Nature of spacetime 4-vector and tangent space?

Question

An entry level confusion about spacetime. I understand that a 4-vector describes a point or event in spacetime. But I've also read (Bertschinger, 1999) that re spacetime "we are discussing tangent vectors that lie in the tangent space of the manifold at each point". If a point/event is described by a single 4-vector, what are all these tangent vectors that lie on the same point? Do they have different co-ordinates to the 'point/event' 4-vector? Could I also ask how a 4-vector 'contains' any sense of direction (I'm thinking here of a vector having direction and magnitude)?

Willie Wong · Accepted Answer · 2011-06-18 17:08:05Z

Your confusion comes from the difference between special and general relativity. In special relativity, the space-time manifold is assumed to carry the structure of 4-dimensional Minkowski space, which has the nice property that it is canonically identified with its own tangent space at the origin (since it is a vector space). So in special relativity you can speak of a space-time event as a 4-vector, and you can also speak of global Lorentz transformations (by doing the local Lorentz transformation in the tangent space and propagating the transformation to the whole space-time using the canonical identification).
In general relativity, however, the space-time is allowed to be an arbitrary Lorentzian manifold (what we do is break the global Lorentz symmetry of Minkowski space and require it to only hold infinitesimally, i.e. on the tangent space), and you don't have a canonical way of identifying the entire space-time with the tangent space of a fixed point. Therefore you cannot speak of a space-time event (now just a point in your space-time manifold) as a 4-vector!
Edit Let me try to make the difference between an affine and non-affine space more apparent.
Let us start by considering a two dimensional manifold. In fact, we'll just compare the usual flat plane and the sphere.
On the plane, we can fix an arbitrary point and call it the origin. Starting from this origin, pick a direction, and call it the

x direction. Consider the following two paths.

First you go 1 unit in the x direction. Turn left for 90 degrees. travel another unit.
First you face the x direction. Now turn left for 90 degrees, travel one unit. Turn right now for 90 degrees and travel another unit.

These two operations take you to the same place.
On the sphere, however, you can again fix an arbitrary point and call it the "origin", and a direction which we call "

x ". Now consider

First you go a quarter the way around the sphere in the x direction. Turn left for 90 degrees, travel another quarter of the circumference.
First you face x direction, turn left for 90 degrees, travel a quarter of the circumference. Now turn right and travel a quarter of the circumference.

(Try to trace this out on a tennis ball or on an orange.) You don't end up at the same place!
Now, going back to the plane, if instead you start by going "face

x . Turn left for 45 degrees. Travel for

2√ units." You will again end up at the same place as the previous two tries.
But on the sphere, if you start by "face

x . Turn left for 45 degrees. Travel for

2√ times a quarter circumference." You will end up somewhere else entirely again compared to the previous two tries.
What does this mean? On a flat plane, from the above demonstration, after fixing an origin and a direction

x , we can uniquely describe every point on the plane as "certain units in the

x direction, and then certain units to the left of that". And it doesn't matter at all in which orders you zigzag to the destination. This identifies the plane with a vector space. That is, you can say that "the displacement from point

p to point

q is the vector

v⃗ , and the displacement from point

q to point

r is the vector

w⃗ , so the displacement from the point

p to point

r is the sum of vectors

v⃗ +w⃗ =w⃗ +v⃗ ". So after fixing a point as the origin, we can describe all other points as a vector displacement relative to this origin, and add and subtract the vectors as appropriate.
On the surface of the sphere (a curved manifold), however, the above example shows that the intuition we learned from studying classical mechanics about using vector addition for the "displacement vector" cannot hold for the positions of points. So you shouldn't think about space-time events in general relativity (which is a point on some possibly curved manifold), as vectors relative to a fixed origin. (Because with vectors you would be tempted to add them and so forth.)

I think I understand you as saying that as spacetime in SR has an origin we can therefore talk about 4-vectors as events with reference to that origin. But there is no single origin in GR spacetime and thus we can't talk about global 4-vectors. Still not sure what an event is in GR but thanks for your answer. — Peter4075, Jun 17 '11 at 20:06
@user4075: it's not about origin at all. The Minkowski space is an affine space and doesn't have an origin either. You have to pick one arbitrarily (and that's why the identification of the Minkowski space with the tangent space is not canonical, contrary to what @Willie writes). You can in the same way pick some random point on arbitrary manifold and say it is origin. The important point here is that Minkowski is an affine space and so we can form differences of the space-time points and these are vectors. But there is no way to form these differences on general manifold. — Marek, Jun 18 '11 at 16:06
@Marek: good catch. I meant of course relative to a fixed origin (I was implicitly treating Minkowski space as a vector space). — Willie Wong, Jun 18 '11 at 16:15
@Willie: sure, I know what you meant and I know you know what you meant; but for a newcomer it might not be so obvious. Anyway, I gave you +1 :) — Marek, Jun 18 '11 at 16:18
@Marek: actually, I really appreciated your pedantry in this case. It is my mistake for being sloppy. Doing some editing now. — Willie Wong, Jun 18 '11 at 16:29

Peter Morgan · Answer 2 · 2011-06-17 18:59:08Z

up vote2down vote

Think of a liquid that is flowing in two dimensions on a flat surface. At every point we can draw a vector that points in the direction that the fluid is flowing in at that point. That is a vector in the vector space at that point, the tangent space. There is a tangent space at every point, because at every point the fluid could be flowing in any direction, although an equation of motion might require, for example, continuity from point to point. An example of a vector flow (found through Google images for "fluid flow") is http://www.dstu.univ-montp2.fr/geofracnet/Images/connollyflownet2.jpg. Graphically, of course, the tangent vectors to the flow can only be displayed at a finite number of points, but from the point of view of a differential equation there's a flow vector at every point. All the tangent spaces are exactly the same as all the others.
The "vectors" used to describe the points are vectors in the vector space at one particular point, the center of the coordinate system, with the vector describing the location of the other point relative to the center of the coordinate system as distances in two directions that aren't parallel. The four-dimensional case is no different provided we concern ourselves only with vector spaces, but the idea of a Lorentzian distance is of course different from the idea of a Euclidean distance. In coordinate terms, we could talk of two functions,

V1(x,y) and

V2(x,y) , where

x and

y are components of the position of a point, and

V1(x,y) and

V2(x,y) are components of a vector at that point.
A vector in 2 or in 4 dimensions can of course represent something other than a velocity field. In due course you will get straight what can be represented by vectors and what requires tensors.
Now imagine a fluid flowing on the surface of a sphere. Again there is a tangent space at every point on the surface of the sphere, and all the tangent spaces are exactly the same as the others, but now it's harder to describe explicitly the way in which the many tangent spaces are the same as each other. Saying which point is which by using vectors in a tangent space at a specific point is also more problematic.

