“正交曲线坐标系”的说法有点意思，不过也容易误导。这里其实是取了坐标函数u^i给出的由u^i=u^i(p)确定的超曲面经过p点的法向曲线（拉回到欧氏空间就是我们平常xyz坐标下的坐标轴）。这个时候应该还没有度量吧，所以不会有内积和正交的概念。
当给出y的一个等价关系y～y'时，Γp由此也形成了一个线性空间，这时〈，〉很明显就是一个内积。后面的共轭变换和量子力学算符的共轭转置是一样的，这里是线性空间间的线性变换。
"你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一，所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释？
另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的，所以“在微分几何中，生成元对应Killing矢量”是有背景条件的，补充一下下，(*^__^*) 嘻嘻……
这里之所以有Killing矢量对应生成元，是因为Lorentz群就是一种等度规群。
另外，怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到？"
http://fxkz.net/thread-5861-1.html
wolfking97:
通常我们把这个叫做配对，不叫内积。内积是同一个线性空间中两个矢量的一种乘积，上面的<,>是对偶空间中的元素（也叫线性泛函）在空间上的作用。
商集和就是某个等价关系的全体，可以选取等价类的代表元素来表示他，当然附加某些结构，就成为商环，商群，商空间
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rnzjh:
事实上，商群、商空间利用的是一种特殊的等价关系——同余关系，同余关系可诱导出商集上的运算，并且原**到商集的映射是同态映射,同态映射就是保持运算关系的满射,需要注意的是，在这里不会是单射。
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rnzjh:
可以说，如果彻底理解了什么是同余关系，就具有了理解数学所需的一半基础。另一半是拓扑性质。
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擦 直接死掉了~~~~~~~~~~~~~~ 不过脚着好像跟向量空间和它的对偶空间的对偶空间有关系
看不下去。。。符号的悲剧。。。
帖子貌似要沉了。我这里补充几句解释一下几个概念。
先说等价关系，等价关系就是集上定义的具有自反性，对称性，传递性这三中性质的集的一个分类（或者说剖分）。举个例子比如今天去班里上课的学生，他们可能各有不同，但你总能找到一个关系把他们分类。把他们按衣服颜色分类，蓝色的一类，红色的一类等等。很明显衣服的a同学与自身衣服颜色相同，具有自反性。同学b和同学c颜色相同，则同学c与同学b颜色相同，具有对称性。a与b颜色相同，b与c相同，则a与c相同，具有传递性。再定义一个关系如血缘关系，很明显这不是一个等价关系，比如你和你的父母有共同祖先，但这个关系不能由你传递给你的父母，你的父母本来祖先就不同。等价关系将**分成了两两不相交的**，按等价关系两**要么相等要么不相交，这些**的并等于原**。商集和就是某个等价关系的全体，可以选取等价类的代表元素来表示他，当然附加某些结构，就成为商环，商群，商空间等等。
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rnzjh:
事实上，商群、商空间利用的是一种特殊的等价关系——同余关系，同余关系可诱导出商集上的运算，并且原**到商集的映射是同态映射,同态映射就是保持运算关系的满射,需要注意的是，在这里不会是单射。
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rnzjh:
可以说，如果彻底理解了什么是同余关系，就具有了理解数学所需的一半基础。另一半是拓扑性质。
这个p点开领域的光滑函数的全体无法构成线性空间，因为f（p）＝g（p）＝0的函数无限多，不唯一，不满足构成线性空间的条件，所以按上面的等价关系形成的商空间函数牙就是选取了值为0的等价类中的一个函数作为唯一的零元。
Hp是Fp的字空间，Fp中元素v1－v2如果属于Hp，就令v1＝v2，这是也是一个等价关系，确定了Fp的一个分类。这个关系下商空间Fp/HP仍是线性空间。
这里的一个写在两个函数中间的类似句号的符号，是函数复合符号满足结合律和分配律，但不满**换律。f。g（）意思就是f（g（t）），f。g＝f。h。h^（－1）。g，如果h。h^（－1）是连续函数。
定理2.2系1性质3 的证明，设g和G，这样按套路算可以得到，不要直接微分，现在没告诉你df是微分。
当给出y的一个等价关系y～y'时，Γp由此也形成了一个线性空间，这时〈，〉很明显就是一个内积。后面的共轭变换和量子力学算符的共轭转置是一样的，这里是线性空间间的线性变换。
一般定义切空间都是用我们比较熟悉的坐标系定义的，然后再证明切空间不依赖坐标系的选择。陈书这里直接从流形上的标量函数这个无关坐标系的概念出发，得到余切空间，切空间，好处是直接说明这些概念是流形内隐的，具有所谓数学的纯粹性。不好的是对非数学专业的或初学人士显得抽象，因为要用到**等价类，商**等这样一些抽象代数的概念。
这才是正常的引进切矢量的方式吧？而且＜＞运算其实和量子力学的内积区别还蛮大的，切矢和微分形式的配对更像超对称。
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学分析力学的时候，有这么几个概念：切丛、切空间、余切丛和余切空间。
前两者好理解，后两者就不好理解了。
后两者是不是抽象的概念？有几何意义吗？ |
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| differential form生活在cotangent space里。 |
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Essentially, all models are wrong, but some are useful. // In the long run, we are all dead.
