物理学中的温度是改变一个
系统的熵所需要的能量。在不同的状态下，将一个系统的熵改变一定量时所需要
的能量是不同的，而这正是系统温度的不同
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负温度：颠倒了的物理世界
作者：程鹗
小孩子玩的游戏中有一种“反了的世界”，那里一切都是反着来的：说左边
指的是右边，说对意味着错，说好则表示坏等等。这样颠倒了的世界并不仅仅是
人们的想象，它们在物理世界中也存在着。比如大家可能听说过的反物质，它与
相应的寻常物质在很多性质和行为上都是反着来的。
今年元旦刚过，德国物理学家乌尔里克·斯奈德便发布了一项新成就：实现
了处于比绝对零度还低的“负温度”状态的气体。这个结果通过新闻界报道引发
了对温度的好奇。其实，所谓的“负温度”并不是一项新发明，也不是不可思议
的极低温。恰恰相反，那可以说是非常高的温度，以至于无法用通常的温度概念
描述。这也是一个与经验相反的颠倒世界。
人类对温度的认识起始于日常生活中的体验：夏天很热、冬天很冷。日晒、
火烤等可以使物质由冷变热。热的物体又可以通过接触等方式使冷的物体变热，
同时自己变冷。温度便是物体冷热程度的一个度量。
初始的温度也就以大家熟悉的状态来衡量。我们沿用至今的摄氏温标和华氏
温标都是早在18世纪就已发明的。前者将水结冰的状态定为0度，水沸腾为100度；
后者则用水的冰点和人的体温做标度参照。这两种温标所表示的温度都只是相对
性的，其数值本身没有意义。摄氏零度以下的“负温度”只是说比水结冰的温度
还要低，在冬天很常见，并没有什么不寻常的地方。
19世纪中期，物理学家通过热力学研究逐渐认识到所谓的热其实是物质中分
子或原子的运动，热的传导便是这种热运动能量的传递，而温度便是对该能量的
度量。温度越高，分子热运动越激烈，而温度越低，热运动便趋于缓慢。由此推
论，温度不是没有下限的——可以想象，在某一个极其寒冷的低温，所有的热运
动都会停止，所有的原子分子都静止，这便是最低温度的极限，不可能存在比那
更低的温度。
1848年，英国物理学家开尔文爵士据此提出一个更为科学的温标。所谓的开
尔文温标实际上就是摄氏温标，只是重新标度了0度。开尔文温标的0度便是上述
的温度极限——也就是“绝对零度”，相当于摄氏-273.15度。因此，水的冰点
在开尔文温标中便成为273.15度，而水沸腾的温度则是开氏373.15度。
热力学研究还发现，不仅仅不存在绝对零度以下（负温度）的状态，绝对零
度本身也是无法达到的。此后发现的量子力学之测不准原理更说明原子是不可能
绝对静止，因此不可能存在处于绝对零度的系统。目前所知的最接近绝对零度的
物质是在实验室里人为创造出来的。科学家通过激光制冷手段可以将处于气体状
态的原子冷却到极低温，并因此实现玻色-爱因斯坦凝聚。2003年，麻省理工学
院的实验室将钠原子降到450pK（1pK是10的负12次方开尔文度），是现在的最低
温记录。
温度也是热平衡的标志。不同温度的物体放到一起，热的会变冷，冷的会变
热，直到它们都有着同样的温度为止。但温度不是平衡态的唯一标志。两杯温度
相同，但一杯染了红色一杯染了黄色的水接触后也会互相混合，直到颜色达到一
致（橙色）为止。不同颜色的融和过程是一种从有序走向无序的过程。混合前两
种颜色泾渭分明，混合后则一片均匀，失去了按颜色“站队”的秩序。
这两种走向平衡的过程都是所谓的“不可逆过程”。不同温度物体放一起会
自动地达到同样温度，却不可能自动地恢复一头热一头冷状态；两种颜色的液体
会自动混合，却绝不会自己回到分离的颜色情形。同样地，一杯水打翻在桌面上，
水会自然地流散开，却不会聚拢回到杯子里，这也就是常说的“覆水难收”。
为了描述这种不可逆过程，德国物理学家鲁道夫·克劳修斯在1865年提出了
一个叫做“熵”的概念。这个生僻的词在希腊文中的原意是“转变的方向”。克
劳修斯指出，一个孤立系统会自发地向熵值增加的方向演变，而相反方向的过程
必须通过外力帮忙才能实现。
后来的统计物理学研究为熵作出了更为清楚的定义：熵值描述的是系统在可
