Sunday, May 3, 2015

整个分子的运动状态则由分子所有的电子的分子轨道组成, 分子中的每个电子在所有原子核和电子所产生的平均势场中运动，即每个电子可由一个单电子函数来表示它的运动状态,并称这个单电子函数为分子轨道

分子轨道法：
是原子轨道对分子的推广，假定分子中的每个电子在所有
原子核和电子所产生的平均势场中运动，即每个电子可由
一个单电子函数来表示它的运动状态，并称这个单电子函
数为分子轨道，而整个分子的运动状态则由分子所有的电
子的分子轨道组成
　　分子轨道法的核心是HFR方程

http://sce.scnu.edu.cn/summerschool/files/%E9%A1%BE%E5%87%A4%E9%BE%99%E6%95%99%E6%8E%888%E6%9C%8817%E6%97%A5%E6%8A%A5%E5%91%8A.pdf

就是量子場論，這裏有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。由於在古典的量子力學裏，有限維流形上的譜分析和classical path有關，在無限維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係

我們知道在圓球上所有的測地線（geodesic）都是大圓。假設我們將圓球變形一下，變成凸曲面：convex surface，這問題就變成一個很複雜的數學問題。它的測地線分佈狀態並不明顯，到目前為止沒有辦法處理這個問題，只有在簡單的橢圓體時可以全部解決這個問題。古典力學幫忙我們發現很多不同的工具來解釋測地線的問題

"分子轨道法：
是原子轨道对分子的推广，假定分子中的每个电子在所有
原子核和电子所产生的平均势场中运动，即每个电子可由
一个单电子函数来表示它的运动状态，并称这个单电子函
数为分子轨道，而整个分子的运动状态则由分子所有的电
子的分子轨道组成
　　分子轨道法的核心是HFR方程"

[DOC]幾何學的未來發展

www.cms.zju.edu.cn/UploadFiles/AttachFiles/2004101994955486.doc

從古典力學到量子力學，更進一步，就是量子場論，這裏有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。 ... 維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係。 .... 這個定理引進所謂內在曲率的觀念，曲率的觀念在Gauss以前就有了。 ..... 更進一步的問題是，什麼時候可以決定一個流形是某些自然結構的模空間。

"微观粒子运动服从Schrödinger方程，宏观物体可用牛顿定律描述它

们的运动规律，请问如何界定微观粒子与宏观物体的界限?

答：我们可用Heisenberg测不准关系来区分，即坐标与动量不确定量的乘积要大于普

朗克常数的数量级△x·△p≥h

例如质量为0.008kg子弹，运动速度为500ms－1，若速度不确定度为1％，则位置的不

确定度为

子弹弹孔10－32数量级的偏差对任何靶场来说，都是测不出来的，可以忽略。而对原

子、分子中的电子质量为9.1×10－31kg运动速度取2000ms－1，速度不确定度也是1％

，则位置不确定度

原子间距在10－10m数量级，所以10－5m数量级说明电子根本无法测定"

幾何學的未來發展

丘成桐費爾茨得主

美國哈佛大學教授

校長、院長、及各位同學，今天很榮幸能夠在這裏演講，尤其今年是交通大學一百年校慶紀念，能到一個比較注重工程的學校來講數學，表示交通大學也注重理科方面的工作，這是很有意義的。因為基本科學對於工程學有很重要的啟發性。今天我講的題目是林松山教授給我的。但是學術的未來很難猜測，很多有學問的人都曾經得出錯誤的結論。所以我不作任何猜測，我只能夠根據以前的歷史來做一些建議。

今天要講的歷史主要是從個人的體驗來看。我不是一個歷史學家，我講的很可能是錯誤的。可是這不重要，因為我想講的是我從做學問得出來的觀念，希望能夠以我自己的經驗來做一些建議。清華大學跟交通大學都曾贈予楊振寧先生榮譽博士，我看過楊先生寫的一篇文章，楊先生講做物理好象畫圖畫一樣。我想做幾何也跟畫圖畫差不多，不過我們畫的圖畫更廣泛一點。物理學家要畫的基本上只有一張圖畫，就是自然界的現象。但是幾何學家可以隨意去畫，我們可以畫廣告畫，畫工程學需要的畫，也可以畫印象派的畫和寫實的畫。廣告畫可以在商業上有很大的用處，過幾年後可能成為收藏的對象。但是由於商業氣氛濃厚，一般畫家不大願意認同它們的價值。廣告畫或工程畫卻可能對寫實派的畫和印象派的畫產生相當的影響。不過畫印象派的畫或山水畫，一定要有很深的技術、功力和想法才能畫得好。出名的畫家往往花很多時間在磨練、在猜測，將他的工具不停地推進，在好的氣質修養下，才能夠畫出好的印象派的畫或山水畫。一般數學家和幾何學家也有同樣的經驗，有意義的工作即使是個很小的觀察（observation）,往往花了數學家很大的精力去找尋。找尋的方法不單是從大自然吸取，也從美學和工程學來吸取。怎樣去尋找有意義的工作，跟我們氣質的培養有密切的關係。

現在我想談幾何的歷史，看看從前，再預測未來。因為我沒有想到林松山教授給我這麼長的時間，所以會講長一點。從前我們念中學的時候，念國文、念文學批評，總會說一個時代有一個時代的感慨。數學基本上也是一樣，文學上有古文學、有詩經、有漢賦、有唐詩、有宋詞，從一個時代去學習一個時代，很少能夠學得剛好一樣。我們現在看詩經寫得好得不得了，可是我們學不到詩經裏面的情懷意念。時代不同，感慨也不同了。隨著時代的變遷，因為時代不同的需要，我們培養出不同的感情，取捨自然不一樣。我們可以很羡慕從前大數學家做的工作，可是我們不可能也不一定要跟他們一模一樣。就好像我們現在學蘇東坡的詩和詞，我們不可能也不需要學得一樣，但是我們可以從他的詩詞裏得到想法，幫助我們去理解大自然，找尋表達自己感情的方法。從幾何來說，我們所要尋找的跟物理學一樣，就是真和美這兩個觀念。還有一個很重要而容易忽略的動力，是由工程學對數學需求所產生的。這三個想法推動了幾何學的發展。

美的觀點在不停地改變，改變的方式跟我們當時認識的自然界有很大的關系。一、二千年前我們認識的自然界跟現在我們理解的自然界完全不同，所以數學或者幾何學不停地受到這個變動的影響。在幾何學來說，美可分為兩方面：靜態的美和動態的美。靜態的美，譬如一朵花或雅致的山水，我們大致知道怎樣準確地去描述他們，甚至將我們的感受表達出來。如何描述動態的美對我們來說是一個很困難的問題，例如水在流或天在下雪，在不同的時間、空間，事物會產生激變，這是一個相當美的圖畫。可是到目前為止，激變的研究對理論物理學家、數學家跟幾何學家都是一個很大的挑戰。為了對時空作深入的描述，幾何學家有不同的研究的路徑：有人從物理學的角度去瞭解，有人從微分方程的角度去瞭解，這都成為幾何學的重要課題。

從古至今大家都講美，但是沒有很客觀的標準來決定什麼叫美或者不美。最重要的觀念只有一個，就是簡潔simplicity。這往往是我們審美的一個主要標準。在做幾何、做數學、做物理的研究時，我們都在描述一個很複雜的幾何現象。假如我們沒有辦法將幾何現象用很簡潔的語言表達出來的話，我們不算有一個好的定理或者好的文章。用很簡潔的語言來推導和描述繁雜的幾何現象，在歐幾里得的時代就歸納為用三段論證方法得出的過程。當時有很多定理，從希臘或埃及早期就發現了很多不同的平面幾何現象，但是沒有辦法有系統地放在一起。歐氏很重要的貢獻，就是能夠將定理統一起來，用公理來解釋所有當時發現的定理。例如兩點之間可以用唯一的直線連接起來這個事實，可以推導出很多定理。追求用簡潔的語言來解釋複雜的幾何現象，是幾何學家的目標。物理學也是一樣，物理上很複雜的現象也希望用統一場論來描述。從前中國也發展了平面幾何，可是始終沒有辦法發展成完美的嚴格數學理論。這是中國數學不如西方數學的一個原因。公理化以後我們才能夠統一處理和瞭解繁複的現象，也因此知道歐氏幾何所能解釋的只是很簡單的理想化的幾何現象。

我們在自然界裏面發現的現象遠比平面幾何要複雜得多，阿基米德和牛頓開始用微積分的方法來描述變動的曲線和曲面。引進了微積分以後，幾何學有長足的進步，我們開始知道直線或是圓以外的圖形都可以用嚴格的數學來描述。牛頓從物理的觀點來看質點怎麼變動成一條曲線，從而發展了微積分。幾何學家發現描述幾何圖形非靠微積分不可，幾何學從希臘的公理化到牛頓的微積分是一個很大的進步。

