Wednesday, September 25, 2013

展开逆变矢量时所用的坐标基,是用空间坐标表达的梯度算符,这时候你把这个矢量写在某个量A的左边,就相当于对A求梯度,这就是我说的“矢量对A的作用”。

展开逆变矢量时所用的坐标基,是用空间坐标表达的梯度算符,这时候你把这个矢量写在某个量A的左边,就相当于对A求梯度,这就是我说的“矢量对A的作用”。





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(个人心得)量子力学与微分几何

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发表于 2010-12-12 19:22:43 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
在解析几何中,基矢都是人为地给出一组正交归一完备的符号组来表达。我觉得微分几何最奇妙的地方,是给了矢量的基矢(或余矢量的对偶基)以最自然的表达,即用对坐标的导数或者微分来表示基矢(下面统称之为“坐标基”),在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”。协变张量和逆变张量,都可以用这些坐标基的张量积所构成的张量基来进行展开。

量子力学中的力学量算符,都看作是生成元——注意在算符化经典力学中的色散关系以获得量子力学方程时,能量E这个符号,算符化时直接换成时间平移生成元而不是哈密顿算符,只是它等于哈密顿算符而已,而哈密顿算符则是把其中的动量换成空间平移生成元而得到。在微分几何中,生成元对应Killing矢量。以时空流形为例,Killing矢量与量子场论中Lorentz群的生成元对应。

这么一来,微分几何为量子力学中为何要把经典力学量换成算符,提供了一个很自然的解释,微分几何中,用坐标基来展开切矢量和余切矢量(以下统称为矢量),使得矢量成为算符。例如,标量函数f沿矢量v的方向导数,可以直接写成矢量v作用于f的形式:v(f)。动量是协变矢量(对应1形式),因此将动量用对偶的坐标基展开时,其分量正是量子力学中动量算符的对应分量(只相差一个常数乘性因子)。

这样一来,从微分几何的观点来看,力学量原本就应该存在力学量算符的表达。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-12 19:32 编辑 ]

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发表于 2010-12-12 21:03:03 | 只看该作者
帮顶一下;不知这个版块是不是不受高手们的青睐?您的帖居然都查看30回复为0...

[ 本帖最后由 mengzhu 于 2011-2-12 19:09 编辑 ]
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发表于 2010-12-13 11:51:25 | 只看该作者
我还是移到这栋楼里面,因为内容不属于本科内容
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发表于 2010-12-13 18:50:24 | 只看该作者
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map,这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一,所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释?

另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的,所以“在微分几何中,生成元对应Killing矢量”是有背景条件的,补充一下下,(*^__^*) 嘻嘻……
这里之所以有Killing矢量对应生成元,是因为Lorentz群就是一种等度规群。

另外,怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到?
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发表于 2010-12-13 19:31:59 | 只看该作者

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你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map,
-----------------------------------------------
在这里,vector的定义不依赖于它所作用的对象,它不仅可以作用于标量函数,同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中,为了表达矢量,从研究“方向导数”入手来定义矢量的,这才发现可以用“坐标基”作为流形上切空间的基矢。我编辑公式不方便,因此无法用数学公式说明。

Killing矢量的定义,原本就是“如果度规沿某矢量的李导数为零,那么该矢量就被称之为Killing矢量”。到目前为止,我还没有看到不对应生成元的Killing矢量。某空间流形中,存在多少个对称的李群变换,就有多少个李群的生成元(当然这里不谈及相同的生成元可以生成不同的群的情形),也存在多少个Killing矢量场。

我一直想了解几何量子化,但是数学基础一直不够,后来觉得几何量子化有点大炮打蚊子,且似乎看不到有什么优势和前途,就失去想了解的兴趣了。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:00 编辑 ]
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发表于 2010-12-13 19:52:14 | 只看该作者

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就目前的语境,我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map,如果是应该只作用于标量函数吧?当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量,那这个作用具体怎么操作?张量积?如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧?这个依然满足Leibnitz律,并且作用于标量函数---其实是0-form。

关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群,这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧?
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发表于 2010-12-13 20:10:55 | 只看该作者

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我这里谈到的“作用”,是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时,一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基,是用空间坐标表达的梯度算符,这时候你把这个矢量写在某个量A的左边,就相当于对A求梯度,这就是我说的“矢量对A的作用”。

对任一个张量T,把矢量v写在它的左边,得到vT=v(T),就相当于对T求沿曲线C的方向导数,其中曲线C是矢量v的积分曲线。
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发表于 2010-12-13 20:14:03 | 只看该作者
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群,这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧?
----------------------------------------------------------------------
考虑SU(n)群的群流形,这个群流形上的Killing矢量,可能就对应该群的生成元
关于这一点,有待这里的数学高手落实一下
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发表于 2010-12-13 20:35:33 | 只看该作者

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其实在紧致群流型中,有类似度规的东东,Killing form吧~ 这个有形成Killing矢量场吗?

