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第六节是对端点固定变分的变分矢量场的“加速度”（横向加速度）的讨论，由于由类光最长线 - 北京师范大学机构库- 检索结果
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第六节是对端点固定变分的变分矢量场的“加速度”（横向加速度）的讨论，由于由类光[PDF]黑洞与时间的性质
www.cs.wichita.edu/~chou/jian/chou2/BlackHole1.pdf
2015年6月4日 - 这时，类时测地线不是类光测地线变分出来的，也就是. 说，无共辄点的情况，变分参量肯定会随仿射参量增加而增加，这可以从公式中. 看到，即比较 ...变分法建模
· 1 变分法简介 · 2 应用
问题一： 等周问题（古希腊） 1：给定一平面封闭曲线 Γ ，使得所围的平面图形面积最大。 2：延拓到多维时的情形。
空间曲面面积的定义：曲面微元向切平面作投影的微元面积， 作和，求极限
8：变分建模法
变分法建模
· 1 变分法简介 · 2 应用
问题一： 等周问题（古希腊） 1：给定一平面封闭曲线 Γ ，使得所围的平面图形面积最大。 2：延拓到多维时的情形。
Γ
空间曲面面积的定义：曲面微元向切平面作投影的微元面积， 作和，求极限。 以3维空间为例z=z(x,y),
z |·· =Γ = zΓ
s = min ∫∫ 1 + z + z dxdy
2 x 2 y ·
z |·· =Γ = zΓ
二：Euclid问题 A B
水平镜面 选择P点，使得AP+PB最短
推广的问题，折射。 三： 捷线问题（John.Berluli） A
B 找一条从A到B的连续曲线，当小球只受重力作用， 从A到B的时间最短 1 2 mv = mgy, v = 2 gy 2 等时线，旋轮线 ds
ds = (dx) 2 + (dy ) 2 , dt = v
B xB
( xB , y B )
ds T =∫ = v A
∫
0
1 + y '2 2 gy
dx
四： 最短路问题 A(x1,y1)
y(x) B(x2,y2) 求连接AB的最短线。
L = ∫ 1 + y ' dx
2
1: 平面 2：球面
直线 测地线
变分法简介： 变分法简介：
变分法基本概念 1：变分 设S为一函数集，若对于每一个S中的函数x(t)有一个实数 J与之对应，则称J是定义在S上的泛函 记作J(x(t)),S称为容许函数集
对于平面 xy上过定点 A（x 1 , y 1）和B（x 2 , y 2）的每一条光滑曲线 y ( x )， 绕x轴旋转得到一个旋转体 ，如图，旋转体的侧面 积是曲 如图， 线y ( x )的泛函由微分知识有
x2
s=
∫
2πy ( x ) (1 + y' 2 ( x ))dx
x1
容许函数集为 S = {y(x) | y(x) ∈ C 1 [x 1 , x 2 ], y ( x 1 ) = y 1 , y ( x 2 ) = y 2 } ( 2)
最简泛函的形式：
t2
J ( x(t )) = F(t , x, x' )dt
t1
∫
x1 被积函数F包括自变量，未知函数及其导数
x2
泛函的极值 泛函J ( x(t ))在x0 (t ) ∈ S取得极小值是指， 对于任意一个与x0 (t )接近的x(t ) ∈ S，都有J ( x(t ))》J ( x0 (t ))
所谓接近，用距离d ( x(t ), x0 (t )) < ε度量
d[x(t ), x 0 (t )] =
max {| x(t ) · x
t1 ≤ t ≤ t 2
0 ( t ) |, | x' ( t )
· x' 0 (t ) |}
泛函的极大值可类似定义，x0(t)泛函的极值函数或极值曲线
泛函的变分
δx(t ) = x(t ) · x 0 (t )
如同函数的微分是函数增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函 增量的线性主部，作为泛函的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记作
(4)
称为函数的变分， 称为函数的变分，由它 引起的泛函的增量记作 · J = J(x 0 (t) + δ x ( t )) · J ( x 0 ( t )) 如果 · J 可以表示为 · J = L ( x 0 (t) , δ x ( t )) + r ( x 0 (t) , δ x ( t )) 的线性项， 其中 L 是 δ x 的线性项，而是 δ J （ x 0 ( t )), δ J （ x ( t )) 的高阶项， δ x 的高阶项， 的变分。 则称 L 为泛函在 x 0 ( t )的变分。记作
