用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量

用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量

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（个人心得）量子力学与微分几何 [复制链接]

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	电梯直达 1# 发表于 2010-12-12 19:22:43 | 只看该作者 |倒序浏览 |阅读模式 在解析几何中，基矢都是人为地给出一组正交归一完备的符号组来表达。我觉得微分几何最奇妙的地方，是给了矢量的基矢（或余矢量的对偶基）以最自然的表达，即用对坐标的导数或者微分来表示基矢（下面统称之为“坐标基”），在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”。协变张量和逆变张量，都可以用这些坐标基的张量积所构成的张量基来进行展开。 量子力学中的力学量算符，都看作是生成元——注意在算符化经典力学中的色散关系以获得量子力学方程时，能量E这个符号，算符化时直接换成时间平移生成元而不是哈密顿算符，只是它等于哈密顿算符而已，而哈密顿算符则是把其中的动量换成空间平移生成元而得到。在微分几何中，生成元对应Killing矢量。以时空流形为例，Killing矢量与量子场论中Lorentz群的生成元对应。 这么一来，微分几何为量子力学中为何要把经典力学量换成算符，提供了一个很自然的解释，微分几何中，用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量（只相差一个常数乘性因子）。 这样一来，从微分几何的观点来看，力学量原本就应该存在力学量算符的表达。 [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-12 19:32 编辑 ] 相关帖子 德谟克利特的原子论和柏拉图的几何化 描述转动的基本数学（量子力学学前必备） 图解幺正变换法则的几何直观 牛顿引力与库仑力的几何直观 快速搞懂量子力学的形式体系和核心概念的建议 保角几何（一） 量子力学中的谱测度与概率测度 《命运骰子——量子力学简史》（第六章） 《命运骰子——量子力学简史》（第十四章） 从量子力学到佛学，7年之熵 帖子展示 [茶室] 韩寒与方舟子，这事儿不简单 [茶室] 前《出师表》原文与白话版 [雕龙苑] 海子20年祭：十余亲朋回忆最真实海子形象 [茶室] 韩寒：保住非法字符 [茶室] 一入洞门深似海 [茶室] 大家谨防最新骗术 [尚书房] 最近开始看《走向共和》 [观星楼] （YC）Planck标度之我见
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mengzhu mengzhu 当前离线 积分 0 天津市 3 主题 26 帖子 0 积分 注册会员 注册会员, 积分 0, 距离下一级还需 50 积分 积分 0 发消息	2# 发表于 2010-12-12 21:03:03 | 只看该作者 帮顶一下；不知这个版块是不是不受高手们的青睐？您的帖居然都查看30回复为0... [ 本帖最后由 mengzhu 于 2011-2-12 19:09 编辑 ]
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	3# 发表于 2010-12-13 11:51:25 | 只看该作者 我还是移到这栋楼里面，因为内容不属于本科内容
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henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	4# 发表于 2010-12-13 18:50:24 | 只看该作者 你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一，所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释？ 另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的，所以“在微分几何中，生成元对应Killing矢量”是有背景条件的，补充一下下，(*^__^*) 嘻嘻…… 这里之所以有Killing矢量对应生成元，是因为Lorentz群就是一种等度规群。 另外，怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到？
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	5# 发表于 2010-12-13 19:31:59 | 只看该作者 回复 4# 的帖子 你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map， ----------------------------------------------- 在这里，vector的定义不依赖于它所作用的对象，它不仅可以作用于标量函数，同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中，为了表达矢量，从研究“方向导数”入手来定义矢量的，这才发现可以用“坐标基”作为流形上切空间的基矢。我编辑公式不方便，因此无法用数学公式说明。 Killing矢量的定义，原本就是“如果度规沿某矢量的李导数为零，那么该矢量就被称之为Killing矢量”。到目前为止，我还没有看到不对应生成元的Killing矢量。某空间流形中，存在多少个对称的李群变换，就有多少个李群的生成元(当然这里不谈及相同的生成元可以生成不同的群的情形)，也存在多少个Killing矢量场。 我一直想了解几何量子化，但是数学基础一直不够，后来觉得几何量子化有点大炮打蚊子，且似乎看不到有什么优势和前途，就失去想了解的兴趣了。 [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:00 编辑 ]
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henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	6# 发表于 2010-12-13 19:52:14 | 只看该作者 回复 5# 的帖子 就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。 那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。 关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	7# 发表于 2010-12-13 20:10:55 | 只看该作者 回复 6# 的帖子 我这里谈到的“作用”，是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时，一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。 对任一个张量T，把矢量v写在它的左边，得到vT=v(T)，就相当于对T求沿曲线C的方向导数，其中曲线C是矢量v的积分曲线。
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	8# 发表于 2010-12-13 20:14:03 | 只看该作者 关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？ ---------------------------------------------------------------------- 考虑SU(n)群的群流形，这个群流形上的Killing矢量，可能就对应该群的生成元 关于这一点，有待这里的数学高手落实一下
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henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	9# 发表于 2010-12-13 20:35:33 | 只看该作者 回复 8# 的帖子 其实在紧致群流型中，有类似度规的东东，Killing form吧～ 这个有形成Killing矢量场吗？ 望季候风等老师指教一下下~~
