有些几何对象的特点并不需要具体的距离函数来描叙，而只涉及连续变化的等价性，即所谓同胚。如一个球体可通过连续变形变成一个立方体，但不能变成一个环。拓扑直接由衡量远近关系的开集定义，而开集之间只有一些纯粹的逻辑约束，而非数量关系。因此拓扑空间是比度量空间更广的概念，度量空间是拓扑空间的特例，开集可用开球的并集来定义。从逻辑上讲：越抽象的概念，涵盖面越大,结论的适用面越广，但结论越弱，无用的信息越多

几何沿着连续性方向的进一步发展就是更为抽象的拓扑学。有些几何对象的特点并不需要具体的距离函数来描叙，而只涉及连续变化的等价性，即所谓同胚。如一个球体可通过连续变形变成一个立方体，但不能变成一个环。拓扑直接由衡量远近关系的开集定义，而开集之间只有一些纯粹的逻辑约束，而非数量关系。因此拓扑空间是比度量空间更广的概念，度量空间是拓扑空间的特例，开集可用开球的并集来定义。从逻辑上讲：越抽象的概念，涵盖面越大,结论的适用面越广，但结论越弱，无用的信息越多。

由上面的论述可以看到，数学概念的演化发展是有其内在逻辑的，并非凭空捏造出来的。由此我们可得以下一些重要的启发：（