泛函的另一个重要形式 是它可以表示为 对参数 α 的导数： · δ J (x(t)) = J ( x (t ) + αδ x (t )) |α = 0 ·α
根据L和r的性质有：
(5)
·J = J ( x(t ) + αδx) · J ( x(t )) = L( x(t ),αδx) + r ( x(t ),αδx)
L( x(t ),αδx) = αL( x(t ),
δx)
α →0
lim
r ( x(t ),αδx)
α
r ( x(t ),αδx) = lim δx = 0 α →0 αδx
J ( x + αδx) · J ( x) · J ( x + αδx) |α =0 = lim ∴ α →0 ·α α J ( x + αδx) + r ( x + αδx) = lim = L ( x , δ x ) = δJ ( x )
α →0
α
极值与变分 利用5式可以得到泛函极值与变分的关系： 5
若J ( x(t ))在x 0 (t )达到极值 则δJ( x 0 (t )) = 0
泛函极值的必要条件——欧拉方程 欧拉方程 泛函极值的必要条件 ）：固定端点条件下取得极值的必要条件 6
d FX · Fx ' = 0 dt Fx · Ftx ' · Fxx ' x'· Fx ' x ' x' ' = 0
推广到含有两个或两个以上未知函数的情况
t2
J ( x ( t ), u ( t )) =
∫ F ( t , x , x ' , u , u ' )dt
t1
的欧拉方程为 d Fx · Fx' = 0 dt d Fu · Fu ' = 0 dt
3）横截条件 如果容许函数x(t)的一个端点t=t2不固定,而是在一条给定的曲线x=g(t) 上变动，讨论泛函J在以上条件下的极值曲线。 1：用欧拉方程得出其通解，用一个端点条件确定一个常数。 2）其次，另一个定解条件用以下式子确定：
[F + (g'· x' )Fx' ] | t = t 2 = 0
称为横截条件 考虑如下两种特殊情况 1）： 当 x = g ( t )垂直于横轴时 , t 2固定但 x ( t 2 )自由 , 称 t 2 为自由端点 ,
dt 2 = 0，所以有 Fx' |t = t 2 = 0
定解条件 2）：
当x = g(t )平行于横轴时 , g' = 0 定解条件为： 定解条件为： F · x' Fx' | t = t 2 = 0
4：条件极值
t
J =
∫
2
F(t,
x(t),
u(t))dt
24 25
t1
x ' ( t ) = f ( t , x ( t ), u ( t ))
引入乘子 λ （ t), 构造泛函
t 21
与函数条件极值一样，采用拉氏乘数法，化为无条件极值。
I(x(t), u(t)) =
∫ [F(t,
x, u) + λ (t)(f(t, x, u) - x' )]dt
26
t1
记 H(t, x, u) = F(t, x, u) + λ (t)f(t, x, u) H 称为哈密尔顿函数，（ 称为哈密尔顿函数，（
t 21
26 ）改写为
I(x(t), u(t)) =
∫ (H
- λ x' )dt
t1
化为含有两个函数x(t),u(t)的无条件极值。用欧拉方程有
d ( H · λx' ) x' = 0 dt d ( H · λx' ) u · ( H · λx' ) u' = 0 dt 将H的表达式代入有 ·H + λ' (t ) = 0 ·x ·H =0 ·u 即 归结为求下列微分方程组 ( H · λx' ) x · ·H = · λ ' (t ) ·x ·H =0 ·u x' = f(t, x, u)
模型五 农作物灭虫药的使用
为了减少虫害给农作物带来的巨大损失，农民们普遍使用农药 冲经济学的角度来看，什麽时候使用灭虫药和使用多少药能让 损失降到最小，是倍受关注的问题，使用一个数学的模型给出 您的解释。 一般地，如果用u(t)表示时刻t的使用灭虫药的数量，用表示x(t) 时刻t害虫的数量，用F[x(t),u(t),t]表示单位时间的总损失，包括被 害虫x(t)毁坏的农作物及灭虫药的费用。设农作物生长季节周期 为T， 则总损失可记作
T
J ( u ( t )) =
F ( x ( t ), u ( t ), t ) dt ∫
(1)
0 又因为害虫数量x(t)极其增长率x’(t)取决于灭虫药的数量u(t)， 所以有
X’(t)=f(x(
t),u(t),t)
(2)
于是（1），（2）构成一个以u(t)为控制函数，x(t)为状态函数 的泛函极值问题。 (参见《实变函数与泛函分析》） 在这里，我们不做一般性的讨论，只就u(t)在特殊情况下的模 型加以考虑,结合实际情况，农名用药的实际情况是：u(t)大体 上成如图的形式: U(t) u2 及隔一段时间用一次药，用药 u1 时间很短（与整个生长季节相比） 于是确定u(t)就转化为确定
τ 1 ,τ ................, u1 , u 2 .............