古典力學無論在阿基米德，牛頓或是現代，對幾何學的影響力都是很深遠的。它引進了變分法的觀念，例如我們研究一個簡單的問題：兩點之間最短的線是直線。這是平面幾何要求的。可是假如中間有障礙，就不再是一條直線，並且最短的路徑並不唯一。這是簡單的變分問題，問兩點間最短的線是什麼？怎麼找這些曲線及它的分佈情形，到現在為止還是微分幾何的一個有趣問題。我們知道在圓球上所有的測地線（geodesic）都是大圓。假設我們將圓球變形一下，變成凸曲面：convex surface，這問題就變成一個很複雜的數學問題。它的測地線分佈狀態並不明顯，到目前為止沒有辦法處理這個問題，只有在簡單的橢圓體時可以全部解決這個問題。古典力學幫忙我們發現很多不同的工具來解釋測地線的問題。

到了二十世紀，我們又發覺古典力學和量子力學有密切的關係。一個重要的問題問，當普朗克常數趨向於零的時候，古典力學和量子力學中間的關係如何描述，在這方面有很多重要的工作，例如：WKB的近似方法。它在幾何上產生了有趣的影響。例如Hamiltonian Mechanics裏面的classical path和光譜的關係，引起了微分幾何學家和微分方程學家企圖聯繫Laplace算子的譜和測地線長度的工作。古典力學通過geodesic，量子力學通過Laplace算子得到很多幾何現象，如何將他們聯繫是一個很有趣的幾何問題。我想這方面的研究會有很大的發展。從古典力學到量子力學，更進一步，就是量子場論，這裏有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。由於在古典的量子力學裏，有限維流形上的譜分析和classical path有關，在無限維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係。在這方面，弦理論已經得到相當大的進步。可是物理學家討論場論的時候，遇到很多困難，起源於無窮維流形算子的譜分析不知如何處理。一個重要例子是loop space，這是將給定的流形上的所有封閉曲線放在一起的空間，我們要尋求在它上面的譜分析，這是一個很困難的問題。量子場論還缺乏嚴格的數學基礎。用Renormalization的方法，出現很多無窮的cancellation問題。在物理上出現的問題在數學上會更為困難。因為物理學家願意接受直觀的證明的觀念，而數學家難以接受。可是從量子力學，量子場論推導出來的數學，幾何學家往往驚歎他們如魔術般的奇妙直覺（intuition）。在有限維空間時，由物理學引起的幾何，我們大致上都可以理解和證明。可是在無窮維空間裏面，我們發覺古典幾何學的直覺與真理有相當遠的距離，沒有辦法將有限維空間的想法簡單地推導到無窮維空間幾何上去。這十五年來，自從弦理論產生以後，我們驚訝地發覺從物理直覺產生的幾何結論往往是正確的。

雖然量子場論本身的基礎不夠精確，它的物理意義也不見得能夠說服所有的物理學家，可是得出來的幾何結論即使不能以物理學的思維來嚴格證明，卻意義深厚且往往可以用不同的數學方法來驗證。現在舉一個例子，這是一個很深奧而古典的問題，已經有一百多年的歷史：一個五次方程，它有五個變數，這是中學生都看得懂的方程。我們要解這個方程，我們問一個很簡單的問題，假如要求尋找這個方程的函數解，它是可以寫成一個參數t的有理函數，問這個方程有多少個這樣的函數解。這是一個很古典的問題，跟Fermat問題很相似。我們的解可以分為不同的類別，我們可以用t的階數來將解分類，一般來說解有無窮個。可是我們可以問階數等於一的時候有多少個解，等於二時有多少個解。古典的幾何學家算出來階數等於一的時候有2875個，等於二的時候也可以算出來，等於三是近幾年才找出來的，我們猜想它有無窮多個解，階數越大時解可能越多。數學家沒有辦法解答這個問題，連猜測都沒有辦法做。這個問題在十年前，用弦理論的鏡對稱猜測到一個公式，來表達所有解的個數。這個鏡對稱理論是十年前我的一個博士後研究員和在德州的一個教授跟他們的同事們建立的。鏡對稱沒有辦法嚴格地去證明這個公式，當時用古典方法一個一個地去檢查，發覺階數小時公式基本上是對的。可是這種檢驗不是公式的證明，從量子場論得來的結果一般來說不能當作定理。今年年初這個公式終於由劉克峰、連幫豪和我、以及俄國數學家Givental用數學的方法給出嚴格的證明。雖然最後的證明跟路徑積分的想法無關，但是得到這個公式的過程有很大的意義，因為在量子場論找到這個公式以前，數學家連怎樣找這個公式都不知道。等到這個公式找出來以後，我們才有辦法從公式本身去著想，得到它的證明。我為什麼要講這個問題呢？因為無窮維空間在物理上有許多直觀的想法，從數學的觀點來看，幾乎是不可能接受的。這種公式往往是從路徑積分加上正規化的觀念導出來的，在嚴格上和直觀上數學家都不能夠接受，但卻得出正確的答案。因此，我們要追究物理學家在量子場論的直觀是怎樣訓練出來的，我們幾何學家缺乏這方面的訓練。近十年來，從量子場論得出來的重要觀念，解決了很多我們以前沒有辦法解決的問題，可以看出古典力學、量子力學、量子場論對幾何的影響是很深遠的。我想這個發展會繼續下去，二十一世紀的上半葉，無窮維空間的幾何要不斷地受到量子場論的影響。如果單從數學出發，我們很容易地定義什麼叫做無窮維空間上的幾何，可是往往沒有辦法得出任何有意義的結論。這是因為幾何學家對現代物理的觀念搞得不清楚，而無窮維的幾何往往不是古典的直觀可以得到的。所以我們要接受從現代物理或其他自然界供給的觀念。這是一個很重要的交匯，數學家自以為很漂亮的工具，往往不能夠解決任何問題。假如物理上的直觀可以代表真的話，這種直觀會成為幾何學的骨幹。

我剛才強調從物理得來的幾何觀念，可是我們也應當知道幾何或數學本身有他生存和美的意義，也有生存和美的價值。我們可以不受到客觀世界的影響，推導很多很漂亮的理論。只要這個理論漂亮而同時能夠解釋很多幾何上的現象的話，他一定有存在的意義，這是我們做數學的人相信的。舉個例子來說，從牛頓以來，古典力學對微分幾何確有深遠的影響。到了十九世紀，Gauss卻有一個很重要的發現，把牛頓以後的微分幾何帶進一個新的紀元。這個定理引進所謂內在曲率的觀念，曲率的觀念在Gauss以前就有了。自微積分被創立以後，我們就知道怎麼處理二維的曲面， Euler等很多重要的數學家在這方面有很大的貢獻。曲率測量二維曲面在三維空間裏面的扭曲性，一般來說有兩個不同的方向，一個得出h，另一方向得出k，它們的乘積hk定義為二維空間的Gauss曲率。Gauss重要的貢獻是發現Gauss曲率只跟曲面的本質計量（intrinsic metric）有關。二維曲面變形時，只要本質計量不變，它的曲率就不變。例如圓形柱中間切一條線以後，張開來變成一個長方形。這個過程並沒有改變度量，所以圓柱的曲率為零。Gauss自己也認為這是一個很重要的發現。發現的過程跟物理或其他的科學沒有直接的關係，大概跟測量地形有間接關係。是Gauss經過很複雜的微積分計算，發現出來的公式，他發現曲率只跟本質計量有關。Gauss的公式並不容易看得懂。事實上，用不適當的座標表達的時候，微分幾何的公式可以變成很複雜，但這也是微分幾何漂亮的地方，往往在選取好的座標時可以得到很簡單的公式。目前在課堂上就可以很容易將Gauss的公式寫下來。這是因為我們已經將Gauss的想法全部吸收而融會貫通的緣故。有了Gauss定理以後才有黎曼幾何的發展。黎曼根據Gauss的發現，發覺我們可以推導一個全部本質的幾何學（intrinsic geometry）。我們只要知道兩點之間的距離怎麼度量，就可以引進曲率的觀念，距離可以決定曲率，這是黎曼幾何一個重大的突破，黎曼幾何要求歐氏幾何在一個無窮小的領域上成立，然後推導了曲率及一系列微分幾何上主要的觀念。

當時黎曼創做這個理論，基本上是好奇。因為他希望能夠重新解釋Gauss定理，同時又將Gauss公式推導到高維空間去，並解釋了幾個重要的觀念，例如歐氏幾何裏所謂平行公理的問題。一直到十九世紀後期，微分度量幾何的發展跟理論物理關係並不大。當年引進了很多不同的觀念都是基於微分幾何學家的好奇心。他們發現很多歐氏空間上能夠做的事情，都有辦法在黎曼流形上面做，微分和積分的觀念全部可以推導到流形上去，到了十九世紀末葉他們已經將微分幾何推廣到抽象而完美的狀態，當時的推導是基於公式的簡潔和優美。1915年，Einstein引進廣義相對論，使黎曼幾何得到進一步的改變。

黎曼幾何在Einstein的廣義相對論上有很大的貢獻。由於Einstein對微分幾何不太瞭解的緣故，剛開始推導出來的方程式是有缺陷的。到數學家跟他合作以後，他才推導出正確的方程，對黎曼幾何來說，這是一個很大的鼓舞，抽象的想法竟然得到物理學上的重要應用。反過來說，廣義相對論成功以後，對於黎曼幾何的發展產生了很大的刺激，整體微分幾何跟廣義相對論因此有著密切的關係。在黎曼幾何本身，我們當然能夠找到有意義和漂亮的問題，可是有一些觀念，幾何學家沒法單憑幾何直覺得出。到了物理學家要追求一些實際的問題時候，我們才瞭解它的重要性和解決它的可能性。

