、角速度与周期关系
，
期末复习总动员·高中
12
天体运动问题的基本模型与方法
陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室 邢彦君
天体运行问题的分析与求解，是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，问题的分析与求解的关键是建模能力。
一、基本模型
计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。
二、基本规律
1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运动，由牛顿第二定律及万有引力定律有：
。这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系、角速度与周期关系，这一基本关系式还可表示为：
或
。
。这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系、角速度与周期关系，这一基本关系式还可表示为：或。
2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。设天体质量为M，半径为R，其表面的重力加速度为g，由这一近似关系有：
，即
。这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与
的相互替代，因此称为“黄金代换”。
，即。这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。
3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力
最大。对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有：
，式中N为天体表面对物体的支持力。如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有：
，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由及
可计算出天体不瓦解的最小密度。
最大。对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，式中N为天体表面对物体的支持力。如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有：，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由及可计算出天体不瓦解的最小密度。
三、常见题型
1．估算天体质量问题
由关系式可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。
可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。
例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km，运行周期为127分钟。若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，卫星高度为h，运行周期为T，线速度为v，加速度为a，月球对卫星的吸引力为F。
对于卫星的绕月运行，由万有引力定律及牛顿第二定律有：
，由此式可求知月球的质量M。由“黄金代换”有：
，由这两式可求知月面重力加速度g。由线速度的定义式有：
，由此式可求知卫星绕月运行的速度。由万有引力定律及牛顿第二定律有：
，由此式可求知绕月运行的加速度。由万有引力定律有：
，由于不知也不可求知卫星质量m，因此，不能求出月球对卫星的吸引力。故，本题选B。
，由此式可求知月球的质量M。由“黄金代换”有：，由这两式可求知月面重力加速度g。由线速度的定义式有：，由此式可求知卫星绕月运行的速度。由万有引力定律及牛顿第二定律有：，由此式可求知绕月运行的加速度。由万有引力定律有：，由于不知也不可求知卫星质量m，因此，不能求出月球对卫星的吸引力。故，本题选B。
2．估算天体密度问题
若已知天体的近“地”卫星（卫星轨道半径等于天体半径）的运行周期，可以估算出天体的密度。
例2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为
A．1.8×103kg/m3
B．5.6×103kg/m3
C．1.1×104kg/m3
D．2.9×104kg/m3
解析：对于近地卫星饶地球的运动有：
，而
，代入已知数据解得：ρ=2.9×104kg/m3。本题选D
，而，代入已知数据解得：ρ=2.9×104kg/m3。本题选D
3．运行轨道参数问题
对于做圆周运动的天体，若已知它的轨道半径，可以计算它的运行线速度、角速度、周期等运行参数，并且可以看出，这些参数取决于轨道半径。
例3．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100陪。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有
A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比
解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有：，解得：
，由题意可知，能求出恒星质量与太阳质量之比。由
及题意可知，能求出行星运行速度与地球公转速度之比。本题选AD。
，解得：，由题意可知，能求出恒星质量与太阳质量之比。由及题意可知，能求出行星运行速度与地球公转速度之比。本题选AD。
4．人造地球卫星问题
人造卫星运行轨道的中心与地球球心重合。同步通信卫星的轨道与赤道平面重合，运行的角速度（或周期）与地球的自传角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地卫星的轨道半径与地球半径相等。
例4．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响
（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期
解析：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度。设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足 ，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即
，解得：
；
，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即 ，解得：；
（2）对于卫星绕地球的运动，由万有引力定律及牛顿第二定律有：
，而
，解得：
，而，解得：
例5．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星。试问春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
解析：如图1所示，E为地球赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心。由图知春分那天日落后，当卫星由位置S运动到S/位置过程中，恰好处于地球的阴影区域，卫星无法反射阳光，观察者看不到卫星。设地球质量、卫星质量分别为M、m，卫星轨道及地球半径分别为r、R，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，由几何关系有：
，观察不到卫星的时间为：
，在地球表面有：
。解得：
。
，由几何关系有：，观察不到卫星的时间为：，在地球表面有：。解得：。
5．“相遇”问题
若某天体有两颗轨道共面的卫星，从某次它们在天体中心同侧与天体中心共线（两卫星相距最近）到下次出现这一情形的时间
与两卫星角速度
、
间满足关系：
,
。
与两卫星角速度、间满足关系：,。
例6．如图2所示，A是地球的同步卫星。另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为ωo，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
（1）求卫星B的运行周期。
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
