2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上
PPT]第十四章达朗贝尔原理
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二、质点的达朗贝尔原理. 将惯性力引入牛顿第二定律中得：. －－质点的达朗贝尔
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第三章、最小作用量原理
(一）
把物理学和力学联系在一起的相对性原理，守恒原理不同于把物理学从力学中分离出来的不可逆原理。它们都有长久的历史准备。这些原理很久以来或是以某种很特殊的形式。或是完全相反是以很一般的，并且甚至是模糊的形式为人们所知晓。这就是下面要讨论的变分原理。[1]
表征实际发生过程的某个量的最小值的概念最早是在运用于各别现象，即光的反射而被提出来的，海仑·阿列克山德里斯基说过：光的反射定律可以从最短光程条件得出来.光速在反射时也不变,因此最短光程就对应着最短时间。这一要求是普遍适用的。并且由此还可以得到折射定律。1662年费马根据以后称之为费马原理的最短时间原理求出折射定律。如果光速u在点A和B之间的路径上连续变化，费马原理就可以表示为要求速度的倒数沿路径积分，即：
在力学中类似于费马原理的原理到十八世纪才为人所知晓。但是最早提出这个原理差不多和费马同时，1669年莱布尼茨在意大利旅行时写了一篇研究动力学基本问题的论文。这篇论文过了廿年之后才发表[2]。在此论文中引入了作用量（《actio formalis》）这一概念，即质量速度和路径长度的乘积。而路径长度等于速度和时间之积，因此作用量同样确定为质量，速度平方和时间的乘积，即活力乘上时间。在一封信中（但其真实性曾遭到怀疑）莱布尼茨写道，当物体运动时，作用量通常取极大或极小值。[3]
过了若干年到，1744年莫培督提出了把最小作用量作为运动和平衡的普遍规律的主张。当他写到“作用量”时是把一专门术语理解为质量，速度和物体所通过的路径的积。物体将以使其作用量为最小的方式运动；当物体的微小运动是以最小作用量为特征时物体就达到平衡状态。就十八世纪的情况来说莫培督的著作挑起了前所未有的激烈的争论。靠牛顿力学支持的、单一的、因果联系的观念此时已经被纳入反对神学教义的思想斗争的武库之中。而在力学里面，根据目的论的原则，或是至少根据被赋予目的论式原则推出力学规律的观念也表现出来了。莫培督不但赋予最小作用量原理以目的论的形式，而且还有目的论的色彩。他主张，如此合乎目的组建起来的整个自然界可以用证实了“造物主的存在和智慧”这一目的唯一原则来解释。达朗贝尔在《百科全书》中用一系列论文回答了莫培督，而伏尔泰则是用机敏的，辛辣的抨击短文回答了他。许多人都卷入到这一争论之中。追随百科全书派的思想家们嘲笑莫培督的目的的概念。欧拉总的说来是不愿意在科学问题的论文中引入宗教动机，但是这时作为一个反对自由思想的宗教卫士，在这场思想战线的斗争中，确实是以某种修正意见参加到莫培督这一方。但是，在莫培督的著作中还有不久后欧拉发表的最小作用量定律所表现出来的更深刻更完善的研究工作中的真正思想很快就撑破了本来为宗教辩护的目的论的外壳。
由于所受神学教育的原因，本来在一定程度上支持莫培督的欧拉在那时却为消除最小作用量原理的神学色彩而作了许多工作，这也就是欧拉对最小作用原理所进行的研究是同建立变分计算联系在一起的。
在1696年，由约翰·伯努利提出并解决的最速落径问题对于变分计算的形成过程有着特别重要的意义。在点M1和M2之间可能有无数条曲线通过。在这些曲线中有一条曲线具有以下性质：一个质点在其重力作用下从M1到M2沿着这条曲线运动时可以比沿着另外的任何一条曲线都更快地达到终点。通过M1和M2的每一条曲线都对应着连续的和连续可微的函数y=f(x)。质点在重力作用下从M1运动到M2的时间将等于某个积分T。这就需要从一切可能的函数f(x)中选择出那样一种使得积分T取最小值的函数。
在解决最速落径问题的时候，伯努利同时还指明了解决类似问题的一般方法，其中有一个就是所谓等同问题。这个问题要求找到某一种封闭曲线，一方面曲线长度保持不变，另一方面还要使由此曲线所限制的面积取极大或极小传值。对这种情况，伯努利提出了一个原理。照这个原理来说，倘若曲线提供了极大值或极小值，那么曲线的每一个无限小的部分也同样具有这一特性。这个原理没有普遍义，在许多情况之下曲线并不具有上述质。可是由于注意到伯努利提出的原理在被证实为正确时的那些条件，这就使欧拉在阐述最小作用量原理上迈出了十分重要的一步。莫培督研究了物体所通过的所有的路径，欧拉由于注意到路径元同样可以给出作用量的极大值或极小值，他研究了这样的路径之后就在其方程中以路径元ds代替有限路径了。1697年，约翰·伯努利又推出一个求最小值的问题，即导出任意曲面上的给定两点间的最短程线问题。在解决此问题时，伯努利得到了用于确定测地线的一些主要的结果，他还建议欧拉去研究这一问题。在十八世纪二十年代末到三十年代，欧拉多次致力于变分计算领域内的工作。1744年发表了欧拉的名著《求具有极大值或极小值或是在更广泛的意义上来说，解决等周问题的方法》[4]欧拉把一篇不长的论文安置在附录工之中，这篇论《用极大值和极小值的方法确定在没有阻力的介质中抛体运动的问题》，他在此论文中指出，当物体在向心力的作用下，从点A以速度v运动到点B时它将描绘出某个轨迹，该轨迹对应于积分 
的极大值或极小值。
的极大值或极小值。
欧拉注意到由他所简单阐述的原理只是在适用于活力定律的情况下才能应用。相反，莫培督认为作用量的最小数量原理比活力定律更广泛。但是在欧拉的论文中，最小作用原理获得了比莫培督原理为普遍的特微，莫培督只是研究了有限的并且是间断的速度变化。与此相反，欧拉根据最小作用量原理可以得到轨迹的微分方程，这样一来最小作用量原理就可以用于连续运动的情况了。总之，在欧拉的工作之后，莫培督的研究只有历史上的意义，这样说并不过分。欧拉解决了一系列关于抛体运动的问题，并且使问题的条件进一步复杂，从研究均匀的重力场开始，接是高度函数的场；还有两个相互垂直的力对物体的作用等等。欧拉总的结论是在介质无阻力时最小作用原理具有普遍意义。这个原理不仅关系到单个物体，而且也关系到若干物体构成的体系。