十多年前，我跟一個朋友做一個廣義相對論上的題目，這是一個好幾十年的老問題。當時幾何學家不太懂這個問題，物理學家向我們解釋清楚以後，我們才知道，它的特殊情形基本上是一個幾何問題。因此我們對它有很濃厚的興趣。我們將它用幾何的方法解決以後，才去處理物理學家要求的原始問題，我們從古典幾何的觀念來看這個問題的一般情形時，我們認為這是不可思議的。事實上，當我們將這個問題全部解決了以後，一個很有名的幾何學家還堅持這不可能是對的，可以見到古典幾何的直覺有一定的規限。反過來說，物理學家也有他們的規限，例如剛才講這個問題，他們想了很久也沒有辦法解決，而我們用幾何的方法卻將它解決了。所以這是一個互補的情形，有些命題在我們來說幾乎是不可能對的，物理學家卻極力堅持，認為物理的直觀會遇到挑戰，所以我們願意花很大的功夫去瞭解它。假設當時物理學家沒有極力堅持的話，恐怕我們不可能花這麼多時間去考慮它。以後物理學家引進超引力的觀念，簡化了上述問題的證明，反過來對幾何學有很大的幫助。Einstein的引力理論給幾何注進新的生命，物理學和數學的交流至為重要，這是幾何發展的一部分，這條路線會走下去，這是無可置疑的。

未來半個世紀，幾何學家會解決從古典廣義相對論裏面出現的問題，物理學家大概發覺這方面的數學問題有相當的困難性，所以不大願意做古典廣義相對論的理論問題。他們的興趣是時空的量子化，這當然是很重要的，它是統一場論的最關鍵問題：也產生了很多有意義的幾何問題，例如熵的定義就是一個有挑戰性的命題。

古典的Einstein方程是一個很漂亮的方程，產生了很多重要而有意義的幾何現象。其中最重要的是時空的奇異點問題。這幾十年來數學家研究奇異點，在代數幾何方面有很長遠的進步。一個很出名的定理是Hironaka 的Resolution of singularity，這是三十年前做的，與微分幾何不同的地方是代數幾何的奇異點是比較容易定義的。因為代數流型是用一組多項式定義的，流型本身可以定義奇異點。代數幾何學家有很有效的方法來瞭解奇異點的結構。另一方面Mather 和Arnold等好幾個數學家考慮了所謂平滑奇異點(smooth singularity)的問題；不一定由多項式定義，而是由平滑函數（smooth function）定義。他們引進了很多拓撲學的工具。基本上的方法還是變成多項式的情形來解決。可是這些方法對於時空的奇異點問題暫時沒有幫助。

研究一般性的奇異點，無論在物理上、微分方程上或者幾何上，都是基本的問題，這些研究正在萌芽，可是對於真正瞭解它們還是相差很遠。例如在廣義相對論裏，奇異點沒有一個很好的定義。我們知道奇異點是在時空的邊界上，跟我們現在所看到的Minkowski時空是不同的。這是簡單的事實，它的局部性質跟一般時空不一樣，但我們不瞭解他們的內在結構，連該問的問題我們都不太清楚，真是一個很困擾的狀況。廣義相對論的進步，要依靠我們對微分方程的瞭解。為什麼呢？因為古典的廣義相對論本身是由Einstein方程來決定的。假如我們脫離了Einstein方程，得出來的結論只不過是一個抽象的架構，不能夠說符合廣義相對論的要求。不幸的是Einstein方程式是一個很複雜的非線性雙曲線方程組。我們對它的瞭解極為薄弱。我們希望能夠從Einstein方程得到時空的奇異點觀念。當Cauchy problem 的初始值是光滑的時候，時間向前走，我們要問奇異點是怎樣產生的。瞭解了奇異點產生的機制，我們才能瞭解奇異點的結構。在廣義相對論裏，有兩個重要的奇異點：一個就是黑洞，一個就是裸的奇異點(naked singularity)。這兩個不同的奇異點有濃厚的物理意義，我們期望從方程上能夠瞭解他們。當初始值光滑時，這兩種奇異點如何產生。對一般的光滑初始值，裸奇異點可否出現？這是古典相對論最重要的問題。

一般物理學家研究黑洞時，用幾個主要的解來解釋它們的特性，這就是Schwarzschild的解和Kerr的解，可是這兩個解不見得有一般性。我們希望從微分方程或者幾何的觀點來瞭解這些一般解的性質。例如證明星雲毀減時，時空會漸近一些基本解，或者在這些解集合裏跳躍，也希望知道這些基本解奇異點的結構。找出奇異點的結構，不單對黑洞本身的瞭解有重要意義，重力輻射(gravitation radiation)的問題也會得到幫助。現在的觀察儀器差不多可以觀察到重力輻射。可是從觀察得到的資料的意義，還不清楚。因為無論從理論上或計算數學上，我們都沒有辦法從Einstein方程裏將輻射公式很透徹地瞭解。這個問題跟奇異點應該有關，在這幾十年內希望能有很大的進展。

我們看到的幾何現象都會有某種奇異點。我們怎麼去分類它？奇異點有不同的類型，一種是人為的，一種是自然的，這兩類奇異點我們都要去研究。人為的奇異點在工程計算往往會出現，而自然的奇異點則從物理方程可以推導出來。Einstein方程裏邊的奇異點是最困難的問題。規範場的座標沒有選好也可以得出奇異點。

Einstein方程不單是一個最重要的非線性微分方程，也影響時空的拓撲，對微分幾何學家來說是一個挑戰，因為奇異點可以將時空的拓撲吸取。一般來說，微分幾何從幾個背景來建立我們的理論，拓撲結構就是最重要的背景。當奇異點破壞了這個背景時，我們有時會手足無措。

微分幾何學家對拓撲學一直都很重視。現在講最近拓撲學的走向，跟微分幾何的關係。微分幾何跟拓撲學的密切關係可溯源至Euler公式和Poincare天文物理的研究。而複分析卻是微分拓撲萌芽的一個關鍵。它在十九世紀已經有很深入的發展，不過很多自然的複函數有單值化的問題。例如log函數在平面上有branch cut，所以複數分析要處理這個問題。從此處可以引出monodromy群對同調群的作用和整體拓撲學的一個發展，其實monodromy群可以看作規範場理論的一部分。用monodromy群來控制整體幾何和代數系統仍然是一個蓬勃的方向，通過群表示理論，它在幾何學裏起著很大的功用。由複分析理論引出黎曼曲面的理論，可以說是近代拓撲的第一塊基石，我們開始研究外微分形式的週期問題，例如dlog可以在C\{0}上定義而且在任何繞零的閉曲線有同樣的週期，這影響了de Rham定理的發現。拓撲學和複數分析結合起來以後產生了複幾何。高維空間複流形和代數幾何的發展息息相關，homology的觀念和代數Cycle的理論相關而互相輔導，Lefschetz Pencil和Morse 理論的發展也是互助的。二十世紀初期對流體方程和電磁方程的研究，使得幾何學家引進了Hodge理論，以後的Yang-Mills理論源于高能物理方程，卻可以看成為非交換的Hodge理論。為瞭解如何處理整體微分幾何的問題，Cartan,Whitney等引進了很多重要的觀念，其中纖維束和特徵類是其中最重要的。這幾個觀念影響了二十世紀整個數學的發展，包括了微分幾何、代數幾何、代數和數論。Whitney考慮了tangent bundle, normal bundle 和一般的vector bundle 的觀念。 Vector bundle在Whitney 手上變成拓撲學裏面一個最重要的工具。他考慮了Classifying space 的觀念並研究Grassmanian空間及它的同調群，因此引進了特徵類。他的乘積公式影響至今。Pontryagin 和陳省身更進一步考慮實數和複數空間的特徵類。

Pontryagin Class 和 Chern Class都可以用曲率表示，他們代表了大範圍的拓撲學觀念，而曲率是一個局部的觀念，這兩個觀念結合起來以後，我們就可以將局部的微分幾何跟大範圍的拓撲比較。微分幾何從古至今都期望從局部的結構來瞭解大範圍的幾何結構，這也是物理學家的期望，他們希望由微小的粒子理論和微分方程來推導宇宙的結構，可見物理學家跟幾何學家有很

多共同的想法。也因此我們都想瞭解奇異點的局部結構。

決定了流形的結構後，我們要研究它上面的規範場，由不

同的vector bundle可以得到不同的Yang-Mills場。Grothendick 建議將所有vector bundle放在一起，然後做簡單的等價和加法就得到所謂K群的觀念，這是幾何學很重要的不變量，Atiyah和Bott利用它解決了多個重要的問題，對時空的結構本身有基本的貢獻。通過特徵類，我們可以得到由K群到同調群的一個很重要的映射，這映射與Riemann-Roch定理有密切關係，這定理可以解決代數流形上的存在性問題，它能夠計算代數方程的解。從前Riemann 跟Roch在一維情形下首先得到這個公式。到了五十年代由於Sheaf 理論和特徵類的發展，Hirzebruch成功地將它推廣到高維空間。這可以說是本世紀一個偉大的定理。