answered Jun 17 '11 at 18:59

Peter Morgan
6,89321134

Thanks. It's only just dawned on me that you can't (I think) use spacetime diagrams in GR. – Peter4075 Jun 17 '11 at 20:19

1

@user4075: of course you can. Why do you think you can't? – Marek Jun 18 '11 at 16:08

Marek: I thought spacetime diagrams described Minkowski space which is only globably applicable to SR? – Peter4075 Jun 18 '11 at 19:52

历史文献精选70.高斯：《关于曲面的一般研究》摘要 [2010-10-29 13:19:59] 手机网浏览博主热文

石材雕刻机

位移和位矢虽然都是矢量，但二者是两个不同的概念。位矢是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段；而位移是在一段时间间隔内，从质点的起始位置引向质点的终止位置的有向线段。位矢描述的是在某一时刻运动质点在空间中的位置；而位移描述的是在某一时间间隔内运动质点位置变动的大小和方向。位矢与时刻相对应；位移与时间间隔相对应。

高斯的论文《关于曲面的一般研究》（1828）[该论文发表于1827年10月8日]创始了微分几何发展的新时期。高斯以前的几何学家在研究曲面时老是将其与外围空间相接洽，高斯这篇论文提出了全新的观念，即一个曲面自身就是一个空间，树立了以研究曲面内在性质为主的内在几何学。高斯推广了欧拉等人的曲率概念而定义了曲面在一点的总曲率，也就是现在所称的高斯曲率，并证明了一条他叫做“极妙定理”的有名成果：若曲面或其一部分可以在在另一曲面上，则对应点的曲率维持不变。《关于曲面的一般研究》后载《高斯全集》，原文较长，如下选录高斯本人撰写的该文摘要。
关于曲面的一般研究
――高斯提交给格丁根皇家学会的论文摘要
尽管几何学家们很看重曲面的研究，其结果也在高级几何中占了至关的比例，然而对于曲面的彻底懂得依旧十分远远，以至于可以贴切地把它比方成一块极其多产的土地，然而迄今为止只耕耘了一小片而已经。几年前，作者解决了在坚持最小元素不变的前提下，一个给定曲面到另一个曲面上的所有表示的问题，从而给出了曲面研究的一个新方向。本摘要旨在先容其他的一些新观点以及因此变得轻易懂得的一些新事实。在此以前，我想先阐明一点：这些新定理以及新设法的陈说，如果拥有最一般的形式，那末必然已省略了某些必要的限制以及进一步的论证。
当问题涉及空间中无限多个方向时，将它们用固定球面上的点来表示是有利益的。这些点是该球面上与这些方向平行的半径的端点。这一从属球面（auxiliary sphere）的球心和半径可以任取，比如半径可选为单位长。这与天文学中常用的做法不约而同，在那里，所有方向由一个设想的半径无穷大的球形天体上的点表示。从而球面三角学以及其它一些定理（其中包含作者得到的一个利用很广的定理）可以用来处置涉及不同方向上几何量比拟的问题。
如果我们用上述办法来表示球面上各点的法方向，即：曲面上任一点对应于附属球面上一点，则一般地，曲面上的一条曲线将对应从属球面上一条曲线；曲面的一部分对应附属球面的一部分，并且曲面这一部分和平面差异越小时，附属球面上相应的面积就越小。由此，一个十分自然的设法是以附属球面上相应部份的面积作为曲面给定部分的全曲率的度量。因而作者称它为曲面上该部分的总曲率。除了了该部分的大小外，它的地位也应同时斟酌在内。这两个部分的位置可以是雷同的或者相反的，与它们的大小彻底无关。这两种情景可以用全曲率的正负号来加以差别。然而，要使这样的区别有明白的意义，只有当这些图形被看做是在这两个曲面断定的一侧才行。在球面的情形，作者将图形看成在外侧，而在曲面的情形则看成在曲面的法线竖起的那一侧。因此，在两个曲面为凸-凸或凹-凹这两种（无本色差异的）情形，我们取正号，在凸-凹或凹-凸的情况取负号。假如所涉及的曲面的那一部分可以由不同类型的部分形成，尚需更过细的定义，在此略往。
正如质量与体积之比致使密度的概念，附属球面上相应部分面积与曲面上给定部分的面积之比也致使新的概念。作者定义曲面在某点处的曲率测度（measure of curvature）为一比值，分母为该点处无穷小邻域的面积，份子为附属球面上相应于曲面上那一部分的面积，即相应的总曲率。很显明，作者在曲面情形提出的总曲率和曲率测度的概念相似于曲线情形的放大率（amplitude）和曲率。作者不愿意因循旧的术语，缘故是采取这些旧术语无非是出于习气而并不是适当。采纳新术语不仅仅是词语选择的问题，其公道性将为后面的很多定理所证实。
在曲面上任一点的曲率测度的表达式会因曲面表达方式不同而不同，在空间直角坐标系中，曲面最简单的表达方法是将某一坐标表成其余两坐标的函数。此时曲率测度的表达也最简单，而且由此可以得到曲率测度与由该曲面以及与其正交的平面所截成的曲率之间的一个重要瓜葛。家喻户晓，欧拉首先发明在所有与该曲面正交的平面中，存在彼此垂直的两个平面，它们与曲面所截曲线的曲率半径分辨取最大值和最小值。从而由上述的最简单的曲率测度表达式，它是这两个极值乘积的倒数。当曲面由x,y,z的一个方程式给出时，曲率测度的表达不会这么简略。而当曲面是用将x,y,z表为两个新变量p,q的函数的方式给出时，曲率测度的表达式将更繁杂，其中涉及15个变量，即x,y,z关于p,q的一阶和二阶偏导数。这种表达式的主要之处在于它便于调换成此外的表达式，而这些表达式是与一些十分有名的定理接洽在一块儿的。在该表达式下，曲面的线素sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)具备形式sqrt(Edp^2+2Fdp?dq+Gdq^2),其中E,F,G为p,q的函数。曲率测度的这个新的表达式只包括E,F,G及它们的一阶和二阶偏导数。因而我们注意到：只要知道了曲面的线索，则曲率测度被独一断定，而不须要晓得曲面关于x,y,z的具体表达式。由此可得一个首要的定理：若曲面，或者其一部份可以展[展即等距嵌入]到另一曲面上，则曲率测度在对应点处坚持不变。特殊地，若一曲面可展成平面，则其曲率测度处处为零。由此立即得到可展曲面的特点方程((δ^2)z/(δx^2))?((δ^2)z/(δy^2))-((δ^2)z/(δxδy))^2=0
其中z看成x,y的函数，该方程以前已为人所知。但据作者断定，其严厉性始终没有建立起来。这些定理使我们以一个新的角度来考虑曲面理论――这个广袤而尚待开发的童贞地。如果我们不是将曲面看为几何体的边沿，而是看成某个一维消散了的三维立体，同时如果我们认定它们只具有柔韧性而没有延展性，那么有两种实质上不同的表述必需加以区别。其一是预先假设空间曲面已具有确定形状的那类阐述，另一类阐述则与曲面可能具有的形状无关。本文涉及的是后一类。依据我们前面所述，可知曲率测度即属此类。考核曲面上的图形，轻易看出它们的夹角、面积、总曲率，以及两点间最短联线之类,螺杆泵，均属于这种情形。所有这些论断必然出自于曲面上用形如sqrt(Edp^2+2Fdp?dq+Gdq^2)的线索给出的属性。作者把数年前所作的在这个范畴中的部分研究结果回进了现在这篇论文中，无非作为先容性文章不想走得过远，同时但愿对进一步的研究多少有所辅助。作为摘要自然必需更为扼要，只引用一些定理作为典范的例子。为此目标，引述如下一些定理。
如果从曲面上某点启程有没有穷多条等长的最短线，则过这些最短线另一端点的曲线和其中的每条最短线都正交。
假如从曲面上某一固定曲线的每一点动身引出与该曲线正交的等长最短线，则这些最短线与过它们另一端点的曲线也正交。这两个定理（其中后一个可看做前一个的推广）在论文中采纳剖析法子藉助简略的几何斟酌而得到。由最短线组成的三角形（triangle of shortest lines）内角和与两直角之差等于该三角形的全曲率，这里取圆周上与半径等长的弧所对的圆心角（57°17’45″）为单位角，全曲率的单位取为附属球面上面积等于半径的平方的部分。显然，这个首要的定理也表明了如下的事实：当做为总曲率的那一部份趋近于全部从属球面时，测地三角形的内角和与两直角之差则趋近直角的八倍。一般地由最短线组成的n边形，其内角和与（2n-4）倍直角之差等于n边形的总曲率。
该定理被用来钻研测地三角形。我们在此先容几个有关的主要定理。设a,b,c为测地三角形的边长（准确到小数点后1位），A，B，C为对应角，α，β，γ为顶点处的曲率测度，σ为该三角形的面积，则在准确到小数点后4位意义上，A+B+C与两直角之差为(1/3)(α+β+γ)σ。并且在相同准确度下，与该测地三角形有公共顶点的平面三角形的相应三个内角分离为
A-(1/12)(2α+β+γ)σ
B-(1/12)(α+2β+γ)σ
C-(1/12)(α+β+2γ)σ
咱们马上看到这必定理是勒让德（Legendre）的一个熟知的定理的推广。
用同样的方式可得：在同样精度下将球面三角形的每个角减去三分之一该球面的总曲率，就得到了相应平面三角形的各内角。在曲面不是球面的情形下，要对测地三角形的各内角进行不同的修改，一般来说，其精确度在小数点后3位。
（成斌译，胥叫伟校）

