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）的直线之间的面积的两倍。https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B0
回复：讨论:：由虚角三角函数说起，关于闵氏复时空的旋转变换
这不是钻牛角尖，所有的关系要用数学来说话。若数学的结果与物理意义有冲突，那肯定是不行的。
例如我说教材的那个画法不对，至少在物理意义上是不对的！it轴要顺时针转（对应于洛仑兹正变换），而不能逆时针转！因为逆时针转就表明带撇的参考系沿着x的负方向运动了！与正变换的约定不一致！！！这应该是起码的常识！
例如我说教材的那个画法不对，至少在物理意义上是不对的！it轴要顺时针转（对应于洛仑兹正变换），而不能逆时针转！因为逆时针转就表明带撇的参考系沿着x的负方向运动了！与正变换的约定不一致！！！这应该是起码的常识！
虚角三角函数完全符合闵氏度规的定义：
这个式子就是二维复空间度规的等价表示cos²(iφ)+sin²(iφ)=1
若cos( iφ)>∣sin( iφ)∣则为类空间隔
cos( iφ)<∣sin( iφ)∣,则为类时间隔
（注：cosiφ是大于等于1的实数）
这个式子就是二维复空间度规的等价表示cos²(iφ)+sin²(iφ)=1
若cos( iφ)>∣sin( iφ)∣则为类空间隔
cos( iφ)<∣sin( iφ)∣,则为类时间隔
（注：cosiφ是大于等于1的实数）
采用虚参数三角函数能够准确诠释洛仑兹变换，还有一个令人十分兴奋的结果：
这就是，若旋转角iφ的φ趋于无穷的的话，x轴与it轴都将趋于光的世界线！！！
也就是，若φ趋于无穷大，tan(iφ)趋于i，即：∣tan( iφ)∣趋于1，即光速c！
这也说明复空间的旋转变换的校准线是双曲线，光就是双曲线的渐近线！！！
这正是洛仑兹旋转变换的本意！！得到这个结果你不感到荡气回肠吗？
这就是，若旋转角iφ的φ趋于无穷的的话，x轴与it轴都将趋于光的世界线！！！
也就是，若φ趋于无穷大，tan(iφ)趋于i，即：∣tan( iφ)∣趋于1，即光速c！
这也说明复空间的旋转变换的校准线是双曲线，光就是双曲线的渐近线！！！
这正是洛仑兹旋转变换的本意！！得到这个结果你不感到荡气回肠吗？
从数学上说：
虚参数三角函数和实参数双曲函数有着对应关系，即虚参数三角函数可以和双曲线对应起来；
而虚参数双曲函数和实角三角函数有着对应关系，即虚参数双曲函数可以和园对应起来。
若是洛仑兹变换可以写成虚参数双曲函数，那洛仑兹变换就可以是园旋转不变的，可惜不能！
但是恰恰洛仑兹变换可以写成虚参数三角函数，所以，洛仑兹变换是双曲旋转不变的，无论是写成实形式还是复形式！
虚参数三角函数和实参数双曲函数有着对应关系，即虚参数三角函数可以和双曲线对应起来；
而虚参数双曲函数和实角三角函数有着对应关系，即虚参数双曲函数可以和园对应起来。
若是洛仑兹变换可以写成虚参数双曲函数，那洛仑兹变换就可以是园旋转不变的，可惜不能！
但是恰恰洛仑兹变换可以写成虚参数三角函数，所以，洛仑兹变换是双曲旋转不变的，无论是写成实形式还是复形式！
前面有朋友说，复时空下的旋转角的几何意义不明显。这句话显然是结论下得早了点。
其实闵氏复时空下旋转变换的旋转虚角度，其几何意义是十分明显和确定的。除了前面给出的具体例子，这个虚角度可以由正交的三角形的变长（由间隔来度量，要区分类时与类空）来定义，而且，这个虚角实际也是一种“弧度”，即用单位双曲线的线长s来度量。这与欧氏几何下的单位园的弧长与角度的对应关系完全一样。
下面就给出这个证明。
