展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。

展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。

设为首页收藏本站切换到宽版

登录 | 注册 腾讯QQ 微博登录

请 登录 后使用快捷导航
没有帐号？立即注册

快捷导航

• 论坛BBS

帖子

• 本版
• 帖子
• 用户

繁星客栈【中国水准最高的综合性学术论坛】»论坛 › 学术论坛 › 观星楼 › （个人心得）量子力学与微分几何

123 / 3 页下一页

返回列表

查看: 4884|回复: 43

（个人心得）量子力学与微分几何 [复制链接]

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	电梯直达 1# 发表于 2010-12-12 19:22:43 | 只看该作者 |倒序浏览 |阅读模式 在解析几何中，基矢都是人为地给出一组正交归一完备的符号组来表达。我觉得微分几何最奇妙的地方，是给了矢量的基矢（或余矢量的对偶基）以最自然的表达，即用对坐标的导数或者微分来表示基矢（下面统称之为“坐标基”），在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”。协变张量和逆变张量，都可以用这些坐标基的张量积所构成的张量基来进行展开。 量子力学中的力学量算符，都看作是生成元——注意在算符化经典力学中的色散关系以获得量子力学方程时，能量E这个符号，算符化时直接换成时间平移生成元而不是哈密顿算符，只是它等于哈密顿算符而已，而哈密顿算符则是把其中的动量换成空间平移生成元而得到。在微分几何中，生成元对应Killing矢量。以时空流形为例，Killing矢量与量子场论中Lorentz群的生成元对应。 这么一来，微分几何为量子力学中为何要把经典力学量换成算符，提供了一个很自然的解释，微分几何中，用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量（只相差一个常数乘性因子）。 这样一来，从微分几何的观点来看，力学量原本就应该存在力学量算符的表达。 [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-12 19:32 编辑 ] 相关帖子 德谟克利特的原子论和柏拉图的几何化 描述转动的基本数学（量子力学学前必备） 图解幺正变换法则的几何直观 牛顿引力与库仑力的几何直观 快速搞懂量子力学的形式体系和核心概念的建议 保角几何（一） 量子力学中的谱测度与概率测度 《命运骰子——量子力学简史》（第六章） 《命运骰子——量子力学简史》（第十四章） 从量子力学到佛学，7年之熵 帖子展示 [茶室] 韩寒与方舟子，这事儿不简单 [茶室] 前《出师表》原文与白话版 [雕龙苑] 海子20年祭：十余亲朋回忆最真实海子形象 [茶室] 韩寒：保住非法字符 [茶室] 一入洞门深似海 [茶室] 大家谨防最新骗术 [尚书房] 最近开始看《走向共和》 [观星楼] （YC）Planck标度之我见
	分享到:  QQ好友和群 QQ空间 腾讯微博 腾讯朋友 收藏1
	回复 举报

mengzhu mengzhu 当前离线 积分 0 天津市 3 主题 26 帖子 0 积分 注册会员 注册会员, 积分 0, 距离下一级还需 50 积分 积分 0 发消息	2# 发表于 2010-12-12 21:03:03 | 只看该作者 帮顶一下；不知这个版块是不是不受高手们的青睐？您的帖居然都查看30回复为0... [ 本帖最后由 mengzhu 于 2011-2-12 19:09 编辑 ]
	回复 支持 反对 举报

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	3# 发表于 2010-12-13 11:51:25 | 只看该作者 我还是移到这栋楼里面，因为内容不属于本科内容
	回复 支持 反对 举报

henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	4# 发表于 2010-12-13 18:50:24 | 只看该作者 你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一，所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释？ 另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的，所以“在微分几何中，生成元对应Killing矢量”是有背景条件的，补充一下下，(*^__^*) 嘻嘻…… 这里之所以有Killing矢量对应生成元，是因为Lorentz群就是一种等度规群。 另外，怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到？
	回复 支持 反对 举报

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	5# 发表于 2010-12-13 19:31:59 | 只看该作者 回复 4# 的帖子 你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map， ----------------------------------------------- 在这里，vector的定义不依赖于它所作用的对象，它不仅可以作用于标量函数，同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中，为了表达矢量，从研究“方向导数”入手来定义矢量的，这才发现可以用“坐标基”作为流形上切空间的基矢。我编辑公式不方便，因此无法用数学公式说明。 Killing矢量的定义，原本就是“如果度规沿某矢量的李导数为零，那么该矢量就被称之为Killing矢量”。到目前为止，我还没有看到不对应生成元的Killing矢量。某空间流形中，存在多少个对称的李群变换，就有多少个李群的生成元(当然这里不谈及相同的生成元可以生成不同的群的情形)，也存在多少个Killing矢量场。 我一直想了解几何量子化，但是数学基础一直不够，后来觉得几何量子化有点大炮打蚊子，且似乎看不到有什么优势和前途，就失去想了解的兴趣了。 [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:00 编辑 ]
	回复 支持 反对 举报

henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	6# 发表于 2010-12-13 19:52:14 | 只看该作者 回复 5# 的帖子 就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。 那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。 关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？
	回复 支持 反对 举报

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	7# 发表于 2010-12-13 20:10:55 | 只看该作者 回复 6# 的帖子 我这里谈到的“作用”，是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时，一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。 对任一个张量T，把矢量v写在它的左边，得到vT=v(T)，就相当于对T求沿曲线C的方向导数，其中曲线C是矢量v的积分曲线。
	回复 支持 反对 举报

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	8# 发表于 2010-12-13 20:14:03 | 只看该作者 关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？ ---------------------------------------------------------------------- 考虑SU(n)群的群流形，这个群流形上的Killing矢量，可能就对应该群的生成元 关于这一点，有待这里的数学高手落实一下
	回复 支持 反对 举报

henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	9# 发表于 2010-12-13 20:35:33 | 只看该作者 回复 8# 的帖子 其实在紧致群流型中，有类似度规的东东，Killing form吧～ 这个有形成Killing矢量场吗？ 望季候风等老师指教一下下~~
	回复 支持 反对 举报