参考材料和现代注解：
德国数学家高斯也是天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
高斯的成绩遍布数学的各个范畴，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭元函数论等方面均有创始性贡献。他十分重视数学的利用，并且在对于天文学、大地丈量学和磁学的研讨中也着重于用数学办法进行钻研。
幼时家境贫穷，但聪敏异样，表示出超人的数学天才。
1792年，早年关于欧几里得平行公理的独立性的证明。
三角几何学（欧几里得的~，球面~，双曲~，曲面的~）
《几何本来》中有两个最基本的定理：
毕达哥拉斯定理（勾股定理）：勾股定理之本色乃是几何空间的度量性质，在无穷小的情况下成立。
任意三角形的内角和等于180°：实质上是说平面是平坦的而不具有曲率。
欧几里得几何是非欧几何在无穷小的情景下的近似（流形的定义），而几何空间的度量性质则是开展所有可能的几何学的基本假如条件（1854年关于几何基本的假如）
1794年，关于各种三角几何学中一个三角形或多边形的内角和定理
勒让德（Legendre，1752-1833）首先指出三角形的内角和等于180°等价于欧氏几何的第五公设（平行公理），而外角和定理与内角和定理是等价的。
1795-1798年，在格丁根大学学习。
1798年，转进黑尔姆施泰特大学，
1799年，因证明朝数基本定理获博士学位。
十九世纪初，高斯开拓代数数论研究。19世纪60年代末70年代初，代数数论经过戴德金和克罗内克等人的推动，形成为内容丰厚的现代数学分支。
1801年，高斯在《算术研讨》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
1807年，开端担负格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至去世。
1818-1828年，大地丈量工作。

初等微分几何：曲线论、曲面论
曲面的第一基本形式决定了曲面的内蕴结构。高斯曲率由第一基本形式决定，与它在外围空间中的形状无关。
第二基本形式抉择了曲面在外围空间中的外形。
第一基本形式系数g_ij和第二基本形式系数h_ij必须满足的相容性条件是Gauss-Codazzi方程（是超曲面存在的充要条件）
维数比外围空间低一维的曲面称为超曲面。
E，F，G称为第一类基本量，在曲面上每一点都是常数．(Q:同一个曲面的不同的参数坐标，E、F、G会一样吗？)
Re:在同一个点的不同参数坐标下，E,F,G一般不同样（不是参数变换的不变量），但I是一样的。
曲面的第一基本形式是参数变换的不变量。[第一类基本量不是参数变换的不变量]
用J表示参数变换的Jacobi矩阵
(~E,~F)=J^t(E,F)J
(~F,~G)……(F,G)
~I=[d~u,d~v](~E,~F)[d~u,d~v]^t=[du,dv](E,F)[du,dv]^t=I
………………(~F,~G)…………………(F,G)……
注1：当曲面选取允许参数(~u,~v)时，所得到的第一基本形式系数~E,~F,~G一般将与参数(u,v)下的第一基本形式系数E,F,G不同
设四个顶点P、P1、p2、P3对应的径矢分辨为r(u,v),r(u+△u,v),r(u,v+△v),r(u+△u,v+△v)
S曲边四边形PP1p2P3≈S平行四边形PP1p2P3=|~PP1×~PP2|=|r_u×r_v|△u△v=sqrt(EG-F^2)△u△v
可以把△σ=sqrt(EG-F^2)△u△v或dσ=sqrt(EG-F^2)dudv作为曲面S上的面积元素。
注3：因为E,F,G是刚性不变量，所以σ是刚性不变量，而且σ仍是参数变换的不变量（σ不受参数变换影响）[可以选择直角坐标系，转化为数学分析中平面区域的面积公式]

高斯考虑另一个基本量――曲面上两条曲线之间的夹角θ．
对于从(u，v)动身的曲线上的两条曲线，一个由du∶dv给定，一个由δu∶δv给定，高斯证明了两条曲线之间的夹角θ知足
L，M，N称为第二类基本量．
高斯特征方程揭示了第一、二类基本量之间的关系．
1860年，巴尔策尔(R．Baltzer，1818-1887)
1861年，魏恩加滕(J．Weingarten)发明了“魏恩加滕公式”
1867年，邦内(O．Bonnet，1819-1892)证明了：如果给定了u和v的六个函数E，F，G和L，M，N，它们满足曲面论
的基本方程，则它们除了了在空间的位置和定向外，独一地确定了这张曲面．

