度量空间是拓扑空间的特例，开集可用开球的并集来定义,几何沿着连续性方向的进一步发展就是更为抽象的拓扑学。有些几何对象的特点并不需要具体的距离函数来描叙，而只涉及连续变化的等价性，即所谓同胚

几何沿着连续性方向的进一步发展就是更为抽象的拓扑学。有些几何对象的特点并不需要具体的距离函数来描叙，而只涉及连续变化的等价性，即所谓同胚

                         3、Lorentz  transformation 的相对论推导

每一个运动着的三维坐标系都有各自独立的一个三维空间度量和一维时间度量，构成四维度量。在同一个坐标系里 ，能量的读数是连续变化的。在相对运动着的不同坐标系里 ，各自的四维度量应该是不同的，这也是因为在相对运动着的不同坐标系里，能量的读数是不同的缘故。然而坐标系主要表现为数学的概念，而能量是客观存在的。为了保证坐标系之间能量特征（包括动能和势能的差值等等）的连续性、一致性，坐标系之间的度量必须建立相应的变换关系。

伽里略的时空变换，是这样来认识两个相对运系统中，物质运动变化的时空关系的。在惯性系统中，有两个相对做匀速运动的物理系统Σ^，和Σ。在t=t^，=0时，两个系统重合。当Σ^，相对Σ以速度V向X方向运动的同时，从原点射出一光信号，光在两个系统中经过时间t^，和t到达同一点P。对于光从原点到P点这个同一事件，伽利略认为时间是相等的，空间是变化了的，空间的变化用速度迭加来处理。

伽利略时空变换如下：

（1）式和（2）式，就是伽利略时空变换表达式，伽利略变换对于两个空坐标之间的时空关系的表述是正确的；伽利略变换，对于相对运动系统中，物质运动变化的时空关系就不正确了。研究相对运动系统内物质运动变化的规律，必须用相对论的时空变换来处理，才能得到正确的结果。

什么是相对论？研究相对运动系统内，物质运动变化规律的时空理论，就是相对论。根据相对论的定义，建立相对论，必须具备三个基本要素： 第一，要有相对运动的系统存在；第二，相对运动系统都要处于动态平衡状态（Einstein所称的惯性状态）；第三，系统中要有物质（事件）存在。在此三要素的基础上建立起来的时空理论，才是真正的相对论。

相对论存在于在动态平衡系统之中，没有动态平衡系统，就没有相对论的立足之地。因为，在动态平衡系统中，时空变换才能满足线性迭加规律。惯性力概念是马赫误导的结果。马赫认为：“惯性力在本质上是一种引力”（世界科技英才录——科学思想卷 上海科技教育出版社）。王永久认为：惯性力是一种虚构的力，“这种虚构的力的本质是什么呢？在经典力学和狭义相对论中这是不可理解的”（空间，时间和引力 湖南教育出版社）。

动态平衡原理，是地球上物理学定律成立的必要条件。物体在不受外力作用，或所受合外力作用为零的情况下，能够保持静者恒静，动者恒动，正是物体受动态平衡原理支配的结果。下面我们在动态平衡系统中，来建立物质运动变化规律的时空理论——相对论。

相对性原理告诉我们，在相对做匀速直线运动的系统中，对于同一事件运动变化规律的描述，具有相同形式的数学物理方程。相对性原理，是自然界最基本的物理规律之一。相对性原理，也是宇宙学原理的体现。

什么是相对论的时空变换？在相对运动系统中，测量同一事件的时间和空间之间的关系，就是相对论的时空变换。同一事件是相对论时空变换的核心，时空变换是相对论的核心。

下面，我们采用相对运动的物理参考系，来推导相对论时空变换的普适公式。

[图2]所示，在地球上，有两个物理系统Σ和Σ^，，设Σ系统为静止系统，系统中用t记时；Σ^，系统为运动系统，系统中用记时。在=t=0时，两系统重合。当Σ^，相对于Σ以速度V开始向X方向运动的同时，从原点射出一光信号。光在Σ系统中经过时间t，在Σ^，系统中经过时间到达的同一点P，系统的各个坐标轴始终保持平行。光从原点出发，在相对运动着的系统中，经过了不同的时间到达了同一终点P，它们之间的时空关系是：

