phymath999: abel 一般五次方程式沒有根式解多元高次方程式的研究（代數幾何）、Diophantus 方程式的研究（代數數論）、微分方程式

人们自然希望对于3次和更高次的代数方程能找到类似的求解公式. 然而, 经过 ... (口吃者)的意大利数学家发现了更多类型的3次方程的解法, 战胜了Fior 的挑战. 在另一 .... σ:S → S. 所有的置换构成的集合是一个群(Group), 叫做S 的“对称群”, 记为Sn. 在拉格 ... 所谓Ruffini-Abel 定理就是, 5次或5次以上的代数方程一般不能“根式求解” (not.

方程式求解问题_学汇乐论文

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2015年4月16日 - 直到今日，多元高次方程式的研究（代数几何）、Diophantus 方程式的研究（代数数论）、微分方程式 ... 1826年挪威数学家Abel证明：一般五次方程式没有根式解。 ... Galois把方程式求解问题转化成置换群（permutation group）的问题。

[PPT]和谐代数 - 上海交通大学数学系

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4次方程解出之后200余年，许. 多数学家相信更高次方程的求根. 公式仍存在， ... Niels H. Abel(1802-1829)证明. 了5次方程 ... Group theory and generalizations. 22?

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9_多元高次聯立方程式. 10_中國數學家的貢獻 ... 解的問題,是群論( group theory )的真正的締造者。 .... lier‵ , 簡述他的研究成果,方程式論與Abel. 積分理論。他並且 ...

[PDF]（王卿文）：从经典线性方程组理论谈数学科学创新 - 上海大学 ...

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非齐次线性方程组的简单解法. W.E.Roth 定理 ... 多数学家相信更高次方程的求根 ... Niels H. Abel(1802-1829)证明. 了5次 ... Group theory and generalizations. 22?

方程式的由來與簡介20點急需| 方程式編輯器- 阿裡塔克

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1826年挪威數學家Abel 證明：一般五次方程式沒有根式解。Abel 又說，五次以上 ... 解的充分必要條件。Galois 把方程式求解問題轉化成置換群(permutation group) 的問題。 ... 解四次方程的問題．隨著生產的發展，人們對高次方程的研究越來越複雜．

方程式求解問題

康明昌

一、前言

二、Lagrange 預解式

三、方程式 xⁿ-1=0 的根式解

四、Galois 預解形與 Galois 群

十、中國數學家的貢獻

一、前言

代數方程式是高中數學教育最基本的一環。事實上，不管時代如何的前進、數學如何的抽象化，方程式的研究一直是數學研究的核心部份。直到今日，多元高次方程式的研究（代數幾何）、Diophantus 方程式的研究（代數數論）、微分方程式的研究，仍然是最生氣蓬勃的數學分枝。遠在北宋仁宗時代（約1050年），中國數學家賈憲已經知道如何把一個正數開 n 次方根，也就是求方程式 xⁿ-a=0 的近似根；這個方法，中國數學家稱之為「增乘開方術」。南宋末年秦九韶（1247年）推廣賈憲的方法，得到任意方程式近似根的求法。1804年意大利數學家 P. Ruffini 得到同樣的結果。這個方法在1819年被英國一個中學教師 W.G. Horner重新發現，這就是俗稱的 Horner 方法。更一般的，我們把數字方程式 $x^n+3x^{n-1} + \sqrt{2}x^{n-2} = 0$ 推廣成文字方程式 $x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$ ，其中 a₁,a₂,…,a_n 是沒有任何關係的文字；這種方程式叫做 n 次一般方程式 (the general equation of degree n)。請注意，x⁴+ax²+b=0 不是四次一般方程式，因為 x 項的係為零。如果我們能夠解一般方程式的根，那麼數字方程式的求根問題當然迎刃而解。根據 O. Neugebauer 的說法，巴比倫人在 1600～1800 B.C. 已經知道求二次方程式的根。七世紀的印度學者 Brahmagupta（約598～？）寫出方程式 x²+ax=b 的一個根的公式 $x=\frac{-a + \sqrt{a^2+4b}}{2}$ 。十二世紀的印度學者 Bhaskara（1114～1185年？）更詳盡的討論一次和二次方程式。九世紀的阿拉伯數學家 Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi（780～850年）在他的書中第一次提出二次方程式的一般解法 ¹ 。文藝復興時代意大利數學家發現三次與四次一般方程式的根的公式（約1545年）。方程式 x³+qx-r=0 的根的公式是 ²

$\begin{displaymath} x=\sqrt[3]{\frac{r}{2}+\sqrt{\frac{r^2}{4}+\frac{q^3}{27}}} +\sqrt[3]{\frac{r}{2}-\sqrt{\frac{r^2}{4}+\frac{q^3}{27}}} \end{displaymath}$