t 为了进一步简化，在下面的模型中我们假设在整个生长过程中 只使用一次品药。它可以推广到多次的情况。
τ1
τ2
二
模型假设
1。未使用灭虫药时，害虫的自然增长率为r，由于食物丰富 不考虑自身的阻滞作用；害虫的迁移率为常数q>0，表示由外界 向所考察地域迁入；害虫的初始数量为 x0 2.在农作物生长季节内（0 u 0 时才有效， m 是环景保护条 u 例规定的上限。 3.使用单位数量的农药后，害虫减少量与当时数量成正比，比例 系数 α ， 这符合害虫分布较密的情况。 4。农作物被毁坏得数量与当时害虫的数量x(t)成正比，比例系数 为b，农作物的单价为p（时间较短，不考虑折扣因子。） 5:使用灭虫药的固定费用为c 0 ，单位数量灭虫药的费用为c1
τ
三 建立模型 建立模型的目的是确定使用灭虫药的时刻和数量，使整个生 长期间的总损失最小。根据假设4，5总损失应为 T （3）
L(τ , u) = c0 + c1u + pb∫ x(τ , u, t)dt
0
式中
x(τ , u , t ) 表示害虫数量与t,u有关
dx = rx + q, 0 ≤ t < τ dt x ( 0) = x 0
根据假设1，未用灭虫药时（
t <τ
）害虫增长满足
（4）
利用MATHEMATICA 解出它：
In[]=:
DSolve x' t - r x t + q · 0, x t , t
Out[]=:
@D D @D@ @D
0 ≤ t <τ
（5）
q rt x t · +· C 1 r
即：
q rt q x(t ) = ( x0 + )e · r r
根据假设2，3，在 t 满足
= τ 时使用数量的药后害虫的残存量
dx = ·αx, u 0 ≤ u ≤ u m du · x(τ , u 0 ) = x (t )
其中
（6）
x · (τ ) 由（5）式令
t →τ
时得到。
利用MATHEMATICA 解出（6）： In[]=:
DSolve x' u + a x u · 0, x u , u
Out[]:=
x u · ·
即：
-au
C 1
（7）
x(τ,u) = x (t)e
·
·α(u·u0 )
, u0 ≤ u ≤ um
当后害虫又按照方程（4）的规律由初值增长，于是根据（5）式 可以写出
q r ( t ·τ ) q x (t ) = [ x (τ , u ) + ]e · , τ ≤t ≤T r r
（8）
将（6），（7），（8）代入（3）式积分后可得：
·1 e ·1 q e ( x0 + ) + L(τ , u ) = c0 + c1u + pb{ r r r q rτ ·α (u ·u0 ) q qT ·α ( u ·u 0 ) （9） .[( x0 + )e + (1 · e )] · } r r r
rτ
r (T ·τ )
四 模型求解
这实际上是一个求函数极值问题，由高等数学的知识知： 这是一个求二元函数极
值问题，以（u,τ )自变量 在（9）式两边对u求导，并令它等于零有： 可利用MATHEMATIC求偏导
· x f x, y, z
（10）
即： · L = 0
·u
rx 0 1 T τ = · ln( 1 + ) 2 2r q
因为要求 τ 》0，令 τ
（10）
=0
由（10）时可求出
rx 0 q = q c = rT e ·1
所以最佳时刻 τ * 应为
*
（11）
0
（12）
τ =
, q ≤ qc q > qc
rx0 T 1 · ln(1 + ), 2 2r q
（11）式的 令
·L =0 ·u
qc
程临界迁移率 可得
r (T ·τ )
u = u0 +
1
α
ln{
αpb
c1 r
(e
q rτ q · 1)[( x0 + )e · ]} r r
（13）
q < qc
为简化表达式，记
δ (q) =
pbx 0 rT ( e · 1) , r q + rx 0 q 2 pb[ · ] r r
（14） q > qc
则13式可写作
u = u0 +
又因为u 0
1
≤ u ≤ u m ，所以最佳用药量 u *
u0 + um 1
α
ln
αδ
c1
（15） 应为
