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康普頓效應--碰撞後的電子
康普頓效應，由於碰撞後的電子獲得
賴奕帆
臺北市私立薇閣高級中學
壹、前言
高三下學康普頓效應時，學生總有個
疑問，康普頓散射公式真的只能死背嗎？
X 射線與電子碰撞後，散射光子的波長變
長，但碰撞後的電子呢，為何無法得知碰
撞後的電子速度狀態？
康普頓效應，由於碰撞後的電子獲得
極高的能量，不能用古典2
2
K 1 mv e = 、
P mv e = ，必須用狹義相對論中，勞倫
茲變換換算而得的K ( 1) mc 2 e = γ − × 、
P mv e = γ × ，來計算電子動能與動量。
愛因斯坦盛名所託，許多學生已知當
粒子速率接近光速時，將產生時間膨脹與
長度收縮現象， 即勞倫茲變換的基本概
念。康普頓效應公式推導難度確實較高，
但相信仍有學生有能力與興趣學習，非僅
僅告知背起公式，扼殺其求知慾。
此篇文章， 希望能提供自己與教師
們，協助成為中學生深入理解康普頓效應
與近代物理概念的鑰匙。
貳、康普頓散射公式的推導
入射X 光光子波長λ ，散射光子波長
m，電子的靜止質量v ，碰撞獲得動能後
速率為v，質量變成m′ ，散射光子在θ 方
向，電子反衝角為φ 。
圖一、康普頓效應中，光子及電子能量、動量示意圖
科學教育月刊 第318 期 中華民國九十八年五月
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一、散射光子波長λ ′
X 方向動量守恆：
θ γ φ
λ
θ φ
λ λ
h h cos m v cos h cos + ×mv cos
′
+ ′ =
′
= ( 1 )
Y 方向動量守恆：
θ γ φ
λ
θ φ
λ
0 h sin m vsin h sin − ×mvsin
′
−′ =
′
=
( 2 )
能量守恆：
hc mc2 hc m c2 hc + ×mc2
′
+ ′ =
′
+ = γ
λ λ λ
( 3 )
其中γ 為勞倫茲因子
2
1
1
⎟⎠
⎞
⎜⎝
− ⎛
=
c
v
γ
( 4 )
由動量守恆，餘弦定理可知電子動量
為 (見圖二)
( ) θ
λ λ λλ
γ 2 cos
2 2 2
2
′
−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′
+ ⎟⎠⎞⎜⎝×mv = ⎛ h h h
( 5 )
將( 3 )式同除c，整理後平方得
( ) ( )
λ λ λ λ λλ
γ
′
−′
−+ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛′
+ ⎟⎠⎞⎜⎝× = + ⎛2 2 2
mc 2 mc 2 h h 2hmc( 1 1 ) 2 h ( 6 )
( 6 )式減去( 5 )式
( ) 2 ( 1 1 ) 2 (1 cos )
2
2 2 2 2 2 2 θ
λ λ λλ
γ −
′
−′
m c − v = m c + hmc − h ( 7 )
( 4 )式γ 代入( 7 )式，同除2hmc 2
1 1 (1 cosθ )
λ λ λλ
−
′
=
′
−mc
h
( 8 )
( 8 )式整理後得康普頓散射公式
λ ′ = λ + (1− cosθ )
mc
h
( 9 )
二、電子反衝角φ
(Electron Recoil angle)
將( 1 )式與( 2 )式整理後相除得
θ
λ λ
γ cosφ cos
′
×mv = h − h
( 10 )
θ
λ
γ sinφ sin
′
×mv = h
( 11 )
θ
λ
λ
θ
θ
λ λ
θ
φ λ
cos
sin
cos
sin
tan
−
′
=
′
−= ′
h h
h
圖二、康普頓效應中，光子及電子動量示意圖
康普頓效應--碰撞後的電子
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故
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= ′
θ
λ
λ
θ
φ
cos
arctan sin
( 12)
三、電子碰撞後速率v
( 4 )式的γ 代入( 5 )式
θ
λ λ λλ
( ) ( ) 2 cos
2
2 2
2 2
2 2 2
′
+ −′
=
−h h h
c v
m v c ( 14)
將( 14)式整理後得電子碰撞後速率v為
θ
λ λ λλ
θ
λ λ λλ
( ) ( ) 2 cos
( ) ( ) 2 cos
2
2 2 2 2
2
2 2 2
′
+ −′
+
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′
+ −′
=
m c h h h
c h h h
v ( 15)
參、數值代入與繪圖
電子的靜止質m = 9.109×10−31kg ，卜
朗克常數h = 6.626 ×10−34 J ⋅ s ， 光速
c = 2.998×108m/ s ， 並用數學軟體
Mathematic 繪圖討論。
一、康普頓位移函數圖
( 9 ) 式整理後為康普頓位移，為光子
散射角θ 的函數
Δλ = (1− cosθ )
mc
h
( 16)
( 16 ) 式中
mc
h
是一個常數
2.426 ×10−12公尺，稱為康普頓波長，圖
三為康普頓位移函數圖。
當光子散射角為180 時，康普頓位移