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回复 2# 的帖子
谢谢博兄！
不过还是没明白过来，你说的是“微分形式生活在余切空间里”吗？
这和我的问题有联系吗？ |
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回复 1# 的帖子
凭借记忆回答两句，不一定准确
切矢量的对偶矢量是余切矢量。
把矢量映射为一个数值，得定义内积和对偶矢量。内积是矢量与对偶矢量之间的运算。如果矢量空间与对偶矢量空间等同，那么内积就是矢量与矢量之间的内积。量子力学中的<φ|与|ψ>，就是互为对偶的矢量；用矩阵表达矢量时，列矩阵与行矩阵，就是矢量与对偶矢量。在微分几何中，可以用对坐标的偏微分符号表示切矢量空间的基矢(如d/dy)，可用来展开逆变矢量；而坐标的微分（如dx），则可表示对偶的切矢量空间——即余切矢量空间中的基矢，可用来展开协变矢量。二者之间的内积，如(d/dy, dx)=dx/dy=1 (x=y) 或0 (x≠y).
流形上某一点的切矢量的集合可构成该点的切空间，相应地，该点处的余切矢量集合可构成该点的余切空间。流形上所有点的切空间集合构成切丛（此时流形被称之为底空间）；同理，流形上各点的余切空间集合，构成余切丛。可见，切丛对应切空间与底空间的乘积空间（还是应该说成是直和空间？请其他人补充吧）；余切丛类推。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-9-19 21:05 编辑 ] |
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切空间里面的向量描述过这点的一条无穷短的曲线，余切空间里面的向量描述这点附近无穷小的范围内定义的函数。两者的对偶就是“函数”沿着这个“曲线”切方向的导数。
原帖由 duality 于 2011-9-19 01:18 发表 
学分析力学的时候，有这么几个概念：切丛、切空间、余切丛和余切空间。
前两者好理解，后两者就不好理解了。
后两者是不是抽象的概念？有几何意义吗？ ...
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回复 6# 的帖子
为了好理解，最好都采用坐标基：既然余切空间中的基矢用dx1和dx2表示，那么切空间中的基矢，相应地为d/dx1和d/dx2。在这里，我同d/dx表示关于x的偏微分。
不过，楼主如果不具备相关的一些基础知识，前面的回复对楼主而言可能就用处不大 |
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几何
一个皮球，上面一点的切面就是其"切空间"。即通过这点的球面上的各曲线所有切线所构成的空间。
上述切空间是平面，但对超过三维的超球体，切空间就可超过二维了。
切空间有基矢，建立坐标系（坐标架）。 如果这些基矢都是正交的，那么"余切空间"与切空间就没有区别。
如果切空间各基矢是斜交的，那么余切空间与切空间就有区别了：
切空间是逆变基矢表示，余切空间是协变基矢表示。几何上，通过切空间建立余切空间的图示如下，要点是将斜交的基矢逐个变为正交的新基矢，虽然最终得到的仍然是斜交的新基矢组，但新基矢组已经够成余切空间：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0100id3c.html
[ 本帖最后由 abada 于 2011-9-21 09:29 编辑 ] |
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回复 8# 的帖子
你这种对余切空间的理解是不对的。
余切空间是切空间的对偶空间，即切空间上线性函数构成的线性空间。这是两个不同的空间，而你那里只有一个空间。
如果线性空间中还附加了内积这种代数结构，那么，在某种意义上，原线性空间本身可以视为其对偶空间，即矢量和其对偶矢量可认为生活在同一个空间里。但此时要注意：与某个矢量对偶的矢量是依赖于内积的定义的。内积定义不同，其对偶矢量不同。
以前是有相关讨论的。 |
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 终于有我喜欢的说法了。blackhole版主的这个讲法就是我以前读书时的东西。 |
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食不厌精，脍不厌细；生我之门，死我之户。
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与你所说哪点不对？
注意图中两个空间：一个是逆变基矢e_1, e_2 和 e_3张成的空间（切空间），另一个是协变基矢e^1, e^2 和 e^3张成的空间（余切空间）。
看图中，两空间的对偶关系：
e^1与e_2 和 e_3的内积都为0 （正交）， e^1与e_1的内积为1.
同理，e^2与e_1 和 e_3的内积都为0 （正交）， e^2与e_2的内积为1.
e^3与e_2 和 e_1的内积都为0 （正交）， e^3与e_3的内积为1.