u =
*
α
ln
αδ
c1
,
,
1<
αδ
c1
< e α ( u m ·u0 )
（16）
αδ
c1
≥e
α ( um ·u0 )
这样，（11），（12），（14），（16）构成了用药佳时刻和 数量的表达式。
五 模型检验
* * 上面所得到的使用灭虫药后的最小损失 L(τ , u ) 应该与不使 用药时的损失小，这时才决定用药。
不使用药的损失是 L(τ ,0) （实际上与 参考三式有
τ
无关）
L(τ ,0) = pb ∫ x(t )dt
0
T
(17)
其中x(t)由（5）式给出，由（17）式计算积分可得
pb q rT L(τ ,0) = [( x0 + )(e · 1) · qT ] r r
将（12），（14），（16）代入（9）式可以算出
（18）
L(τ , u )
* *
经化简后再利用（18）可得：
L (τ , u ) · L (τ ,0 ) =
* *
α
c1
[α u 0 +
αc 0
c1
+ 1 + ln
αδ
c1
·
αδ
c1
]
若记：
（19）
w(q ) = αu 0 +
则可知道仅当条件
αc0
c1
+ 1 + ln
αδ
c1
·
αδ
c1
（20）
W(q)<0 成立时才有：
（21）
L(τ ,0) < c0 + c1u m
（22）
于是在时刻 τ * 使用药量 使用药
是最佳选择。否则，整个生长期应不
模型解释（结果分析） 五 模型解释（结果分析） 在 τ * 的表达式（12）中有一个定值 q ，当实际的害虫迁移率
c
q ≤ qc
时
τ = 0 既生长季节一开始就用药，这是因为q较小
*
害虫的自然增长是虫害主要原因，尽早地用药根除害虫更为有利
q > q c 时外界迁入是虫害的主体，所以要过一段时间用药，并且
q越大灭虫时间越晚，另外，从的 q c 表达式可知，害虫的 初始 值 x 0越大则 q c 越大，增长率r越大则q c 越小。
在
的表达式（16）中规定了
αδ
c1
，因为否则由（20）式 >1
可知 W(q)<0 ，按照（21），（22）式更本不应用药
（16），（14）还表明，衡量药效的系数越大，药的价格越大 则用药量越小；农作物单价越大，衡量农作物损失的系数 越大，害虫的增长率，迁移率，初值越大，则越大。这些都 是与常识相符合。
六 模型评注
模型在适当的假设下得到的结果是合理的，但是由于表达式太 复杂，运用起
来十分不方便。实际上一些农民决定是否用药时 常采用比较简便的准则，比如将不用药的最大损失 与用最大药量的费用 相比较。
L(τ ,0)
当
L(τ ,0) > c0 + c1u m
u m 灭虫，用药时刻另行考虑或按（12）估计
时就用最大药量
当
L(τ ,0) < c0 + c1u m
时就不用药
傅立叶变换在这里的物理意义就是将光的空间分布转换为频率分布（相空间），在靠近原点的部分为图像低频部分，远离原点部分为图像高频部分。
http://blog.csdn.net/yeeman/article/details/6325693
假如空气和水可以给我们的嗅觉味觉以一定程度的刺激，会发生什么
事儿呢？
我们会很悲惨！我们所谓的味觉嗅觉，是我们舌头上和鼻腔粘膜上的感受器
捕捉到了某些特定的分子，触发了神经脉冲；神经脉冲经神经纤维传导至大脑，
触发更多的神经元，产生了感觉——说通俗点，就是放电。如果空气和水能被我
们的嗅味觉器官感知到，那我们的嗅味觉神经通道会永久地处于“放电状态”！
那感觉就像被终身监禁在一个充溢着同一种香水味或臭鸡蛋味的牢房里，永世不
得放风，生不如死
只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
变分法建模
· 1 变分法简介 · 2 应用
问题一： 等周问题（古希腊） 1：给定一平面封闭曲线 Γ ，使得所围的平面图形面积最大。 2：延拓到多维时的情形。
Γ
空间曲面面积的定义：曲面微元向切平面作投影的微元面积， 作和，求极限。 以3维空间为例z=z(x,y),
z |·· =Γ = zΓ
s = min ∫∫ 1 + z + z dxdy