欧拉的这种观念在比他年轻的同代人拉格朗日那里得到了充分的发展。在把力学变成了纯粹的数学分析的学科之后，拉格朗日还把使人惊叹的数学上优雅完美的特点赋于力学。这时应该说一说这个概念的内容和意义，所谓完美就是解的普遍性。然而优雅完美的准则对数学科学而言决非最重要的，无怪乎波尔茨曼曾经说过“裁缝和鞋匠也要保持优雅完美”。就在力学中，当力学为超出力学本身范围的规律创造出一种形式化的工具的时候，在这种时期，力学的完善优美的准则曾起到特别重要的历史作用。此时由于数学上的完美性、普遍性，因而无须动用力学和几何学的概念就可以把已经建立起来的数学分析的关系推广到一些新观象的范围里去。
还在1760——1761年的两篇研究最小作用量原理的论文中，拉格朗日就把欧拉的结果作了推广。无论欧拉对于把最小作用原理推广到多个质点之可能的见解如何，在他的著作中，这个原理还是针对一个质点来进行的。拉格朗日把这一原理推广到具有质量mi的n个质点的任意系统。这些质点彼此之间以任意方式处于和距离的任意次幂成正比的有心力的作用之下。在这种情况下，系统的运动由取和式的极大或极小值条件所决定。 即:
拉格朗日引入的所谓等能变分的概念很重要，也很富于成效。问题的实质是拉格朗日从活力守衡原理出发导出了最小作用量原理。他比较了连接点Ａ，Ｂ的满足能量守衡要求（E=const.）的轨迹，并得到以下结论；对应于量
取极小值的轨迹，将是那些轨迹中的真实轨迹。在一般情况下，当总能量E=T+U相同时，质点将以不同的时间间隔通过A，B之间的空间路径。在空间中不同地点的势能一般来说是不同的，因而在总动能量Ｅ不变时动能应当发生变化，也就是说质点速度要发生变化。不同的速度也就意味着质点从Ａ移动到Ｂ所需要的时间间隔不同。倘若在质点上没有力的作用，则问题就变成确定质点在恒定的速度下用最短的时间所走过的空间路径。显然，这个路径将是直线。在拉格朗日所赋予的那种形式下的最小作用量原理可以认为是力学的根本原理。它不仅以要求某种积分不变的条件限制质点或质点系的运动，而且还以单值的形式指出了在已知初始条件时系统和质点实际上要如何运动。能量守恒原理所指出的只是什么样的运动是可能的。在物体运动的每一种情况下能量守恒原理都能得到一个方程，然而一个方程是不能单值地决定实际的运动。为此有多少表证运动的独立坐标就需要有多少方程，比如确定自由质点的运动就需要三个方程。最小作用量原理却提供了必要数量的方程。在提出极大或极小值问题之后就为每个独坐标提供了其所特有的方程。最小作用量原理以其积分的特征而区别于另外一些变分原理。它所研究的不是表征各个点运动的这样一些所谓运动的微分属性，如在某点的速度等，而是研究表征在一个有限区间隔上的沿着某个路经积分来量度的运动的属性。由此可见在变分问题的公式中所以不包含点的坐标。从数量中来说，上述间隔和点的坐标无关，并且是坐标变换不变量。因此最小作用量原理所表征的是与坐标系的选择无关的运动。
莫培督和欧拉的量小作用量原理的特征就是这样一种情况，可是他们并没有明确地认识到初始条件在单值地确定质点或系统运动时所起的作用，在拉格朗日所提出的量小作用原理的公式中，初始条件的意义是十分明显的。
拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力学方程得到推论，同时反对把它当成是宇宙间的普遍原理的观念。这一情况是同他对先验论的思想体系的敌对的态度联系在一起的。拉格朗日对待力学，特别是对最小作用量原理所持的态度就同他对待微分计算（原理）一样。马克思在说到拉格朗日时这样写道：“…至于说到纯粹分析，拉格朗日事实上摆脱了牛顿的流数，莱布尼茨的各阶无限小量，消失量的极限理论，作为微分量系数的符号的 0/0=dy/dx 等等中的所有那些在他看来是形而上学的先验的东西。”[5]
拉格朗日彻底抛弃了对最小作用量原理的形而上学的认识，并把它解释为纯力学的原理。而且因为在拉格朗日那里，力学是变分问题的一个特殊阶段，这样，原理就好象完全被形式化了。对原理加以形式化是扩展其物理内涵的条件。拉格朗日的分析力学的概念和方法，首先是广义坐标法，其总的历史作用也正体现在这里面。上述拉格朗日的基本方法和最小作用量（分析力字的基本概念）已然获得了如此广泛的形式，但还欠一步，有了这一步最小作用量原理就从力学的原理变为物理的原理，而广义坐标的方法同样也就是从力学的方法变为物理的方法。[6]
这最后一步是由哈米顿和另一些十九世纪的学者所实现的。我们不准备谈哈米顿科学活动的传记，然而有一个情况必须提起注意。这就是光学的问题已成为导致哈米顿发现力学变分原理之新形式的出发点。在莫培督的著作中，对光学的研究在使力学向着概括范围更大的方向发展所起的作用是十分明显的，而这种发展日后要影响到不能归结力学的物理过程。在拉格朗日的著作中，并没有力学与物理学（在这种情况下是光学）之依存关系的“个体发生学”的证据。可是在哈米顿的著作中，在这位学者自己的创造性工作的道路上我们就会遇到光学与力学的联系。哈米顿研究工作的第一阶段就是致力于光学，并提出园锥折射的予测，这种予言被实验证实是正确的，并且和海王星及门捷列夫预期的新元素的发现一起成为科学预见的经典的范例。在他的著作中，在几何光学方面哈米顿力求找出可以完全表征系统的某个函数。就此问题哈米顿曾这样写道：“在其他关系上这一函数在原作者看来好像是极其高度概括结果的表达式…，这个著名的结果一般被称为最小作用规律，有时叫最小时间原理，它里面包含着迄今为止所揭露的确定光线传播路径状况与形式的全部法则以及由正常或反常折射，反射所造成的传播路径的方向的改变。如果光线沿着它自己实际的路线进行而不是沿着其他任何一条路线进行，或者至少是从方法上来说具有被叫做变分等于０的路线进行时，那么，在一种理论中是作用作量来表示的某个量，而在另一种理论中则是光从一点传播到任一点所耗费的时间，二者都是将取最小值”。[7]这样，哈米顿在此就已然指明力学中的最小作用原理和光学中光传播的最小时间原理的密切关系。从费马原理出发哈米顿研究了充分地表征光学系统的函数：
这里A（x0，y0，z0）和B（xk，yk，zk）是边界点的函数。为了要从
δV=0
这一要求确定函数Ｖ，哈米顿把V当成边界点的函数，并且求得指出光线的方向的余弦和边界坐标关系的方程。这些关系类似于力学中的拉格朗日方程，而且函数就相当于作用量积分。
以后哈米顿又提出：几何光学可以运用与光传播的波动图景或微粒图景无关的同一数学分析的概念。在决定光的几何特性上光的微粒说和波动说在很大范围内都导致同一结果。光线可以认为是垂直于某个波阵面的直线，也可以认为是光粒子的轨迹。然而观点改变并不会使数学工具发生变化。这一情况也显示出在力学过程和光学过程之间的深刻的类似的基础。这一深刻的相似已然为哈米顿所提出，并且在日后建立新的物理理论中起着重要的作用。