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	10# 发表于 2010-12-13 20:43:09 | 只看该作者 Killing form就是协变的Killing矢量 如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场
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henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	11# 发表于 2010-12-13 20:55:45 | 只看该作者 回复 10# 的帖子 Killing矢量场的几何意义应该还是等度规对称性，还是必须和度规联系起来。不管采用Lie 导数还是其他什么，怎么样都脱离不了背后的度规。要让“Killing矢量在每一点都有定义“，首先就要让Killing矢量有定义，而对于SU（n）这样的流型，构造出“度规”却需要依赖于某个特定的表示，adjoint 表示吧～，说这么多，还是想说，要推广时空流型意义下的Killing矢量场，还是必须在流型上整出一个指标对称且不退化的“张量”来。
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	12# 发表于 2010-12-14 00:53:08 | 只看该作者 回复 11# 的帖子 “度规”这个概念，有N多种不同的理解方式，也许你对“度规”这个概念理解得有些狭隘了 最简单的理解，把一对矢量取内积，会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式，一种是用张量的分量来表示张量，一种是用张量基的展开方式来表示，若采用后者，度规跟流形上曲线的线元平方等价；若采用前者，度规张量的ij逆变分量， 相当于第i个基矢与第j个基矢的内积，度规张量的ij协变分量，相当于第i个对偶基矢与第j个对偶基矢之间的内积。 [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 09:15 编辑 ]
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小杰 小杰 当前离线 积分 52 Taipei 80 主题 653 帖子 52 积分 中级会员 积分 52 发消息	13# 发表于 2010-12-14 02:28:15 | 只看该作者 回复 1# 的帖子 很有趣的觀點。
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小杰 小杰 当前离线 积分 52 Taipei 80 主题 653 帖子 52 积分 中级会员 积分 52 发消息	14# 发表于 2010-12-14 02:35:54 | 只看该作者 回复 5# 的帖子 最後一段怎說呢？ 幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？
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季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	15# 发表于 2010-12-14 03:10:14 | 只看该作者 回复 1# 的帖子 动量表示为对坐标的微分算子正是几何量子化在平凡相空间 这种特殊情形的体现。 或者说，几何量子化正是试图把这种表示推广到拓扑非平凡的相空间。而Hamiltonian并不直接是几何量子化的结果，薛定谔方程是 “运动方程” ，是经典 Hamilton 方程在几何量子化框架下的体现，而非 “对称性”。 严格来说，在平凡相空间上，多元微积分和常微分方程（等价于矢量场）就解决了问题，不需要微分几何的概念（最多用到微分形式的概念）。所以你说的这些仍然是海森堡狄拉克的本意。 在拓扑非平凡的相空间上，需要引进诸如度规、Killing 向量场这样的概念，然而，其量子力学要复杂得多，几乎不可能具有像坐标表示这样简单的形式。
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季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	16# 发表于 2010-12-14 03:12:50 | 只看该作者 原帖由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:43 发表 Killing form就是协变的Killing矢量 如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场 Killing form 和 Killing vector field 是两种东西
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季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	17# 发表于 2010-12-14 03:24:20 | 只看该作者 原帖由 henring 于 2010-12-13 19:52 发表 回复 5# 的帖子 就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。 那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。 vector 通过李导数作用于张量场。 关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？ [/quote] 对。但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？ 在量子力学情形（有限自由度）仅此而已。 而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 ”守恒流“ （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧
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季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	18# 发表于 2010-12-14 03:28:40 | 只看该作者 原帖由 小杰 于 2010-12-14 02:35 发表 最後一段怎說呢？ 幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？ 几何量子化暂时还无法将 field theory、Feynman rule、amplitude 以及 renormalization 纳入其框架
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星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	19# 发表于 2010-12-14 09:20:48 | 只看该作者 回复 15# 的帖子 谢谢季兄讲解 另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。 矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场在某一时空点处的电场强度矢量一样，是两个概念。
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一直想思考 一直想思考 当前离线 积分 10 北京市 52 主题 1273 帖子 10 积分 注册会员 积分 10 发消息	20# 发表于 2010-12-14 09:21:37 | 只看该作者 回复 15# 的帖子 大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象.. -------------------------------------------------------------------------- 在拓扑非平凡的相空间上 -------------------- ：：至少可以路径积分定义量子化吧。
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