2 x 2 y ·
z |·· =Γ = zΓ
二：Euclid问题 A B
水平镜面 选择P点，使得AP+PB最短
推广的问题，折射。 三： 捷线问题（John.Berluli） A
B 找一条从A到B的连续曲线，当小球只受重力作用， 从A到B的时间最短 1 2 mv = mgy, v = 2 gy 2 等时线，旋轮线 ds
ds = (dx) 2 + (dy ) 2 , dt = v
B xB
( xB , y B )
ds T =∫ = v A
∫
0
1 + y '2 2 gy
dx
四： 最短路问题 A(x1,y1)
y(x) B(x2,y2) 求连接AB的最短线。
L = ∫ 1 + y ' dx
2
1: 平面 2：球面
直线 测地线
变分法简介： 变分法简介：
变分法基本概念 1：变分 设S为一函数集，若对于每一个S中的函数x(t)有一个实数 J与之对应，则称J是定义在S上的泛函 记作J(x(t)),S称为容许函数集
对于平面 xy上过定点 A（x 1 , y 1）和B（x 2 , y 2）的每一条光滑曲线 y ( x )， 绕x轴旋转得到一个旋转体 ，如图，旋转体的侧面 积是曲 如图， 线y ( x )的泛函由微分知识有
x2
s=
∫
2πy ( x ) (1 + y' 2 ( x ))dx
x1
容许函数集为 S = {y(x) | y(x) ∈ C 1 [x 1 , x 2 ], y ( x 1 ) = y 1 , y ( x 2 ) = y 2 } ( 2)
最简泛函的形式：
t2
J ( x(t )) = F(t , x, x' )dt
t1
∫
x1 被积函数F包括自变量，未知函数及其导数
x2
泛函的极值 泛函J ( x(t ))在x0 (t ) ∈ S取得极小值是指， 对于任意一个与x0 (t )接近的x(t ) ∈ S，都有J ( x(t ))》J ( x0 (t ))
所谓接近，用距离d ( x(t ), x0 (t )) < ε度量
d[x(t ), x 0 (t )] =
max {| x(t ) · x
t1 ≤ t ≤ t 2
0 ( t ) |, | x' ( t )
· x' 0 (t ) |}
泛函的极大值可类似定义，x0(t)泛函的极值函数或极值曲线
泛函的变分
δx(t ) = x(t ) · x 0 (t )
如同函数的微分是函数增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函 增量的线性主部，作为泛函的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记作
(4)
称为函数的变分， 称为函数的变分，由它 引起的泛函的增量记作 · J = J(x 0 (t) + δ x ( t )) · J ( x 0 ( t )) 如果 · J 可以表示为 · J = L ( x 0 (t) , δ x ( t )) + r ( x 0 (t) , δ x ( t )) 的线性项， 其中 L 是 δ x 的线性项，而是 δ J （ x 0 ( t )), δ J （ x ( t )) 的高阶项， δ x 的高阶项， 的变分。 则称 L 为泛函在 x 0 ( t )的变分。记作
泛函的另一个重要形式 是它可以表示为 对参数 α 的导数： · δ J (x(t)) = J ( x (t ) + αδ x (t )) |α = 0 ·α
根据L和r的性质有：
(5)
·J = J ( x(t ) + αδx) · J ( x(t )) = L( x(t ),αδx) + r ( x(t ),αδx)
L( x(t ),αδx) = αL( x(t ),
δx)
α →0
lim
r ( x(t ),αδx)
α
r ( x(t ),αδx) = lim δx = 0 α →0 αδx
J ( x + αδx) · J ( x) · J ( x + αδx) |α =0 = lim ∴ α →0 ·α α J ( x + αδx) + r ( x + αδx) = lim = L ( x , δ x ) = δJ ( x )