在卅年代哈米顿把变分原理系统地运用于动力学问题。第一编著作写于1833年，哈米顿把它称之为《用我的特微函数研究的三体问题》。此后又发表了一系列其他著作。在这些著作中他所阐明的变分原理总的说来不同于最小作用量原理。按照哈米顿原理，这里不是用动量沿路径的积分而是用另一个量的最小（或最大）值表征质点的真实路径，这个量就是拉格朗日函数对时间的积分。若t0时刻质点在第一个位置，t1在第二位置，现比较在给定的时间内质点所通过的联接这两个点（质点的位置）且适合于约束的那些不同的路径，拉格朗日函数的积分
对于真正的路径来说将取极小值或极大值。这样，此处情况就和最小作用原理不同，已然撤销了在实行比较的各个路径上要有个恒定的能量数值的要求。出现在积分号下面的是另外一个函数，量W不只可以取极小值，而且可取极大值，就如同
那样，对真正的路径来说有最小值。
对保守系而言，拉格朗日函数将等于动能与势能之差，即 L=T－U 此时哈米顿原理和最小作用原理一致。从积分的等能变分过渡到新的，要求拉格朗日函数对时间积分的变分取０的变分原理，这件事对实际运动来说具有头等重要的历史意义。要是能量在某个时间隔内发生变更，那么不只可以排除点 A 和 B 的坐标而且也无须再假定质点组全体从空间的一个点转移到另一个点，换句话说，变分原理不仅仅属于力学过程。
力学基本原理的这样一种重要的推广对于目的论的主张来说自然是有利的，不过这并不是哈米顿本人在此问题上的过错。和拉格朗日一样，哈米顿力求赋予力学变分原理以尽可能严谨的形式化的数学形式。他反对那种目的论的“自然界的经济”原理。他这样写道：“这样一来尽管最小作用原理已然加入到最高级的物理理论行列。然而它对于宇宙发展论的必要性及宇宙中经济原则等主张现时总是遭到排斥的。”[8]
与此同时哈米顿认为最小作用量原理极为广阔，不只与动力学，光学相关，而且也涉及到全部物理学。在一封信中，他谈到囊括所有物理基本问题并且从最小作用原理推出其解答的单一的理论，这种理论体系当然是未来的事了。哈米顿写到“目前要是动手研究这一最广泛的把最重要的物理现象都归并在一起的课题或许是轻率的，不过要是指出这种动力学原理仅仅是我们已然在光学中运用过的那种观念的另一种形式或许还是恰当的”。[9]
实际上从最小作用量原理严格地推出物理规律的可能性要求把它从先验论的物理解释尤其是形而上学的解释中解脱出来。哈米顿指出“我对动力学的研究现在处于完全不同的方向，这一方向使我要对积分质点系微分方程之严谨的的，普遍的表述体系进行研究”。[10]
对最小作用量原理所做的进一步形式化的工作是雅考毕在十九世纪卅年代所完成的。他又把新的形式赋予这一原理。对一个只有质量m的质点而言 哈米顿原理在新的形式上变得很简单。雅考毕把质点的两倍动能 T 乘上时间 dt。两倍动能可以认为是质点质量与其速度平方之积。
这里ds是质点轨迹的长度。把2t乘上dt之后得到。
在最小作用原理的表示式中积分号下面的并不是作用量，即能量乘以时间。我们可以把最小作用量原理表示为
把积分表示为新的形式，则
在这种条件下，不是对时间而是对路径求积分。如果力是保守的，且动能T等于总能与势能之差，则上式就是可用另一形式替代
在此式中雅考毕提出了一个质点的最小作用原理。也可以把它推广到质点系。这里重要的不是对时间而是对路程取积分。对一个质点而言相应于最小作用量的路径是三维空间中一条确定的曲线。对于质点系而言我们可以把实际的运动认为是多维空间中的轨迹。
我们取一质点，该质点在某一曲面上作惯性运动。这一质点正处于离心力和反作用力相互平衡的作用下。这一对力没有切向分量，因而质点速度的绝对值保持不变，也就是以不变的速度沿测地线运动。这样问题就归结为寻求测地线。于是变分原理在相当大程度上实现形式化的数学关系，也就是几何形式。正如我们以后所见到的那样，这种形式是极为有效的。下面将简要地谈一下对变分原理继续进行形式化的历史意义。
形式化在历史上的双重的进步意义，首先拉格朗日所说的一切都影响到哈米顿和雅考毕。当力学从属于物理规律，而且在力学中不只为其自身，同样也为适用于其他领域准备了工具的时候，那种显示已然失去力学解释的动力学规律的表象就成为这种准备工作的重要方面之一。广义坐标法和最小作用量原理就从按力学自身意义上来说是力学的，然而却是广义的运动规律，变成为物理学的方法和原理。以前说过，把力学规律作出这种推广的前题从一方面说是数学，因为数学总是较为全面地回答它所提出的问题；从另一方面说则是在十七至十八世纪对力学所进行的哲学上的总结。在哈米顿的著作中，作为力学原理的最小作用量原理的更为精美的形式得以进一步发展的时候，这就意味着它已然成为一种潜在物理原理。数学发展中所蕴含的力量和在力学需求的刺激下出现的数学中的“自由竞赛”已然把科学推向前进，使科学得到的已然不是力学而是物理学的解释了。哈米顿，雅考毕致力于最小作用量原理的著作的历史性的进步意义就在于此。
问题的第二方面是对力学概念所进行的哲学上的总结。除去因历史局限性出现的形而上学的绝对化的趋向之外，实际上把原始的模式的推广和变更这两方面综合在一起的工作已然在发展着的科学史出现了。当然，直到阶级斗争的实际变化情况，（特别是在工人运动中反击伪社会主义思想上的冒牌货的时候）使得对自然科学作出辩证的综合概括已成为马克思主义的首要任务的时候，直到在“反社林论”中对此问题作出解答之前，这种综合概括一直是在自发地进行着。然而这种自发的形式在十八和十九世纪先进的自然科学家世界观中反形而上学的动机对于科学发展却具有重大的意义。就是那个企图充当“自然体系”作者的拉格朗日，那个被包斯考维奇[11]声言要处以火刑的伪君子拉格朗日，那个欧拉在致“德意志公爵夫人的信”中讥笑是在作神学练习的拉格朗日却自觉地占据了十八世纪思想战线上反形而上学的阵地，自觉地力求消除最小作用量原理上的形而上学的色彩。哈米顿和雅考毕是自发进行这一工作。在当时对“适合于一定目的地起作用的自然界”的讨论重复过多次，然而已经可以看出这是落后于时代了。在十九世纪对最小作用量原理所进行的这样或那样的形式化的工作表明它已然从由莫培督开始的形而上学的传统中解放出来了。