最大，為4.852 ×10−12公尺。
圖四為入射 X 射線波長λ = 70.8pm
照射石墨後得到四個不同的散射角θ 的實
驗數據，其縱軸為散射光的強度，橫軸為
散射光的波長。可得知康卜吞波長與入射
光波長無關。
二、電子反衝角φ 函數圖
( 12 ) 式為電子碰撞後反衝角φ ，為入
射光子波長λ 與光子散射角θ 的函數，由
動量守恆可知，當光子散射角θ 為0 與
180時，電子反衝角為0。
圖五為光子波長70.8pm 1 λ = ，
24.3pm 2 λ = ， 2.43pm 3 λ = 下，電子反衝角函
數圖。
圖五得知，當入射光子波長越短，電
子的最大反衝角越小。
三、電子速率v 函數圖
( 15 ) 式為電子碰撞後速率v，為入射
光子波長λ 與光子散射角θ 的函數，由相
對論知，不論電子獲得多大的動能，其極
限速率為光速。
圖六為光子波長70.8pm 1 λ = ，
24.3pm 2 λ = ， 2.43pm 3 λ = 下，電子速率函
數圖。
由圖六得知，當光子波長越短，光子
散射角度大， 電子獲得的速率(動能)越
大。在康普頓散射實驗中，電子速率已經
接近極限速率，碰撞後質量必須用勞倫茲
因子轉換方可適用。
圖七為光子散射角180 1 θ = ， 90 2 θ = ，
45 3 θ = ，電子速率函數圖。
科學教育月刊 第318 期 中華民國九十八年五月
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圖五、電子反衝角函數圖
圖三、康普頓位移函數圖
圖四、波長為0.708Å 的X 光照射在石墨上4 組不同散射角的量測結果
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
1
2
3
4
散射角θ ( )
Δλ ( pm)
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
20
40
60
80
電子反衝角θ ( )
光子散射角θ ( )
70.8pm 1 λ =
24.3pm 2 λ =
2.43pm 3 λ =
康普頓效應--碰撞後的電子
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圖七、電子速率-光子波長函數圖-1
圖六、電子速率-光子散射角函數圖
圖八、電子速率-光子波長函數圖-2
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
0.5
1.0
1.5
2.0
速率(108m/ s )
光子散射角θ ( )
20 40 60 80 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
2.43pm 3 λ =
24.3pm 2 λ = 70.8pm 1 λ =
180 1 θ =
90 2 θ =
45 3 θ =
速率(108m/ s )
光子波長λ( pm)
1 2 5 10 20 50 100
0.10
1.00
0.50
0.20
2.00
0.30
3.00
0.15
1.50
0.70
180 1 θ =
90 2 θ =
45 3 θ =
速率(108m/ s )
光子波長λ( pm)
科學教育月刊 第318 期 中華民國九十八年五月
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固定波長入射自由電子，光子散射角
為180 1 θ = 時，電子將獲得最大速率。
圖七中，入射光子波長小於10−11 公尺
時，難以得知電子碰撞後的最大速率，故
將x 軸改以對數繪製圖八。
由圖八可知， 當入射光子波長小於
10−12 公尺(γ -ray)， 碰撞後電子速率接近
極限速率c ，不論入射光子波長多小，電
子速率均不會超過光速。
康普頓效應， 若入射光子波長
λ = 70.8pm，光子散射角90與180，碰
撞後的電子速率分別為1.4×107 與
2×107 m / s ，電子獲得動能高達570eV
與1140eV ，遠高於物質對電子的束縛
能，因此電子可視為自由電子來進行彈性
碰撞，而非以光電效應討論之。
肆、結語
康普頓效應，最常討論的問題為：
散射光子的波長、頻率、動量與
能量。
碰撞後電子的動量、動能與角度。
碰撞後電子的物質波波長。
相信學習科學是建立在好奇心與充
分的理解之上。對多數中等學生而言，近
代物理是難以捉模理解的一門學問。而康
卜頓效更不該僅流於考題公式的運用與計
算，希望有能力的學生，能閱讀理解此文，
將對康普頓效應、光電效應與近代物理理
論能有更深一層的理解。
參考資料
Physics: Principles and Problems, Paul W
Zitzewitz, McGraw-Hill Education
Co. (1999)
王正行 (2002)，近代物理學，北京大學出
版社。
Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J.
(2005), Fundamentals of Physics
(7th Edition, Extended), New York:
John Wiley & Sons, Inc..
褚德三 (2008)，普通高級中學 選修物理
(下)，龍騰文化事業。
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