有了Riemann-Roch定理，Atiyah-Singer將它普遍化成index theory。Atiyah-Singer發覺Riemann-Roch定理不單在代數流形上成立，同時也可以推廣到一般流形上。事實上這是橢圓微分算子指標的問題。加上Bochner的消滅理論，Index理論可以將橢圓算子的解的個數。變成拓撲學上的演算法。這個發展對近代物理，尤其是高能物理裏的anomoly理論有很大的貢獻。

Yang-Mills理論在物理上有基本性的貢獻。在近代拓撲學上也是舉足輕重的。事實上數學家對規範場論的觀念很早就有了。從Whitney發展vector bundle理論後，幾何學家也考慮其上的聯絡和曲率，但很奇怪的是他們沒有發展Yang-Mills理論。Yang－Mills理論考慮規範場的曲率，將它平方積分然後做變分得到Yang-Mills方程。從前的幾何學家對方程的興趣不大，有些古典幾何學家認為只有工程師才會去解方程。七十年代中葉才將Atiyah－Singer 的理論用到Yang－Mills理論上去，得到長遠的進步。以後最出名的工作當然是Donaldson的理論。以前物理學家只討論

上的規範場，問Yang—Mills方程的解的維數有多少或者怎樣去描述解的樣子。可是很少人問在一般的流形上，我們怎麼去解這個方程。Uhlenbeck首先考慮一般空間上的規範場的性質，而Taubes用Singular perturbation的方法更證明一個很重要的存在性定理。 Donaldson用了Taubes的存在性定理再加上Atiyah-Singer的理論，研究四維空間上Yang－Mills場的moduli space，他因此構造了四維拓撲學的不變量。這是很重要的貢獻，他解決了四維空間裏一個很重要的拓撲學問題。這裏可以看出來幾何學家的走法和物理學家不一定相同，物理學家當時只想解決

上面的問題。可是我們基於好奇心，發展了一套美麗的一般理論，然後解決了拓撲學上重要的問題。

Donaldson的工作以後，Mrowka 和Kronheimer 做了重要的貢獻。他們將Donaldson 的多項式結構搞得很清楚，引起了Witten的注意，Witten企圖要從量子場論來解釋這個公式。物理學家對Donaldson的不變量一直在注意，可是始終沒有辦法將他解釋得很清楚。到了Kronheimer和Mrowka將這個公式搞清楚了以後，Witten才用路徑積分的方法來瞭解Donaldson的不變量究竟在物理上是什麼意義。他與Seiberg用supersymmetric Yang-Mills的想法，得出所謂Seiberg－Witten不變量。這兩年來極為流行，在代數拓撲、微分幾何跟代數幾何發展裏面是一個很重要的工具。很多Donaldson理論沒有辦法解決的問題，例如Thom猜測，卻可以用Seiberg－Witten的辦法解決。Seiberg－Witten不變量跟原來Donaldson的不變量關係密切，但有驚人的簡化。Seiberg-Witten方程是非線性U(1) gauge方程 coupled with spinor得來的。Seiberg－Witten理論的最重要的定理是Taubes定理。他證明Symplectic流形的Pseudo-holomorphic curve 的個數與Seiberg-Witten 不變量基本等價,這是一個很深入的存在性定理,對四維的Symplectic 流形有深刻的貢獻,解決了很多古老的唯一性問題。究竟Taubes定理在高維空間有沒有好的推廣仍然懸而未決。一般來說, Symplectic空間的自構群是無限維的,所以橢圓形方程方法比較難以應用,但Taubes定理指出它的可行性,以後應當有進一步的發展。

很多四維甚至三維空間的問題由Seiberg－Witten不變量得到解決。是不是所有四維的問題都可以由此解決呢？我想差得很遠，四維空間的拓撲學實在很複雜，不可能由一兩個想法全部解決。由於複曲面是四維空間最基本的例子,任何四維空間的結構性理論都將與複結構有關,橢圓方程理論應當想辦法找出可積的複結構的條件。這樣會給出重要的訊息,也將是一個困難的工作。但可以確信的是，低維空間的幾何和拓撲息息相關。物理學指出八維以下的空間的理論都可能有交匯的地方。

三維空間的問題是一個很基本的問題，我想這裏面有一個很重要的工具還沒有完全掌握的。這就是存在性的問題。微分方程學常問什麼時候存在解？事實上在數學發展的歷史上，一個主要的突破是找到存在性定理的證明。我們在四維三維空間的存在性問題還沒有完全解決。我們希望微分方程能夠幫忙：橢圓系統存在性運用於低維的拓撲學上會有宏大的威力。我猜至少要幾十年我們才能夠將這些結構全部搞清楚。但是可以看出微分幾何會是物理、方程跟拓撲結合在一起的領域。從前Thurston用黎曼曲面和三維拓撲的方法得到一個重要的幾何結構存在性的定理,但他的假設使得他的定理不能概括所有三維拓撲。二十年前我建議Hamilton用他的方程來創造幾何結構,並解決Thurston的問題由於Hamilton頑強的分析能力,此事已有長足的進步.希望在未來二十年內, Hamilton方程能夠發揮威力來解決三維甚至四維拓撲的古老問題。

偶數維空間都與複幾何有關,但在四維和八維時有更豐富的幾何結構.它們可以有sp(1)和sp(2)為和樂群的結構.而八維時更可以存在spin(7)的結構.在七維空間則可以有

結構.他們的Ricci度量都等於零,而他們之間息息相關。物理學家很重視這些具有超對稱的結構,給我們帶進新的觀念,但是微分方程還是主要的工具。如何證明這些結構的存在性是極為有意義的分析問題,這些自然的幾何結構很有可能具有某些簡單的奇異點,這些奇異點往往有自然的物理和幾何意義,我們一定要解釋它在整體空間的地位。

在研究這些結構時,我們要考慮它的模空間,一般來說,有意義的幾何結構的模空間是有限維的。同時在可能的情形下，保持Hausdorff的性質。在Geometric invariant theory 的理論中，引進了結構穩定的觀念，就是為了對付這個問題。有時為了達到結構的穩定，我們可能在原來的結構上再加其他新的構造。

二十多年前,我考慮Calabi猜測這個問題,解決了相當廣泛的代數流形上的Kahler Einstein度量的存在性問題,這是重要的幾何結構.當時我應用它得出代數流形的重要拓撲量的不等式,在差不多同時，代數幾何學家Bogomolov和 Miyaoka利用代數穩定性理論亦可以得出類似的不等式,所以我開始尋找代數流形穩定性和Kahler Einstein度量的關係.第一個重要的結論是Donaldson在代數曲面和Uhlenbeck和我在一般複流形上的定理。在holomorphic vector bundle穩定的情形下，我們證明它有Hermitian Yang Mills場，這是一個很重要的結論，無論在物理學上和在代數幾何學上都有它的貢獻。以後李駿、鄭方陽和我更利用這個定理用來解決一個重要的複曲面的問題。因此我進一步猜測假如第一陳類可用Kähler的常數倍來表示，則Kähler- Einstein 度量的存在性和流形本身的穩定性等價，在我的討論班上，這是一個主要的討論項目。我曾經提出一系列的研究這個問題的方法，我的研究生例如田剛、羅華章等的博士論文都與這個問題有關，但這個問題還待深入理解。

我認為幾何穩定性理論除了對複幾何外，對一般非線性方程亦會有貢獻。我相信非線性微分方程，幾何穩定性和幾何結構的交匯是一個很基本的問題，在未來的幾十年裏將會有深入的互動，更可以想像的是它跟物理學上的renormalization flow會有密切關係。當結構穩定後，我們希望將全部結構完成一個緊致空間，因此要引進半穩定結構的觀念，而這些結構可以看做模空間的邊界,也因此一般來說它們有奇異點,這種自然產生的奇異點是微分幾何學裏面重要的奇異點,在這些空間上,研究它們的幾何結構,規範場和子流行是很有意思的事情,往往經過singular perturbation後,我們對原來光滑的幾何結構會有更深入的瞭解。

除了研究幾何結構的模空間外，還有規模場、子流形和全純映射空間的模空間，周煒良在代數子流形模空間上有偉大的貢獻。這些模空間的拓撲和陳氏類都是代數流形的重要不變量。他們有重要的物理意義，Donaldson 的不變量是從規範場的模空間引出，上述的弦理論在代數幾何上的應用是從全純映射的模空間得出，如何暸解這些模空間的拓撲意義是極為重要的。事實上，Donaldson理論的一個重要起點在於Hermitian Yang Mill和anti-self-dual connection 的等價性，而後者在一般的四維流形亦可定義，其模空間在generic的黎曼度量下最為清楚。代數幾何的工具可以計算Donaldson不變量。而後者讓Donaldson證明它是微分不變量。Donaldson對這些模空間的瞭解是他的理論成功的一個原因。