-------（A） ； --------（B）

将（A）和（B）两式两边平方后相加得

将上式移项整理得： ---------（3）

在[图2]条件相同的的情况下，改变光的传播方向，如[图3]所示，可得相对论时空变换的新公式：

----（4）

（3）式和（4）式，都是相对论时空变换的一般表达式，它们都将纵向相对论，横向相对论，超光速运动相对论的时空变换都包含在其中，并揭示出了相对论时空的方向特性。

从（3）式看相对论时空变换的方向特征：

（1） 当时， （2）当时， 这两式是纵向相对论的时空变换公式

（3） 当时， （4）当时， 这两式是横向相对论的时空变换公式。

宇宙中的诸多天体，都处于动态平衡状态，在这些天体中，都能建立相对论。没有动态平衡，就没有和谐的宇宙。

宇宙飞船是一个动态平衡系统。设宇宙飞船为∑系统，在宇宙飞船中有一个以速度v匀速运动的∑^，系统。在时，∑与∑^，重合。当∑^，相对于∑开始运动的同时，从原点射出一颗速度为u子弹，子弹从原点出发，分别在在不同的系统Σ^，和Σ中，经过不同的时间和t，到达同一点P，如[图4]所示。对于这个同一事件，有下列结果：

-----（e） ------（f）

将两式平方后相加：

经移项整理得：

----------（5）

改变光的传播方向，如[图5]所示，经过同样处理，可得：

-------（6）

（5）式和（6）式，都是在动态平衡系统中，自然建立起来的相对论时空变换公式，它们也充分揭示出了相对论时空的方向特征。由此可见，宇宙中普遍存在着相对论。

在极限理论中，点列的收敛性是核心概念。函数的连续性、导数和积分的定义最终都归结为点列收敛性。点列的收敛性是定义在点与点之间的距离之上的，而且证明收敛性时只用到距离的两条性质，即正定性和三角不等式。所以在分析学中只用这两条性质作为公理定义了距离空间。当然原来的欧氏空间也是距离空间的一个特例。那么定义距离空间的意义在哪里呢？在于可以借用欧氏空间的概念和关系来研究更复杂的函数集合，例如连续函数空间C[0,1]，平方可积函数空间L2(0,1)等。把这些函数看成点，用这些函数空间中的点列的收敛性，我们就可证明一些微分方程和积分方程的解的存在性和唯一性了。沿着这个方向，分析学定义了众多的函数空间，如赋范线性空间、索贝列夫空间等，它们是解决微分方程和积分方程存在性和唯一性的基本工具。

几何沿另一个方向的发展是研究曲面上的几何问题，如球面上的几何问题，这就是微分几何。主要研究工具是微积分，张量代数及近代发展起来的微分形式等。作为欧氏几何直接推广的黎曼(Riemann)几何，空间中也定义了距离，两点间的长度微元也是坐标微元的正定二次型，只是系数矩阵是坐标函数了。但弯曲空间从局部看来和欧氏空间是相当的，而空间的弯曲程度则由曲率张量来描叙。

如果再把距离函数的正定性取消，我们就得到洛伦兹流形。Einstein用3+1维洛伦兹流形来描叙物理时空，从逻辑上看，比牛顿的绝对平直时空有两大优势：第一、平直时空是弯曲时空的一个特例，弯曲时空是比平直时空更广的概念，所以在逻辑上更可靠。第二、3+1维的耦合时空具有4元数结构，是一个演化的活流形。其中的场方程相对容易解出，而且场量都是活的，物质具有了灵性。所以著名的前苏联物理学家朗道(Landau)说：广义相对论是最接近上帝的工作。

