丘成桐：量子场论，弦理论与数学
量子场论，弦理论与数学
人们通常认为，近代科学与以前的科学的区分别是近代科学有实验。这种看法是值得商
榷的。著名物理学家杨振宁教授和著名哲学家海德格尔认为近代科学的最根本的特征是数学和实验的结合，自然科学的定律用抽象的数学形式表达，从而达到前所未有的深度和广度。作为近代科学标志的两大发明，万有引力和微积分都是由牛顿创造的。在牛顿以后的科学发展中也反复印证了这一点。近代科学史上许多有伟大贡献的自然科学家也是数学家。这种状况一直延续到20世纪20年代。此后形式化的数学一度占据数学的中心， 数学在很长一段时间淡化了和其他科学，尤其是理论物理的联系。从20世纪20年代，量子场论开始出现并逐步成为理论物理的中心。
到20世纪70年代中数学和量子场论才开始建立起密切的联系。从80年代以来，获得菲尔兹奖的数学家中其工作和量子场论或弦论有直接联系的占一半。
对称性和量子化：支配物理和数学的两个基本原则
也许我们要问：为什麽量子场论和弦论会和数学有密切的关系？一个答案是，它们被相同的原则所支配。
其中最重要的原则是：对称性和量子化。
什麽是对称性？从一些建筑设计，巴赫的音乐和粒子物理中的CPT破缺（杨振宁和李政道的诺贝尔奖工作）
我们体验到各种离散对称性。伽罗瓦是第一个系统研究离散对称性并用于解决高次多项式方程不可解的问题的。
对于自然界连续对称性似更重要。例如我们有：
。从伽里略的相对性原理导出牛顿第一定律，
。从洛伦茨对称性导出狭义相对论，
。从坐标变换不变性和局域洛伦茨不变性导出广义相对论，
。经魏耳等人的努力，电动力学可以表述为阿贝尔规范场，即具有局域变换不变性，规范群是阿贝尔群
。非阿贝尔规范场，即杨－Mills场，是粒子物理的基础，也具有局域变换不变性，规范群是非阿贝尔群
这里我们也许可以用两个原理来表述对称性的重要作用：
爱因斯坦原理：物理世界的规律应该和我们的表述无关。
杨振宁原理：对称性支配相互作用。
上述原理在几何中也是基本的。几何量，如长度，面积，体积等也是和描述他们的方式无关。这一点充分反映在以下理论中：
嘉当和陈省身：活动标架法。
在70年代中杨振宁意识到规范场和陈省身先生研究的联络是一回事，似就是局域对称性在物理和几何两个领域的各自实现。
以下我们解释一下什麽是量子化。
量子化原理：微观世界的描述不能用决定性的方式来描述，他们是几率式的。事件的几率全体组成Hilbert 空间。
动力学变量实现为Hilbert空间上的算子。
玻尔相容性原理：我们对于世界的每一种描述是不完备的，但是他们是相容，自洽的。
测不准原理是玻尔相容性原理的具体实现。
我们知道，量子力学已成为了解微观世界的基本工具。在量子力学发明后不久，人们把它用到电动力学的研究上。
这时我们必须引入场的概念。经典的麦克斯韦方程是线性方程。它的解就是无穷多个波的叠加。其量子化乃是将无穷多个谐振子放在一起而无相互作用。当人们作计算时发现有许多无穷大。一直到1948年，量子电动力学才在引入重正化以后有了有限的定义并和实验吻合的极好。在1954年杨振宁－Mills 将规范场推广到非阿贝尔群。其量子化经许多人的努力得到实现。人们发现量子规范场理论是唯一具有渐进自由性质的量子场论。物理学家对于微扰场论用费曼图给出了定义。
到1974年物理学家建立了基本粒子的标准模型。从此物质场基本被标准模型所描述。在此过程中杨先生的“对称性支配相互作用”起了重要作用。拉氏量中的相互作用往往被对称性的考虑所决定。人们也试图在此框架下将引力量子化， 没有成功。实际上，引力场是不可重整的。
为什麽要研究超弦理论？
由上我们也许可以得到一点启示，即相互作用的统一实际上是对称性的统一。从20世纪70年代起，人们又发现了超对称。 它是一种将对易和反对易关系非平凡的合在一起的代数结构。将这种代数局域化我们得到局域超对称。在此类变换下不变的就是所谓超引力。在超引力中我们所知道的4种相互作用合在一起。所以我们说在经典的意义下超引力把4种相互作用统一起来了。超引力的量子理论就是超弦理论。这就是为什麽我们认为超弦理论中包涵了量子引力。
弦理论把粒子不再看成一个点，而是看成一根弦。弦的运动扫出一条曲面，弦的振动给出粒子。当粒子碰撞时，他们不在某个特定的点碰撞，因而免去场论中令人头疼的无穷大问题。到了1985年人们发现共有5种协调的超弦理论。他们都在10维时空中运动。在我们将其中6维空间紧致化以后，我们可以得到通常的4维规范场论。
从保持部分超对称的考虑，紧致化的6维空间必须是卡拉比－丘成桐空间。弦理论里自然包涵引力子，超引力是超弦理论的低能极限. 在1985年人们面临的问题是，在5种超弦理论中，哪一种是描述自然的？超弦理论如何和实验建立联系？
在1995－1998
的第二次超弦**中，上述问题取得了突破。人们发现了对偶性，即不同理论在其适当的范围内可以相互等价。