微分几何――黎曼几何
现代黎曼几何简明教程/曹建国，王友德著
法国俄裔数学家米哈伊尔?列奥尼多维奇?格罗莫夫（Mikhail L．Gromov,1943-，1993年荣获沃尔夫数学奖，2009年度阿贝尔奖患上主）
1943年出身在苏联博克西托戈尔斯克，1992年参加法国籍。法国高级科学研究院教授。
由于他在大范畴黎曼几何及辛几何、代数拓扑学、几何群论以及偏微分方程论的出色贡献，荣获1993年沃尔夫数学奖。
格罗莫夫是世界上少有的几位与佩雷尔曼有过接触的数学家。实际上，是他让国际数学界认识了俄罗斯那名特立独行的数学天才。

由前面讲过的解析几何知识可知:
若已知曲面上点P(x0,y0,z0)处切平面的法向量为~n=(A,B,C)，则曲面在该点的切平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
法线方程为(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C
这阐明曲面上任一条过点 P 的曲线在点 P 处的切线与向量~n垂直 , 因而这些切线位于同一平面上, 该平面即曲面在点 P 处的切平面. ~n即是切平面的法向量.
若过空间曲面Σ上点 M(x, y, z) 处的任意一条彻底位于曲面上的曲线在点 M处的切线均存在，且都位于同一个平面上，则称该平面为曲面Σ在点M 处的切平面.
曲面方程为z=f(x,y)时，令F(x,y,z)=z-f(x,y)则~n=±(f'_x(x0,y0),f'_y(x0,y0),-1)
设曲面由参数方程给出：
x=x(u,v),
y=y(u,v),由此找出u,v与x,y的瓜葛
代入z=z(u,v)
发生z=z(u(x,y),v(x,y))

2010.9.27
切平面存在定理(存在性与盘算相分别，本人早在2004年5月13号就晓得了用二圆实函显函数表现的曲面的切面盘算公式)
设R^3中曲面Σ的方程为F(x,y,z)=0。
若函数F(x,y,z)在点X0(x0,y0,z0)∈Σ处可微，且函数F(x,y,z)在点X0处的各一阶偏导数不全为0，则曲面Σ在X0有切平面存在，其方程为
F'_x(X0)(x-x0)+F'_y(X0)(y-y0)+F'_z(X0)(z-z0)=0
定理
设R^3中曲面Σ的方程为F(x,y,z)=0。
若函数F(x,y,z)在点X0(x0,y0,z0)∈Σ处可微，且函数F(x,y,z)在点X0处的各一阶偏导数不全为0，则曲面Σ在X0的法线方程为
(x-x0)/F'_x(x0,y0,z0)=(y-y0)/F'_y(x0,y0,z0)=(z-z0)/F'_z(x0,y0,z0)
~n=±(δ(y,z)/δ(u,v),δ(z,x)/δ(u,v),δ(x,y)/δ(u,v))|X_0
二维球面S^2上半部分z=sqrt(1-x^2-y^2)在(a,b,c)=(1/2,1/2,sqrt(2)/2)处的切平面为z-c=[(a^2+b^2)-(ax+by)]/sqrt(1-a^2-b^2)=>z=sqrt(2)(1-(x+y)/2)
~n=±(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,1)=±(f'_x(x0,y0),f'_y(x0,y0),-1)
f'_x(x0,y0)=-sqrt(2)/2,f'_y(x0,y0)=-sqrt(2)/2
球面在(1/2,1/2,sqrt(2)/2)处的切平面方程和法线方程？
δ(y,z)/δ(u,v)|X_0=-sqrt(2)/4
δ(z,x)/δ(u,v)|X_0=-sqrt(2)/4
δ(x,y)/δ(u,v))|X_0=-1/2
~n=-(sqrt(2)/4)(1,1,sqrt(2))，取~n=(1,1,sqrt(2))
切平面方程:(x-1/2)+(y-1/2)+sqrt(2)(z-sqrt(2)/2)=0
即x+y+sqrt(2)z-2=0
法线方程：x-1/2=y-1/2=(1/sqrt(2))(z-sqrt(2)/2)

2004.2.9引例
①二维球面S^2上半部分z=sqrt(1-x^2-y^2)在(a,b,c)处的切平面为z-c=[(a^2+b^2)-(ax+by)]/sqrt(1-a^2-b^2)
A(1,0,0),B(sqrt(2)/2,0,sqrt(2)/2)在S^2上的曲面距离？
求测地线的独一存在性
所有截平面中，截弧最短者。
路径不可能是空间曲线？
大于即是R^3中两点连线
dz=δz/δxdx+δz/δydy
ds=sqrt(d^2_x+d^2_y+d^2_z)
d^2_s=(Z^2_x+1)d^2_x+(Z^2_y+1)d^2_y+2?Z_x?Z_y?dxdy
z=f(x,y)的第一个2-形式
曲面距离的计算
最简单的一种情形：直角坐标系与勾股定理，平几/立几中的线段长
两点之间直线段最短；
∫[x:a->b]ds(x)=∫[x:a->b]sqrt(1+y'^2)dx≥(b-a)(=|y'≡0)
次简单的一种情形：平面/空间曲线的弧长
测地线为(x,y(x),z(x))=(x,0,sqrt(1-x^2))
ds=sqrt(d^2_x+d^2_y+d^2_z)
ds=sqrt((Z^2_x+1)d^2_x+(Z^2_y+1)d^2_y+2?Z_x?Z_y?dxdy)
∫[A->B]ds=∫[x:1->sqrt(2)/2]sqrt(1+z'^2)dx=?
②1.08^3.96=(x+△x)^(y+△y)=x^y+△z≈x^y+dz=x^y+Z_x(1,4)?△x+Z_y(1,4)?△y=1.32
而δz/δx=yx^(y-1),即Z_x(1,4)=4;δz/δy=x^y(lnx),即Z_y(1,4)=ln1.
③隐函数求导法：
(-δz/δx)/(δz/δy)=dy/dx=-(x^(-1/3))/(y^(-1/3))=-(x^(-1/3))/[(1-x^(2/3))^(-1/2)]=-sqrt[(x^(-2/3)-1]

20100909
曲面理论的解析的工具
高斯：用所谓曲纹坐标解析地给定曲面的法子
z=f(x,y)不便利的缘故：坐标x，y在弯曲变形下要转变[在刚体活动下也要扭转]
曲面的第二个二次形式表明曲面与切平面的差别的特点。
知道了第二个二次形式，我们就能计算曲面上任意曲线的曲率
所讨论的曲线：1.不是法截线;2.是法截线
曲面的第一个二次形式，其系数与曲面的点有关，在曲面的每一个点处给定了第一个二次形式的形式的系数E,F,G之后，就可以依照公式s=∫[t1->t2]f(t)dt来计算任意曲线的长度，因此也就完全决定了曲面的内蕴几何。