α →0
α
极值与变分 利用5式可以得到泛函极值与变分的关系： 5
若J ( x(t ))在x 0 (t )达到极值 则δJ( x 0 (t )) = 0
泛函极值的必要条件——欧拉方程 欧拉方程 泛函极值的必要条件 ）：固定端点条件下取得极值的必要条件 6
d FX · Fx ' = 0 dt Fx · Ftx ' · Fxx ' x'· Fx ' x ' x' ' = 0
推广到含有两个或两个以上未知函数的情况
t2
J ( x ( t ), u ( t )) =
∫ F ( t , x , x ' , u , u ' )dt
t1
的欧拉方程为 d Fx · Fx' = 0 dt d Fu · Fu ' = 0 dt
3）横截条件 如果容许函数x(t)的一个端点t=t2不固定,而是在一条给定的曲线x=g(t) 上变动，讨论泛函J在以上条件下的极值曲线。 1：用欧拉方程得出其通解，用一个端点条件确定一个常数。 2）其次，另一个定解条件用以下式子确定：
[F + (g'· x' )Fx' ] | t = t 2 = 0
称为横截条件 考虑如下两种特殊情况 1）： 当 x = g ( t )垂直于横轴时 , t 2固定但 x ( t 2 )自由 , 称 t 2 为自由端点 ,
dt 2 = 0，所以有 Fx' |t = t 2 = 0
定解条件 2）：
当x = g(t )平行于横轴时 , g' = 0 定解条件为： 定解条件为： F · x' Fx' | t = t 2 = 0
4：条件极值
t
J =
∫
2
F(t,
x(t),
u(t))dt
24 25
t1
x ' ( t ) = f ( t , x ( t ), u ( t ))
引入乘子 λ （ t), 构造泛函
t 21
与函数条件极值一样，采用拉氏乘数法，化为无条件极值。
I(x(t), u(t)) =
∫ [F(t,
x, u) + λ (t)(f(t, x, u) - x' )]dt
26
t1
记 H(t, x, u) = F(t, x, u) + λ (t)f(t, x, u) H 称为哈密尔顿函数，（ 称为哈密尔顿函数，（
t 21
26 ）改写为
I(x(t), u(t)) =
∫ (H
- λ x' )dt
t1
化为含有两个函数x(t),u(t)的无条件极值。用欧拉方程有
d ( H · λx' ) x' = 0 dt d ( H · λx' ) u · ( H · λx' ) u' = 0 dt 将H的表达式代入有 ·H + λ' (t ) = 0 ·x ·H =0 ·u 即 归结为求下列微分方程组 ( H · λx' ) x · ·H = · λ ' (t ) ·x ·H =0 ·u x' = f(t, x, u)
模型五 农作物灭虫药的使用
为了减少虫害给农作物带来的巨大损失，农民们普遍使用农药 冲经济学的角度来看，什麽时候使用灭虫药和使用多少药能让 损失降到最小，是倍受关注的问题，使用一个数学的模型给出 您的解释。 一般地，如果用u(t)表示时刻t的使用灭虫药的数量，用表示x(t) 时刻t害虫的数量，用F[x(t),u(t),t]表示单位时间的总损失，包括被 害虫x(t)毁坏的农作物及灭虫药的费用。设农作物生长季节周期 为T， 则总损失可记作
T
J ( u ( t )) =
F ( x ( t ), u ( t ), t ) dt ∫
(1)
0 又因为害虫数量x(t)极其增长率x’(t)取决于灭虫药的数量u(t)， 所以有
X’(t)=f(x(
t),u(t),t)
(2)
于是（1），（2）构成一个以u(t)为控制函数，x(t)为状态函数 的泛函极值问题。 (参见《实变函数与泛函分析》） 在这里，我们不做一般性的讨论，只就u(t)在特殊情况下的模 型加以考虑,结合实际情况，农名用药的实际情况是：u(t)大体 上成如图的形式: U(t) u2 及隔一段时间用一次药，用药 u1 时间很短（与整个生长季节相比） 于是确定u(t)就转化为确定
τ 1 ,τ ................, u1 , u 2 .............
