitative description of the relation between the macro state and the micro mechanism. At last, using the fractal theory, the formation mechanisms of power law with negative exponent are studied and the conclusions are used on the analysis of income distribution.
首先建立了非线性经济系统的一般模型，并对非线性经济系统进行了分类，在此基础上分别对离散型和连续型非线性经济系统的宏观状态演化和微观机制的关系进行了探讨，得到了具有一般意义的结论，然后将这些结论应用于完全垄断、寡头垄断、不完全竞争和完全竞争经济系统的分析中，讨论了在非线性经济系统中竞争与合作共存、宏观状态出现统计周期性的条件，提出了非线性经济系统的统计预测方法，并将这些理论和方法初步应用于分析计算机互联网中竞争与合作共存的情形，负幂律分布是非线性经济系统宏观状态与微观机制关系的一种定量描述，在论文的最后，应用分形理论，研究了负幂律分布的形成机制，并将得到的结论应用到收入分布的分析之中。
分形之父芒德勃罗（3）
发布时间： 2013/5/24 10:10:43 被阅览数： 106 次 来源： 哲学网 |
| 4．进出经济学 现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文（也许会有几篇的出入），发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心的经济问题——收入分布以及与之有关的价格问题。据他本人讲，他对经济学中的帕累托（Vilfredo Pareto,1848—1923）分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开始了，然后在法国里尔大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非正统观点，但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。 芒德勃罗的经济学研究在经济学团体内引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽风头，经济学家受“混沌”的影响，间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，即使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的方面，也不相信芒氏的理论。 芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律（Pareto’s law）开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律（G.K.Zipf’s law）。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具有如下特点：收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。他当时认定收入分布对于人为干预是不变的。芒德勃罗的经济论文发表后，经济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需要微观证据。芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度， 而是收入分布的长时尾（fattai-ls）现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这样的“尾巴”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。 简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过程是稳定过程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢？这正是芒德勃罗急于思考的。 芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅凭这一点就值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳（Boyle）的气体模型一样，可能与实际有些差别， 但它是一种重要类型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想气体（id eal gas）模型没有价值，也不能说帕累托－莱维分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对他的反驳其实均不构成威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹（Edward Lorenz,1917—）的《确定性非周期流》一文（在非线性科学史上具有重要地位）也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久后就将莱维稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。 以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特定层次产生价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价格变化是随机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把不同层次统一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了它。但经济学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。 在研究股票价格变化中，芒氏极为反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬牛顿力学于经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理。 设X（t）为价格，logX（t）是独立增量过程，即logX（t＋d ）－logX（t）具有独立于d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首先要面对的是这种模型的奇怪性质（实际上这竟是他所期望的）。芒氏大胆地假设logx（t＋d ）－togx（t）“无穷方差”！他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无穷方差综合症”。具有反叛色彩的芒氏假定V＝∞自有他的考虑：“不用说，假定υ＝∞的成功后果是， “我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”于是后来提到的“英国海岸线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经有了基本结论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规划，以一种更直接、更通俗、更符合逻辑顺序（发现过程并不符合通常的逻辑）的方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。 到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评介，在此之前克拉克（P.Clark ）的博士论文以及后来的自回归条件异方差（ARCH）、广义自回归条件异方差（GARCH ）模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一个变化的二阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均（ARIMA ）的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关联积分算法求时间序列的分维数，用BDS统计（Brock—Dechert—Scheinkman 三人在关联积分的基础上发明的）检查经济系统中是否存在非线性结构。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥混沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论就是随机论”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者混沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路：由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上芒德勃罗采用的是一种类似统计物理／热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。 当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么？他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。 把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量 完备性 一阶近似 non-higher order Wiener cantor 费曼的路径积分 .kg wilson 通过delta函数保证我们取出连续的路径 保证我们取出真实的“路径”。格林函数和散射振幅 Feynman's path integral was an analytic continuation of sorts of the Wiener functional integral used in Brownian motion. qed: still 可交换 abelian group, vs. non 可交换abelian group gauge field theory 诱导度规是轨迹的函数 non-非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ... 张永德教授量子力学讲义 第十一章 .3 几种常见含时微扰的一阶近似计算 1, 常微扰 假定微扰H与时间无关，并且按体系特征时间 mn 1 ω尺度衡量，H是在足够长时间TT -,22 内加在系统上。这时，按上面一阶近似 [PDF]introduction to the path integral - Clarkson University
people.clarkson.edu/~lschulma/1988TriestePathIntegralLectures.pdf
by LS Schulman - Cited by 6 - Related articles
An overview of the major trends in the use of the path integral. ..... The important paths that contribute to Brownian motion—as in the Wiener integral, Eq ..... In any case, I would not be the least dissatisfied if by using the path integral formulation.