微分几何中的符号约定
?如下表述是否自然或有问题:
标量函数的导数和微分、复合函数的微分法则推广到向量函数(二元向量函数,算子意义上的函数,向量场)上
二元向量函数r(u,v)的偏导数:一元向量函数r_u和r_v
二元向量函数r(u,v)的全微分:二元向量函数dr(u(t),v(t))/dt=r_u(u'_t)+r_v(v'_t)

更改后的表述：
20100928
标量剖析中的全微分公式情势化推广为向量剖析中的全微分公式
从df(x,y)=f'_xdx+f'_ydy到dr(u,v)=r_u(du)+r_v(dv)
d(x+iy)=dx+idy,d(x,y)=(dx,dy)
全微分dr(u,v)=d(x,y,z)=(dx,dy,dz)
对曲线的向量场dr(u(t),v(t))/dt=(dx,dy,dz)
dx=x_udu+x_vdv
dy=y_udu+y_vdv
dz=z_udu+z_vdv
偏导数r_u=(x_u,y_u,z_u),r_v=(x_v,y_v,z_v)
则r(u,v)的偏导数:r_u和r_v
r(u,v)的全微分:dr(u,v)=r_u(du)+r_v(dv)

北京师范大学数学科学学院，王幼宁
第三章　曲面的第一基本形式[建议叫做曲面的第一个二次形式]
本章作为曲面论的开端，将接触到曲面论的最基本概念，对后续内容至关首要．在具备前一章的经验之后，讨论曲面就能类比于讨论曲线的方法而进行；然而内容将更为丰厚，而且特殊要注意二者的差别．本章首先要明白曲面的局部表现和相干的基本概念；其次要明白度量几何的基础要素――弧长元素．在学习的进程中，应当注意对概念的深进懂得．[没说到点子上，建议看看《数学――它的内容、办法和意义第二卷》这本书的第七章曲线与曲面（亚历山大洛夫著），人家对概念的讲授才叫深刻浅出、字字珠玑。]
§1　参数化曲面
同曲线同样，曲面与人们的流动是密不可分的；可以举出很多实例，来解释懂得和应用曲面几何性质的普遍性和重要性．
一．E3 中参数化曲面的定义
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下，给定三个函数 x(u, v), y(u, v), z(u, v)∈C^k(U) , 以及开区域U∈R2 ，作向量值函数r: U→E3
(u, v)→r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ，
则其位置向量终点全部 S = {( x(u, v), y(u, v), z(u, v))∈E3|(u, v)∈U} 称为E3 中的一张C^k 阶参数化曲面，简称参数曲面；其中 (u, v) 称为 S 的参数，或称为曲线坐标或曲纹坐标，简称坐标．S 可用其向量形式的参数方程表示为r = r(u, v)，(u, v)∈U ，或写为份量形式的参数方程
x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) , (u, v)∈U[U为O-uv平面上的一块区域，S为O-xyz空间中的一块曲面区域，U中的点(u0,v0)对于应S中的点P(u0,v0)] ．
参数曲面 S 上对应于参数值 (u0, v0) 的点是指向径 r(u0, v0) = OP(u0, v0) 的终点P(u0, v0) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0))∈E3 ，
通常表示为向量值 r(u0, v0) 或参数值 (u0, v0) ．
曲线r(u, v0) 称为参数曲面 S 上过点 P(u0, v0) 的 u 坐标曲线，简称 u 线；
而曲线r(u0, v) 称为参数曲面 S 上过点 P(u0, v0) 的 v 坐标曲线，简称 v 线；
它们统称为 S 上的坐标曲线．S 上的坐标曲线全部“织成”了 S ，称为 S 的坐标曲线网或参数网．
坐标曲线若正则，则其切向量通常称为自然切向，可用偏导向量分辨表示为
δr/δu=r_u,δr/δv=r_v,
C^0 类参数曲面也称为持续曲面，C^∞类参数曲面也称为光滑曲面．
参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定能做到．
曲面的总体定义较为繁杂，将留待在第八章§1中具体讨论．
为简便起见，之后不声明时在局部总考虑 C^3 类参数曲面，并简称之为曲面．
察看下列熟知曲面的局部参数化．
例1　在 E3 中直角坐标系 O-xyz 下，由一般方程 x2+y2+z2=1 给出单位球面；或写为隐式表示|r|^2=1 ，代表全部球面．球面整体不能定义成参数曲面，而局部可以有各种参数化方式，仅列示三种．
①用垂直投影方法，上半开球面的参数方程可写为
r(x, y)=(x, y,sqrt(1-x2-y2)) , (x2+y2) < 1 ．
坐标曲线是 x-轴或 y-轴的法平面截上半开球面所得到的半开圆周；直观可见（并可证明），两族坐标曲线并不一定垂直相交．
②往掉两极，球面的经纬度参数化为
r(θ,φ)=(cosθcosφ, cosθsinφ, sinθ),-pi/2<θ<pi/2 ．
坐标曲线是经线和纬线，两族坐标曲线处处垂直相交．
③从北极向赤道平面作球极投影，去除了北极点之外的球面可参数化为
r(u, v)=(2u/(u^2+v^2+1),2v/(u^2+v^2+1),(u^2+v^2-1)/(u^2+v^2+1)),(u, v)∈R^2 ，
坐标曲线是过北极点的特别平面与球面的交线，这些平面都平行于x-轴或y-轴；两族坐标曲线并不易看出来一定垂直相交．
例2　在 E3 中直角坐标系 O-xyz 下，由一般方程 x2+y2=1 给出单位圆柱面．如图1-4所示，其局部可以有简便的参数化方式
r=r(u, v)=(cos u , sin u , v) ，(u, v)∈R^2；
其中参数值与地位向量的对应不是逐一对应，但恰当缩小定义域则可保证逐一对应．其总体也能定义成参数曲面，例如
=r(w, t)=(w/sqrt(w^2+t^2), t/sqrt(w^2+t^2), ln/sqrt(w^2+t^2)) ，(w, t)∈R^2-{(0, 0)} ．
例3　在 E3 中直角坐标系 O-xyz 下，由一般方程 x2+y2=z2 给出圆锥面．它可以有参数化
r=r(u, v)=(v cos u , v sin u , v) ，(u, v))∈R^2．
三．正则曲面的切平面以及法线
正则曲面的意义还在于能够便利地断定曲面的所谓切向量和切平面，以及法向量．
已知正则曲面 S: r=r(u, v) ．考虑过点 r(u0, v0) , r(u0+△u, v0) 和 r(u0, v0+△v) 的平面Π当 (△u,△v)→(0, 0)时的极限位置，亦即切平面的位置．由于平面Π有法向量为
[r(u0+△u, v0)-r(u0, v0)]×[r(u0, v0+△v)-r(u0, v0)]
≈r_u(u0, v0)×r_v(u0, v0)△u△v ，
故而正则性保证了平面Π的极限地位平面Π0的法向向量确定为
r_u(u0, v0)×r_v(u0, v0)
该极限平面的参数方程为
(1.1)(X-r(u0, v0) , r_u(u0, v0) , r_v(u0, v0) )=0 ．
显然，平面Π0是坐标曲线在点 r(u0, v0) 处的自然切向量所张成的平面；下面阐明，它也是参数曲面上过点 r(u0, v0) 的任何正则曲线的切平面．设正则曲线 r(u(t), v(t)) 知足 u0=u(t0) , v0=v(t0) ，则由链式法则，有
[(d/dt)r(u(t), v(t))]|(t=t0)=r_u(u(t0), v(t0))(du/dt)(t0)+r_v(u(t0), v(t0))(dv/dt)(t0)．
由此，曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面Π0上面；反过来，任给坐标曲线自然切向量的线性组合
a[r_u(u(t0), v(t0))]+b[r_v(u(t0), v(t0))] ，(a, b)∈R^2，
曲面上总存在曲线以之为点 r(u0, v0) 处的切向，例如
r=r(u0+a t , v0+b t) ．
定义2　对正则曲面 S: r=r(u, v) ，称 (1.1) 式所确定的平面Π0 为 S 在切点 r(u0, v0) 处的切平面；切平面在切点 r(u0, v0) 处的法线称为 S 在切点处的法线，法线的方向称为法向；S 在切点处的单位法向特指为单位向量
(1.2)　　n(u0, v0)=r_u(u0, v0)×r_v(u0, v0)/|r_u(u0, v0)×r_v(u0, v0)|；
并称单位法向的指向给定了正则曲面的正定向，简称正向，并且相反的指向给定了正则曲面的负定向，简称负向．
正则曲面是一种标示了方向的曲面，即有正定向的曲面．
在切点 P: r(u0, v0) 处的切平面通常记为 T_P ，它按坐标曲线自然切向量的线性组合可以理解为二维向量空间
(1.3)　　 T_P={a[r_u(u0, v0)]+b[r_v(u0, v0)]|(a, b)∈R^2 }≌E^2 ，
其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a, b) 规定为 E^3 的引诱内积，即
(1.4)　　 (a, b)=a•b ,  a, b∈T_P．
此时，切平面同时具有向量空间构造和度量构造；这两种结构的划分，在后续几何课程中具有重要意义，初步的浏览资料可参见第八章§9．
切平面的基向量组 {ru, rv} 通常称为自然基，而标架场 {r; ru, rv, n} 通常称为自然标架场．
用经典微积分的观点来看，切平面上的微圆
(1.5)　　dr(u, v)=r_u(u, v)du+r_v(u, v)dv
是位置向量增量 [r(u + du , v + dv)-r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；
按 (1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数 (du, dv) 亦可视为切平面中的微元，其方向由比例du:dv 确定．