代數幾何學裏一個最重要的問題乃是Hodge猜測。如何知道一個拓撲同調類可以由代數子流形來表示，這是一個困擾了數學家大半世紀以上的問題，它在數論上亦占一個重要地位，在未來的世紀裏它應該得到解決。與此相關的一個極為重要的問題問：複的vector bundle 在甚麼流形下有全純結構？及複流形什麼時候存在可積的複結構？這都是極為重要的問題。它們的模空間如何描述？Hodge結構和Torelli定理就是很重要的關鍵，它在高維空間的推廣和在vector bundle的意義是值得發展的方向。

弦理論引進了奇妙的對偶觀念，我們需要深入地瞭解其中的幾何意義，這些對偶將上述各種幾何結構、規範場和子流形漂亮地連結起來而得到出乎意表的結果，我們不可能漠視他們的重要性。基本上，幾何學家應當有宏觀的視野，表面上不同的結構可藏有深入的聯繫。

算術幾何的發展使代數幾何開闊了視野，它引進了重要的工具，也漸漸地影響了微分幾何的看法，尤其是Calabi-Yau流形與算術幾何的關係日益密切，弦理論的對偶理論和算術幾何的L函數的發展應當指日可待。

算術和幾何的互動無可避免會考慮Arakalov幾何和由此引出的微分幾何問題。有限域上的幾何可以提供微妙的方法來瞭解一般代數流形的性質。在這方面最著名的定理是Mori在有理曲線方面的著名工作。我們希望能夠從不同的角度用幾何方法來瞭解Frobenius action.最近幾年來在Calabi-Yau流形上的工作，顯示它在算術上的關係將會愈來愈密切。我們需要一個通盤的考慮，將算術幾何、代數幾何、微分幾何、分析和弦理論的保角場理論結合在Calabi-Yau流形上來討論。

Shimura流形在算術幾何和分析中有很重要的應用，但我們對它的拓撲和種種幾何性質瞭解並不清楚。我想在這個問題上，高維拓撲的理論會重新發現它的重要性。舉例來說，如何決定一個流形拓撲與Shimura variety同胚是一個有趣的問題。

更進一步的問題是，什麼時候可以決定一個流形是某些自然結構的模空間。研究模空間的拓撲性質需要融合幾何幾個不同領域的學問，它的intersection cohomology和 L² cohomology的關係就是一個例子。

微分幾何經過種種的融合後將會是多姿多彩的，但是它能否有足夠豐富的結構來迎合近代物理時空量子化的需要，這是一個意義深長的問題，有人建議用非交換幾何的架構，有人建議碎形幾何，讓我們拭目以待罷。

開始時，我談到幾何的發展受到應用數學的影響。在古代測量地形和建造房屋、金字塔的時候很明顯地意識到平面和立體幾何的重要性，以後Kepler對二次曲線和正立體的興趣更指出天文物理和幾何的密切關係。

自從古典力學和工程學得到良好的結合以後，很多自然界的現象，例如水流、湍流、光波散射的種種問題都得到某些認識並引出優美的幾何現象，例如geometric optics和孤立子Soliton等理論都是很有意思的問題，近代電腦的進步影響了圖論的發展，更引進了很多幾何的觀念，而pattern recognition, computer graphics更是直接的用到幾何的方法，例如多維圖形的剖分，離散群和格點的分佈等等，可以見到幾何學家不應忽視工程上的問題。

微分幾何確是一門豐富的學問，本文並未概括所有有意義的工作，但已經看出二十一世紀的幾何學將會是數學和一般科學的中心。

2004年10月18日

第三章、最小作用量原理

(一）

把物理学和力学联系在一起的相对性原理，守恒原理不同于把物理学从力学中分离出来的不可逆原理。它们都有长久的历史准备。这些原理很久以来或是以某种很特殊的形式。或是完全相反是以很一般的，并且甚至是模糊的形式为人们所知晓。这就是下面要讨论的变分原理。[1]

表征实际发生过程的某个量的最小值的概念最早是在运用于各别现象，即光的反射而被提出来的，海仑·阿列克山德里斯基说过：光的反射定律可以从最短光程条件得出来.光速在反射时也不变,因此最短光程就对应着最短时间。这一要求是普遍适用的。并且由此还可以得到折射定律。1662年费马根据以后称之为费马原理的最短时间原理求出折射定律。如果光速u在点A和B之间的路径上连续变化，费马原理就可以表示为要求速度的倒数沿路径积分，即：

在力学中类似于费马原理的原理到十八世纪才为人所知晓。但是最早提出这个原理差不多和费马同时，1669年莱布尼茨在意大利旅行时写了一篇研究动力学基本问题的论文。这篇论文过了廿年之后才发表[2]。在此论文中引入了作用量（《actio formalis》）这一概念，即质量速度和路径长度的乘积。而路径长度等于速度和时间之积，因此作用量同样确定为质量，速度平方和时间的乘积，即活力乘上时间。在一封信中（但其真实性曾遭到怀疑）莱布尼茨写道，当物体运动时，作用量通常取极大或极小值。[3]

过了若干年到，1744年莫培督提出了把最小作用量作为运动和平衡的普遍规律的主张。当他写到“作用量”时是把一专门术语理解为质量，速度和物体所通过的路径的积。物体将以使其作用量为最小的方式运动；当物体的微小运动是以最小作用量为特征时物体就达到平衡状态。就十八世纪的情况来说莫培督的著作挑起了前所未有的激烈的争论。靠牛顿力学支持的、单一的、因果联系的观念此时已经被纳入反对神学教义的思想斗争的武库之中。而在力学里面，根据目的论的原则，或是至少根据被赋予目的论式原则推出力学规律的观念也表现出来了。莫培督不但赋予最小作用量原理以目的论的形式，而且还有目的论的色彩。他主张，如此合乎目的组建起来的整个自然界可以用证实了“造物主的存在和智慧”这一目的唯一原则来解释。达朗贝尔在《百科全书》中用一系列论文回答了莫培督，而伏尔泰则是用机敏的，辛辣的抨击短文回答了他。许多人都卷入到这一争论之中。追随百科全书派的思想家们嘲笑莫培督的目的的概念。欧拉总的说来是不愿意在科学问题的论文中引入宗教动机，但是这时作为一个反对自由思想的宗教卫士，在这场思想战线的斗争中，确实是以某种修正意见参加到莫培督这一方。但是，在莫培督的著作中还有不久后欧拉发表的最小作用量定律所表现出来的更深刻更完善的研究工作中的真正思想很快就撑破了本来为宗教辩护的目的论的外壳。

由于所受神学教育的原因，本来在一定程度上支持莫培督的欧拉在那时却为消除最小作用量原理的神学色彩而作了许多工作，这也就是欧拉对最小作用原理所进行的研究是同建立变分计算联系在一起的。

在1696年，由约翰·伯努利提出并解决的最速落径问题对于变分计算的形成过程有着特别重要的意义。在点M1和M2之间可能有无数条曲线通过。在这些曲线中有一条曲线具有以下性质：一个质点在其重力作用下从M1到M2沿着这条曲线运动时可以比沿着另外的任何一条曲线都更快地达到终点。通过M1和M2的每一条曲线都对应着连续的和连续可微的函数y=f(x)。质点在重力作用下从M1运动到M2的时间将等于某个积分T。这就需要从一切可能的函数f(x)中选择出那样一种使得积分T取最小值的函数。

在解决最速落径问题的时候，伯努利同时还指明了解决类似问题的一般方法，其中有一个就是所谓等同问题。这个问题要求找到某一种封闭曲线，一方面曲线长度保持不变，另一方面还要使由此曲线所限制的面积取极大或极小传值。对这种情况，伯努利提出了一个原理。照这个原理来说，倘若曲线提供了极大值或极小值，那么曲线的每一个无限小的部分也同样具有这一特性。这个原理没有普遍义，在许多情况之下曲线并不具有上述质。可是由于注意到伯努利提出的原理在被证实为正确时的那些条件，这就使欧拉在阐述最小作用量原理上迈出了十分重要的一步。莫培督研究了物体所通过的所有的路径，欧拉由于注意到路径元同样可以给出作用量的极大值或极小值，他研究了这样的路径之后就在其方程中以路径元ds代替有限路径了。1697年，约翰·伯努利又推出一个求最小值的问题，即导出任意曲面上的给定两点间的最短程线问题。在解决此问题时，伯努利得到了用于确定测地线的一些主要的结果，他还建议欧拉去研究这一问题。在十八世纪二十年代末到三十年代，欧拉多次致力于变分计算领域内的工作。1744年发表了欧拉的名著《求具有极大值或极小值或是在更广泛的意义上来说，解决等周问题的方法》[4]欧拉把一篇不长的论文安置在附录工之中，这篇论《用极大值和极小值的方法确定在没有阻力的介质中抛体运动的问题》，他在此论文中指出，当物体在向心力的作用下，从点A以速度v运动到点B时它将描绘出某个轨迹，该轨迹对应于积分

