黎曼曲面- 维基百科，自由的百科全书
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数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑 ...
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数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑 ...
黎曼曲面（一维复流形）_百度百科
baike.baidu.com/view/786971.htm
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在数学中，黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的 ...
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在数学中，黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的 ...[PDF]黎曼曲面讲义 - 南京大学数学系
math.nju.edu.cn/~meijq/RiemannSurface.pdf
前言 i. 前言. 本书是近若干年来作者在南京大学等地为数学系高年级本科生和研究生讲授.黎曼曲面理论所逐渐积累起来的一份讲义。黎曼曲面的理论可以回溯 ...
math.nju.edu.cn/~meijq/RiemannSurface.pdf
前言 i. 前言. 本书是近若干年来作者在南京大学等地为数学系高年级本科生和研究生讲授.黎曼曲面理论所逐渐积累起来的一份讲义。黎曼曲面的理论可以回溯 ...黎曼曲面_互动百科
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黎曼曲面-黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论 ...
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黎曼曲面-黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论 ...繁星客栈- 有关于Riemann曲面中的问题 - 卢昌海个人主页
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Sep 29, 2007 - 3 posts - 2 authors
f:S_{1}-> S_{2},其中S_{1}， S_{2}是黎曼曲面，f为拟共形映射。 H_{i}是S_{i}的覆盖曲面，且是单连通的。那么H_{1},H_{2}共形吗？ Klein Fuchs ...
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Sep 29, 2007 - 3 posts - 2 authors
f:S_{1}-> S_{2},其中S_{1}， S_{2}是黎曼曲面，f为拟共形映射。 H_{i}是S_{i}的覆盖曲面，且是单连通的。那么H_{1},H_{2}共形吗？ Klein Fuchs ...黎曼曲面和黎曼几何什么关系？ - 数学- 知乎
https://www.zhihu.com/question/26453725
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Jan 12, 2015 - 黎曼面是可定向二维实流形+复结构，黎曼几何研究流形的曲率。 我想它们之间最直接的关系是如下事实：可定向二维实流形上的复结构与其上的黎 ...
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Jan 12, 2015 - 黎曼面是可定向二维实流形+复结构，黎曼几何研究流形的曲率。 我想它们之间最直接的关系是如下事实：可定向二维实流形上的复结构与其上的黎 ...[PDF]黎曼面的起源
www.global-sci.org/mc/issues/6/no1/freepdf/53s.pdf
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黎曼面也称黎曼曲面，顾名思义，它是由数学家黎曼（G. F. B. Riemann）构想出. 来的一种抽象曲面。黎曼面这个看上去似乎比较简单的几何基本概念对于近现代数
www.global-sci.org/mc/issues/6/no1/freepdf/53s.pdf
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黎曼面也称黎曼曲面，顾名思义，它是由数学家黎曼（G. F. B. Riemann）构想出. 来的一种抽象曲面。黎曼面这个看上去似乎比较简单的几何基本概念对于近现代数黎曼曲面和黎曼几何什么关系？
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4 个回答
黎曼面是可定向二维实流形+复结构，黎曼几何研究流形的曲率。
我想它们之间最直接的关系是如下事实：可定向二维实流形上的复结构与其上的黎曼度量的共形类有一一对应。
这个对应如下，给一个复结构，则每个复chart上的z和z bar构成了等温参数网，给出了度量的共形类，反之由陈省身的一篇很短的paper可以说明二维实流形上的度量都是局部共形于R^2，从而有等温网，而由可定向性，可以说明良好的选择之后，等温网给出复坐标卡。
一般而言研究黎曼面分两种手段，一种是代数的，基本上只做紧黎曼面，这是基于以下事实：紧黎曼面就是复代数曲线+GAGA（全纯映射都是代数的，etc）。还有一种就是分析的，主要是解黎曼面上的laplace方程，这就是黎曼几何的一个重要议题（当然他们是在一般的黎曼流行上解）。
我想它们之间最直接的关系是如下事实：可定向二维实流形上的复结构与其上的黎曼度量的共形类有一一对应。
这个对应如下，给一个复结构，则每个复chart上的z和z bar构成了等温参数网，给出了度量的共形类，反之由陈省身的一篇很短的paper可以说明二维实流形上的度量都是局部共形于R^2，从而有等温网，而由可定向性，可以说明良好的选择之后，等温网给出复坐标卡。
一般而言研究黎曼面分两种手段，一种是代数的，基本上只做紧黎曼面，这是基于以下事实：紧黎曼面就是复代数曲线+GAGA（全纯映射都是代数的，etc）。还有一种就是分析的，主要是解黎曼面上的laplace方程，这就是黎曼几何的一个重要议题（当然他们是在一般的黎曼流行上解）。
既然是问“关系”的话，那我再补充一点：
紧黎曼曲面拓扑上即是可定向的闭曲面，众所周知可定向闭曲面是按亏格分类的，即球面，环面，2个洞的环面，etc.