几何沿着连续性方向的进一步发展就是更为抽象的拓扑学。有些几何对象的特点并不需要具体的距离函数来描叙，而只涉及连续变化的等价性，即所谓同胚。如一个球体可通过连续变形变成一个立方体，但不能变成一个环。拓扑直接由衡量远近关系的开集定义，而开集之间只有一些纯粹的逻辑约束，而非数量关系。因此拓扑空间是比度量空间更广的概念，度量空间是拓扑空间的特例，开集可用开球的并集来定义。从逻辑上讲：越抽象的概念，涵盖面越大,结论的适用面越广，但结论越弱，无用的信息越多。

由上面的论述可以看到，数学概念的演化发展是有其内在逻辑的，并非凭空捏造出来的。由此我们可得以下一些重要的启发：（1）好的数学理论都有现实背景，为抽象而抽象、或者很生僻的理论是走不了多远的，也没多少人感兴趣。（2）大自然是用最精致的数学理论设计的，高深的数学理论都扎根在这些基础之上。（3）就数学定理本身而言，只是阐明了概念之间的一些必然的联系和约束。所以希尔伯特说：以桌子、椅子、啤酒瓶取代几何中的点、线、面并没有什么不可，那只是给一个概念起一个名字的问题，重要的是这些概念之间的约束关系。在现代数学中广泛使用的‘同构’概念，就是希尔伯特思想的具体体现；而对量子物理中常用的‘类比方法’，其有效性的逻辑理由也正在于此。

Einstein是这样说的：“由于这种方法论上的不确定性，人们将认为这样就会有多种可能同样适用的理论物理学体系，这个看法在理论上无疑是正确的。但是物理学的发展表明，在某一时期里，在所有可想到的解释中，总有一个比其他的一些都高明得多。凡是真正深入研究过这一问题的人，都不会否认唯一决定理论体系的实际上是现象世界”（见《探索的动机》——Einstein在普朗克生日宴会上的演讲）

两个惯性S和S’之间的洛仑兹变换： （1）

S’系沿x轴正向相对于S系以匀速v运动。

逆变换：

                 （2）

同时的相对性：

                （3）

反过来：

                （4）

由此可看出，在S’系中同时发生的事件，只要不在同一地点，在S系中看，这两件事就不同时发生。

运动时钟变慢：

                （5）

质能关系：

                (6)

相对论还指出，物质的质量和能量之间存在本质联系：

                 （7）

静止质量为的物体具有能量（8）

由（7）、（8），可以算出运动物体的动能：

                 （9）

闵可夫斯基把相对论写成四维时空的形式，从而把时空看成一个整体。

如果令洛伦兹变换可写为：

（10）

式中            （11）

相对论中联系不同惯性系的坐标变换式洛伦兹变换，。在相对论中，矢量被定义为在洛伦兹变换下与坐标一样变的量，即如（10）那样变的量。

二阶张量被定义为在洛伦兹变换下按以下规律变化的量：

                （12）

所有的力学量和电学量都可以写成张量，所有的力学规律（除万有引力外）和电磁学规律都可以写成张量方程。所以，除去万有引力定律外，力学规律和电磁学规律都满足洛伦兹变换和相对性原理，都符合相对论。

值得注意的是能量和动量一起可以构成四维动量：

                （13）

四维闵可夫斯基时空的一个点，用（t,x,y,z）四个坐标表示称为一个事件。三维空间的一个点，由于时间的不断发展，在四维时空中都会描绘出一根线。

图1中A、B、C三条世界线，A描述三维空间中的一个不动点，B描述一个匀速直线运动的点，C描述一个变速运动的点。ds为世界线上两点之间的“距离”。由于不可能画出时空的四个维度，所以没有画出z轴坐标描述的那一维空间。

在四维时空中，闵可夫斯基注意到了时间与空间的差异，考虑了光和质点的速度表达式，把四维时空两点之间的“距离”表示为：

                （14）

ds通常称为两点的间隔。由于两点总可以用世界线相连，所以ds又可以看成世界线的线元。有

      t                                      （15）

                                             表明从点1到点2的运动速度正

                                             好是光速，这段间隔正好描述光信

               A        B       C           号的运动，称类空间隔。

           ds       ds           ds           不难看出：                                                                                                                                                                                                                                      

                                                类空间隔

x                                           类光间隔

                                                                                                                                                                