我们用了一个单位双曲线来考察这个问题，当然对于一般结果也是对的。这个结果还有一个意义，就是可以对匀加速粒子的世界线积分，即求得它的原时。这个原时是类时间隔的线长，所以积出的结果应该是一个虚数。
其实闵氏复时空下旋转变换的旋转虚角度，其几何意义是十分明显和确定的。除了前面给出的具体例子，这个虚角度可以由正交的三角形的变长（由间隔来度量，要区分类时与类空）来定义，而且，这个虚角实际也是一种“弧度”，即用单位双曲线的线长s来度量。这与欧氏几何下的单位园的弧长与角度的对应关系完全一样。
下面就给出这个证明。
我们用了一个单位双曲线来考察这个问题，当然对于一般结果也是对的。这个结果还有一个意义，就是可以对匀加速粒子的世界线积分，即求得它的原时。这个原时是类时间隔的线长，所以积出的结果应该是一个虚数。
35楼给出it轴的旋转时，将虚角改成负的虚角，显然这是恒等变换。没有什么不同。
当然你也可以写成正的虚角的形式，例如一般教材给出的那样，例如这样写：
x'1=x1cos(iφ)+x4sin(iφ)
x4=it，c=1
即便是写成这种形式，可以具体代入数值，采用描点画图法，画出it'轴，结果是一样的！有兴趣的朋友不妨试试。
但是it'轴的旋转写成负虚数的形式更能体现其几何意义，这个对照前面给出的图，我想朋友们会自己得出结论。
当然你也可以写成正的虚角的形式，例如一般教材给出的那样，例如这样写：
x'1=x1cos(iφ)+x4sin(iφ)
x4=it，c=1
即便是写成这种形式，可以具体代入数值，采用描点画图法，画出it'轴，结果是一样的！有兴趣的朋友不妨试试。
但是it'轴的旋转写成负虚数的形式更能体现其几何意义，这个对照前面给出的图，我想朋友们会自己得出结论。
顺便在这个帖子下对坂上中微子先生在理论物理吧的以下观点提出不同意见：
坂上中微子认为：
“
但是时间和空间的属性毕竟是完全不同的，怎么办呢？闵可夫斯基很聪明，他在ct前乘上了一个虚数单位i，变成了复四维时空，以此来表明，时间和空间仍然是不同的！然后，大家在这个基础上又引入了一系列四维量，魔术似乎就变得成功了。
但是这为什么只是个魔术呢？因为这种处理方法并没有体现时间的本质。试想，如果我不让ct与i相乘，而改用空间坐标x,y,z与i相乘，变成(ix,iy,iz,ct)，这套坐标不是一样能描述四维运动吗？显然能，而且功能与闵氏复四维时空完全相同，但这里却变成了时间可逆，空间反倒变得不可逆了，这干脆就不符合观测事实，显然是荒谬的，所以复四维时空的荒谬之处就显现出来了。
”
通过上面我们讨论复时空的旋转变换，可以看出坂上中微子先生的以上议论是毫无道理的。复四维也好，实四维也好，没有什么不同！复四维只是一种数学技巧，而且复四维时空的表达能够更严格地讨论四维间隔这个概念，与时间是不是可逆没有任何关系！！！
坂上中微子认为：
“
但是时间和空间的属性毕竟是完全不同的，怎么办呢？闵可夫斯基很聪明，他在ct前乘上了一个虚数单位i，变成了复四维时空，以此来表明，时间和空间仍然是不同的！然后，大家在这个基础上又引入了一系列四维量，魔术似乎就变得成功了。
但是这为什么只是个魔术呢？因为这种处理方法并没有体现时间的本质。试想，如果我不让ct与i相乘，而改用空间坐标x,y,z与i相乘，变成(ix,iy,iz,ct)，这套坐标不是一样能描述四维运动吗？显然能，而且功能与闵氏复四维时空完全相同，但这里却变成了时间可逆，空间反倒变得不可逆了，这干脆就不符合观测事实，显然是荒谬的，所以复四维时空的荒谬之处就显现出来了。
”
通过上面我们讨论复时空的旋转变换，可以看出坂上中微子先生的以上议论是毫无道理的。复四维也好，实四维也好，没有什么不同！复四维只是一种数学技巧，而且复四维时空的表达能够更严格地讨论四维间隔这个概念，与时间是不是可逆没有任何关系！！！