其中（2维）球面上有独特的复结构，即CP^1.然后这个复结构对应到一个曲率恒正（标准化之后可使曲率恒为1）的黎曼度量，其实就是球面放在三维空间里面的标准度量。这种情形叫做椭圆型的黎曼曲面，只有球面一种。
环面的话，它上面可以取平坦的黎曼度量（即曲率恒为0），这种情形叫做抛物型黎曼曲面。注意到，环面上可以取不同的复结构，但对应的黎曼度量都是平坦的。
亏格为2以上的曲面，它上面可以取曲率恒为－1的黎曼度量，这种情形叫做双曲型黎曼曲面。
那么这些曲面上为什么可以取到相应的黎曼度量？这些度量跟黎曼曲面的复结构又有什么关系？先出个思考题，我再解释：
球面上能不能取到曲率恒负的度量？环面上能不能取到曲率恒正或者恒负的度量？亏格为2的曲面能不能取到曲率恒正的度量？有哪个大定理直接给出了这些问题的答案？
OK,接下来开始解释度量和复结构之间的关系。
球面已经说过了，它上面典则的复结构就是CP^1, 典则的度量就是球面的标准度量。
环面的话，它可以看成复平面模掉一个格点（lattice）后得到的商曲面。你取的lattice不同，得到的环面上的复结构也不同。但是复平面上我们取的是欧氏度量（就是什么东西都没有的最平凡的那种度量），你得到的商曲面上的度量是继承了复平面上的度量，因此是平坦的。
亏格为2以上的曲面，它可以看成复平面中的单位圆盘（取Poincare度量）的商曲面。但是这个商曲面具体怎么构造，不是环面那么简单。首先亏格为2以上的曲面有多边形表示，然后你要把这个多边形铺满整个单位圆盘（多边形的边界取成Poincare度量下的测地线）。铺满以后，你就自然地得到做商的方式了。然后，因为单位圆盘在Poincare度量下是标准的双曲空间（即曲率恒为－1），所以商曲面也自然地继承了这个双曲度量。
环面和亏格为2的曲面，它们的万有覆盖都是欧氏平面（复平面和单位圆盘是同胚的）。但是因为取的度量不同（一个是平坦度量，一个是双曲度量），所以得到的商曲面也不一样。
至于复平面上的平坦度量、单位圆盘上的Poincare度量和“复结构”有什么关系，这个学了复变函数应该就明白了～
紧黎曼曲面拓扑上即是可定向的闭曲面，众所周知可定向闭曲面是按亏格分类的，即球面，环面，2个洞的环面，etc.
其中（2维）球面上有独特的复结构，即CP^1.然后这个复结构对应到一个曲率恒正（标准化之后可使曲率恒为1）的黎曼度量，其实就是球面放在三维空间里面的标准度量。这种情形叫做椭圆型的黎曼曲面，只有球面一种。
环面的话，它上面可以取平坦的黎曼度量（即曲率恒为0），这种情形叫做抛物型黎曼曲面。注意到，环面上可以取不同的复结构，但对应的黎曼度量都是平坦的。
亏格为2以上的曲面，它上面可以取曲率恒为－1的黎曼度量，这种情形叫做双曲型黎曼曲面。
那么这些曲面上为什么可以取到相应的黎曼度量？这些度量跟黎曼曲面的复结构又有什么关系？先出个思考题，我再解释：
球面上能不能取到曲率恒负的度量？环面上能不能取到曲率恒正或者恒负的度量？亏格为2的曲面能不能取到曲率恒正的度量？有哪个大定理直接给出了这些问题的答案？
OK,接下来开始解释度量和复结构之间的关系。
球面已经说过了，它上面典则的复结构就是CP^1, 典则的度量就是球面的标准度量。
环面的话，它可以看成复平面模掉一个格点（lattice）后得到的商曲面。你取的lattice不同，得到的环面上的复结构也不同。但是复平面上我们取的是欧氏度量（就是什么东西都没有的最平凡的那种度量），你得到的商曲面上的度量是继承了复平面上的度量，因此是平坦的。
亏格为2以上的曲面，它可以看成复平面中的单位圆盘（取Poincare度量）的商曲面。但是这个商曲面具体怎么构造，不是环面那么简单。首先亏格为2以上的曲面有多边形表示，然后你要把这个多边形铺满整个单位圆盘（多边形的边界取成Poincare度量下的测地线）。铺满以后，你就自然地得到做商的方式了。然后，因为单位圆盘在Poincare度量下是标准的双曲空间（即曲率恒为－1），所以商曲面也自然地继承了这个双曲度量。
环面和亏格为2的曲面，它们的万有覆盖都是欧氏平面（复平面和单位圆盘是同胚的）。但是因为取的度量不同（一个是平坦度量，一个是双曲度量），所以得到的商曲面也不一样。
至于复平面上的平坦度量、单位圆盘上的Poincare度量和“复结构”有什么关系，这个学了复变函数应该就明白了～
音乐快递：牛顿在运动学中常采用复坐标系- 由 ... - 文学城
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