的极大值或极小值。

欧拉注意到由他所简单阐述的原理只是在适用于活力定律的情况下才能应用。相反，莫培督认为作用量的最小数量原理比活力定律更广泛。但是在欧拉的论文中，最小作用原理获得了比莫培督原理为普遍的特微，莫培督只是研究了有限的并且是间断的速度变化。与此相反，欧拉根据最小作用量原理可以得到轨迹的微分方程，这样一来最小作用量原理就可以用于连续运动的情况了。总之，在欧拉的工作之后，莫培督的研究只有历史上的意义，这样说并不过分。欧拉解决了一系列关于抛体运动的问题，并且使问题的条件进一步复杂，从研究均匀的重力场开始，接是高度函数的场；还有两个相互垂直的力对物体的作用等等。欧拉总的结论是在介质无阻力时最小作用原理具有普遍意义。这个原理不仅关系到单个物体，而且也关系到若干物体构成的体系。

欧拉的这种观念在比他年轻的同代人拉格朗日那里得到了充分的发展。在把力学变成了纯粹的数学分析的学科之后，拉格朗日还把使人惊叹的数学上优雅完美的特点赋于力学。这时应该说一说这个概念的内容和意义，所谓完美就是解的普遍性。然而优雅完美的准则对数学科学而言决非最重要的，无怪乎波尔茨曼曾经说过“裁缝和鞋匠也要保持优雅完美”。就在力学中，当力学为超出力学本身范围的规律创造出一种形式化的工具的时候，在这种时期，力学的完善优美的准则曾起到特别重要的历史作用。此时由于数学上的完美性、普遍性，因而无须动用力学和几何学的概念就可以把已经建立起来的数学分析的关系推广到一些新观象的范围里去。

还在1760——1761年的两篇研究最小作用量原理的论文中，拉格朗日就把欧拉的结果作了推广。无论欧拉对于把最小作用原理推广到多个质点之可能的见解如何，在他的著作中，这个原理还是针对一个质点来进行的。拉格朗日把这一原理推广到具有质量mi的n个质点的任意系统。这些质点彼此之间以任意方式处于和距离的任意次幂成正比的有心力的作用之下。在这种情况下，系统的运动由取和式的极大或极小值条件所决定。即:

拉格朗日引入的所谓等能变分的概念很重要，也很富于成效。问题的实质是拉格朗日从活力守衡原理出发导出了最小作用量原理。他比较了连接点Ａ，Ｂ的满足能量守衡要求（E=const.）的轨迹，并得到以下结论；对应于量

取极小值的轨迹，将是那些轨迹中的真实轨迹。在一般情况下，当总能量E=T+U相同时，质点将以不同的时间间隔通过A，B之间的空间路径。在空间中不同地点的势能一般来说是不同的，因而在总动能量Ｅ不变时动能应当发生变化，也就是说质点速度要发生变化。不同的速度也就意味着质点从Ａ移动到Ｂ所需要的时间间隔不同。倘若在质点上没有力的作用，则问题就变成确定质点在恒定的速度下用最短的时间所走过的空间路径。显然，这个路径将是直线。在拉格朗日所赋予的那种形式下的最小作用量原理可以认为是力学的根本原理。它不仅以要求某种积分不变的条件限制质点或质点系的运动，而且还以单值的形式指出了在已知初始条件时系统和质点实际上要如何运动。能量守恒原理所指出的只是什么样的运动是可能的。在物体运动的每一种情况下能量守恒原理都能得到一个方程，然而一个方程是不能单值地决定实际的运动。为此有多少表证运动的独立坐标就需要有多少方程，比如确定自由质点的运动就需要三个方程。最小作用量原理却提供了必要数量的方程。在提出极大或极小值问题之后就为每个独坐标提供了其所特有的方程。最小作用量原理以其积分的特征而区别于另外一些变分原理。它所研究的不是表征各个点运动的这样一些所谓运动的微分属性，如在某点的速度等，而是研究表征在一个有限区间隔上的沿着某个路经积分来量度的运动的属性。由此可见在变分问题的公式中所以不包含点的坐标。从数量中来说，上述间隔和点的坐标无关，并且是坐标变换不变量。因此最小作用量原理所表征的是与坐标系的选择无关的运动。

莫培督和欧拉的量小作用量原理的特征就是这样一种情况，可是他们并没有明确地认识到初始条件在单值地确定质点或系统运动时所起的作用，在拉格朗日所提出的量小作用原理的公式中，初始条件的意义是十分明显的。

拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力学方程得到推论，同时反对把它当成是宇宙间的普遍原理的观念。这一情况是同他对先验论的思想体系的敌对的态度联系在一起的。拉格朗日对待力学，特别是对最小作用量原理所持的态度就同他对待微分计算（原理）一样。马克思在说到拉格朗日时这样写道：“…至于说到纯粹分析，拉格朗日事实上摆脱了牛顿的流数，莱布尼茨的各阶无限小量，消失量的极限理论，作为微分量系数的符号的 0/0=dy/dx 等等中的所有那些在他看来是形而上学的先验的东西。”[5]

拉格朗日彻底抛弃了对最小作用量原理的形而上学的认识，并把它解释为纯力学的原理。而且因为在拉格朗日那里，力学是变分问题的一个特殊阶段，这样，原理就好象完全被形式化了。对原理加以形式化是扩展其物理内涵的条件。拉格朗日的分析力学的概念和方法，首先是广义坐标法，其总的历史作用也正体现在这里面。上述拉格朗日的基本方法和最小作用量（分析力字的基本概念）已然获得了如此广泛的形式，但还欠一步，有了这一步最小作用量原理就从力学的原理变为物理的原理，而广义坐标的方法同样也就是从力学的方法变为物理的方法。[6]

这最后一步是由哈米顿和另一些十九世纪的学者所实现的。我们不准备谈哈米顿科学活动的传记，然而有一个情况必须提起注意。这就是光学的问题已成为导致哈米顿发现力学变分原理之新形式的出发点。在莫培督的著作中，对光学的研究在使力学向着概括范围更大的方向发展所起的作用是十分明显的，而这种发展日后要影响到不能归结力学的物理过程。在拉格朗日的著作中，并没有力学与物理学（在这种情况下是光学）之依存关系的“个体发生学”的证据。可是在哈米顿的著作中，在这位学者自己的创造性工作的道路上我们就会遇到光学与力学的联系。哈米顿研究工作的第一阶段就是致力于光学，并提出园锥折射的予测，这种予言被实验证实是正确的，并且和海王星及门捷列夫预期的新元素的发现一起成为科学预见的经典的范例。在他的著作中，在几何光学方面哈米顿力求找出可以完全表征系统的某个函数。就此问题哈米顿曾这样写道：“在其他关系上这一函数在原作者看来好像是极其高度概括结果的表达式…，这个著名的结果一般被称为最小作用规律，有时叫最小时间原理，它里面包含着迄今为止所揭露的确定光线传播路径状况与形式的全部法则以及由正常或反常折射，反射所造成的传播路径的方向的改变。如果光线沿着它自己实际的路线进行而不是沿着其他任何一条路线进行，或者至少是从方法上来说具有被叫做变分等于０的路线进行时，那么，在一种理论中是作用作量来表示的某个量，而在另一种理论中则是光从一点传播到任一点所耗费的时间，二者都是将取最小值”。[7]这样，哈米顿在此就已然指明力学中的最小作用原理和光学中光传播的最小时间原理的密切关系。从费马原理出发哈米顿研究了充分地表征光学系统的函数：

这里A（x0，y0，z0）和B（xk，yk，zk）是边界点的函数。为了要从

δV=0

这一要求确定函数Ｖ，哈米顿把V当成边界点的函数，并且求得指出光线的方向的余弦和边界坐标关系的方程。这些关系类似于力学中的拉格朗日方程，而且函数就相当于作用量积分。

以后哈米顿又提出：几何光学可以运用与光传播的波动图景或微粒图景无关的同一数学分析的概念。在决定光的几何特性上光的微粒说和波动说在很大范围内都导致同一结果。光线可以认为是垂直于某个波阵面的直线，也可以认为是光粒子的轨迹。然而观点改变并不会使数学工具发生变化。这一情况也显示出在力学过程和光学过程之间的深刻的类似的基础。这一深刻的相似已然为哈米顿所提出，并且在日后建立新的物理理论中起着重要的作用。

在卅年代哈米顿把变分原理系统地运用于动力学问题。第一编著作写于1833年，哈米顿把它称之为《用我的特微函数研究的三体问题》。此后又发表了一系列其他著作。在这些著作中他所阐明的变分原理总的说来不同于最小作用量原理。按照哈米顿原理，这里不是用动量沿路径的积分而是用另一个量的最小（或最大）值表征质点的真实路径，这个量就是拉格朗日函数对时间的积分。若t0时刻质点在第一个位置，t1在第二位置，现比较在给定的时间内质点所通过的联接这两个点（质点的位置）且适合于约束的那些不同的路径，拉格朗日函数的积分

对于真正的路径来说将取极小值或极大值。这样，此处情况就和最小作用原理不同，已然撤销了在实行比较的各个路径上要有个恒定的能量数值的要求。出现在积分号下面的是另外一个函数，量W不只可以取极小值，而且可取极大值，就如同

那样，对真正的路径来说有最小值。

对保守系而言，拉格朗日函数将等于动能与势能之差，即 L=T－U 此时哈米顿原理和最小作用原理一致。从积分的等能变分过渡到新的，要求拉格朗日函数对时间积分的变分取０的变分原理，这件事对实际运动来说具有头等重要的历史意义。要是能量在某个时间隔内发生变更，那么不只可以排除点 A 和 B 的坐标而且也无须再假定质点组全体从空间的一个点转移到另一个点，换句话说，变分原理不仅仅属于力学过程。