解析：（1）对卫星B绕地球的运行，由万有引力定律和牛顿第二定律有： 
，在地面有：
，解得：
。
，在地面有：，解得：。
（2）由题意应有：
，而
，由于卫星A是同步卫星，故：
，解得：
，而，由于卫星A是同步卫星，故：，解得：
6．外星上的物理问题
若已知某天体的半径及质量，由黄金代换式可求出天体表面的重力加速度，此后可运用有关物理规律求解在外星表面的进行的与重力加速度有关的物理问题。
这类问题的另一形式是由运动学公式，根据运动量求解出天体表面的重力加速度，然后由黄金代换式及基本关系式求解天体的其它参量。
例7．在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为vo，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为ro的均匀球体。
解析：以M表示火星的质量，m表示火星表面处某一物体的质量，以g表示火星表面附近的重力加速度，由于在火星表面的重力等于火星对它的万有引力，故有：
；以m表示火星的卫星的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律有：
。
；以m表示火星的卫星的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律有：。
设着陆器第二次落到火星表面时的速度为v，它的竖直分量为v1，则水平分量仍为vo，由于着陆器第一次反弹后在最高点时的竖直分速度为零，故有：
，
。解以上各式解得 ：
。
， 。解以上各式解得 ：。
7．变轨问题
飞船或卫星从地面发射时，一般先将其发射到距地球较近的轨道上做圆周运动，再在适当位置实施变轨，使其离开原来的圆周轨道，在半长轴较大的椭圆轨道运动，当运行至椭圆轨道的远地点时再次实施变轨，使其在以椭圆半长轴为半径的圆轨道上做圆周运动，这个轨道就是飞船或卫星的稳定运行或工作轨道。
还有一类变轨问题：在某确定轨道（半径一定）上圆周运动的卫星，由于某种原因的影响，若速度发生了变化，由基本关系式
可以得出：
，由此可以看出，当卫星速度变化时，轨道半径随之变化。
可以得出：，由此可以看出，当卫星速度变化时，轨道半径随之变化。
例8．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱。如图3所示，飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是：
A．飞船在变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后圆轨道运动的加速度
解析：飞船变轨前后，由于推进火箭的做功，飞船的机械能不守恒，A错；飞船在圆轨道上运动时时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B对；飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据
可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C对。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，沿两轨道运动经过该点时，所受万有引力相等，有牛二定律知加速度相等，D错。本题选BC。
可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C对。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，沿两轨道运动经过该点时，所受万有引力相等，有牛二定律知加速度相等，D错。本题选BC。
8．自转天体不瓦解问题
天体自转时，天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动，由于赤道部分所需向心力最大，赤道上质量为Δm的一部分将离未离天体的临界条件是：天体对该部分的支持力为零。此时对Δm这部分运用万有引力和牛顿第二定律有：
或
，若已知天体的质量和半径或天体的平均密度，可求出天体自转的最大角速度；若已知天体的最大自转角速度或最小周期，可求出天体的最小平均密度。
或，若已知天体的质量和半径或天体的平均密度，可求出天体自转的最大角速度；若已知天体的最大自转角速度或最小周期，可求出天体的最小平均密度。
例9．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为
。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。
。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。
解析：设中子星的质量为M，赤道半径是R，对于中子星赤道上质量为m的部分物质，有关系式：，而
，代入数据解得：
，而，代入数据解得：
9．双星问题
天文学上，把两颗相距较近，以共同的角速度或周期绕它们连线上的某一固定点做圆周运动的天体称为双星。双星运行中，两星体间的万有引力提供每个星体圆周运动的向心力，两天体的周期、角速度相等。
例10．天文学家将相距较近，仅在彼此的引力作用下运行的两颗行星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运行特征可推算出他们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕他们连线上某一固定点分别作匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。
解析：设两星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，运行周期为T。对m1的运行有：
，对m2的运行有：
，依题意有：
。解以上三式得：双星系统的总质量为
。
，对m2的运行有：，依题意有：。解以上三式得：双星系统的总质量为。
10．黑洞问题
宇宙空间的大质量恒星演化到末期，在其自身引力作用下发生急剧塌缩，形成密度极大，引力场特强的特殊星体。它的引力场强得使外界物质也只能进入星体内而不可能逃离，就连射向它的光线也只能乖乖被俘无法反射，看上去它就像宇宙中的无底洞，天文学上称这类星体叫黑洞。若取无限远处为引力势能的零位置，在它的引力作用范围内，物体的引力势能总是负值。
例11．2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现。有一星体S2绕人马座A做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A就处在该椭圆的一个焦点上。观测到S2星的运行周期是15.2年。
（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50
102天文单位的圆轨道。试估算人马座A的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
102天文单位的圆轨道。试估算人马座A的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有的势能为
(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A的半径R与太阳半径之比应小于多少。
(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A的半径R与太阳半径之比应小于多少。
解析：（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则：
，
，设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则： 
。综合上述三式得：
，代入数据可得：
， ，设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则： 。综合上述三式得： ，代入数据可得：
（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的引力势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时引力势能仍为负值，其能量总和小于零，则有：
。依题意可知：
，
，可得：
。代入数据得：
，
。
。依题意可知：，，可得：。代入数据得：，。
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