           图1 四维时空中的世界线               类时间隔

      时空中任取一点p，与p的间隔类光的点组成如图2所示的锥面，成为p点的光锥。                             

光锥内部的点与p点的时间间隔都是类时的，与p点以亚光速信号联系。上半光锥内部点处在p点的未来，而下半光锥内部的点处在p点的过去。上半光锥上的点也处在p点的未来，从p点发出的光信号可以到达它们，下半光锥类似。

光锥外部的点与p点类空，只有超光速信号才能到达，或从它们到达p。而相对论认为，光速是信号传递的最大速度，所以光锥外部的点与p点没有因果关系。

我们考察在S系中静止的一个质点。由于它在S系中不

动，从空间看，是一个点，dx=dy=dz=0，（14）约化

（16）

图2   光锥图  

由此我们定义

                （17）

为此质点的固有时间。

1、“Lorentz  transformation”的推导方法1——相对论推导

洛仑兹变换反映的是同一研究对象在不同惯性系中运动规律都有相同数学形式。如图1所示两坐标系的相对取向，该坐标系的x轴永远是重合的。在这个情况下，首先只考虑x轴上发生的事件。任何一个这样的事件，对于坐标系K是由横坐标x和时间t来表示，对于坐标系K′ 则由横坐标x′和时间t′来表示。当给定x和t时，我们要求出x′和t′。

 

      Z′

                        Z 

                                          v

           

y′

                                        v

    K′                        x′          

y             v

                      K                       x                                                                                       

 

图1

 

沿着正x轴前进的一个光信号按照方程x = ct或x – ct = 0   （1）传播。由于同一光信号必须以速度c相对于K´传播，因此相对于坐标系K′的传播将由类似的公式x′–ct′= 0  （2）表示。满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，主要关系(x′–ct′) = λ (x–ct)  （3）一般被满足，其中λ表示一个常数；因为，按照（3），（x-ct）等于零时 (x′-ct′) 就必然也等于零。如果我们对沿着负x轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件x′+ct′ = u (x+ct) （4）

方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数a和b代换常数λ和u，令

a = (λ+u)/2以及  b = (λ–u)/2

我们得到方程

x′ = ax–bct

ct′ = act–bx                          （5）

因此，若常数a和b为已知，我们就得到我们的问题的解。a和b可由下述讨论确定。

对于K´的原点我们永远有x′=0，因此按照（5）的第一个方程 x = bct/a

如果我们将K′ 的原点相对于K的运动的速度称为v，我们就有v = bc/a           （6）

同一量值v可以从方程式（5）得出，只要我们计算K´的另一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K′的速度（指向负x轴），总之，我们可以指定v为两坐标系的相对速度。

还有，根据“相对性原理”，由K判断的相对于K´保持静止的单位量杆的长度，必须恰好等于由K′判断的相对于K保持静止的单位量杆的长度。为了看一看由K观察x′轴上的诸点是什么样子，我们只需要从K对K′拍个“快照”；这意味着我们必须引入t（K的时间）的一个特别的值，例如t=0。对于这个t的值，我们从（5）的第一个方程就得到x′ = ax.

    因此，如果在K′坐标中测量，x′轴上两点相隔的距离为Δx′=1，该两点在我们瞬时快照中相隔的距离就是Δx = 1/a            （7）

但是如果从K′（t′=0）拍快照，而且如果我们从方程（5）消去t，考虑到表示式（b），我们得到

x′ = a (1– v²/ c²) x

由此推断，在x轴上相隔距离1（相对于K）的两点，在我们快照上将由距离

                    Δx′ = a (1– v²/ c²)                      （7a）

表示。

根据以上所述，这两个快照必须是全等的，因此（7）中的Δx必须等于（7a）中的Δx′，这样我们就得到a² = 1/ (1– v²/ c²)        （7b）

方程（6）和（7b）决定常数a和b，在（5）中代入这两个常数的值，就得到了洛仑兹变换的如下基本方程：

x ′= (x–vt) /√(1– v²/ c²)          

                  t′= (t–xv/c²) /√(1–v²/c²)                 （8）

 