Kac who recognized around 1950 that Feynman's path integral was an
analytic continuation of sorts of the Wiener functional integral used in Brownian motion.
1. Measure theory, Wiener integral, etc.
2. Pseudomeasures and other approaches to the complex \measure" 3. Large Deviation techniques math01 费曼路径积分Wiener process - 热点讨论主题 - 文学城
bbs.wenxuecity.com › 论坛 › 音乐快递
2011年11月16日 - math01 费曼路径积分Wiener process ... episte.math.ntu.edu.tw/articles/mc/轉為繁體網頁 tw01 levy01 Brown01 運動與Lévy 泛函分析(下) - 费曼路径 ...
phymath999.blogspot.com/.../tw01-levy01-brown01-levy-... - 轉為繁體網頁
2014年1月17日 - www.math.sinica.edu.tw/math_media/d172/17207.pdf. 對於此種無限維分析學 ... math01 费曼路径积分Wiener process - 热点讨论主题- 文学城.非平衡统计动力学Ito积分. 数值积分. 是Wiener过程增量
phymath999.blogspot.com/2013/12/ito-wiener.html
2013年12月18日 - staff.ustc.edu.cn/~hzhlj/. ... phymath999: 【股價變動過程及Ito 定理】 Wiener Process的樣本路徑是. ... 的规范理论 · read01 路径积分积分变量—路径—本身是时空的函数，所以它是推广了的黎曼积分，即所谓的泛函积分. ... 这才是规范理论的初衷 · 费曼路径积分为什么在数学上不严格 · 铂金的主要用途是汽车的尾气 ...轉為繁體網頁 維納過程- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/维纳过程
數學中，維納過程（英語：Wiener process）是一種連續時間隨機過程，得名於諾伯特·
缺少字詞：
读书笔记- 人人小站
zhan.renren.com/takingnotes?page=7&from=pages
2012年1月2日 - http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/phy319/phy319/node72.html. # green函数. 2011 / . 年12 / ... 总结一下就是我觉得费曼的路径积分其实有两个tricky的地方. 1.轉為繁體網頁 科学网—我的诸多烂尾工程...之一- 王雄的博文 - 科学网—博客
blog.sciencenet.cn/blog-439941-695934.html
2013年6月2日 - https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/talk.pdf. The mystery of stochastic .... 3 进而和费曼路径积分的关系。。。 4 最终打通从薛定谔到波 ...轉為繁體網頁 [PDF]布朗运动理论一百年1)Search history function requires JavaScript. - Library of ...
las.sinica.edu.tw/search*chi/i?SEARCH=9789576938191
量子力學與路徑積分/ [美]R. P. 費曼, A.R.希布斯著; 張邦固,韋秀譯希布斯, A. R.([DOC]《Field Theory：A Modern Primer》评介 - 南开大学
www2.lib.nankai.edu.cn/.../《Field%20Theory：A%20Mo...
Lubos Motl评价本书时说到，读者可以从书中学到用费曼图计算格林函数和散射振幅的方法。标量Klein-Gordon场在最开始被用作一个教学事例，路径积分的思想贯穿 ...轉為繁體網頁
缺少字詞：
Table I. Some Trends in Path Integration
I. Asymptotics 1. Semiclassical (~!0) methods, chaos, chemical applications 2. Short wavelength approximation, Geometrical Theory of Di®raction 3. Instantons 4. Other large parameter situations including mean ¯eld theory (Range !1) and weak coupling approximations II. Getting rid of an in¯nite number of degrees of freedom 1. QED (photons) 2. Polarons (phonons) 3. Dissipation and quantum tunneling (phonons) 4. And on and