两种数学上完全等价的描述，哪有什么谁更严格的问题。
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嗯，至少能承认是等价的描述，那就是说，实数形式与复数形式的数学表达是等效的。即，意味着既然实时空是双曲旋转不变的，那复时空就也是双曲旋转不变的。也就是说，顶楼给出的书上给出的图示是错的。是不是呢？
更严格是指的复时空可以完全放心的对线，直线和曲线进行积分，类时的积出个虚数，类空积出个实数。
在实时空，会出现线积分为虚数，不是很不严格吗？
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嗯，至少能承认是等价的描述，那就是说，实数形式与复数形式的数学表达是等效的。即，意味着既然实时空是双曲旋转不变的，那复时空就也是双曲旋转不变的。也就是说，顶楼给出的书上给出的图示是错的。是不是呢？
更严格是指的复时空可以完全放心的对线，直线和曲线进行积分，类时的积出个虚数，类空积出个实数。
在实时空，会出现线积分为虚数，不是很不严格吗？
虽然是坟，但确实忍不住说几句。所谓虚参数三角函数在这里根本就没有任何必要。如果你的数学足够好，你应该会知道Lorentz群和正交几何。Lorentz变换不过是一般正交几何里面的一个特殊的小问题而已，有双曲函数的表示方法也完全不奇怪。总合起来，还是数学学得太少。
这是一个坟贴，被顶起来了。11年我贴出这个帖子时，赞成者不多，批评者不少。3年多过去了，再看到这个帖子，还是有颇多的感触。
本吧有很多屋里专业的学生和先进者，对于主流教科书中的批评，往往不大能得到鼓励与支持。有朋友往往会凭着本能对批评者的意见给予反驳。但是，这些朋友也许并没有认真的读一读批评者的意见。
洛伦兹变换是一种非欧几何下的“特殊”的旋转变换，可以用双曲函数来描述，也可以用虚角三角函数来表述。
这个并不是我的发明，在权威的著作中，就有用双曲函数或虚角三角函数来讨论洛伦兹变换的。例如刘辽的《狭义相对论》第二版。
下面的图就是刘辽《狭义相对论》第二版中的相关页面：
刘辽教授这一节的解析论述是不错的，但是此页图13.1（b）复闵氏空间的旋转变换却是没有道理的！或者说是完全错误的！
这一错误，也反映在本贴提到的赵展岳的《相对论导引》一书中。
本人作为爱好者，或者说是“民科”在我的一本无知无畏的作品《闵氏几何与狭义相对论》中，对这个问题做了详细的讨论，并对权威意见提出了批评。
我的这种批评当然欢迎得到反批评，好在我没有什么负担，一个爱好者而已。
本吧有很多屋里专业的学生和先进者，对于主流教科书中的批评，往往不大能得到鼓励与支持。有朋友往往会凭着本能对批评者的意见给予反驳。但是，这些朋友也许并没有认真的读一读批评者的意见。
洛伦兹变换是一种非欧几何下的“特殊”的旋转变换，可以用双曲函数来描述，也可以用虚角三角函数来表述。
这个并不是我的发明，在权威的著作中，就有用双曲函数或虚角三角函数来讨论洛伦兹变换的。例如刘辽的《狭义相对论》第二版。
下面的图就是刘辽《狭义相对论》第二版中的相关页面：
刘辽教授这一节的解析论述是不错的，但是此页图13.1（b）复闵氏空间的旋转变换却是没有道理的！或者说是完全错误的！
这一错误，也反映在本贴提到的赵展岳的《相对论导引》一书中。
本人作为爱好者，或者说是“民科”在我的一本无知无畏的作品《闵氏几何与狭义相对论》中，对这个问题做了详细的讨论，并对权威意见提出了批评。
我的这种批评当然欢迎得到反批评，好在我没有什么负担，一个爱好者而已。
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