   关于狭义相对论推导Lorentz  transformation的过程，如果用纯粹数学来证明，可以简化为以下内容：

条件一、，，其中为常数。

条件二、，，其中、、、均为常数，且，也为常数。

条件三、，。

先求，，，的值。经过简单计算，可以得到

，，，，其中。

再将这四个常数代回条件二，可以得到Lorentz  transformation

，，，。

Einstein根据两个基本假设，经过纯数学的演算，不需要添加任何物理学原理，就能推导出Lorentz  transformation。继而有相对论时空观：时间、空间随着参照系的改变而改变。因而，只要两个基本假设成立, 相对论的时空观就是正确的。Einstein在研究Lorentz  transformation下动量守恒时，提出了相对论质量观：物体的质量随着物体运动状态的改变而改变．也可以说成：物体的质量随着观察者的不同而不同。在相对论之前，经典理论认为质量是物体的固有属性，不随物体运动状态的变化而变化。如今，相对论又把经典理论中的一个不变量——质量，演绎成一个可变量。

狭义相对论在推导光学多普勒效应频率变换式，有关著作给出的一般推导过程中是设

，           （11）

又设           

，                  （12）

将式组（12）前一个关系式代入式组（11）前一个关系式中的，得

                       （13）

将式组（12）后一个关系式和洛仑兹变换中的前三个关系式代入式组（12）后一个关系式中的，得

        （14）

狭义相对论认为式（14）与式（13）的各对应项系数应该相等，因此得出

，，      （15）

Einstein在1905年《论动体的电动力学》一文中建立狭义相对论时，从Lorentz  transformation中推导出了所谓的动钟变慢。我们现在考虑永久放在R系的原点（X=0）上的一个按秒报时的钟（此处的R、r系如上图所示）。T = 0和T = 1对应于该钟接连两声滴嗒。对于这两次滴嗒，Lorentz  transformation的第一和第四方程给出t = 0和t = 

从r去判断，该钟以速度u运动；从这个参考物体去判断，该钟两次滴嗒之间所经过的时间不是１秒，而是秒，亦即比１秒钟长一些。该钟因运动比静止时走的慢了。速度C在这里也具有一种不可达到的极限速度的意义。”

必须指出，相对论的动钟变慢效应是相对的，亦即在相对论中如下表述同样成立：

“我们现在考虑永久放在r系的原点（x=0）上的一个按秒报时的钟。t=0和t=1对应于该钟接连两声滴嗒。对于这两次滴嗒，Lorentz  transformation的第一和第四方程给出

T = 0

T = 

从R去判断，该钟以速度u运动；从这个参考物体去判断，该钟两次滴嗒之间所经过的时间不是１秒，而是秒，亦即比１秒钟长一些。该钟因运动比静止时走的慢了。速度C在这里也具有一种不可达到的极限速度的意义。”

2、“Lorentz  transformation”的推导方法2

如图所示：假设S`系中的X`轴的正方向的Lo点发生了事件A，此时S`系的时钟读数为t`，求在S系中A事件的坐标。

       O———O`——————A———————————
       |  ut` |      Lo     |

显然，事件A在S`系的坐标为 Xa`=Lo，Ta`=t` 

事件A在S系的坐标应该为： Xa=OAs，Ta=t ，OAs的长度在S`系发生收缩，因此有：

OAs`=k·OAs              ……（1）

     从图中可以看出：OAs`=OO`s`+O`As`          ……（2）

    在上面的（1）、（2）式中，OAs是OA在S系中的距离，OAs`是OA在S`系中的距离，OO`s`是OO`在S`系中的距离，等于ut`，O`As`是O`A在S`系中的距离，等于Lo，k=根号下（1-uu/uu）。