曲线抉择曲率和挠率，反之成立。
曲面决议第一根本形式，反之不成立。但第一基础情势抉择了曲面所有的内在性质（内在性质/等距不变量、外在性质的区别尺度）？
等距不变量：曲面上只依赖于第一个二次形式的一些性质（量），例如曲面上曲线的长度，两条曲线的夹角,汽车防盗锁，曲面上的一区域的面积，测地线，测地线曲率，总曲率等等。称为曲面的内在性质。

一个黎曼流形是 "完备的" 当且仅当每一条测地线均可以无穷延长. 注意这里说的黎曼流形是没有边界的流形, 一般如果没有 "带边" 两个字, "流形" 都被假设没有边界.
正如我们熟知的，测地线接洽着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联络着PDE（偏微分方程）。这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的请求。
？几何局部化
？物理几何化
坐标的微分
弧长s最短的那条曲线
测地线:曲面上测地曲率恒等于0的曲线称为~,氢氧化铁。
曲面上一条曲线是测地线当且仅当它是直线，或者它的主法向量处处是曲面的法向量。
测地曲率是等距不变量。
平面上直线：
1方向不变
2不曲折――用曲率权衡
3是两点间的最短间隔
对于测地线，它每点的主法线与曲面的法方向平行。
测地线（1850年刘维尔引进）也不一定是最短线（高斯应用）。
球面上的测地线是大圆弧。球面上存在无限多个大圆。
一般的紧闭曲面可以存在无穷多条闭测地线。
大圆（平面通过球心）的曲率小，小圆（如两点同一纬度的纬线圈）的曲率大。
20世纪30年代：一个凸闭曲面上至少存在三条没有自交点封锁测地线。

均匀曲率http://www.hudong.com/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%9B%B2%E7%8E%87
在微分几何中，一个曲面 S 的均匀曲率（mean curvature）H，是一个“外在的”曲折丈量尺度，局部地描写了一个曲面嵌入四周空间（譬如二维曲面嵌进三维欧几里患上空间）的曲率。

由空间解析几何和二元实函全微分的知识，曲面在某一点的切面可以表达出来。
曲面∑：r=r(u,v)
I是切向量dr的长度平方，由切向量长度平方（自己的内积）和切向量之间的内积定义E,F,G
曲面两点（两个向径）之间的间隔平方ds^2（Ⅰ=<dr.dr>=Edudu+2Fdudv+Gdvdv=g_ijdu_idu_j
）
[U为O-uv平面上的一块区域，S为O-xyz空间中的一块曲面区域，U中的点(u0,v0)对应S中的点P(u0,v0)] ．
曲面在任意一点r(u,v)的切向量是dr(u,v)=r_u(u,v)du+r_v(u,v)dv(？点函全微分公式与份量函数概念的联合)
两张曲面局部等距的充要前提是按对应关系拥有相同的第一基本形式。
两个切向量 a 和 b 的内积 (a, b) 规定为 E^3 的引诱内积,劲舞的危害~(搞笑版），即
(1.4)　　 (a, b)=a•b ,  a,索爱滑盖手机, b∈T_P．
由于这个曲面是在Euclid空间里头，所以我可以讲这个矢量的长度。为简单起见，我限于讨论长度等于1的矢量，即单位矢量，所以有一圈单位切矢量。跟这些单位切矢量垂直的有另一个矢量，我们假设它是取成单位的，那么这个矢量我们叫做单位法矢量。

刀贴着曲面上某点（u，v）的法线往下切
该点（u，v）沿（du，dv）方向的法曲率
法截线、法截面不惟一
法截线,法截面,法曲率
最大和最小的法曲率称为主曲率,记为k_1, k_2.这两个法曲率对应的法截线必然垂直.
极值方向称为主方向
定义Gauss曲率为k_1, k_2的乘积:K= k_1.k_2. 若K=0,则曲面必定平坦.
定义均匀曲率为k_1, k_2的算术平均: H=( k_1+_2)/2.若H=0,则该曲面就是极小曲面.