望季候风等老师指教一下下~~
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发表于 2010-12-13 20:43:09 | 只看该作者
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上,Killing矢量在每一点都有定义,那么每一点处的Killing矢量集合,就构成该流形上的Killing矢量场
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发表于 2010-12-13 20:55:45 | 只看该作者

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Killing矢量场的几何意义应该还是等度规对称性,还是必须和度规联系起来。不管采用Lie 导数还是其他什么,怎么样都脱离不了背后的度规。要让“Killing矢量在每一点都有定义“,首先就要让Killing矢量有定义,而对于SU(n)这样的流型,构造出“度规”却需要依赖于某个特定的表示,adjoint 表示吧~,说这么多,还是想说,要推广时空流型意义下的Killing矢量场,还是必须在流型上整出一个指标对称且不退化的“张量”来。
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发表于 2010-12-14 00:53:08 | 只看该作者

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“度规”这个概念,有N多种不同的理解方式,也许你对“度规”这个概念理解得有些狭隘了

最简单的理解,把一对矢量取内积,会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式,一种是用张量的分量来表示张量,一种是用张量基的展开方式来表示,若采用后者,度规跟流形上曲线的线元平方等价;若采用前者,度规张量的ij逆变分量, 相当于第i个基矢与第j个基矢的内积,度规张量的ij协变分量,相当于第i个对偶基矢与第j个对偶基矢之间的内积。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 09:15 编辑 ]
台湾 Taipei
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发表于 2010-12-14 02:28:15 | 只看该作者

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很有趣的觀點。
台湾 Taipei
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发表于 2010-12-14 02:35:54 | 只看该作者

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最後一段怎說呢?

幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎?
美国 Bellmore
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发表于 2010-12-14 03:10:14 | 只看该作者

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动量表示为对坐标的微分算子正是几何量子化在平凡相空间 这种特殊情形的体现。
或者说,几何量子化正是试图把这种表示推广到拓扑非平凡的相空间。而Hamiltonian并不直接是几何量子化的结果,薛定谔方程是 “运动方程” ,是经典 Hamilton 方程在几何量子化框架下的体现,而非 “对称性”。

严格来说,在平凡相空间上,多元微积分和常微分方程(等价于矢量场)就解决了问题,不需要微分几何的概念(最多用到微分形式的概念)。所以你说的这些仍然是海森堡狄拉克的本意。

在拓扑非平凡的相空间上,需要引进诸如度规、Killing 向量场这样的概念,然而,其量子力学要复杂得多,几乎不可能具有像坐标表示这样简单的形式。
美国 Bellmore
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16#
发表于 2010-12-14 03:12:50 | 只看该作者
原帖由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:43 发表
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上,Killing矢量在每一点都有定义,那么每一点处的Killing矢量集合,就构成该流形上的Killing矢量场


Killing form 和 Killing vector field 是两种东西
美国 Bellmore
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17#
发表于 2010-12-14 03:24:20 | 只看该作者
原帖由 henring 于 2010-12-13 19:52 发表
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就目前的语境,我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map,如果是应该只作用于标量函数吧?当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量,那这个作用具体怎么操作?张量积?如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧?这个依然满足Leibnitz律,并且作用于标量函数---其实是0-form。


vector 通过李导数作用于张量场。

关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群,这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧?


[/quote]

对。但是更好的说法是,内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场,更何谈 Killing 矢量?
在量子力学情形(有限自由度)仅此而已。
而在场论情形,由于 Noether 定理,内部对称性的 ”守恒流“ (而不是生成元)的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场,就作为练习吧
美国 Bellmore
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发表于 2010-12-14 03:28:40 | 只看该作者
原帖由 小杰 于 2010-12-14 02:35 发表
最後一段怎說呢?

幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎?


几何量子化暂时还无法将 field theory、Feynman rule、amplitude 以及 renormalization 纳入其框架
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发表于 2010-12-14 09:20:48 | 只看该作者

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谢谢季兄讲解

另:我在10楼的帖子,没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量,所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念,正如电磁场与电磁场在某一时空点处的电场强度矢量一样,是两个概念。
中国 北京市
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20#
发表于 2010-12-14 09:21:37 | 只看该作者

回复 15# 的帖子

大概都在谈辛几何吧?这一点引入好像没看到什么量子化迹象..

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在拓扑非平凡的相空间上
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::至少可以路径积分定义量子化吧。
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