on and on III. Inserting an in¯nite number of degrees of freedom 1. Uncompleting the square, Ising model as functional integral 2. Random potential distribution function IV. Renormalization and scaling 1. Partition function as functional integral V. Variational principles VI. Field theory 1. Analytic continuation, Euclidean quantum ¯eld theory 2. Bosons, Fermions and supersymmetry VII. Polymers VIII. Machine summation 1. Statistical mechanics, long time asymptotics 2. QCD IX. Topological considerations and curved space 1. Homotopy 2. Curvature, constrained systems 3. Relativity, spin 4. Operator ordering X. Grassmann variables 1. Fermions 2. Combinatorial applications XI. Exact Solutions XII. Mathematical 1. Measure theory, Wiener integral, etc. 2. Pseudomeasures and other approaches 为什么路径积分中只是研究连续的路径
在做路径积分的时候，总是默认我们选出的是一条连续的路径。我上次听过一次这种说法：“从无限条路径中取出一条连续的路径跟从实数轴上取出一个有理数的概率一样，都是零，为什么不去研究处处不连续的路径呢？所以我只能认为这是一个假设。”当时是在开组会，貌似大家也没有什么反对意见。
可是今天我看sakurai的时候觉得不是这样的，有一个东西保证了我们取路径的时候总是能取到一条连续的路径。  于是路径积分中的<xj tj|xi ti>就同propagator联系起来了，而propagator有两个很简单的性质  这里关心第二个性质就行了，注意这是个取极限的过程，所以保证了K是连续的。而回到路径积分，这就说明我们取出的路径是连续的。 说的更直白一点，我们有  （2.5.43是Heisenberg picture下，同一时刻的时候，位置基矢必须正交的要求）如果tn趋向tn-1时，xn不等于xn-1，那么这条路径对应的积分就是零。 总结一下就是我觉得费曼的路径积分其实有两个tricky的地方 1.通过delta函数保证我们取出连续的路径 2.通过  这个条件保证我们取出真实的“路径”。 "物理"对应"数学"名词词典 zz from 繁星客栈 作者 季候风
季候风：
有时候物理理论和数学理论研究类似的对象, 但是由于各自独立的发展, 所使用的术语有很大的差别; 有时候物理学家先发展了一些理论, 数学家从中找到一些有趣的结构加以进一步研究; 有时候物理学家发现他们的理论可以用来解释一些神秘的数学现象和令人困惑的数学理论......以下这个 "词典" 就试图部分总结一下以上提到的这几种 "物理/数学 对偶", 抛砖引玉, 欢迎补充. 经典力学 <----> 辛几何 位形空间 / 微分流形 相空间 / 余切丛 Hamilton 正则方程 / 辛梯度场 运动方程的解 / Hamilton 流动 正则变换 / 辛同胚, Lagrange 子流形 Hamilton-Jacobi 方法 / 等值面极化 狭义相对论 <----> 群表示论 标量 / SO(3,1) 的平凡表示空间中的元素 矢量 / SO(3,1) 的定义表示空间中的元素 张量 / SO(3,1) 的定义表示空间及其对偶的张量积中的元素 旋量 / SL(2,C) 的二维不可约表示空间及其对偶的张量积中的元素 量子论 <----> 泛函分析 右矢 / Hilbert 空间的元素 左矢 / 对偶空间的元素 算符 / 算子 共轭算符 / 伴随算子 算符作用于左矢 / 对偶算子 Hermite 算符 / 自伴算子 本征值 / 谱点 离散本征值 / 点谱 连续本征值 / 连续谱 算子微积 / Gelfand 表示 delta 函数 / delta 泛函 位移算符 / 空间平移群的酉表示的无穷小生成元 时间演化 / 酉算子群 Schrodinger 方程 / Stone 定理 表象 / Hilbert 空间的形式及正交基的选取 表象变换 / Hilbert 空间同构 Schrodinger 表象 / Stone-von Neumann 定理 路径积分 / Wiener 测度 规范场论 <----> 纤维丛的几何 场 / 丛的截面 整体对称性(规范群) / 纤维空间的自同构群 规范对称性 / 丛的自同构群 规范势 / 主丛上的联络 规范力 / 联络的曲率 规范荷 / 规范群的表示 带荷的物质场 / 规范群表示从主丛诱导的向量丛的截面 协变导数 / 主丛上的联络诱导的向量丛上的联络 规范 / 局部平凡化 规范不变的 / 丛上整体定义的, 或者在丛的自同构下不变的 Maxwell 方程组 / Hodge 理论 弦论 <----> 拓扑学? 几何学? 新拓扑学? 新数学? 