力学基本原理的这样一种重要的推广对于目的论的主张来说自然是有利的，不过这并不是哈米顿本人在此问题上的过错。和拉格朗日一样，哈米顿力求赋予力学变分原理以尽可能严谨的形式化的数学形式。他反对那种目的论的“自然界的经济”原理。他这样写道：“这样一来尽管最小作用原理已然加入到最高级的物理理论行列。然而它对于宇宙发展论的必要性及宇宙中经济原则等主张现时总是遭到排斥的。”[8]

与此同时哈米顿认为最小作用量原理极为广阔，不只与动力学，光学相关，而且也涉及到全部物理学。在一封信中，他谈到囊括所有物理基本问题并且从最小作用原理推出其解答的单一的理论，这种理论体系当然是未来的事了。哈米顿写到“目前要是动手研究这一最广泛的把最重要的物理现象都归并在一起的课题或许是轻率的，不过要是指出这种动力学原理仅仅是我们已然在光学中运用过的那种观念的另一种形式或许还是恰当的”。[9]

实际上从最小作用量原理严格地推出物理规律的可能性要求把它从先验论的物理解释尤其是形而上学的解释中解脱出来。哈米顿指出“我对动力学的研究现在处于完全不同的方向，这一方向使我要对积分质点系微分方程之严谨的的，普遍的表述体系进行研究”。[10]

对最小作用量原理所做的进一步形式化的工作是雅考毕在十九世纪卅年代所完成的。他又把新的形式赋予这一原理。对一个只有质量m的质点而言哈米顿原理在新的形式上变得很简单。雅考毕把质点的两倍动能 T 乘上时间 dt。两倍动能可以认为是质点质量与其速度平方之积。

这里ds是质点轨迹的长度。把2t乘上dt之后得到。

在最小作用原理的表示式中积分号下面的并不是作用量，即能量乘以时间。我们可以把最小作用量原理表示为

把积分表示为新的形式，则

在这种条件下，不是对时间而是对路径求积分。如果力是保守的，且动能T等于总能与势能之差，则上式就是可用另一形式替代

在此式中雅考毕提出了一个质点的最小作用原理。也可以把它推广到质点系。这里重要的不是对时间而是对路程取积分。对一个质点而言相应于最小作用量的路径是三维空间中一条确定的曲线。对于质点系而言我们可以把实际的运动认为是多维空间中的轨迹。

我们取一质点，该质点在某一曲面上作惯性运动。这一质点正处于离心力和反作用力相互平衡的作用下。这一对力没有切向分量，因而质点速度的绝对值保持不变，也就是以不变的速度沿测地线运动。这样问题就归结为寻求测地线。于是变分原理在相当大程度上实现形式化的数学关系，也就是几何形式。正如我们以后所见到的那样，这种形式是极为有效的。下面将简要地谈一下对变分原理继续进行形式化的历史意义。

形式化在历史上的双重的进步意义，首先拉格朗日所说的一切都影响到哈米顿和雅考毕。当力学从属于物理规律，而且在力学中不只为其自身，同样也为适用于其他领域准备了工具的时候，那种显示已然失去力学解释的动力学规律的表象就成为这种准备工作的重要方面之一。广义坐标法和最小作用量原理就从按力学自身意义上来说是力学的，然而却是广义的运动规律，变成为物理学的方法和原理。以前说过，把力学规律作出这种推广的前题从一方面说是数学，因为数学总是较为全面地回答它所提出的问题；从另一方面说则是在十七至十八世纪对力学所进行的哲学上的总结。在哈米顿的著作中，作为力学原理的最小作用量原理的更为精美的形式得以进一步发展的时候，这就意味着它已然成为一种潜在物理原理。数学发展中所蕴含的力量和在力学需求的刺激下出现的数学中的“自由竞赛”已然把科学推向前进，使科学得到的已然不是力学而是物理学的解释了。哈米顿，雅考毕致力于最小作用量原理的著作的历史性的进步意义就在于此。

问题的第二方面是对力学概念所进行的哲学上的总结。除去因历史局限性出现的形而上学的绝对化的趋向之外，实际上把原始的模式的推广和变更这两方面综合在一起的工作已然在发展着的科学史出现了。当然，直到阶级斗争的实际变化情况，（特别是在工人运动中反击伪社会主义思想上的冒牌货的时候）使得对自然科学作出辩证的综合概括已成为马克思主义的首要任务的时候，直到在“反社林论”中对此问题作出解答之前，这种综合概括一直是在自发地进行着。然而这种自发的形式在十八和十九世纪先进的自然科学家世界观中反形而上学的动机对于科学发展却具有重大的意义。就是那个企图充当“自然体系”作者的拉格朗日，那个被包斯考维奇[11]声言要处以火刑的伪君子拉格朗日，那个欧拉在致“德意志公爵夫人的信”中讥笑是在作神学练习的拉格朗日却自觉地占据了十八世纪思想战线上反形而上学的阵地，自觉地力求消除最小作用量原理上的形而上学的色彩。哈米顿和雅考毕是自发进行这一工作。在当时对“适合于一定目的地起作用的自然界”的讨论重复过多次，然而已经可以看出这是落后于时代了。在十九世纪对最小作用量原理所进行的这样或那样的形式化的工作表明它已然从由莫培督开始的形而上学的传统中解放出来了。

雅考毕准确地指出了最小作用量原理的意义。这个意义首先在于把这一原理和拉格朗日的微分方程联系在一起“……其一是拉格朗日用于提出运动微分方程的形式，其二是给出了这样一种函数，当这些方程得到满足时，此函数取极小值”[12]同时雅考毕还提出在对此原理作出合理解释的情况下，也就是在确已查明它同运动微分方程的联系之后也就不再为最小作用量原理的“形而上学的原因”保留什么地位了。

继哈米顿的雅考毕之后，奥斯特洛格拉斯基[13]为最小作用量原理的发展作出了新的，重要的贡献。1848年在圣彼得堡科学院报告文集中他根椐比哈米顿更为普遍的条件提出了最小作用量原理。哈米顿当时假定受最小作用量原理所支配的系统不是自由系统，它被这一条件所限制，即其动能为广义速度的二齐次函数，并由此提出稳定约束的假定。在1848年奥斯洛格拉斯基不用这一条件而研究了最小作用量原理。

在十九世纪后半期由于索富斯. 李[14]和其他数学家的工作（对这些人正象对奥斯特洛格拉斯基一样，那些动力学问题乃是更普遍的，在本质上是微分方程论及计算这些数学问题的个别情况）经过仔细研究的哈米顿雅考毕力学的合乎逻辑的数学工具被建立起来。其中最重要的是把变分原理和一特殊的变换理论即被称为切触变换的理论联系起来。这种变换从几何上可以解释为某种曲面的改变，以后具体到物理上可以解释为等作用量曲面的变更。从另一方面来说变分原理又可以解释为质点的运动规律，这样，物体沿确定的轨迹运动和某种曲面的传播，这两种物理形象就由此而接近起来了。这种接近一出现，波动过程理论和离散物体运动理论二者统一起来的问题也就提到科学之中了。这两种理论在非古典物理中即在本世纪廿年代的波动力学中得到统一。这里对古典物理学所进行的数学概括在为非古典理论所做的准备工作上的作用显得十分鲜明。

从哈米顿原理的纯力学解释过渡到为非古典概念作出准备的更为普遍的认识在很大程度上是以自发的形式进行的。作为思想家的赫姆霍茨力图把物理过程归结到它们的力学基础上来，并且也只是在纯力学的意义上去理解最小作用量原理。1886年他把这一原理系统地运用于力学，热力学和电动力学等问题。他引入了促进概括这一原理的物理解释的动势的概念。所谓动势，是这样一个量，将它对时间求积分就可以得到作用量。而且不用对该量作任何力学解释，就可以出现于物理学的各个不同领域之中。在赫姆霍茨的著作中，并没有把动势解释为导出量，即动能和势能之差，而解释成作为出发点的量，因为动势有可能不同于T－U这一力学概念，所以上述情况对过渡到最小作用量原理的非力学的认识来说是重要的一步。在力学以外，也就是动能和势能的差异失去直接的意义的场合，在给出能量时动势可能取得单值形式。由于动势概念是独立的，因之就可以把最小作用原理认为是物理上可逆过程的普遍原理，这样一来，也用不着把它归结为力学的规律了。换言之，也就是不必把最小作用量原理作为力学原理加以解释。