雅考毕准确地指出了最小作用量原理的意义。这个意义首先在于把这一原理和拉格朗日的微分方程联系在一起“……其一是拉格朗日用于提出运动微分方程的形式，其二是给出了这样一种函数，当这些方程得到满足时，此函数取极小值”[12]同时雅考毕还提出在对此原理作出合理解释的情况下，也就是在确已查明它同运动微分方程的联系之后也就不再为最小作用量原理的“形而上学的原因”保留什么地位了。
继哈米顿的雅考毕之后，奥斯特洛格拉斯基[13]为最小作用量原理的发展作出了新的，重要的贡献。1848年在圣彼得堡科学院报告文集中他根椐比哈米顿更为普遍的条件提出了最小作用量原理。哈米顿当时假定受最小作用量原理所支配的系统不是自由系统，它被这一条件所限制，即其动能为广义速度的二齐次函数，并由此提出稳定约束的假定。在1848年奥斯洛格拉斯基不用这一条件而研究了最小作用量原理。
在十九世纪后半期由于索富斯. 李[14]和其他数学家的工作（对这些人正象对奥斯特洛格拉斯基一样，那些动力学问题乃是更普遍的，在本质上是微分方程论及计算这些数学问题的个别情况）经过仔细研究的哈米顿雅考毕力学的合乎逻辑的数学工具被建立起来。其中最重要的是把变分原理和一特殊的变换理论即被称为切触变换的理论联系起来。这种变换从几何上可以解释为某种曲面的改变，以后具体到物理上可以解释为等作用量曲面的变更。从另一方面来说变分原理又可以解释为质点的运动规律，这样，物体沿确定的轨迹运动和某种曲面的传播，这两种物理形象就由此而接近起来了。这种接近一出现，波动过程理论和离散物体运动理论二者 统一起来的问题也就提到科学之中了。这两种理论在非古典物理中即在本世纪廿年代的波动力学中得到统一。这里对古典物理学所进行的数学概括在为非古典理论所做的准备工作上的作用显得十分鲜明。
从哈米顿原理的纯力学解释过渡到为非古典概念作出准备的更为普遍的认识在很大程度上是以自发的形式进行的。作为思想家的赫姆霍茨力图把物理过程归结到它们的力学基础上来，并且也只是在纯力学的意义上去理解最小作用量原理。1886年他把这一原理系统地运用于力学，热力学和电动力学等问题。他引入了促进概括这一原理的物理解释的动势的概念。所谓动势，是这样一个量，将它对时间求积分就可以得到作用量。而且不用对该量作任何力学解释，就可以出现于物理学的各个不同领域之中。在赫姆霍茨的著作中，并没有把动势解释为导出量，即动能和势能之差，而解释成作为出发点的量，因为动势有可能不同于T－U这一力学概念，所以上述情况对过渡到最小作用量原理的非力学的认识来说是重要的一步。在力学以外，也就是动能和势能的差异失去直接的意义的场合，在给出能量时动势可能取得单值形式。由于动势概念是独立的，因之就可以把最小作用原理认为是物理上可逆过程的普遍原理，这样一来，也用不着把它归结为力学的规律了。换言之，也就是不必把最小作用量原理作为力学原理加以解释。
由于在电动力学中无需任何一种力学模型就可以阐述其内容和引用哈米顿原理，所以普朗克这样写道： 最小作用量原理所经过的历程和能量守恒原理相同；“能量守恒原理起初同样认为是力学原理，只是由于作为机械论宇宙观的证据而赋予它普遍的意义。目前机械论宇宙观受到强烈的动摇，然而无论什么人都没有开始怀疑能量守恒原理的普遍性。如果现在把最小作用原理看成是纯力学原理，那么可能会不自觉地陷入片面性之中”。[15]从赫姆霍茨开始，他就运用哈米顿原理把最小作用量原理推广到电动力学和热力学的概念形式之中，此外从数学上对原理进行分析研究是上述推广的不十分明显的形式。在变分原理的历史中我们还会遇到高斯的名字。高斯可以说比其他任何一个人都更多地反映出十九世纪科学在数学，力学和物理学上的思维特征。这一特征就是断绝了同上个世纪的单线的，唯理主义的关系并为廿世纪非古典物理做出了准备。这些在其主要著作中都曾涉及到，不过更多地反映于其扎记的片断。这些扎记都是记载在书信，日记上或是在读过的书的空白处仓促写出。这些似乎是属于传记的情况却反映出十九世纪前期许多思想家的人生观，世界观的某些普遍的特点。如为辨证思维提供诸如 “浮士德” “哲学百科全书”等不朽范例的强有力的思潮，以及在数学和自然科学中那种 “非直线”思维的不甚明显然而至少颇富成效地蔓延，总之，这一思潮的总体，归根结底全是十八世纪末席卷整个欧洲，并且以雅各宾党人专政达到顶点的，工业的，社会的，政治的，革命的结果。在法国以外革命的影响是间接的也是不鲜明的。“法兰西革命的德国理论”，即黑格尔的哲学方法，可以说是和国际政治结论相配合的。恩格斯这样写道 “……这个结论的特殊形式当然是下列情况造成的，黑格尔是一个德国人，而且和他同时代人歌德一样，拖着一根庸人的辫子，歌德和黑格尔在各自领域中都是奥林巴斯山上的宙斯，但是两人都没有完全脱离德国的庸人气味”[16]在这两个人的名字后面似乎要添上高斯的名字。他一方面有如数学上的宙斯那样英勇无畏地开拓，另一方面由于在“城邦分子的叫嚣”[17]面前感到害怕使哥廷根大学教授不得不对更为激进的数学，力学设想明智通达地保持缄默，这两者在高斯的传记中极富于特色地交织在一起。
第三章、最小作用量原理
(二）
1819年，高斯在题为《论新的力学普遍原理》一书中，提出了作为更为普遍原理的结论，无摩擦的约束系统在任意力作用下将这样运动： 来自约束的对系统的拘束和施加于约束上的压力均取极小值。高斯用以下方式阐述了他的最小拘束原理。[18]
“倘若质点是自由的，那么对以任何方式联系起来的，受任意影响的质点系来说，它在每一时刻的运动都要完全或只是有可能完全依照这些质点本来就有的方式进行活动，也就是说运动要以尽可能小的拘束进行。如果在无限小的瞬间，对每一质点的质量和该质点现在的位置的偏离量的平方之积取和，这个和则可作为对拘束的量度”。[19]以Z表示这个和，由于所研究的质点是n个，则可写为
若没有内部约束则括号内的量将为 0 ，此时就有
括号内的差值不为零，说明质点与其自由运动出现偏离，也就是显示出来自内部约束的结果，也可以把上述差值看成是丢失的力除以质量。我们还记得达朗贝尔曾把作用于系统中，但不影响质点系所达到的运动的那部分力，叫做“被丢失的力”。 若以 Fk 表示此力，则
在上式中拘束量度曾作为高斯的最小二乘法表示式出现过。读者还记得，在1795年就已为十八岁的高斯所发现，但是到1818年才发表的这种著名的方法。这个方法能够由包含偶然误差的一系列测量中求得与真值偏离最小的量。[20]在最简单的情况下用最小二乘法得到的测量值的估计是测量中所得数值的线性函数。如果此时测量误差是偶然误差而且是独立的，并且服从正态分布，则最小二乘法就使得用最小的方差的平均值来估计这一未知的量成为可能。