其中最让人惊奇的是一些强相互作用的理论和某些弱相互作用的理论等价。这就为人们研究强相互作用开辟了道路。
人们最初在超引力方程中找到了孤立子解，p-膜，后来在超弦中发现了在某些超对称变换下不变的超对称态，D－膜。
由于保持某些超对称，他们的量子性质与相互作用强度无关。因而人们可以得到一些强耦合下的信息。人们发现上述5种超弦理论是等价的。他们都是M理论的极限，M理论在低能下的极限就是11维的超引力 。
上面所及的量子场论只是在微扰的情况下有意义。这相当于在很小的尺度下经典近似是非常好的近似。反过来，当尺度变大，相互作用变强，上述理论失效。在粒子物理里，人们猜测当尺度变大，相互作用变强，从而无法把夸克分开。这就是著名的夸克禁闭猜测。这是标准模型中的核心问题之一。弦论前几年的发展为我们建立夸克禁闭开辟了一条全新的道路。
实际上，前几年超弦理论的第二次**使我们可以系统的处理非围扰的量子场论。在超导，超流等研究中，最困难的是处理强耦合的系统。超弦理论因为具有较高的超对称，目前还无法直接应用到超导，超流等系统中。
也许人们会认为，量子引力只在Planck尺度以下（10^{-33}cm）才起作用，这个尺度目前和我们没有多大关系。
弦论前几年的进展从第一原理导出黑洞熵的公式。这对于超弦理论是强有力的实验支持 。
另外，弦理论和数学有极其密切的关系。数学为弦理论提供了很多理想实验并得到许多
令人惊奇的结果。
量子场论和弦论的数学基础
从70年代以来，数学和场论及弦理论发生了密切的关系。70年代中杨振宁先生的关于规范场和微分几何关系的工作, 70年代末指标定理和反常的关系等起了很重要的作用.
在代数的研究中，人们发现无穷维李代数如Kac-Moody代数及其表示理论为共形场论及微扰弦理论建立了基础。而由特征标的对偶性质也可建立其它量子场论的对偶性质。Borcherds将顶点算子数学化和应用到理解例外有限群使他荣获菲尔兹奖。
80年代，在低维拓扑的研究中有若干重大突破。有些数学事实很难被理解。例如Donaldson（菲尔兹奖获得者）理论给出4维时空有无穷多种微分结构。这些结果被Witten在量子场论的框架下得到自然的解释。
Donaldson不变量即是某种N＝2超对称Yang-Mills场的相关函数。后来从对偶性考虑，Seiberg-Witten引入新的不变量，使这一理论得到极大的简化。
这一对偶性对于研究弦理论中的对偶性有启发性，是引发第二次弦理论**的重要线索 。
还有许多和量子场论有关的工作,例如纽结多项式,模空间的相交理论,椭圆上同调,镜对称等.这些工作大都是考虑场论的经典解并考虑附近的量子修正得到.数学家们抛开物理背景直接从有限维构造这些理论.
我们对这种状况显然不能满意.到目前为止量子场论还没有建立起数学基础.量子场论的考虑可以提供猜测,但无法提供证明.
我们希望这种状况能够改变.在量子场论的框架下直接考虑数学问题,使很多问题的理解变得直接明了.
如Witten最近在一些文章中所强调的，有两个问题是非常基本的。一个是量子Yang-Mills规范场的有限性，这可从渐进自由看出。但是目前数学上还没有证明。另一个是Yang-Mills场的质量界猜测，这和夸克禁闭有极其密切的联系。这也是Clay 研究所提出的7个千年僖数学难题。目前这问题最有希望的解答是通过和弦理论的对偶得到。Maldacena前几年猜测具有极大超对称的以SU(N)为规范群的场论和某些以1/N为耦合常数的弦论对偶.这种规范场/引力对偶近两年拓展到 N=2, 1 的超对称Yang-Mills场论. 夸克幽禁问题很可能在不远的将来得到解决.
Witten 建议数学家在作4维的量子场论的问题之前作2维和3维的场论.
对于2维Sigma模型,质量下界对于特定情形建立起来.我们应设法拓展到广泛的情形并得到一些几何上的应用.对于3维场论他建议在Chern-Simons项前增加Yang-Mills项.这种场论的质量也应当是有下界的.
弦理论的对偶性为数学提出许多深刻的问题. 例如Sen指出弦理论的某些对偶蕴涵某些模空间上调和形式的关系.从物理学家的角度考虑，Seiberg-Witten－Donaldson的对偶性可从弦论的对偶性解释。Seiberg-Witten－Donaldson的等价性是富有挑战性的问题。也许我们需要建立某种无穷维的微积分，在这里BRST算子相当于无穷维的微分算子。
Seiberg-Witten的工作相当于对于有超对称的特别的Yang-Mills场建立了夸克幽禁。
这些问题的实质性进展无疑将量子场论,弦论变为数学的一章.这是我们期待以久的.由于数学和物理长期的隔阂,在国外将两者真正结合起来作的也是凤毛麟角.这对于我们来说是个很好的机会. 我们希望中国的科学家能在此过程中继续作出贡献
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