t 为了进一步简化，在下面的模型中我们假设在整个生长过程中 只使用一次品药。它可以推广到多次的情况。
τ1
τ2
二
模型假设
1。未使用灭虫药时，害虫的自然增长率为r，由于食物丰富 不考虑自身的阻滞作用；害虫的迁移率为常数q>0，表示由外界 向所考察地域迁入；害虫的初始数量为 x0 2.在农作物生长季节内（0
http://blog.csdn.net/yeeman/article/details/6325693
假如空气和水可以给我们的嗅觉味觉以一定程度的刺激，会发生什么
事儿呢？
我们会很悲惨！我们所谓的味觉嗅觉，是我们舌头上和鼻腔粘膜上的感受器
捕捉到了某些特定的分子，触发了神经脉冲；神经脉冲经神经纤维传导至大脑，
触发更多的神经元，产生了感觉——说通俗点，就是放电。如果空气和水能被我
们的嗅味觉器官感知到，那我们的嗅味觉神经通道会永久地处于“放电状态”！
那感觉就像被终身监禁在一个充溢着同一种香水味或臭鸡蛋味的牢房里，永世不
得放风，生不如死
只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。”冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：”说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明”冲击函数”。在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是”卷积” 这个数学怪物就这样诞生了。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。于是，他们为它量身定做了一套运作规律。于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
古人曰：”说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明”冲击函数”。在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是”卷积” 这个数学怪物就这样诞生了。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。于是，他们为它量身定做了一套运作规律。于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
例子：
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！
县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：
——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？
——费话，疼呗！
——我问的是：会有什么表现？
——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼
（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉
强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！
县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：
——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？
—— 呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议 Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？
——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！
县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：
——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？
——费话，疼呗！
——我问的是：会有什么表现？
——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼
（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉
强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！
县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：
——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？
—— 呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议 Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？
——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！
卷积及拉普拉斯变换的通俗解释–对于我这类没学过信号系统的人来说太需要了
卷积(convolution, 另一个通用名称是德文的Faltung)的名称由来，是在于当初定义它时，定义成 integ(f1(v)*f2(t-v))dv，积分区间在0到t之间。举个简单的例子，大家可以看到，为什么叫”卷积”了。比方说在(0，100)间积分，用简单的辛普生积分公式，积分区间分成100等分，那么看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，……… 等等等等，就象是在坐标轴上回卷一样。所以人们就叫它”回卷积分”，或者”卷积”了。
为了理解”卷积”的物理意义，不妨将那个问题”相当于它的时域的信号与系统的单位脉冲响应的卷积”略作变化。这个变化纯粹是为了方便表达和理解，不影响任何其它方面。将这个问题表述成这样一个问题：一个信号通过一个系统，系统的响应是频率响应或波谱响应，且看如何理解卷积的物理意义。
假设信号函数为f, 响应函数为g。f不仅是时间的函数(信号时有时无)，还是频率的函数(就算在某一固定时刻，还有的地方大有的地方小)；g也是时间的函数(有时候有反应，有时候没反应)，同时也是频率的函数(不同的波长其响应程度不一样)。那我们要看某一时刻 t 的响应信号，该怎么办呢？
这就需要卷积了。
要看某一时刻 t 的响应信号，自然是看下面两点：
1。你信号来的时候正赶上人家”系统”的响应时间段吗？
2。就算赶上系统响应时间段，响应有多少？
响 应不响应主要是看 f 和 g 两个函数有没有交叠；响应强度的大小不仅取决于所给的信号的强弱，还取决于在某频率处对单位强度响应率。响应强度是信号强弱和对单位强度信号响应率的乘积。”交叠”体现在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是”(t-t1)”就是看两个函数错开多少。
由于 f 和 g 两个函数都有一定的带宽分布(假若不用开头提到的”表述变化”就是都有一定的时间带宽分布)，这个信号响应是在一定”范围”内广泛响应的。算总的响应信号，当然要把所有可能的响应加起来，实际上就是对所有可能t1积分了。积分范围虽然一般在负无穷到正无穷之间；但在没有信号或者没有响应的地方，积也是白积，结果是0，所以往往积分范围可以缩减。
这就是卷积及其物理意义啊。并成一句话来说，就是看一个时有时无(当然作为特例也可以永恒存在)的信号，跟一个响应函数在某一时刻有多大交叠。
定义： 
, 即 
，其中ｈ称为相关核(Kernel).