用yi(i=1,2,…,n)表示为定义量x进行的n次独立测量所得到值，pi表示测量的权这时就可以取值X作为量x的估计，对这一估计可用平方和的最小值表示:
要是这一表示式和高斯的拘束量度相一致，则质量的倒数相当于统计权而丢失的力相当于误差。
一方面是力学的普遍原理另一方面是误差理论的基本数量关系之一，即最小二乘法，它们二者之间相互对应，这对高斯来说是意味深长的。在最小拘束原理一文中，高斯是用这一句话来结束的。“很明显，当自由运动和系统的本质互不相容时，就要使其改变。正如几何学家所做的那样，在其计算中为使结论和问题的本质所规定的必要条件不发生抵触而对其计算运用最小二乘法从而改变了由直接计算而得到的结论。”[21]
在指出这种对应之后，高斯并未宣布其思想要向何方发展，因为上述对比在任何意义上来看都是 “极其显著”的，这里也许就象其他一系列情况那样，高斯不去发展，至少没有下决心公开宣布其最彻底的概念。不过很难判定对 “城邦分子叫嚣” 的畏惧就不影响到上述那些情况。
但是与这种见解无关的，在最小拘束原理和最小二乘法之间对应关系的物理解释，就像对非欧几何的物理解释一样，在十九世纪廿至卅年代同样是不可能出现的。要是最小二乘法和最小拘束原理间的类似是一种比单纯的相似更为深刻的相似，那么质点的真实运动和可能的运动之间的区别可就具有统计的特征了。由约束引起的作用使大量的质点偏离其自由运动，这好象是在客观表象里许多不同的，被忽略的原因引起大量的误差一样，在约束的作用下质点运动的变化获得统计规律的形式。不过要是质点在确定的路径上之运动认为是大量之作用的统计的平均结果，这只能在对质点自身同一性进行相对论化的基础上才有可能。当然，这将是一百多年以后的事了。但是现在我们还要再回到最小拘束原理。这个原理要求前述表示式中Z取最小值以使变分δZ等于零。变分并不改变第Ｋ个质点的位置xk ，速度 
，作用于系统上的约束条件和质量mk ，改变的只是加速度 
。根据这些条件就可以得到该系统的拉格朗日方程，因此最小拘束原理和达朗贝尔原理一样也可以得到运动方程，从这个意义上同样可以把它认为是力学 的基本原理。和达朗贝尔原理一样，最小拘束原理也是一微分原理，它所研究的既不是过去也不是未来，仅仅是该系统在给定时刻的状态。这一状态决定系统以后的行为。这样，在此情况下，系统状态和系统在某个空间和时间隔中的全部行为的关系就和拉格朗日拉普拉斯机械的决定论不发生矛盾了。此外，上述关系的积分形式的原理就是莫培督原理和哈米顿原理。
，作用于系统上的约束条件和质量mk ，改变的只是加速度 。根据这些条件就可以得到该系统的拉格朗日方程，因此最小拘束原理和达朗贝尔原理一样也可以得到运动方程，从这个意义上同样可以把它认为是力学 的基本原理。和达朗贝尔原理一样，最小拘束原理也是一微分原理，它所研究的既不是过去也不是未来，仅仅是该系统在给定时刻的状态。这一状态决定系统以后的行为。这样，在此情况下，系统状态和系统在某个空间和时间隔中的全部行为的关系就和拉格朗日拉普拉斯机械的决定论不发生矛盾了。此外，上述关系的积分形式的原理就是莫培督原理和哈米顿原理。
高斯观念的发展是1892——1893年赫兹提出的最直路径原理。这个原理同时延续了雅考毕的思路，即对全部变分原理和动力学加以几何化。这一问题在众所周知，赫兹不用力的概念而要建立起力学的尝试中得到阐明。这个尝试是在《力学原理》这本书上讲的（1892）。[22]
赫兹在这本书上打算把力学归结为三个基本概念，即空间、时间和质量。因此骤然看来他的概念似乎是笛卡尔派的回潮，即力图建立动理学体系。然而这只是那些观念在逻辑上历史上实际关系的一个部分。赫兹在《力学原理》一书中仍旧是延续这一理论，力求把复杂的，不可归结为力学的十九世纪的物理概念还原为动理学图景。这个图景中有时也包含着假定的隐蔽的运动和质量。在十九世纪八十年代赫姆霍茨也曾进行过这尝试，他运用了遁环运动，这种遁环运动的特性与坐标量无关只取决于其变化的速度。
就赫兹而论，与其说他力求把物理规律归结为古典力学的概念，不如说他力求把古典力学概念本身归结为动理学模型。就历史而论，这种发展趋势与其说是把物理学归结为力学的这种意愿造成的，还不如说这是由于对力学的物理解释，由于力学基本概念的变化，以及由于具有能量量纲的一些标量进入力学之后所造成的。
赫兹特别强调他的力学和能量转化原理间的紧密联系。旧的力学把现象都归结为原子之间的一定距离上起作用的有心力。被引力联系在一起的各个分立物体的图景就是科学解释世界的最终目的。赫兹这样说道：“然而到十九世纪末，物理学已倾向于另一种观点，在能量守恒定律的发现对物理学发生强烈影响的作用下，在物理学中偏向于对凡是涉及到它的领域之中的现象，都着成是一种形式的能量向另一种形式能量的转化，并且只以发现现象归结为能量转化定律为最终目的。”[23]
然而赫兹并不要求用唯象的表示替代引力质量的力学图景，也就是说不打算让只包括作为基本量而不提出离散物体及其运动模型的公式所限制。所以赫兹就用某些隐蔽质量的实在的运动取代力。
“如果意欲得到一个圆满的、自身完备的、合乎规律的世界图景，那么我们看到的实体背后应当容许有一种不为我们所视见之实体，并且也应当在我们的感觉之外寻求某种隐蔽之物的作用。即使就在最早的两种世界图景里我们已然承认了这种深深埋藏的作用的存在，并且可以把它设想为特殊类型的实质，现在为了在我们的世界图景中把它复制出来，所以建立了力和能量的概念”，[24]反过来看，这些概念也形成了这样一种印象，除了物质及其运动以外，似乎这个世界还存在着另一种实在。因此，赫兹才倾向于用隐蔽的运动和质量取代能量和力。
“我们能够承认某种隐蔽之物会有其作用，但是我们也能够否认此物应属于某个特殊的范畴。于是就把采用下述方式的可能性展现在我们面前，这种隐蔽之物不会是别的，仍旧是运动和质量。它和我们视见之物的区别不在于其实质而只在于它和我们通常的知觉方式之间关系和差异，这一观点才是形成我们假定的本质。”[25]
赫兹并不是很快地接近其基本目标，即把世界图景归结为时间，空间和质量。起初他打算用运动质点动能的概念取代力的概念。把势能和一切形式的能量都归结为动能这种事在物理学中我们也遇到过。用普朗克的话来说：“赫兹拒绝接受动能势能间的区别，因而同时也就拒绝研究能量的特定形式时所遇到的一切问题，赫兹的看法不单是物质只具有质点这种唯一的形式，而且能量也只有动能这种唯一的形式。其余一切形式的能量，比如我们表示势能，电磁能，化学能和热能等，实际上表现为运动质点的动能，正是自然界中这些质点的位置，速度之间所存在的那些恒定不变的联系也才使所有形式的作用变得如此不同，这样，按赫兹的说法自然界中所有的运动最终只是建筑在物质惰性的基础之上”。