总之，当逆变基矢与协变基矢的附标相同时内积为1， 附标不同时内积为0（正交）. 也就是δ.
（内积图示出来就是投影。内积为0就是正交；内积为1并非重合，因为度量系数不一定为1）
[ 本帖最后由 abada 于 2011-9-23 16:48 编辑 ] |
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回复 11# 的帖子
| 等你学过一点微分几何了，你就知道你为何错了。在这之前，别人怎么讲解都没有用 |
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回复 12# 的帖子
那些复杂抽象的概念，历史上原本就起源于能直观看到的几何的不断推广。比如，图示只能是最简单的三维，多维只要推广一下即可，几何图示只能拿三维画。对偶空间图示只能画在一个空间里。
回到简单的情景图示，才可显示其本源以便直观理解。
这些概念最初都来源于仿射几何，根据我图示的内容：
1、切空间就是逆变基矢张成的空间，余切空间就是协变基矢张成的空间。
2、各逆变基矢之间的关系（投影）是逆变度量系数，各协变基矢之间的关系（投影）是协变度量系数。(统称为度规。)
3、逆变矢量与协变矢量可做对偶内积(对偶投影)。 逆变基矢与协变基矢的关系是对偶内积(投影)为δ. （克罗内克尔符号。附标相同时为1，附标不同时为0).
4、投影为0，可图示为正交；否则示为斜交。
[ 本帖最后由 abada 于 2011-9-24 06:59 编辑 ] |
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| 仿射几何，投影几何，解析几何 --------->>>微分几何 |
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原帖由 abada 于 2011-9-23 16:33 发表 ![]()
与你所说哪点不对？
注意图中两个空间：一个是逆变基矢e_1, e_2 和 e_3张成的空间（切空间），另一个是协变基矢e^1, e^2 和 e^3张成的空间（余切空间）。
看图中，两空间的对偶关系：
e^1与e_2 和 e_3的内积都为0 （正交）， e^1与e_1的 ...
读起来的确有些怪异。你用e_i表示切空间的一组基，e^j表示余切空间的一组基，e_i和e^j有一个配对（或者说e^j可以作用在e_i上），进而可以得到一个数，这个最好不要用内积这个词吧。内积（或者说度量）一般都是指从\times T_p(M)$ "$T_p(M)\times T_p(M)$") 到R的。 |
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| 《李群》（邵丹，邵亮等著）Page.28页，把这种配对关系就叫“对偶内积”。 |
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这个说法太少的人使用了，大概好多人会和内积混淆。
不需要有度规（度量，内积），一个有限维现性空间的任意一组基可以决定对偶空间的一组对偶基。
原帖由 abada 于 2011-9-23 16:10 发表 ![]()
《李群》（邵丹，邵亮等著）Page.28页，把这种配对关系就叫“对偶内积”。
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在有些情形下，对偶空间与原空间同构，此时可以把对偶空间与原空间当做是同一个空间，例如量子力学中的Hilbert空间常常如此，但是在概念上对偶空间与原空间仍然是不同的。
在闵可夫斯基时空，当用虚数描述时间时，协变矢量与逆变矢量之间的区别消失，此时矢量没有逆变与协变之分。但在四维时空的黎曼流形中，切空间与余切空间就不能等同。在坐标变换下，切空间中的逆变矢量与余切空间中的协变矢量，变换规律是不同的。从物理学的意义上举一个例子：测地线上某一点处的切矢量，是该点切空间中的矢量（四速度矢量）；而该点处的四动量矢量，是该点余切空间中的矢量。你不能说，速度空间与动量空间是同一个空间。 |
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这或许需要说明一下。诸如画三维，并非仅限于三维，而是可以推广到多维。
画中貌似同一个空间，其实可以像平行宇宙。
逆变矢量只能生活于逆变基矢张成的切空间中，协变矢量只能存在于协变基矢张成的余切空间里。
换言之，一个矢量要么是逆变矢量，要么是协变矢量；前者只能用逆变基矢分解，后者只能用协变基矢分解。
但两个空间（平行宇宙）并非没有联系。分别自两空间的两矢量可做投影（对偶内积），不同空间的两基矢的对偶内积（投影）是克罗内克尔符号----可图示为两空间异附标基矢的正交性。
（同一个空间中的两基矢做投影并非对偶投影，而是可得到度量系数（度规）。
[ 本帖最后由 abada 于 2011-9-24 13:50 编辑 ] |
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回复 11# 的帖子
我知道你是什么意思，固体物理里面的倒易矢就如此。
切空间和余切空间（或线性空间和其对偶空间）首先是两个不同的空间，没有一个元素既属于原空间，又属于其对偶空间。在你那里，这两个空间是重合的。
实际上，这一套用于初步熟悉上下指标还是合适的（我最开始就是从这个入手的），但仅止于此。 |
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