球冠面积公式S球冠＝2πRh对其高小于、即是或者大于球半径的球冠都合用。球面积公式S球面＝4πr2可看成球冠面积公式当h＝2R的特例。因为同一个球的半径是一个常量，所以球冠面积是它的高的一个正比例函数，即S球冠＝f(h)＝2πRh（0＜h≤2R）。
设Δб是曲面上包括P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点的轨迹是以O为中心的单位球面 S2上的一块区域 Δб* 。这个对应称为高斯映射。曲面在P点附近弯曲程度可用Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻划。曲面在P点的高斯曲率的绝对值恰是这个比值当Δб压缩成P点时的极限。高斯曲率的符号则指明曲面弯曲的朝向。
20100914-20100915
S'=2pi1^2(1-cost)≠piR^2(1-cos^2t)
S=2piR^2(1-cost)
K=1/R^2

Gauss绝妙定理指出, Gauss曲率K在曲面的等距变换下维持不变.即曲面的内蕴性质由第一基本形式决定决定,与它在外围空间中的形状无关.而曲面的第二基本形式则决议了曲面在外围空间中的形状.这些结论可以可以推广到高维空间中的超曲面(维数比外围空间低一的曲面称为超曲面).
20100907内蕴的含意：与坐标无关；与第一基本形式有关，与第二基本形式无关(不同的曲面可能有相同内在性质)；保长对应/等距变换/可展变换与同胚映射的关系
曲面的弯曲变形是指它的这样的变形，它保存了曲面上曲线的长度不变、曲面上图形的面积不变以及其他一些几何量。
“内蕴几何”这名词的自身意义是说，钻研的只是曲面自身内在的性质，而不依附于曲面在空间中是怎么弯曲的。
如果我们在纸片上用直线段连结两个点，然后弯曲这张纸，则线段就变为一条曲线，然而它是曲面上连结两个已经知点的最短曲线的这个性质依然保存；因此它属于内蕴几何。反之，这条曲线的曲率依附于纸片的弯曲水平，因此已经不回于属于内蕴几何了。

平面几何是平面（包含从平面的曲折变形所患上到的任意曲面）的内蕴几何。
可以证实角和面积都能用长度来表出。
转化为直线之间的角
曲面上曲线之间的角定义为它们在切平面上的投影之间的角
曲线的切线之间的角
流形上附近两点之间的切空间可以看成是重合的
曲线的长度/曲面的面积通过对流形M在区域积分得到。
为了刻划曲线在曲面“内部”的弯曲，须要引进测地曲率的概念。
曲线在已经知点处的测地曲率定义为它在切平面上的投影的曲率。
可以定义三角形（作为以三条最短线为界的图形）、多角形等

在平面几何上任何三角形的各角之和都等于两个直角；而在任意的曲面上，由最短线组成的三角形的各角之和是不确定的，即便知道了三角形所在的曲面和指出了三角形的“大小”（例如各边的长度）。然而，如果晓得了在这三角形的每一点处的高斯曲率K，则它的各角α，β，γ之和就能按下列公式来计算：
α+β+γ=π+∫∫Kdσ，这里积分是对于三角形的面积来求的。作为特例，在平面上K=0和α+β+γ=π，而在单位球面上，K=1以及α+β+γ=π+S，这里S是球面三角形的面积。
可展曲面：有与平面雷同的内蕴几何。
高斯曲率表示曲面的内蕴几何与平面几何的差别的水平。[刻划曲面（“内部”的）弯曲水平的曲率。]

直线，线段
测地（曲）线，最短线
测地线在每一个点处的主法线与曲面的法线同方向。逆定理也成立：在正则曲面上的拥有所说性质的任何曲线都是测地线。
平面上的直线可以定义为零曲率的曲线，而曲面上的测地线则可以定义为测地曲率为零的曲线。

勾股定理之本色乃是几何空间的度量性质，高斯恰是从这里动身树立了曲面的第一基本形式<dr.dr>=ds^2.
专门研究曲面上由第一基本形式决议的几何学称为内蕴几何学，它在高维的推广就是现在所称的黎曼几何学。
“依照这个观点，对平面和可以开展成平面的曲面（例如圆柱面，元锥面）基本上可以看成是相同的[第一基础形式雷同，第二根本形式不同]。依照这个观点对于曲面的一般表达式来讲，现在的起点是形式sqrt(Edu^2+2Fdudv+Gdv^2)[=|dr|=ds]。它表现弧长圆素ds和两个变数u,v之间的瓜葛”。

高斯阐述的几何则是“与曲面可能具备的外形无关”，即与外在空间无关，从而树立了以研讨曲面内在性质为主的内蕴几何学。
保形坐标系，测地极坐标系，任意的坐标系
高斯曲率K仅含第一类基本量E,F,G和它的一阶或二阶偏微商（于是是内蕴量）。
度规张量(第一根本情势系数)：
E=< r_u. r_u>=g_11,
F=< r_u. r_v>=< r_v. r_u>=g_12,
G=< r_v. r_v>=g_22,
这三个量就是极为重要的度量(度规)系数.
曲面的第一基本形式于是可以写成:
Ⅰ=<dr.dr>=Edudu+2Fdudv+Gdvdv=g_ijdu_idu_j
最后一式咱们将du,dv写成du_1,du_2,i,j取值为1,2,这里采纳了Einstein乞降商定:反复指标主动乞降.这样的符号约定和求以及商定可让我们轻松将2维情景推广到n维流形的n维切空间,其上切向量内积系数(度量系数)就是g_ij(i,j=1,2,…,n),若n即是4,就是广义相对于论中的度规张量情况.
第一基本形式决定了曲面的内蕴结构,以后我们会发明,联络系数(Christoffel符号)由度规张量和度规张量的一次导数决定,而曲面的Gauss曲率(广而言之,流形的Riemann截面曲率)由联络系数及其一阶导数决定.
术语商定：
Gauss曲率[不叫全曲率、总曲率]―>Riemann截面曲率（Riemann-Christoffel曲率）[曲率张量]
Gauss尽妙定理（Theorema egregium,1827年,石材雕刻机，又作1826年、1825年）：假如一曲面可以开展到另一曲面上，那末在每一一对应点处的曲率测度坚持不变。[一个曲面的高斯曲率被曲面的第一类基本量彻底肯定，等距曲面在对应点必定有相同的高斯曲率。][曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的外形无关，仅仅取决其第一基本形式，即只依附于曲面上两点无限小间隔平方ds^2，与第二基本形式无关]
推论：任何可以展开到另一曲面上的曲面的有限部分将维持相同的曲率积分。
高斯绝妙定理:
由第一基本形式和第二基本形式共同定义的高斯曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)竟然和第二基本形式Ⅱ=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2无关，而仅由第一基本形式Ⅰ=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2完全确定。
关于“绝妙定理”这个称谓，实在是高斯本人命名的，高斯经由及其繁杂的计算得到了这个成果，可想而知：高斯在完成这个证明后，心中是如何的冲动，以至于将这个定理叫做“绝妙定理”。
陈省身：我最先接触示性类，是因为Gauss-Bonnet公式，这是每一个学过曲面论的人熟知的公式。早在1943年，当我给出Gauss-Bonnet公式的内蕴证实之后，我认识到，利用曲面论中的正交标架，那末经典的Gauss-Bonnet公式无非是高斯尽妙定理的一个总体性的成果。
这个证实的代数方面是后来被称为“超渡”的结构的第一个实例，超渡注定了会在纤维丛同调论和其他一些问题中扮演基本主要的角色。