非线性 sigma 模型 / Morse理论, Floer理论, Gromov-Witten 理论 拓扑弦 / 低维流形不变量 ( Khovanov-Rozansky, Jones-Witten, ...), Langlands 猜想(?) B-场 / 扭曲 K-理论 共形场论 / 魔群, 月光模 拓扑共形场论 / 弦拓扑(?) ??? 量子场论 <----> 低维拓扑 Abel群 Chern-Simons 场论 / 链接数, 挠数 超对称量子场论 / Donaldson 不变量 紧群 Chern-Simons 场论 / Jones-Drinfeld 不变量 微扰 Chern-Simons 场论 / Vassiliev 不变量 3维引力 / 双曲几何 Liouville 共形场论 / Teichmuller 理论 N=2 超对称量子场论 / Seiberg-Witten 不变量 N=4 超对称量子场论 / 几何 Langlands 计划 在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”①
德国数学家高斯(Gauss, Johann Karl Freidrich1777～1855）从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何理论。他在曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式
ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2
其中g11，g12，g21，g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。
爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表面引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的局域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在1912年3月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，乃至决定着它的度规的规律。
高级微观经济学 - 第 32 頁 - Google 圖書結果
https://books.google.com.hk/books?isbn=7302041717 - 轉為繁體網頁
武康平 - 2001 - Microeconomics
二、价格的表示(一)价格向量我们首先考虑有限维经济中商品价格的表示问题。设商品空间为 R ' ,用九表示一个单位商品 i 所能交换的货币量,则角就是商品 i 的价格( i"在此之前，我们不妨先看一下时空、引力和物质之间的关系，我这里说保守的说法：时空有其固有的几何结构，就是我们常说的Lorentz群结构，如果不考虑物质的影响，我们可以称之为纯度规场；引力有来源，是物质的能量动量张量，引力的来源的张量要求其实已经表达了这样一个意思，就是物质场和纯度规场的耦合，或者换句话说，我们写出的表述物质的Lagrangian被要求是广义协变的。在爱因斯坦引力理论里面，时空、引力和物质就是这样的一种联系，物质就是物质，时空就是时空，相比粒子物理的规范相互作用，引力理论中所谓的规范相互作用（物质场和纯度规场的所谓耦合），很不相同，从这个角度看，我本人认为，引力理论不存在被要求实现量子化的条件。所以，跳出这个话题，如果你问暗物质是否会影响时空几何结构？那么答案应该是明显的，时空的几何结构不会被物质所影响，只不过能够表现出来物质的引力效应" 2014年12月12日 - sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ... 荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 11:23:37 可能是因爲度槼是決定時空性質的唯一物理量，所以，應該對度槼求變分。再者，愛因斯坦方程就是關於度槼的二階方程。 我遇到過這種情況。給出電磁場張量和對應的拉氏量，用變分法求出麥克斯韋方程組。如果對協變的四矢求變分，非常好算且能得到麥克斯韋方程。但是，若是對逆變四矢求變分，非常複雜；我沒認真算，但是，我估計得不到麥克斯韋方程。 正確的是：麥克斯韋方程組是一樣的，能動量張量可能不一樣。繼續驗証中 那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度 那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度规函数，可以跟观测对比，取得合理的形式。 在引力理论里面，把作用量看做度规的协变还是逆变形式的泛函，对于正统的 GR 来说没有区别 求问，有关微分几何_相对论吧_百度贴吧
tieba.baidu.com/p/2453906058 - 轉為繁體網頁
度规的意义_百度文库
wenku.baidu.com/view/528ffc1da300a6c30c229fec.html
轉為繁體網頁 "度規求导数" 愛因斯坦-希爾伯特作用量- 維基百科，自由的百科全書
zh.wikipedia.org/zh-hk/爱因斯坦-希尔伯特作用量
sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有 ...
phymath999.blogspot.com/.../sr01-gr01-killing-motion.ht...
