他們認為只有幾個 — 即少數拓樸類 — 可作考慮, 是以決定宇宙 「內空間」 的任務不難完成。
可是, 我們不久便發現, Calabi-Yau 空間比原來估計的來得多。一九八零年初, 我想它只有數
萬個, 然而, 其後這數目不斷增加, 迄今未止。於是, 決定內空間的任務一下子變得無比困難, 假
如稍後發現有無數 Calabi-Yau 空間的話, 就更遙不可及了。當然, 後者是真是假還有待驗證,
我一直相信, 任何維的 Calabi-Yau 空間都是有限的。
Calabi-Yau 空間的熱潮, 始於一九八四年, 當時的物理學家, 開始了解到這些複空間或
會用於新興的理論上。熱情持續了幾年, 便開始減退了。 可是到了上世紀八十年代末期, Brian
Greene22、 Ronen Plesser23 、 Philip Candelas 等人開始研究 「鏡像對稱」 時, Calabi-Yau
空間又重新成為人們的焦點了。
鏡對稱乃是兩個具有不同拓樸的 Calabi-Yau 空間, 看起來沒有甚麼共通點, 但卻擁有相
同的物理定律。 具有這樣關係的兩個 Calabi-Yau 空間稱為「鏡像對」。數學家把物理學家發現
的鏡像關係搬過來, 成為數學上強而有力的工具。 在某個 Calabi-Yau 空間上要解決的難題, 可
以放到它的鏡像上去考慮, 這種做法往往奏效。一個求解曲線數目的問題, 懸空了差不多一個世
紀, 就是這樣破解的。它使數數幾何學 (enumerative geometry) 這一數學分枝, 重新煥發了
青春。這些進展令數學家對物理學家及弦論刮目相看。
鏡對稱是對偶性的一個重要例子。它就像一面窗, 讓我們窺見 Calabi-Yau 空間的隱秘。
利用它, 我們確定了給定階數的有理曲線在五次面 — 一個 Calabi-Yau 空間 — 的總數,
這是一個非常困難的問題。 這問題稱為 Schubert 問題。 它源於十九世紀, 德國數學家 Her-
mann Schubert 首先證明, 在五次面上共有 2,875 條一階有理曲線。 到了一九八六年, Shel-
don Katz24 證明了有 609,250 條二階曲線。一九八九年前後, 兩位挪威數學家 Geir Ellingsrud
和 Stein Stromme 利用代數幾何的技巧, 一下子找到了2,638,549,425條三階曲線。 可是另一
方面, 以 Candelas 為首的一組物理學家, 卻利用弦論找到317,206,375條曲線。 他們在尋找的
過程中, 用了一條並非由數學推導出來的適用於任意階數曲線的公式。這公式的真確與否, 還有
待數學家驗證。
一九九零年一月, 在 Isadore Singer25 的敦促下, 我組織了弦論學家和數學家首次的主要
會議。 大會在柏克萊的數理科學研究所舉行。會議上擁 Ellingsrud-Stromme 和擁 Candelas
團隊的人分成兩派, 壁壘分明, 各不相讓。這局面維持了幾個月, 直到數學家在他們的編碼程式
中發現錯誤, 經修正後, 結果竟與物理學家找到的數目完全吻合。經此一役, 數學家對弦論學家
深刻的洞察力, 不由得肅然起敬。
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