所謂根的公式，就是把代數方程式的根用其係數經過加、滅、乘、除、開方根表示出來的方法。如果我們可以求得一個（數字或文字）方程式的根的公式，我們就說這個方程式有根式解。高中代數的 Cardano 公式告訴我們，任意三次方程式都有根式解，Ferrari 告訴我們，任意四次方程式都有根式解 ³ 。因此，數學家面對一個最具挑戰性的問題：是不是任意方程式都有根式解？或者，一個更簡單的問題：是不是任意方程式至少都有一個根？ 1746年法國數學家 Jean Le Rond D'Alembert「代數基本定理」：任意 n 次複數方程式恰有 n 個複數根。D'Alembert 的證明其實是錯的，雖然這個定理的敘述是正確的。第一個正確的證明是偉大的 Karl Friedrich Gauss 在二十歲（1797年）提出的。此後 Gauss 又提出另外三種證明。「代數基本定理」出現之後，根的存在性問題完全解決。接著最自然的問題是，用什麼方式才能把這些根求出來？能不能只用係數的加、減、乘、除、開方根就把這些根表示出來（即「根式解」）？很明顯的，方程式 x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0 與 x⁵+2=0 都有根式解 ⁴ 。但是，一般五次方程式是不是有根式解？十六世紀以來，有許多數學家研究五次一般方程式的根式解問題。在沒有解決這個問題之下，他們轉而探討一些更根本性的問題，例如：

根的存在性問題（即「代數基本定理」）。
根與係數的關係，根的個數，檢驗重根的方法，檢驗兩個方程式有公解的方法。
求數字方程式的近似根。
給定某個實係數方程式，並給定一個範圍（例如 0 到 100），估計在此範圍內實數根的數目。
因式分解是解數字方程式的第一步。研究因式分解是極為重要的。第一個問題：對於有理數係數的單變數多項式，如何有效的進行因式分解？第二個問題，多變數多項式能否進行因式分解？第三個問題，因式分解是否有唯一性？

法國數學家 Joseph Louis Lagrange 在1770～1771年綜合前人解方程式的各種方法，歸納出一個一般性的模式。Lagrange 的洞察力在研究方程式根式解的領域打開一條新的道路。沿著 Lagrange 指示的方向，Paolo Ruffini（1765～1822年）、Niels Henrick Abel（1802～1829年）、Évariste Galois（1811～1832年）終於解決了方程式根式解的問題。Alexandre Theophile Vandermond 在1770年提出和 Lagrange 同樣的觀察，可惜他的結果沒有被當時的人注意。因此，所謂「預解式」的成果就由 Lagrange 所獨享，後世也稱為「Lagrange 預解式」。從1799年開始，意大利數學家 Ruffini 就提出幾種方法，證明一般五次方程式不可能有根式解。Ruffini 的證明雖有不少創見，卻有許多漏洞，當時的人並不接受他的證明。 1826年挪威數學家 Abel 證明：一般五次方程式沒有根式解。Abel 又說，五次以上的一般方程式的討論方法與五次類似。Abel 的證明有一個漏洞，經愛爾蘭數學家 William Rowan Hamilton（1805～1865年）加以補充說明。因此可以說，Abel 完全解決了一般五次方程式沒有根式解的問題。但是一般方程式沒有根式解，並不表示所有的數字方程式都沒有根式解。事實上，方程式 2x⁵+5=0 有根式解，但是 2x⁵-10x+5=0 沒有根式解。法國數學家 Galois 在1832年提出任意（數字或文字）方程式有根式解的充分必要條件。Galois 把方程式求解問題轉化成置換群 (permutation group) 的問題。他在繁複的計算中洞見方程式求解的本質。 Galois 的方法其實只是一個豐富深遂的理論的一個應用。這個理論就是我們習稱的 Galois 理論。Galois 在二十一歲死於決鬥。他在決鬥前夜寫一封給友人的信，再度的簡單解釋 Galois 理論的要點，因為當時許多成名的數學家，如 S.D. Poisson、S.F. Lacroix，都不能瞭解他的理論。Galois 說，更進一步探討這個理論足夠讓後代的數學家受益良多。所謂方程根式解的問題，可以看做 Galois 理論的一個習題。大多數人看到的冰山只是其浮出海面的一角，Galois 理論何嘗不是如此？ 1858年法國數學家 Charles Hermite 證明五次一般方程式的根可以用其係數經過加、減、乘、除、開方和橢圓函數的組合，表示出來。1880年法國數學家 Henri Poincaré 發現 n 次一般方程式的根可以用其係數經過加、減、乘、除、開方和 Fuchs 函數的組合，表示出來。這其實是黎曼面理論的均勻化問題 (uniformization problem) 的應用。

phymath999

Thursday, December 3, 2015

abel 一般五次方程式沒有根式解多元高次方程式的研究（代數幾何）、Diophantus 方程式的研究（代數數論）、微分方程式

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方程式求解問題

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