算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数 方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数

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算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数. 的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrödinger ...

PDF]Kronig - Penney 模型中的电子波函数 - 北京师范大学精品课程

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由 祝娅 著作 - ‎2005 - ‎被引用 4 次 - ‎相關文章

摘要: 利用波函数及其导数的连续性条件,讨论Kronig - Penney 模型中的电子波函数,得到Kronig - Penney 模型相邻 .... 在自由电子近似下, V0 →0 , K′→K,γ→1 ,这时.

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波函数. 对于一般状态的微观粒子，应该用一般的时间和空间的复函数来描写：，它称为波函数。 ... 例如：一个自由电子以动量和能量运动的状态是平面波 .... (3)连续性。

第七章

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为了说明玻恩的解释，我们首先来考察电子的双缝衍射试验。在电子的双缝 .... 将（8）式推广至三维情况，具有确定动量的自由粒子波函数为. ， （9） ..... 此方程是经典物理中的连续性方程，量子力学称之为几率守恒定律（微分式），也叫粒子数守恒定律。

这样的波函数(或者是波函数)称为定态波函数。对比de Broglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。

    形如

算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数

的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrödinger方程也就是能量本征方程。

第二章  Schrödinger方程和一维运动问题

 

§2.1  波函数及其统计解释

1. 波函数

    对于一般状态的微观粒子，应该用一般的时间和空间的复函数来描写：，它称为波函数。波函数是微观粒子波粒二象性的表现。

对波粒二象性的理解。错误的如: 波函数代表粒子的结构，或波函数代表大量粒子的运动。正确的理解如下。

 

	保留经典概念的哪些特征	不具有经典概念的哪些特征
粒子性	有确定的质量、电荷、自旋等	没有确定的轨道
波动性	有干涉、衍射等现象	振幅不直接可测

 

2. 波函数的统计解释(Born, 1926)

    电子双缝干涉实验的例子。

    电子的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果, 或一个电子在多次相同实验中的统计结果。

    波函数在某点的强度(绝对值的平方)与在该点找到粒子的几率密度成正比。波函数本身称为几率振幅。由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。

3. 波函数的归一

    几率是相对量，所以将波函数乘以一个常数，它仍然描写量子体系的同一个状态。

    设是某个波函数，按照几率解释，在点附近的体积元d中发现粒子的几率是；

C是一个正常数，或者说, 粒子的空间几率密度是：

因此在全空间发现粒子的几率是：

一种方便的选择是：W = 1，这称为几率的“归一”。重新选择波函数为

并且让

便有

称为归一化的波函数。

    说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个位相因子不能确定。(2)有些波函数不能(有限地)归一。例如平面波。此时代表“相对几率密度”。

4. 态的叠加原理

    波的干涉、衍射现象的本质原因是它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性提示我们：波函数也应该满足叠加原理，即：

    如果和是体系的可能状态，那么(是复常数)也是体系的可能状态。

    对于合成的状态，

其中就是干涉项。一般地说，叠加原理可以写成

这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状态”，例如，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。

例如：一个自由电子以动量和能量运动的状态是平面波

因此，自由电子的任何状态都可以写成：

即是各种不同动量的平面波的叠加。这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入

那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成

   

其中的系数由下式得出：

      

这个的物理意义是“动量测量几率振幅”。对于一维情形，

    作业(补充题2.1):把下面的波函数归一化:

(1) (2)

 

§2.2  Schrödinger方程

1. Schrödinger方程

    量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。

    de Broglie波满足的方程是：

而, 所以

这可以看做是在经典关系中进行代换

并且把它们作用于波函数得到的。由此我们可以推广地说：若粒子在外势场中运动，其能量的表达式为

则它的波函数应该满足方程

此即单粒子运动的Schrödinger方程(1926)。

2. 几率守恒定律

    粒子的空间几率密度是

所以

根据Schrödinger方程，

所以

记

则

而这表示了一种守恒定律。因为，对任何体积V，

等式右方用Gauss定理，得

是在体积V内发现粒子的总几率，而(矢量指向V的外边)是矢量穿过封闭曲面S向外的总通量。所以是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。

如果是一个一般的函数，则的积分可能与时间有关。但若它满足Schrödinger方程，则

即(波函数的归一化)与时间无关。由此还可以看出：几率守恒也就是粒子数守恒。

3. 定态Schrödinger方程

    若与时间无关，则Schrödinger方程可以分离变量求解，即，设

代入Schrödinger方程中得

此式必须等于常数，记为E，则第一个方程成为

它可以容易地解出，得

而第二个方程成为

这个方程称为定态Schrödinger方程。同时，波函数成为

这样的波函数(或者是波函数)称为定态波函数。对比de Broglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。

    形如

算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数

的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrödinger方程也就是能量本征方程。

4. 波函数应满足的条件

    从波函数的几率解释以及波函数满足二阶微分方程这一要求，一般地说，波函数应该满足以下三个条件：

    (1)单值性；

    (2)有限性；

    (3)连续性。

连续性通常意味着和都连续，但在势能有无穷大跳跃的地方，允许不连续。

    作业：p.52, #2.2，注意：在球坐标中,

 

§2.3  一维运动问题的一般分析

1. 一维定态Schrödinger方程的解的一般性质

    一维定态Schrödinger方程是

它的解有如下的规律；

Wronskian定理：若和都是方程的解(能量相同)，则

(与x无关的常数)， 

称为和的Wronskian行列式。当c = 0时，和线性相关，当时，和线性无关。

    此外我们还有下面两个定理，

    共轭定理：若是定态Schrödinger方程的解，则也是该方程的解(且能量相同)。

    反射定理：设势能函数是关于原点对称的，即它满足，那么若是该方程的解，则也是该方程的解(且能量相同)。

2. 一维定态的分类：束缚态与非束缚态

    假设在时有确定的极限，记为和。如果

和

那么在时，从而粒子在无穷远处出现的几率等于零，这种状态称为束缚态。如果

或或二者兼有，

那么在或或二者兼有时，从而粒子可以在无穷远处出现，这种状态称为非束缚态，或称散射态。

    束缚态和非束缚态有重要的区别。

3. 一维束缚态的一般性质

    定义：如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在，则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。

    不简并定理：一维束缚态必是非简并态。

    推论1：一维束缚态波函数的位相必是常数。

    定义：如果波函数满足

则称有正的(对于+号)或负的(对于-号)宇称。宇称是态的重要的量子力学性质，它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。

    推论2(宇称定理)：如果，则一维束缚态波函数必有确定的宇称。

    束缚态(不只是一维)还有一个更重要的性质：它的能级是不连续地(离散地)变化的，即是说，仅仅当取某些离散的数值时，方程才有符合单值、有限、连续条件的解。这就是通常意义的“量子化”，以后将用例子说明。

作业(补充题2.2)：证明本节中的推论1和推论2。