   因此，由式（1）、（2）得： k·OAs=OO`s`+O`As`, OAs=（Lo+ut`）/k     ……（3）,  结合事件A在S`系的坐标为 Xa`=Lo，Ta`=t` 和在S系的坐标Xa=OAs，式（3）可写为： Xa=（Xa`+ut）/k   （这就是X坐标的洛变换式）,   从图中还可以看出：OAs=O`As+OO`s     ……（4）,这里：OAs为OA在S系中的距离，等于Xa；O`As为O`A在S系中的距离，应该等于k·O`As`，即k·Xa`；OO`s为OO`在S系中的距离，等于ut。    因此，式（4）可写为： Xa=k·Xa`+ut         ……（5）,    式（5）结合上面已经得到的Xa变换式，可以得到：  k·Xa`+ut=（Xa`+ut）/k,从上式中解出t得： t=（t`+uXa`/cc）/k     （这就是t坐标的洛变换式）

这也就是说，相对论的动钟变慢效应是相对的，即相对运动的观测者都认为对方的时钟慢于自己的时钟慢。【1】根据Einstein的观点，观察到时间膨胀效应必须有两个先决条件：其一，两个惯性系必须有相对运动；其二，在测量中观察者必须用自己参考系中的无数个钟和另一个与自己有相对运动的惯性系内一个固定的钟相比较，才会发现对方钟走慢了。没有这两个条件根本不可能观察到时间膨胀。在狭义相对论中时间膨胀并不意味着钟“真”的走慢了，时间膨胀是在测量过程中发生的。

3、“Lorentz  transformation”的推导方法3

     经典的洛伦兹变换指出：我们将求出相对论的变换公式，这些公式恰好是根据那个事件间的间隔不变的要求的。如果我们为了便于以后的叙述利用量τ= ict，那么，正如在§1-2里所看到的二事件间的间隔可以认为是在四度空间内的相对应的两个世界点间的距离。因此我们可以说，所要求的变换，必须是使所有在四度空间x，y，z，τ内的距离不变的变换。但是这些变换仅仅包括坐标系统的平移与旋转。其中，我们对于坐标轴对自己作平行移动并无兴趣，因为这不过是将空间坐标的原点移动一下、并将时间的参考点改变一下而已。所以，所要求的变换，在数学上应当表示为四度坐标系统x，y，z，τ的旋转。四度空间内的一切旋转，可以分解为六个分别在六个平面xy，yz，zx，xτ，τy，τz内的旋转（正如在三度空间内的一切旋转可以分解为xy，yz，zx三个平面内的旋转一样）。其中，前三个旋转仅仅变换空间坐标，它们和通常的空间旋转相当。我们研究在xτ平面内的旋转，这时y与z坐标是不变的。令ψ为旋转角，那么，新旧坐标的关系就由以下二式决定：

                 x = x’conψ –τ’sinψ，τ= x’sinψ +τ’conψ                  （1）

参见下图：

                       τ

                 τ’    τ         M₂              

                            r             X’

                   τ’ ψ            x’      

                             ψ  

                   O        x           X

                                

                   洛伦兹变换的示意图                

   

我们现在要找出由一个惯性参考系统K到另一个惯性参考系统K’的变换公式，K’以速度V沿X轴对K作相对运动。在这种情况下，显然只有空间坐标x与时间坐标τ发生变化。所以这个变换必须有(1）式的形式。现在只剩下确定旋转角ψ的问题，而ψ又仅与相对速度V有关。我们来研究参考系统K’的坐标原点在K内的运动。这时，x’ = 0，而公式(1)可写成：

                 x = –τ’sinψ； τ=τ’conψ。                              (2）

相除可得

                 x/τ= - tanψ                                                (3）

但τ= ict，而 x/t显然是K’ 对K的速度V。因此，

                 tanψ = iV/c                                                 (4)

由之得

                 sinψ= (iV/c)/(1-V²/c²)^1/2，cosψ=1/(1-V²/c²)^1/2                  (5）

代入(2)，得：

                 x = (x’ - iVτ’)/(1-V²/c²)^1/2，y = y’，z = z’，

                 τ= (τ’ + iVx’/c)/(1-V²/c²)^1/2                                    (6）

再将τ= ict，τ’ = ict’代入，最后得

                 x = (x’ + Vt’)/(1-V²/c²)^1/2，y = y’， z = z’，

                 t = (t’+ Vx’/c²)/(1-V²/c²)^1/2                                      (7)