由于在电动力学中无需任何一种力学模型就可以阐述其内容和引用哈米顿原理，所以普朗克这样写道：最小作用量原理所经过的历程和能量守恒原理相同；“能量守恒原理起初同样认为是力学原理，只是由于作为机械论宇宙观的证据而赋予它普遍的意义。目前机械论宇宙观受到强烈的动摇，然而无论什么人都没有开始怀疑能量守恒原理的普遍性。如果现在把最小作用原理看成是纯力学原理，那么可能会不自觉地陷入片面性之中”。[15]从赫姆霍茨开始，他就运用哈米顿原理把最小作用量原理推广到电动力学和热力学的概念形式之中，此外从数学上对原理进行分析研究是上述推广的不十分明显的形式。在变分原理的历史中我们还会遇到高斯的名字。高斯可以说比其他任何一个人都更多地反映出十九世纪科学在数学，力学和物理学上的思维特征。这一特征就是断绝了同上个世纪的单线的，唯理主义的关系并为廿世纪非古典物理做出了准备。这些在其主要著作中都曾涉及到，不过更多地反映于其扎记的片断。这些扎记都是记载在书信，日记上或是在读过的书的空白处仓促写出。这些似乎是属于传记的情况却反映出十九世纪前期许多思想家的人生观，世界观的某些普遍的特点。如为辨证思维提供诸如 “浮士德” “哲学百科全书”等不朽范例的强有力的思潮，以及在数学和自然科学中那种 “非直线”思维的不甚明显然而至少颇富成效地蔓延，总之，这一思潮的总体，归根结底全是十八世纪末席卷整个欧洲，并且以雅各宾党人专政达到顶点的，工业的，社会的，政治的，革命的结果。在法国以外革命的影响是间接的也是不鲜明的。“法兰西革命的德国理论”，即黑格尔的哲学方法，可以说是和国际政治结论相配合的。恩格斯这样写道 “……这个结论的特殊形式当然是下列情况造成的，黑格尔是一个德国人，而且和他同时代人歌德一样，拖着一根庸人的辫子，歌德和黑格尔在各自领域中都是奥林巴斯山上的宙斯，但是两人都没有完全脱离德国的庸人气味”[16]在这两个人的名字后面似乎要添上高斯的名字。他一方面有如数学上的宙斯那样英勇无畏地开拓，另一方面由于在“城邦分子的叫嚣”[17]面前感到害怕使哥廷根大学教授不得不对更为激进的数学，力学设想明智通达地保持缄默，这两者在高斯的传记中极富于特色地交织在一起。

财长这个演讲信息量极大。结论很清楚，会掉到5以下，如果没有措施的话（但远水救不了近火）；长的措施说得很清楚；短的很隐晦，因为心知肚明，“不论如何，要混过当下”。发债-卖公产-货币。少读刺激肾上腺的报告。

4月27日 06:57 来自 360安全浏览器

年初至今银行涨了11%，上证涨了37%，300涨了34%。中小板61%，神创94%，如果觉得转跌市了，银行它肯定跌得少//@刘煜辉lyhfhtx: 回复@番禺来客:减息会让银行减得发软。怎么补也补不上//@番禺来客:银行跑不赢大盘。

@刘煜辉lyhfhtx

有人解说为全面复辟了。不至于吧。高度重视经济下行的风险。风险来自主体风险偏好自我強化的收缩。着力点是解决好主体表的问题。改革蜜月期或已经结束，进入“痒痒”期

5月2日 18:54 来自 iPhone 6 Plus

今天 14:52 来自 360安全浏览器

回复@番禺来客:减息会让银行减得发软。怎么补也补不上//@番禺来客:银行跑不赢大盘。

@刘煜辉lyhfhtx

5月2日 18:54 来自 iPhone 6 Plus

今天 11:49 来自 iPhone 6 Plus

5月2日 18:54 来自 iPhone 6 Plus

混过当下。但应该是在预期之内price in, 该调的还是会调一调。但场外陈兵百万。银行和居民时下都缺合意资产。政府一时半会未必能如愿制造出那么多合意资产，像09年那样。利率喘口气，白马和防御跑赢吧。赚钱乏趣的时间，又会想起了港股通等洼地。

5月1日 07:59 来自 iPhone 6 Plus

混过当下。但应该是在预期之内price in, 该调的还是会调一调。但场外陈兵百万。银行和居民时下都缺合意资产。政府一时半会未必能如愿制造出那么多合意资产，像09年那样。利率喘口气，白马和防御跑赢吧

5月1日 07:43 来自 iPhone 6 Plus

神创服了//@刘煜辉lyhfhtx: 习惯上告别神汉后，又可能重回神创中//@松子玲：期待刘老师对行情和关键点作较为全面的论述

@刘煜辉lyhfhtx

早还资本以自主权，何至于骑虎难下呢【江西铜业：控股股东将持股比例减至39.08%】据江西铜业递交给上海证券交易所的公告，江西铜业的控股股东江西铜业集团公司在2014年12月8日到2015年4月17日期间，减持了公司4610万股A股。

4月20日 20:29 来自 iPhone 6 Plus

4月30日 11:51 来自 360安全浏览器

OQE的较真

QE的较真

看到这几天围绕QE的较真。不知怎么，被定义为常规子弹打完后的手段，当事人明白可以理解，偷换概念；不明白的就是较真的呆。为啥不叫QQ呀，名字而已。美国当年QE是压长端利率，而量却是根据财赤的量做的。这就是为什...

发布者：刘煜辉lyhfhtx

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4月30日 07:10 来自 iPhone 6 Plus

QE被理解为常规子弹打完后的手段，呆。为啥不叫QQ呀，名字而已。美国当年QE是压长端利率，而量却是根据财赤的量做的。这就是为什么美国QE时，十年公债利率还在4%，现在停了QE，利率反而掉到了2%。因为财赤下来了。QE根本还是财政融资的补充手段。就中国当下刚兑要兜底的量，不做这玩意，利率能下来吗。

@刘煜辉lyhfhtx

把QE当做一种纯技术性手段来理解。忽略了其所以然。它的本质是一种财政行为。美欧正常时期财政和货币在国家法律层面基本还是要求分离的，这和西方经济学理论也是相一致的。危机中，居民企业金融的表倒了，需财政挺身避免债务通缩螺旋，财政和货币合流。中国由于体制，政策性金融是天然特色的合流平台。

4月29日 07:27 来自 360安全浏览器

4月30日 06:10 来自 360安全浏览器

中国在改造大表的实验，股票作为一副产品，有些事情可能是避免不不了。人民币可能承诺年底实现可兑换，换进入SDR，这次不进又要等5年。趋势当中，股票可能不能老用崩溃的想法看泡沫的演化。得整体考虑他们的棋局的进程

4月29日 14:05 来自 iPhone 6 Plus

时刻要政府来判断股票的风险高低，本身就是可笑的。还资本以自主权，只此一条即可。国有资本不能自由减持，天然制造一个大杠杆，一天到晚还要限制杠杆，找累。

4月29日 08:01 来自 iPhone 6 Plus

其实没有本质区别，抵押品本身和会计规则是个黑箱，央行没有必要对外交代的，危机中烂账也可以账面值做抵押品的。老美当年就这样弄的。

@管清友

LTRO更像一个长期限的逆回购，只是中国版LTRO对应抵押品可能是地方政府债券。

4月29日 07:40 来自 iPhone 6 Plus

4月29日 07:50 来自 360安全浏览器

4月29日 07:27 来自 360安全浏览器

这是把QE当做一种纯技术性手段的理解。忽略了其所以然。它的本质是一种财政行为。美欧正常时期财政和货币在国家法律层面基本还是要求分离的，危机中，居民、企业、金融的表倒了，需财政挺身避免债务通缩螺旋，财政和货币合流。中国由于体制，政策性金融天然就是个特色的合流平台。

@货币Diors

近期所谓“中国版QE”的讨论甚嚣尘上。QE（量化宽松）源于日本，后因2008年金融危机之后美联储先后推出3轮QE而广为人知。个人以为，QE是有特定含义和背景的，即常规货币政策缺乏空间或发生危机情况下，央行非常规地创造基础货币，甚至直接收购非银行主体所持资产创造存款货币。政府债务货币化不是QE。

4月29日 07:11 来自 iPhone 6 Plus

4月29日 07:21 来自 360安全浏览器

QE不在于央行是不是会直接买债，QE的本质是财政与货币的合流，货币当局为财政行为提供直接或间接的货币信用的支持。中国的财政和货币从来没有清爽过。

4月28日 21:24 来自 360安全浏览器

这回可能是霸王硬上弓。混过当下再说。所以预期有点恃无忌惮了。

4月27日 17:35 来自 iPhone 6 Plus

太后太厉害了

@毕晓雯Bixiaowen

【新一轮QE呼之欲出，调国家资产负债表保长治久安】如不出意外，中国将很快宣布新一轮量化宽松政策--央行通过直接购买商业银行资产的方式投放基础货币，以此撬动信用投放、拉低全社会的长期融资成本、减缓通缩压力并推动经济增长。 O新一轮QE呼之欲出，调国家资产负债表保长治久安

新一轮QE呼之欲出，调国家资产负债表保长治久安

目前财政支持有心无力，必须让央行上，这轮QE，根本上说就是财政货币化。 * 政策思路：做大资产端、封闭负债端，吹大权益端如不出意外，中国将很快宣布新一轮量化宽松政策（QE）--央行通过直接购买商业银行资产的方式投放基础货币，以此撬动信用投放、拉低全社会的长期融资成本、减缓通缩压力并推动经济增长。但不同于2008年的首轮QE，此轮放水将针对国家资产负债表的薄弱环节进行调整，以确保中国国计民生的长治久安。

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