第五章　曲面论基本定理
中心问题：追求E3中曲面的完整不变量体系．
将要证明：曲面的第一和第二基本形式能够形成曲面的完全的几何不变量体系并且在合批准义下确定曲面本身．
为此，应该首先考虑曲面的第一和第二基本形式之间的自然联络；并进一步考核何时可以由所给定的第一和第二基本形式反过来确定曲面．
§1　曲面论基本方程
对正则曲面 S: r=r(u1, u2) , (u1, u2)∈U包括于R^2 ，已知第一基本形式和第二基本形式分离为
Ⅰ=ds2=dr•dr=(ri dui)•(rj duj)=gij duiduj , gij=ri•rj ，
Ⅱ=-dr•dn=-(ri dui)•(nj duj)=Ωij duiduj , Ωij=-ri•nj=rij•n ．
曲面的第二基本形式.引入曲面上任意点的法向量n,定义两点间法向量的变更: dn=n_udu+n_vdv.
其中n_u,n_v为dn在基(du,dv)下的展开系数.则我们可以定义内积:
L=-< r_u. n_u>=h_11
M=-< r_u. n_v>=< r_v. n_u>h_12
N=-< r_v. n_v>=h_22
L,M,N(h_11, h_12, h_22)称为第二形式基本量,于是第二基本形式可以写成:
Ⅱ= -<dr.dn>= Ldudu+2Mdudv+Ndvdv= h_ijdu_idu_j.
最后一个等式采取的符号和乞降约定同上.
有理由预期，这两个基本形式之间的一般束缚关系必定是存在的．譬如可以如斯猜测独立束缚方程的个数：
[2+(6-2)]-(2+1)= 3 ――两个基本形式的系数组一般由两个自变量的六个函数组成，当两个基本形式同时对角化时由两个自变量的四个函数组成；当动点轨迹形成E^3中曲面时，动点在曲面上的两个“自由度”反应在曲面的两个正则参数之上，而另一个“自由度”须要四个系数函数在三个独立的束缚方程之下肯定．
为确定约束方程，下列将从自然标架微分方程存在解时的相容性条件启程而逐渐进行考核．
已知自然标架的活动公式肯定为Gauss公式和魏恩加滕Weingarten公式（1861）
r_ik=Γi_jk(r_j)+Ω_ik(n);
n_i=-ω_i^j(r_j)=-Ω_ik(g^(kj)(r_j)).

g_ij和h_ij必需知足的相容性条件是有名的Gauss-Codazzi方程.由于 Gauss-Codazzi方程是(超)曲面存在的充沛必要条件.
定理（Gauss尽妙定理）　曲面 S 的Gauss曲率K由第一基本形式完整确定，在第一基本形式系数表示下即为
(1.12) K=-R_1212/(g_11g_22-(g_12)^2)．
推论1　若两张曲面局部等距对应，则它们在对应点处的Gauss曲率相等．
推论2（可展曲面内蕴特点）　若曲面 S 无脐点，则有充要前提：
S 可展<=>S 局部等距对应于平面<=>S 的Gauss曲率≡0 ．

中学的几何学基本上都是研究2或者3维平直空间里面的几何学。
一个点是0维的，一条直线是1维的，一个面是2维的，咱们糊口的空间是3维的。
2维的面，很简略，有的看上往是弯曲的，譬如篮球的表面，或者者十三陵地宫里的宏大的圆木柱子的表皮――柱面。
一个柱面是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，柱面的内在的曲率是0；
而球面显然不是这样的。球面的内禀曲率不是0，大概就是你不能用剪刀剪开它然后完全地贴到平坦墙壁上。
我刚开端接触黎曼几何时，就是用上面的法子在强行理解“内在的曲率”的。[应当用第一基本形式理解]
但仍是有一些问题，比喻在纸上画一个扇形，然后把扇形卷起来用胶水把对边粘起来。那就是一个圆锥面。
显然元锥面也是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，于是圆锥面的内在的曲率也是0。
但它有一个尖点，那里不是光滑的，不能定义内在的曲率，应当消除。
内在的曲率，其实是指Riemann张量。
那么甚么是张量呢？这个东西不是一个轻易懂得的概念，它可以被放在座标系下被确定下来。
比如一块石头，从东边看它象一只猫，从西边看象一兔子，从南边看它象一个乌龟。那么这个石头的外形，就恍如是一个张量。
如果一个人试图研究一个正立方体沿着体对角线滚动时候的动能，那么，滚动惯量就是一个很好的例子。
真正斟酌这个问题并做过盘算，甚至不断变换正立方体的转轴，张量，这个有点神秘的幽灵，会立即象花朵同样开放在面前。
自行车的内胎。它的拓扑构造是一个二（维）环面，修车人糊口在三维空间里，他看到的是这样一个中间有洞的东西。
拓扑地看，一个自行车内胎与一个篮球皮有甚么差别？[不同胚]
自行车内胎上剪出一条封锁曲线不一定把它分成2块，但一个篮球面上剪一条封锁曲线一定把球面分成2块。
这个暗示了球面与环面在拓扑上是不一样的。
一个自行车的内胎其实是一个柱面弯起来以后把2个头接起来发生的。
看的出来，它就是一个圆周s1在另一个圆周s1上走了一圈后得到的，所以有一个很直观的记号，环面T2=s1 x s1。（环面记做：s1 x s1。由于环面的英语是Torus。所以还可以把2维度的环面简单记为T2。）
那么自行车内胎T2的内禀曲率是否为0呢？？？很显明它用剪刀剪2次后是不能完整展成平直的，它不可以完全地贴在平坦的墙壁上。
因此，在三维欧几里得平坦空间的自行车内胎，它不是处处内禀曲率为0。当这样说的时候，实际上暗地里的故事颇为悠久。

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