这就是所要求的变换公式。它们被称为洛伦兹变换式，是今后讨论的基础。【2】

4、Part A. Lorentz时空中Lorentz  transformation的推导方法4

光速独立性导致时间空间不独立，以后以时空这词表示。设两个惯性系K，K'。K中坐标X=(x₁，x₂，x₃，x₄)(x₄=ict)，K'坐标X'=(x₁'，x₂'，x₃'，x₄')(x₄'=ict')。 i=Sqrt(-1)，为方便引进的。 K'在K中速度为v。设t=0两坐标系原点重合，并且这时位于原点有一点光源发光。由光速独立原理，我们在两个坐标系中都将观察到一个球面波的传播。其波前以光速c沿径向传播。传播距离平方R²=(ct)²=x₁²+x₂²+x₃² in K and R'²=(ct')²=x₁'²+x₂'²+x₃'² in K’。所以有：x₁²+x₂²+x₃² -c²t²=0 ，x₁'²+x₂'²+x₃'²-c²t'²=0　，这样就知道：x₁²+x₂²+x₃² -c²t²=p(v)•( x₁'²+x₂'²+x₃'²-c²t'²) ，其中p(v)≥0是一个可能和速度有关的量，表示由于相对运动引起的可能度规变化。但是由于K，K'两系统对称性，我们必然有p²(v) =1 p(v)=1，这样我们就知道K，K'的时空是等度规的。度规相同表示一切几何内蕴量一致。x₁²+x₂²+x₃² -c²t²= x₁'²+x₂'²+x₃'²-c²t'²   (1) ，用内积(就是矢量点乘运算)表示就是： ＜X，X＞=＜X'，X'＞　   (2) 。普遍的相对性原理就是，寻求坐标变换：X=F(X'；v)　    (3)。使度规不变性(2)得以满足。F是一个矢量函数，v是个参数，表示K'系在K系中的速度。我们讨论一下它的性质。由于相对论惯性系等价的假设，变换F必然有唯一的逆变换G：

　　X'=G(X；v)　　(4)，同时这等价性蕴含下述对称性：G(X；v)=F(X，–v)　　(5)，(4)，(5)是很强的条件，它们限制F必然是线性变换，(5)同时也为这线性变换作了更强限制。线性变换可以用矩阵表示X'= X A(v)，X= X'A^-1(v)　　　(6)

A^-1(v)表示依赖于速度的逆矩阵。A(v)是四阶矩阵，有16个元素需要确定。

由下列条件：

　　＜X，X＞=＜X'，X'＞；X'= X A(v)；X= X'A^-1(v)及线性代数运算可以证明，A(v)是列正交，行正交的矩阵，这就有12个方程，所以还差四个参数待定。

再考虑K，K'关系：

For x₁'=x₂'=x₃'=0，X的坐标部分位置是vt。这时三个条件，但是同时带进来矩阵A(v)外的元素t和t'。所以现在这三个条件其实只相当于一个，我们还剩三个元素待定；

For x₁=x₂=x₃=0，X'的坐标部分为-vt'。这有是三个条件。这样我们终于唯一确定了矩阵A(v)。

以上便是Lorentz变换的推导。如果再形式化，并且深刻一些，应该讨论Lorentz群。它是O(3，1)群。

狭义相对论空间描述：设长度为L的物体在相对静态场参考空间（x₀, y₀, z₀）空间以速度运动，起点为A，终点为B朝向A→B，

则相对运动场空间为： x_c = x（x₀₊ ct）; 和x_u =

相对速度场，     A点为：=；B点为：=；

则在x轴向上A→B相对运动场空间长度为：（取光的单程计算运动变长）

静态L₀= x_b – x_a = c· t _b –c· t_a=c· (t _b-t_a) 和动态L_u= x_ub – x_ua= (c + u) · (t _b-t_a)

则运动变长为：= L_u –   L₀= (c + u) · (t _b-t_a) –c· (t _b-t_a) = u · (t _b-t_a) = u ·△t