1）滑动核，使其中心位于输入图像g的（i，j）像素上 2）利用上式求和，得到输出图像的（i，j）像素值 3）充分上面操纵，直到求出输出图像的所有像素值
卷积(convolution, 另一个通用名称是德文的Faltung)的名称由来，是在于当初定义它时，定义成 integ(f1(v)*f2(t-v))dv，积分区间在0到t之间。举个简单的例子，大家可以看到，为什么叫”卷积”了。比方说在(0，100)间积分，用简单的辛普生积分公式，积分区间分成100等分，那么看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，……… 等等等等，就象是在坐标轴上回卷一样。所以人们就叫它”回卷积分”，或者”卷积”了。
为了理解”卷积”的物理意义，不妨将那个问题”相当于它的时域的信号与系统的单位脉冲响应的卷积”略作变化。这个变化纯粹是为了方便表达和理解，不影响任何其它方面。将这个问题表述成这样一个问题：一个信号通过一个系统，系统的响应是频率响应或波谱响应，且看如何理解卷积的物理意义。
假设信号函数为f, 响应函数为g。f不仅是时间的函数(信号时有时无)，还是频率的函数(就算在某一固定时刻，还有的地方大有的地方小)；g也是时间的函数(有时候有反应，有时候没反应)，同时也是频率的函数(不同的波长其响应程度不一样)。那我们要看某一时刻 t 的响应信号，该怎么办呢？
这就需要卷积了。
要看某一时刻 t 的响应信号，自然是看下面两点：
1。你信号来的时候正赶上人家”系统”的响应时间段吗？
2。就算赶上系统响应时间段，响应有多少？
响 应不响应主要是看 f 和 g 两个函数有没有交叠；响应强度的大小不仅取决于所给的信号的强弱，还取决于在某频率处对单位强度响应率。响应强度是信号强弱和对单位强度信号响应率的乘积。”交叠”体现在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是”(t-t1)”就是看两个函数错开多少。
由于 f 和 g 两个函数都有一定的带宽分布(假若不用开头提到的”表述变化”就是都有一定的时间带宽分布)，这个信号响应是在一定”范围”内广泛响应的。算总的响应信号，当然要把所有可能的响应加起来，实际上就是对所有可能t1积分了。积分范围虽然一般在负无穷到正无穷之间；但在没有信号或者没有响应的地方，积也是白积，结果是0，所以往往积分范围可以缩减。
这就是卷积及其物理意义啊。并成一句话来说，就是看一个时有时无(当然作为特例也可以永恒存在)的信号，跟一个响应函数在某一时刻有多大交叠。
图像处理－线性滤波－1 基础（相关算子、卷积算子、边缘效应）
这里讨论利用输入图像中像素的小邻域来产生输出图像的方法，在信号处理中这种方法称为滤波（filtering）。其中，最常用的是线性滤波：输出像素是输入邻域像素的加权和。
1.相关算子（Correlation Operator)
, 
步骤：
例：
A = [1724 1 8 15 h = [8 1 6
23 5 7 14 16 3 5 7
4 6 13 20 22 4 9 2]
10 12 19 21 3