黎曼(Riemann)几何，空间中也定义了距离，两点间的长度微元也是坐标微元的正定二次型，只是系数矩阵是坐标函数了。但弯曲空间从局部看来和欧氏空间是相当的，而空间的弯曲程度则由曲率张量来描叙

几何概念的演变(2009-03-28 12:12:05)

转载▼

标签： 杂谈

现代数学是建立在集合论基础之上的一个枝叶繁茂的整体。就所研究对象的特点，可以大致分为几何、代数和分析三个分支：几何研究赋予远近概念的集合（即空间）的性质和关系；代数研究集合与集合、元素与元素以及集合与元素之间的对应和运算规则；而分析主要研究集合之间具有连续性的变换规则与关系。

几何（geometry）在古希腊是测地术之意，并有系统研究，欧几里得(Euclid)《几何原本》和阿波罗尼奥斯(Apollonius)的《圆锥曲线论》为其代表作品，而最著名、也最有影响力的成果应是毕塔哥拉斯定理（即勾股定理）。我国古代虽然没有系统地研究几何，但也摸索出了勾股定理和求圆周率的割园术等实用成果。《几何原本》早在13 世纪就曾传入我国, 古代著名数学家秦九韶以及元蒙哥皇帝等曾研究过欧几里得的几何学, 在蒙哥皇帝的宫中曾有过欧几里得《几何原本》的阿拉伯文译本。不过正式翻译和传播则是从明代传教士利玛窦和徐光启开始的。

古典几何是建立在一些直观概念和关系上的，即点、线、面及其基本相互关系。这些基本关系就是所谓的公设和公理。由这些基本的概念和关系，就可逻辑地推导出许多很复杂的、非显然关系来，这就是所谓的定理。勾股定理就是其中最重要的一个。

十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体沿抛物线运动。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套欧氏方法很不方便，这就导致了解析几何的出现。1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有一篇叫《几何学》。笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点可以用实数对(x,y)一对一地表示。这样一来，几何图形可以转化为用代数方程描叙，研究图形之间关系的问题就可以变成了代数问题。这就是坐标系概念和解析几何基本思想的引进，所以后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。与解析几何同时出现的还有以投影方式研究几何的射影几何，由于使用面较窄而未得到重视和发展。

我们知道，平面解析几何中我们除了用直角坐标系外，还常用极坐标系、以及由保角变换得来的正交坐标系等。具体选什么坐标系，主要看解决问题是否方便，数学上讲它们都是有效地，并且是等价的。所以说坐标系是人为的标识系统，而那个平面才是客观存在的。

对解析几何的深入研究发现，在欧几里德几何学中起的核心作用的，是空间中任意两点之间有一个不变的距离,而且这个距离满足勾股定理。反过来，如果把这个勾股定理作为基本公理，则可反过来推导出所有原来的欧氏公理。也就是说，可以从勾股定理出发建立起欧氏几何。由于距离概念是建立在实数理论之上，而实数理论又可建立在自然数集合之上。这就是几何公理系统的相容性问题可由算术公理系统的相容性代替的原因。

在极限理论中，点列的收敛性是核心概念。函数的连续性、导数和积分的定义最终都归结为点列收敛性。点列的收敛性是定义在点与点之间的距离之上的，而且证明收敛性时只用到距离的两条性质，即正定性和三角不等式。所以在分析学中只用这两条性质作为公理定义了距离空间。当然原来的欧氏空间也是距离空间的一个特例。那么定义距离空间的意义在哪里呢？在于可以借用欧氏空间的概念和关系来研究更复杂的函数集合，例如连续函数空间C[0,1]，平方可积函数空间L²(0,1)等。把这些函数看成点，用这些函数空间中的点列的收敛性，我们就可证明一些微分方程和积分方程的解的存在性和唯一性了。沿着这个方向，分析学定义了众多的函数空间，如赋范线性空间、索贝列夫空间等，它们是解决微分方程和积分方程存在性和唯一性的基本工具。

几何沿另一个方向的发展是研究曲面上的几何问题，如球面上的几何问题，这就是微分几何。主要研究工具是微积分，张量代数及近代发展起来的微分形式等。作为欧氏几何直接推广的黎曼(Riemann)几何，空间中也定义了距离，两点间的长度微元也是坐标微元的正定二次型，只是系数矩阵是坐标函数了。但弯曲空间从局部看来和欧氏空间是相当的，而空间的弯曲程度则由曲率张量来描叙。

如果再把距离函数的正定性取消，我们就得到洛伦兹流形。爱因斯坦用3+1维洛伦兹流形来描叙物理时空，从逻辑上看，比牛顿的绝对平直时空有两大优势：第一、平直时空是弯曲时空的一个特例，弯曲时空是比平直时空更广的概念，所以在逻辑上更可靠。第二、3+1维的耦合时空具有4元数结构，是一个演化的活流形。其中的场方程相对容易解出，而且场量都是活的，物质具有了灵性。所以著名的前苏联物理学家朗道(Landau)说：广义相对论是最接近上帝的工作。

几何沿着连续性方向的进一步发展就是更为抽象的拓扑学。有些几何对象的特点并不需要具体的距离函数来描叙，而只涉及连续变化的等价性，即所谓同胚。如一个球体可通过连续变形变成一个立方体，但不能变成一个环。拓扑直接由衡量远近关系的开集定义，而开集之间只有一些纯粹的逻辑约束，而非数量关系。因此拓扑空间是比度量空间更广的概念，度量空间是拓扑空间的特例，开集可用开球的并集来定义。从逻辑上讲：越抽象的概念，涵盖面越大,有效性更广，但结论则较弱。

由上面的论述可以看到，数学概念的演化发展是有其内在逻辑的，并非凭空捏造出来的。由此我们可得以下一些重要的启发：（1）好的数学理论都有现实背景，为抽象而抽象、或者很生僻的理论是走不了多远的，也没多少人感兴趣。（2）大自然是用最精致的数学理论设计的，高深的数学理论都扎根在这些基础之上。（3）就数学定理本身而言，只是阐明了概念之间的一些必然的联系和约束。所以希尔伯特说：以桌子、椅子、啤酒瓶取代几何中的点、线、面并没有什么不可，那只是给一个概念起一个名字的问题，重要的是这些概念之间的约束关系。就像给孩子起什么名字只是一个标识问题，但亲子关系是绝对不可混淆的。在现代数学中广泛使用的‘同构’概念，就是希尔伯特思想的具体体现；而对量子物理中常用的‘类比方法’，其有效性的逻辑理由也正在于此。