狭义相对论空间即为：Ω_b –Ω_a =【】

Lorentz  transformation就是保持四维伪欧氏象空间度量不变的时空坐标变换，而保持四维伪欧氏象空间度量不变的洛沦兹变换群本是6阶李群。

下面是陈叔喧教授的分析：对于参照系设在光源上光量子（场质）与场速度一致，但相对光源以速度υ运动的参照系，光量子（场质）运动速度或平动能，甚至变换能不变的。而参照系或场平动能量的量度少了一项坐标相对运动引起的动能mυ²/2，如果变换能hν/2=mc²/2=m(dι/dt)²/2也不变，那么

m(dιˊ/dtˊ)²/2=mc²-hν/2-mυ²/2=mc²-mc²/2-mυ²/2=mc²/2-mυ²/2=mc²(1-υ²/c²)/2=m(dι/dt)²(1-υ²/c²)/2dιˊ/dtˊ=(dι/dt)√(1-υ²/c²)

当dtˊ=dt，        dιˊ=dι√(1-υ²/c²)，当dιˊ=dι        dtˊ=dt/√(1-υ²/c²)。此关系等效于相对论的时空关系或罗洛兹变换。表明相对论的时空是场的时空，因此所谓物体的长度在运动方向上收缩，是场描述属性引起的特性。

根据相对论认为存在所谓的“静止质量”。理由是，根据洛伦茨变换，在四维空间中的不变量是一系列的。比如，四维时间不变量——就是人们所说的“静止时间”，四维空间不变量——就是人们所说的“静止空间”，四维质量不变量——就是人们所说的“静止质量”，四维动量不变量——就是人们所说的“静止动量”，四维能量不变量——就是人们所说的“静止能量”，四维温度不变量——就是人们所说的“静止温度”，四维作用力不变量——就是人们所说的“静止作用力”，四维功率不变量——就是人们所说的“静止功率”，四维电荷密度不变量——就是人们所说的“静止电荷密度”，四维电流密度不变量——就是人们所说的“静止电力密度”，四维标电势不变量——就是人们所说的“静止标电势”，四维磁矢势不变量——就是人们所说的“静止磁矢势”。四维质量不变量正是电磁质量满足Lorentz transformation的直接结果之一。电磁场空间是线性空间，满足Lorentz transformation是很自然的。而引力场是非线性空间，不满足Lorentz transformation也是很正常的。但我们把引力场在局域内微线性化，就可以找微线性化变换群，二次积分后就可以得到非线性变换群。Einstein没有找到这个微线性化变换群——所以始终没有能够创立出真正意义上的“广义相对论”来。他是一个失败者，但更是一个领航者——因为他第一个最早指出了创立出真正意义上的“广义相对论”正确的方向。Lorentz transformation的前提条件是“间隔平方相等”（参见朗道和栗弗席兹合著的《场论》一书）在20世纪头二、三十年里，正如后来的P.A.M.Dirac所说，“一旦看到了一些用非相对论形式表示的物理学，人们就能把它修改成适合狭义相对论的。这很像是一种游戏。一有机会我就沉溺于此。有时候这个结果使我感到十分有趣，可能为它写出一篇微不足道的论文。” 【3】1907年，Planck给出了热力学的变分原理，导出了热力学量的Lorentz变换关系。在Planck的理论中，通过逻辑推理和思辨，并照顾到统计力学中的Boltzmann熵公式，指出熵 必然是Lorentz标量。研究相对运动系统内，物质运动变化规律的时空理论，就是相对论，在相对运动系统中，测量同一事件的时间和空间之间的关系，就是相对论的时空变换。

   参考文献：

  【1】《狭义与广义相对论浅说》，上海科学技术出版社1964.8，31页

【2】《场论》，Л.Л.朗道、Е.М.栗弗席兹著，任朗、袁炳南译，人民教育出版社1958年8月第一版，第14—15页.

【3】 沈惠川，“狄拉克”，载《世界数学家思想方法》（解恩泽，徐本顺主编），山东教育出版社，1993：pp1357-1401.