能占有的微观状态上的分布程度。如果一个系统只占有小部分的状态，比如固体
中分子只在固定的晶格点附近振动或者按照颜色站好队的水，它的熵值便比较低。
反之，流体中分子可以完全自由运动；不同颜色融合后的分子间的分布组合也大
大增加，其熵值也就比较高。
熵还为温度本身提供了一个更为严格的定义。因为热运动并不是系统唯一的
能量来源，把温度简单地看作热能的衡量并不准确。物理学中的温度是改变一个
系统的熵所需要的能量。在不同的状态下，将一个系统的熵改变一定量时所需要
的能量是不同的，而这正是系统温度的不同。
在我们日常的世界中，能量和熵的变化总是步调一致的，系统在获得能量的
同时熵会增加。物体获得能量（热量）后会膨胀，扩大状态空间，甚至从固体融
化成液体、进而蒸发为气体，这都是趋向无序的过程。反之，能量减少时熵亦会
减小。这样得出的温度数值随状态变化虽然不同，却永远是正数，也就是绝对零
度以上。
然而，在量子世界里，我们却可以遇到甚至构造出一些奇异的体系，与日常
经验不符乃至相反。在经典世界里，随着能量的增加，系统中粒子动能会越来越
大，没有止境。它们能占据的态也因此越来越多，更加无序，所以系统的熵会随
着能量增加。
而量子世界中的粒子只能占据量子化的能量态。随着能量的增加，越来越多
的粒子会进入高能量态。绝大多数的量子系统有着无止境的高能量态，粒子占据
越多的高能量态，系统的熵越高。这与经典系统没有区别。的确，量子系统在高
温条件下通常可以用经典物理描述。
但在非常特殊的情况下，人们可以设计出只存在有限能级的量子系统。在这
样的系统中，粒子所能占据的能量态有限。能量增加的结果使得越来越多的粒子
集中在最高的能级上。这样集中的结果是系统趋于有序，熵反而减少了。如果所
有的粒子都集中在最高能级上，系统会变得完全有序，熵因此变成零——与所有
粒子都集中在最低能量态的经典意义上的绝对零度情形一样，只是完全颠倒了。
因为能量增加导致熵减少，按照“改变系统的熵所需要的能量”的定义，该系统
的温度是负数！
这个意义上的负温度虽然匪夷所思，它其实是很早就被科学家认识的。它之
所以稀有，是因为它在经典物理世界中不可能存在，在量子世界中也需要非常特
殊的条件才可能。这样的负温度系统早在1951年就被物理学家在核子自旋系统中
证实了。差不多同时，科学家发明了激光。他们选择合适的材料和条件，使得其
中原子只有少数几个能级可供电子跃迁，然后输入能量将大量原子激发到其中的
高能激发态，使得处于高能量态的原子多于基态。这样的原子体系便处于负温度
状态。而这些原子步调一致地从激发态跃迁回基态时所付出的光子便成为激光束。
核自旋和激光系统都不是“纯粹”的负温度系统。它们只是在特定的自由度
（自旋和原子能级）上实现了负温度，而原子本身所处的还是平常的正温度环境。
今年德国物理学家所实现的突破便在于他们把一些经过激光制冷的原子通过调制
整体地进入了负温度状态，这些原子完全处于负温度，不再另有正温度环境。但
这样实现的状态非常不稳定，只能存活非常短暂的时间。
如果负温度系统接触到正温度系统是会发生什么样的现象？处于负温度状态
的系统是不稳定的，会自发的释放能量。激光束正是这种能量释放的表现。它们
接触到正温度系统时会自发地将能量传递给对方。正温度系统接收热量后能量和
熵都会增加，温度增高。同时负温度系统在损失能量时（如果没有外来能量补充
的话）熵也会增加，直到失去负温度状态。因此整个系统正像热力学定律所要求
的那样向熵增加的方向演变。因为这个过程中能量（热量）是从负温度一方传向
正温度一方，负温度并不比正温度更“冷”，而是比任何正温度还要“热”——
这正是一个颠倒了的物理世界。
(XYS20130113)
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熱學/流體 標題:等壓比熱與等體積比熱 1 :黃福坤 (研究所)張貼:0000-00-00 00:00:00: [回應 第篇
請稍等讓動畫完全下載。
狀態改變前會有一點時間上的延遲（因為系統必須處於平衡狀態）
此動畫中 N = nR (即 k
B = 1)。因此所得的理想氣體方程式為 PV = NT。重試 .