轉為繁體網頁 求问，有关微分几何_相对论吧_百度贴吧
tieba.baidu.com/p/2453906058 - 轉為繁體網頁
度规的意义_百度文库
wenku.baidu.com/view/528ffc1da300a6c30c229fec.html
轉為繁體網頁 科学网—大理石和木头- 王雄的博文 - 科学网—博客
blog.sciencenet.cn/blog-439941-716575.html
轉為繁體網頁 [DOC]度规的意义 - 教育数学会
www.emath.cn/ytdg.doc
轉為繁體網頁 【揭秘】从爱因斯坦场方程说起/ databit / 第6页-[天涯] - 贴库网
www.tieku001.com › 天涯 › 煮酒论史
轉為繁體網頁 对谁做变分[误] - 豆瓣
www.douban.com/group/topic/29311922/
轉為繁體網頁
豆瓣小组
对谁做变分[误] 来自: 编程的章鱼喵(=L=~=M=) 2012-05-01 13:08:30
这种问法是不对的。正确的问法应该是，作用量看作不同函数的泛函的时候，如何如何。只要知道了正确的问法，答案就立刻出来了。
---------------------------------------------- 一个作用量 S[phi, u, t, metric, ...]，其中 phi 是个标量场，u 是个矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。 在变分原理里面，如果想对一个作用量做变分，求极值。那么到底该对哪个量做变分呢？ GR 里面一般是对 metric 变分的，QFT 里面一般是对基本场做变分的，那么如果是这么复杂的作用量，应该对谁做变分呢？ 对不同的量做变分不太等价，GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价，有些情况下就不等价了。 广义相对论引起的科学思想革命
||
自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是： 1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。 从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。 出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。 2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。 引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。 从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。 3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。 具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。 由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。 从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。 这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。 如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。 如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。 如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。 如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。 现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。 无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的 21世纪之后的数学会是什么样子（1）
|
21世纪之后的数学会是什么样子（1）
数学作为人类文明史上最耀眼的思想成就之一，影响着人类社会的方方面面。如果在古希腊几何学与代数学的诞生可以看作数学的萌芽，那么17世纪分析学的诞生则预示着数学真正成长起来了。不过，在任何时代来看，数学都绝非真正可以做到成熟与完备。“无穷大”这一概念自分析学出现以来，就一直迷惑着每一位顶尖的数学家。这使得妄图以康托尔集合论统一整个数学体系的希尔伯特不得不以沉重的失败而告终。或许，数学本身正如庞加莱所深刻的指出那样，是“直觉主义”的产物。
但如果真如希尔伯特所妄想的那样——数学是“逻辑主义”的产物，我们将不得不追溯数学定义本身的合理性。为了更清晰的表达我的思想，我下面以“几何学”为例。
众所周知，“点”、“线”这种最基本的数学对象是被欧几里得所定义的。在欧几里得看来，“点”被定义为“没有大小的几何体”。但是现实的世界中，我们所观测的“点”都是有大小。这就出现了一个很大的问题，几何学所描述的几何对象与现实中的几何体是有偏差的。正因为这样，妥协性的说辞——“近似性描述”成为几何学自洽于现实几何的一个解释。
比如，相对于宏观世界而言，电子就可以被近似的看作一个“点”。而庞加莱关于电子自能的计算表明，如果电子真的是一个体积为0的点，那么电子的能量将趋于无穷大。这意味着，在经典物理来看，点状的物体是无意义的，这也被认为是“点模型”的缺陷。
后来量子力学出现了，电子被“忽略内部结构”而被看作一个量子，它的能量由众所周知的普朗克公式所描述。人们以为在量子论的范围内，所谓的“点模型”缺陷将不复存在。但是随着量子电动力学的出现，人们突然发现电子自能仍旧是发散。解决发散的办法是一种被称之为“重整化”的方法。重整化方法要求物理理论在任意标度的动量空间来看，都是“自相似”的；这就为“Wilson分数维空间量子场论”和“维数正规化方法”的出现给出了暗示。因为自相似本身暗示了“分形”，而分形往往是分数维的几何体。
现在我们可以回到“点”的问题了。大家知道，从高维空间来看，低维空间几何体的体积是0。比如，在1维空间看来，点的“长度”为0。但是，值得注意的是，这并不意味着“点”的长度在0.5维空间也为0。“康托尔三分集”强烈的暗示了这一点。因此，如果电子的体积本身是在小于4维（例如3.99维）的时空才是有意义的，那么我们就可以非常自然的理解重整化方法所要求的分数维时空的意义。
正像“分形之父”曼德布罗特所指出的那样，大自然的任何几何体实际上是分形，分形比欧氏几何更加接近现实世界。欧氏几何在分析学的基础上发展了整数维曲线的微积分理论；但是分形几何在分析学的基础上却还没有一个相应的微积分理论。确实，我们还没有一个适用于分数维曲线的微积分理论，尽管不成熟的分数维积分技术已经被用于量子电动力学的重整化方法。
顺应量子场论自洽性的需要，分数维曲线的微积分理论必将是21世纪之后数学发展的基石。从数学史的规律来看，几何分析学从整数维空间向分数维空间过渡也是大势所趋。
http://blog.sciencenet.cn/blog-1253715-770652.html 此文来自科学网陶勇博客，转载请注明出处。 上一篇：[转载]谈谈开放性收费SCI期刊的一点好处 下一篇：十年科研工作总结 0该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (1 个评论)
|
怎么我们感兴趣的东西都相似呢？ 呵呵，你怎么没有学物理，而却学经济去了哈。
No comments:
Post a Comment