当赫兹谈到理论力学的新任务，谈到他力图把力学现象看成是一种形式的能量向着另一种形式能量的转化，直至把力学现象都归结为能量转化时，那么这时的情况就同十九世纪科学的实际发展趋势完全相一致了。力学实际经受着来自既不能归结为它但又从它里面解放出来的物理学影响。实质上，十八十九世纪所进行的把力学原因加以综合以及力求根据一个原理推演出力学的一切尝试都显示在这一发展趋势之中。力学发展中的两方向（即用数学工具加以概括和在力学中那种本质上是物理的能量与作用量概念的出现）本身就是联系在一起的，并且在历史上也互相支持。
赫兹力图建立的力学和牛顿不同，其基础不是力，而是物理学的基本概念。为此赫兹在他称之为具有数学特征的两个概念时间和空间后面它补充上两个具有物理本质的概念质量和能量。这些概念表示在孤立系统中仍旧保持不变的物理实质。空间、时间、质量、能量它们自身可以借助于哈米顿原理联系在一起。赫兹这样阐述了未来理论体系的基本精神：“天然质量的每一个系统好象都是完成这样一种任务而运动，既要在给定时刻达到给定位置，又要使在全部所论时间之中，平均说来动能和势能之差要取尽可能小的极值。”照赫兹看来这样一种表象比建立在力而不是建立在能量基础之上的牛顿的图景具有一系列优越性。
以后赫兹认为有可能建立第三个世界图景，在此图景中作为基本概念而引入的只有时间、空间和质量。这里不只是力，就是能量也应归结为空间、时间和质量这三个概念。而这三个概念被统一到好象是惯性定律的规律之中。“独立的物质系统的每一种自然运动是该系统要以恒定的速度按其最直路径之一所发生的运动”。显然，惯性定律和最小拘束原理都被统一到这一形式里面去了。
按照赫兹的理解所谓“直”的和“最直”的路径是什么样的呢？所谓直路径是全体路径元都有相同方向，且以此区别于有不同方向路径元的被弯曲的路径。在点的位置变化时，方向改变的速度对应于曲率。赫兹研究了表征最小弯曲的路径，这就是所谓最直路径。有时最直路径和最短路径相一致。这样赫兹就使几何概念即曲率的理论向力学的基本原理靠拢了。
在把最直路径原理和最小拘束原理加以对照之后，其意义就可以显示出来了。正如我们所看到的那样，高斯认为拘束的量度是
赫兹引入单位质量的概念（ｍｋ＝１）以取代上面表示式中质量单位数ｍｋ。他只研究了自由系统和Ｘ等于零的情况，因此高斯的拘束量度就要取以下形式：
此式和高斯的公式除去mk=1和Xk=0之外还有一个情况不同，即对加速度的平方要从１到Ｎ取和。Ｎ是对于应于赫兹力学中替代力的单位质量和约束的某个数。
接着赫兹又引入对于力学基本原理几何化这一任务至关重要的概念，即系统所经历轨迹之曲率K及长度元ds。轨迹的长度元ds是和引入所论系统的单位质量的轨迹的长度元dxk以二次式联系在一起
加速度 
，被xk对ds的二阶导数所代替，赫兹根据拘束的量度Z的高斯表示式得到下式：
，被xk对ds的二阶导数所代替，赫兹根据拘束的量度Z的高斯表示式得到下式：
此时所用的其它变换就不讲了，这里K（确切地说是k的平方根）就是轨迹的曲率。这个由Z所得到的量，对实际运动应取最小值即：
δK=0
当然“元长”和“曲率”表示式的意义是N维的，它们由相应的N维几何所决定，而且还是N维欧氏几何。因为路径元ds2是作为dxk的平方和而被定义的，即ds2=dx12+dx22+…+dxN2。
从历史观点看赫兹力学的多维几何学的特征指出了一个重要的情况，赫兹并没有成功地把力学归结为三维空间中（那怕是隐蔽的质量）运动的动理学图景，他得到了多维的弯曲的空间，这件事最终指出了力的不可排除性，力代表了质量在其上按测地线运动的多维的曲面的弯曲。
按照赫兹的话来说，在提出质点系及其运动的几何表象时很容易看出，最小作用原理实质上就是几何原理“而这一原理的建立及发展可以完全独立于力学，并且也看出不出该原理同力学中所用的另外一些几何知识有更紧密的联系。”在对这种观念的发展中，赫兹又提出了一个结论，最直路径和测地线相一致。每条测地线也就是质点最直运动的一种形式，在多维空间中则是质点系的一种最捷运动形式。不过赫兹预先申明：测地线并不永远反映最捷路径。只有当运动质点或质点系的位置足够接近时测地线方能和最捷路径相一致。
上述赫兹和十九世纪后半叶某些其他物理学家的观念具有重要的历史意义。数学几何化，对照变分原理的几何化和多维几何的关系可以看出，对古典力学进行综合总结是如何为相对论准备了概念和方法。这件事不仅阐明变分原理的逻辑结构，同时也阐明了它的历史作用。到十九世纪末对力学变分原理几何化的尝试几乎没有停止。在一定程度上，赫兹那种用多维空间的点代表动力学系统的观点开始起着很重要的作用。在这种情况下，力场就要由被弯曲的，破坏其欧几里德性质的多维空间所表示。这样一来就可以把系统看成是自由的，力可以用约束取代，而约束则看成是多维空间的弯曲。系统从一个状态到另一状态的变化认为是某个点在测地线上运动。这样，对系统在力场中的运动来说惯性定律和变分原理间的区别就消失了。或者更确切地说这种区别就变成“平直”的多维空间和弯曲的多维空间之间纯属几何上的区别了。
后来的广义相对论实现这个纲领。广义相对论仅仅把引力场几何化。当然所谓“仅仅”应加上引号，这是因为从时空而言，万有引力是实物和场的普遍联系的集中点，因此在空间中（冲量守恒）和时间中（能量守恒）决定这些集中点的行为的规律是同引力的规律联系在一起的。最小作用原理本身就意味着没有场的作用时，质点将在欧氏空间的测地线上，也就是在直线上运动。在一般情况下，即存在场的作用时将沿着具有某个曲率的曲面上的测地线运动。
迄今为止根据引力场方程推出运动方程（要是就宏观物理而论）既是从最根本上排除了力，同时也是对古典物理学原始抽象的最根本的限制条件。倘若我们研究了引力场的相对论（非线性）方程，并且从它推出运动方程，这就意味着不再把力当成是外加的，给定的，所论问题终极的实质。现在运用恩格斯的术语来说：力可以看作是运动的主动的或是被动的方面。[26]现在所谓运动物体和场的相互作用，这种用抽象的形式也消除不了的相互作用，就像古典物理学所做的那样使方程具有线性的特征。