對一個理想的單原子氣體系統而言，內能的改變單純只跟溫度有關，即 ΔU = (3/2)nRΔT = (3/2)NΔT .
請計算上面三種情況的內能變化量。
上述三種情況所做的功各為多少？利用之前提到 W = ∫ P dV，以及壓力跟體積的關係（由許多例子可知壓力跟體積通常有關係）來計算各種情況下系統所做的功。你可以依照底下的兩種方法來處理，然後來比較你的答案。
利用圖表：我們知道作功多少等於PV圖中曲線下的面積（即動畫中的紅色區域）。首先利用圖形中的格子來估算面積大小。接著勾選底下『check to have integral calculated. 』，由電腦算出面積值（利用積分算出）。比較你的估算值以及利用電腦積分算出的數值，試著解釋兩者之間的差異有無什麼特別的意義。
分析結果（需要一點微積分技巧）：當我們加熱並維持壓力固定（等壓過程），則壓力在上述作功的積分方程式中將會是一個常數。若我們加熱並維持體積固定（等體積過程），則系統所做的功將為零，為什麼？另外如果我們加熱並維持溫度固定（等溫過程），則藉由理想氣體方程式（PV = NT）將壓力表示成體積的方程式： NT/V （其中N與T為常數）接著你便可以利用積分來處理（答案會出現自然對數）。
利用熱力學第一定律 Q = W + ΔU 來計算輸入系統的熱，並且證明在這三種情況下，所輸入的熱量都相同。
一個物質的比熱簡單講就是測量把一公克物質（或是給定一個量）升高1
o C所需要的熱。以一個氣體系統來說，要把系統的溫度升高到同一個程度所需要的熱量，常常會因為系統所處的環境不同，而得到不同的結果。例如把相同的熱量加到系統裡，過程中我選擇維持壓力固定跟我選擇體積固定，這兩種過程所得到的最後溫度將會完全不同。（對等溫過程而言，熱的確是加進去了，但溫度沒有改變）。
上述哪一種情況溫度上升最多？為什麼？
由此可知一個理想氣體的比熱如果要有意義的話，那麼它在過程中也必須要有定義：等體積過程的比熱或是等壓過程的比熱。
回到 (c) 中計算熱量的情形，針對等體積與等壓的例子，我們來計算輸入的熱與溫度變化之間的等比關係，即： Q = (Constant)NΔT。
上述的例子當中，哪些是不變的常數？ 為什麼在等壓的情況下，膨脹係數會比較大？（提示：考慮吸收的熱只是單純用來改變溫度，還是另外必須再作功。）
一般而言，我們把熱容量視為莫爾熱容量，於是我們會發現在定壓之下 Q = C
P nΔT 以及 CP = (5/2)R，另外在等體積之下，Q = CV nΔT 及 CV = (3/2)R，（n 為莫爾數）。
在開始討論之前我們提到所考慮的氣體為單原子理想氣體，而它的內能為 (3/2)T。這是因為考慮動能以及能量均分定理的結果，其中3是因為有3個自由度。因此對一個雙原子氣體分子而言，其平均內能為 (5/2)T ，因為它又多了兩個自由度（旋轉造成）。
對一個雙原子分子氣體而言，等壓的熱容量與等體積的熱容量會有什麼不同？
如果你得到一個漂亮的曲線圖形，可在圖形上按滑鼠右鍵來產生一個新的視窗以方便觀察。
Exploration authored by Anne J. Cox.
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