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	10# 发表于 2010-12-13 20:43:09 | 只看该作者 Killing form就是协变的Killing矢量 如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场
	回复 支持 反对 举报

henring henring 当前离线 积分 25 湖北省武汉市江夏区 71 主题 574 帖子 25 积分 注册会员 积分 25 发消息	11# 发表于 2010-12-13 20:55:45 | 只看该作者 回复 10# 的帖子 Killing矢量场的几何意义应该还是等度规对称性，还是必须和度规联系起来。不管采用Lie 导数还是其他什么，怎么样都脱离不了背后的度规。要让“Killing矢量在每一点都有定义“，首先就要让Killing矢量有定义，而对于SU（n）这样的流型，构造出“度规”却需要依赖于某个特定的表示，adjoint 表示吧～，说这么多，还是想说，要推广时空流型意义下的Killing矢量场，还是必须在流型上整出一个指标对称且不退化的“张量”来。
	回复 支持 反对 举报

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	12# 发表于 2010-12-14 00:53:08 | 只看该作者 回复 11# 的帖子 “度规”这个概念，有N多种不同的理解方式，也许你对“度规”这个概念理解得有些狭隘了 最简单的理解，把一对矢量取内积，会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式，一种是用张量的分量来表示张量，一种是用张量基的展开方式来表示，若采用后者，度规跟流形上曲线的线元平方等价；若采用前者，度规张量的ij逆变分量， 相当于第i个基矢与第j个基矢的内积，度规张量的ij协变分量，相当于第i个对偶基矢与第j个对偶基矢之间的内积。 [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 09:15 编辑 ]
	回复 支持 反对 举报

小杰 小杰 当前离线 积分 52 Taipei 80 主题 653 帖子 52 积分 中级会员 积分 52 发消息	13# 发表于 2010-12-14 02:28:15 | 只看该作者 回复 1# 的帖子 很有趣的觀點。
	回复 支持 反对 举报

小杰 小杰 当前离线 积分 52 Taipei 80 主题 653 帖子 52 积分 中级会员 积分 52 发消息	14# 发表于 2010-12-14 02:35:54 | 只看该作者 回复 5# 的帖子 最後一段怎說呢？ 幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？
	回复 支持 反对 举报

季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	15# 发表于 2010-12-14 03:10:14 | 只看该作者 回复 1# 的帖子 动量表示为对坐标的微分算子正是几何量子化在平凡相空间 这种特殊情形的体现。 或者说，几何量子化正是试图把这种表示推广到拓扑非平凡的相空间。而Hamiltonian并不直接是几何量子化的结果，薛定谔方程是 “运动方程” ，是经典 Hamilton 方程在几何量子化框架下的体现，而非 “对称性”。 严格来说，在平凡相空间上，多元微积分和常微分方程（等价于矢量场）就解决了问题，不需要微分几何的概念（最多用到微分形式的概念）。所以你说的这些仍然是海森堡狄拉克的本意。 在拓扑非平凡的相空间上，需要引进诸如度规、Killing 向量场这样的概念，然而，其量子力学要复杂得多，几乎不可能具有像坐标表示这样简单的形式。
	回复 支持 反对 举报

季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	16# 发表于 2010-12-14 03:12:50 | 只看该作者 原帖由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:43 发表 Killing form就是协变的Killing矢量 如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场 Killing form 和 Killing vector field 是两种东西
	回复 支持 反对 举报

季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	17# 发表于 2010-12-14 03:24:20 | 只看该作者 原帖由 henring 于 2010-12-13 19:52 发表 回复 5# 的帖子 就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。 那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。 vector 通过李导数作用于张量场。 关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？ [/quote] 对。但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？ 在量子力学情形（有限自由度）仅此而已。 而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 ”守恒流“ （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧
	回复 支持 反对 举报

季候风 季候风 当前离线 积分 241 Bellmore 47 主题 1326 帖子 241 积分 超级版主 积分 241 发消息	18# 发表于 2010-12-14 03:28:40 | 只看该作者 原帖由 小杰 于 2010-12-14 02:35 发表 最後一段怎說呢？ 幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？ 几何量子化暂时还无法将 field theory、Feynman rule、amplitude 以及 renormalization 纳入其框架
	回复 支持 反对 举报

星空浩淼 星空浩淼 当前离线 积分 323 四川省成都市 390 主题 3955 帖子 323 积分 超级版主 积分 323 发消息	19# 发表于 2010-12-14 09:20:48 | 只看该作者 回复 15# 的帖子 谢谢季兄讲解 另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。 矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场在某一时空点处的电场强度矢量一样，是两个概念。
	回复 支持 反对 举报

一直想思考 一直想思考 当前离线 积分 10 北京市 52 主题 1273 帖子 10 积分 注册会员 积分 10 发消息	20# 发表于 2010-12-14 09:21:37 | 只看该作者 回复 15# 的帖子 大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象.. -------------------------------------------------------------------------- 在拓扑非平凡的相空间上 -------------------- ：：至少可以路径积分定义量子化吧。
	回复 支持 反对 举报

123 / 3 页下一页

返回列表

高级模式 B Color Image Link Quote Code Smilies 您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册 本版积分规则 回帖后跳转到最后一页

С|手机版|繁星客栈   

GMT+8, 2013-9-26 04:48 , Processed in 0.088302 second(s), 11 queries , Apc On.

Powered by Discuz! X3

© 2001-2013 Comsenz Inc.

返回顶部快捷回复下一页返回列表收藏此贴