上述情况并不完全是指赫兹而言。力不是用动理学表象所取代而是改变了它自身的意义，力的概念和承受力的作用的物体的概念获得另外的特征。对力的概念的这种变更是同对原始抽象的限制联系在一起的。这就是并不把质点看成是以绝对的形式区别于包围它并且又在其中运动的介质的某种东西，而把质点看成是位于实在的物理介质（引力场）的时空中的奇点。不过相对论的宏观特征却使自身同一的粒子的观念失去加以修正的可能。
我们现在分析一下由于赫兹试图从力学中排除力而提出的最短距离原理。在此之前让我们先返回到与这种尝试无关的变分原理。当然，这并不是返回它的形式化的发展过程，而是返回到填充新的物理内容的拉格朗日，哈米顿，雅考毕的形式的结构。只是在新的实验事实的影响下才能发生用新的物理内容去充实形式化的原理。
在十九世纪证实了代入到哈米顿原理公式中的量只能由实验所确定。最小作用原理在其发展过程中不必引入实验事实就能极为具体地指出我们用于研究客观的物理数量关系的数列之特性，但不能指出这种数量关系本身的特性。然而最小作用原理则以不变的形式表征出客观的物理关系。这一情况不仅决定了这一原理在十九世纪物理学中的意义，而且也决定了它在近代物理中的命运。对其内容不必作出什么新的物理假设就可以把最小作用量原理以哈米顿公式的形式运用于相对论物理。相对论使变分原理的一个重要的，反复讨论多次的一个方面的问题得到彻底的阐明。哈米顿公式中引入的作用量（动能与势能之差并对时间积分）和拉格朗日的作用量（动能对时间的积分）不同，在从一个惯性系变到另一惯性系时前者是不变的。换言之，前者对洛仑兹变换是不变的。这就表现出哈米顿作用的四维本质。四维时空的“距离”和三维的纯空间的距离不同，它是洛仑兹变换下的不变量。表征质点或质点系在某一时刻的量是四维客体在三维空间之投影，其变化只取决于四维世界里空间截面的选择。表征系统在某一有限时间间隔内行为的量在一定条件下可能与这种选择无关。如果根据在一段不仅包括过去也可以包括末来的有限的时间间隔内（例如根据系统在11点到下午1点系统的行为决定系统在中午的状态）系统的行为决定系统在某一时刻的状态，那么这就毫无目的论可言了。这个问题原则上同另一问题没有区别，这就是说空间某点的现象由空间中一个在它前面，一个在它后面的两个点的现象所决定。在相对论中，时间空间是平等的，这就取消了曾经在最小作用原理的历史中起过重要作用的，所谓“有目的起作用的自然界”这一问题。为了算出系统的作用量，必须对包容系统且为物体所填充的空间和时间进行积分。这时我们就得到了从一个惯性系变到另一个惯性系时不变的四维量了。根据一些类似的情况普朗克指出，假定对一切四维宇宙坐标是对称的最小作用原理（对时间的积分并不能推出时间坐标，因为哈米顿作用量关于洛仑兹变换是不变的）可以成为核心的原理，这个原理以三个动量的守恒定律投影于空间之中，而投影在时间中则是能量守恒定律。[27]
这样，相对论运用时空事件的四维世界把最小作用量原理解释为能够从可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。在这种情况下相对论并没有给最小作用原理添加进新的物理内容。这种物理内容可以为量子物理所引入。只有作出某种把相对论和微观世界联系在一起的解释的情况下，根据更为一般的设想，相对论或许有“推出”最小作用原理的可能。在建立广义相对论时爱因斯坦用过最小作用原理。此时作用量的概念得到某些新的解释。如所周知，在决定空间和时间的曲率时借助于四个恒等式，并且力求排除表征空间时间特性但不表征曲率的多余的参量。这些恒等式按其物理意义而言表示不同坐标系中空间和时间曲率的同一性，曲率张量取决于能量冲量张量。在研究此问题时，爱因斯坦指出，上述四个恒等式有物理意义，也就是具有守恒定律的意义，并且表示了空间时间的特性。然而，现在当我们谈能量冲量张量时，空间的首要特性，即其均匀性对应于冲量分量守恒；而时间的均匀性对应于能量守恒。这样，守恒定律就对应于曲率张量之间恒等的数量关系，作为与这种或那种坐标表示无关的物理特性的曲率对应于作用量。爱丁顿提出在广义相对论中对作用量这一概念意义的极为精细、深刻的说法。他指出：对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度。我们顺便指出：在叙述魏尔的统一场论时爱丁顿曾顺带提到对作用量的一种很有益的解释。爱丁顿说，可能作用量就是概率的函数，然而当把一些概率连乘，则作用量就相加，从而作用量可以认为是概率的对数。由于概率的对数是负数，所以作用量就要看成是概率的对数再加上负号，此时最小作用原理则表示实际实现的运动的最大概率。
在现代量子力学中最小作用量原理起着重要作用。不但如此，对于作用量概念的思考也激起对现存理论进行总结的尝试。表征微观世界之基本量，即作用量子和引入到宏观力学的基本数量关系中的量，即由能量按时间积分，这两个量的量纲一致，促使近代理论家在一系列设想上尽管没有引出什么具体的物理理论，但是却引出一些看来是很有前途的物理理论。
下面讲一下罗素的某些看法。[28]根据质量和能量的相对论的数量关系，罗素推出把质量和时间之积当成作用量的可能性。但是，引力质量还有与其相等的惯性质量可以由距离代表，这时作用量就是长度和时间的乘积了。用这种观点来看待普朗克常量，罗素说：要是把作用量取作物理学的基本概念，我们或许能建立起来全是原子论的，极适于检验的物理学。
罗素接着指出：相对论中时间空间间隔的不变性和作用量的意义（即在微观世界中的作用量）之间的联系是意味深长的。与上述类似的一些设想并不能引起物理知识的实际的进展，不过却很值得提出来，因为此后推广量子力学时要用作用量来表征近代物理的特征和风格。
从历史的观点应着重指出，发现作用量的不连续性表明哈米顿原理发展到一个新的阶段。哈米顿的最小作用原理公式是同光学力类比紧密地联系在一起的。然而十九世纪这种类比只能引起把连续介质中波动规律和离散物体运动统一在一起的一些不明确的设想。相反，在廿世纪以普朗克的伟大发现为开端的物理学，光学力学类比已然成为物理学中起关键性作用的观念。哈米顿曾经讲过等作用量的曲面，并且在不涉及周期过程的情况下，也研究过在此曲面上的运动。和等相位面类比本身遇到了本质上的困难，光学力学类比要求在所谓波动的公式中角度的余弦是一无量纲的量，为此必须要使作用量除以某个和它有相同量纲的量，这个量由普朗克引入到物理学之中，在此之后德布罗意就能对波写出下式：
此式中余弦就有物理意义了。光学力学类比使德布罗意有可能对于波尔的量子条件做出合理的解释，同时也使最小作用量原理和费马的光学原理之间所进行的多次类比具有物理意义。
在量子力学的发展中，作用量的不连续性不以其最初的假定方式保持下来。这种不连续性使解释量子力学的数量关系成为可能，但却没有去找这种解释。这样，不连续性就以终极概念的身份出现了。作用量不连续在日后推广为相对论的量子论中可以得到因果性的解释。看来这种推广的尝试对作用量概念本身带来某些新的认识，就像时空网格数的概念那样，用普朗克常数去除作用量的表象没有被排除，嬗变过程就在此网格中发生，在宏观的近似中网格可以作为自身同一的基本粒子的世界线而加以研究。此时世界线的概率就同爱丁顿所说的那种数量关系的作用量联系在一起，于是最小作用量原理就成为最大概率原理。
注释：
１．Л．С．Полак． Варационные принципы механики，их развисии и некоторые применения в физике（в печати）．Дальнейшее изложение истории вариционных принципов опирается на эту работу．
２．Ｌｅｉｂｎｉｚ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ｓｃｈｒｉｆｔｅｎ． Ｈｅｒａｕｓｇ．ｖ．Ｇｅｒｈａｒｄｔ，ｔ．Ⅱ，Bd.Ⅱ１８６０，Ｓ．３４５－３６６．
３．Ｌｅｉｂｎｉｚ．Ａｃｔａ Ｅｒｏｄｉｔｏｒｕｍ．１７５１，ｔ．Ⅱ，Ｓ．１７６
４．Эта книга издана в русском переводе в １９３４ г．（ГТТИ）．
５．马克斯． 《数学手稿》 人民出版社 １４７页 －－译者
６．Л．С．Полак．Вариационные принципы механики，их развитие и некоторое примение в физике．
７．Л．С．Полак． Вариационные принципы，гл．Ⅲ．
８．Ｈａｍｉｌｔｏｎ． Ｏｎ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ｐａｔｈｓ ｏｆ ｌｉｇｈｔ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｌａｎｅｔ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ａ Ｃａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｍａｔｈ．Ｐａｐ．，ｖ．Ｉ，ｐ．３１４．
９．Ｗｈｉｔｔａｋｅｒ．Ａｎａｌｙｔｉｓｃｈｅ Ｄｙｎａｍｉｋ ｄｅｒ Ｐｕｎｋｔｅ ｕｎｄ ｓｔａｒｒｅｎ Ｋｏｒｐｅｒ． Ｂｅｒｌｉｎ，１９２４，Ｓ．３２３．
１０．Л．С．Полак．Вариационные принципы，гл．Ⅲ
１１. 雅考毕.
１２．Якоби．Лекции по динамике．М．－－Л．，１９３６，стр．４４．
１３．[法]Ｍ．Ｏｓｔｒｏｇｒａｄｓｋｉ．Ｍｅｍｏｉｒｅ ｓｕｒ ｌｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｅｌｌｅｓ ｒｅｌａｔｉｖｅｓ ａａｕ ｐｒｏｂｌｅｍｅｓ ｉｓｏｐｅｒｉｍｅｔｒｅｓ． Ｍｅｍ．ｄ． ｌ＇Ａｃａｄ．ｄ．Ｓｃ．，Ｓｔ．Ｐｅｔｅｒｓｂ．，１８５０，ｐ．３８５－５１７．[e上有撇]
１４．Ｌｉｅ Ｓｏｐｈｕｓ １８４２－１８９９ 挪威数学家
１５．М．Планк．Физические очерки．Ｍ．， １９２５，стр．９５．
１６．К．Маркс и Ф．Энгельс．Соч．，т．ⅩⅣ，стр．６３９．
１７．城邦（Ｂｏｉｏｔｉａ）原指迈锡尼时代之一种政权组织形式——译者
１８．这一原理在许良英译《物理学的基础》（商务印书馆 １９６４ 第一版，１３７页）中译为‘最少约束原理’。本书作者未用约束（связь）这一提法而用拘束（прнуждение）。我认为作者的提法是恰当的，约束是条件，拘束是此条件对系统的作用。——译者
１９．Русск．пер．статьи Гаусс в примечании к 《Аналитической механике》 Лагранжа． Ｔ．Ⅱ．М．－Л．，１９５０，стр．４１２．
２０．Ф．Клейн Лекции о развитии математики в ⅩⅨ столетии М．－Л．，１９３７， ｃтр．６１；А．С．Чеботарев．Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей．М．，１９３６；Н．И．Идельсон． Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений．М．，１９４７．
２１．《Аналитическаямеханика》Лагранж（см．сноку на стр．６２）．
２２．Ｈ．Ｈｅｒｔｚ．Ｄｉｅ Ｐｒｉｎｚｉｐｉｅｎ ｄｅｒ Ｍｅｃｈａｎｉｋ ｉｎ Ｚｕｓａｍｍｅｎｈａｎｇｅ ｄａｒｇｅｓｔｅｌｌｔ．Ｇｅｓａｍ．Ｗｅｒｋｅ，Ｂｄ．３，Ｌｐｚ．，１９１０
２３．Ｄｉｅ Ｐｒｉｎｚｉｐｉｅｎ ｄｅｒ Ｍｅｃｈａｎｉｋ．Ｇｅｓａｍ． Ｗｅｒｋｅ，Ｂｄ．３．Ｓ．１７．
２４．同上书．Ｓ．３０．
２５．同上．
２６．Ф．Энгльс Диалектика природы． М．，１９５５ стр．２２５．
２７．М．Планк Физические очерки．М．，１９２５，стр．９５－９６．
２８．同上书．стр．５０．
２９．Ｂ．Ｒｕｓｓｅｌ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｍａｔｔｅｒ．１９２７，ｐ．３４２．
![[已注销]](http://img3.douban.com/icon/u4652642-11.jpg){kind=icon}
![[已註銷]](http://img3.douban.com/icon/u1059223-1.jpg){kind=icon}
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