tw01 物理系統“場”, 量子化後, 場變成場算子(field opera-tor), 而其定義域中的空時座標仍為參數

淺談場量子化與低維拓樸

 

當物理系統由“場”

(field) 來描述(如電磁場, 重力場等), 它

定義域中的空間座標可視為標示某粒子的參

數, 量子化後, 場變成場算子(field opera-

tor), 而其定義域中的空時座標仍為參數

鄭日新

隨著量子力學的發展, 量子化後的物理

系統恆為精密的實驗所支持, 而描述量子系

統的“新”數學在某種意義下也推廣了舊有的

數學。本文嘗試介紹若干低維拓樸理論與某

些場量子化理論的關聯, 而“新”的精細拓樸

不變量常可理解為有關場算子的n-“point”

相關(correlation) 函數。我們將提到因為這

個看法而導致研究方法改變的一個例子: 即

Donaldson 四維微分結構不變量的研究因

Seiberg-Witten 場論的看法主方程由瞬息

子(instanton) 方程轉到較易處理的某種

單極(monopole) 方程(現在叫Seiberg-

Witten 方程), 另外也提一個量子場論思想

對原拓樸問題思考方式影響的例子: 即某種

精細的三維觸結構拓樸不變量的定義。

1. 從量子化談起

對一個物理系統的描述, 須要知道什麼

是它的態(state), 什麼是可觀測的物理量

(observable)。一般描述量子物理系統中的

態是用所謂Hilbert space的數學語言, 而物

理量則為作用其上的算子。當我們對某物理

態|- > 去測量某物理量O 時, 我們量到

的是O 的某個固有值(eigenvalue) n, 這

裡O|-n >= n|-n >, 而量到 n 的機率

是|h-n|O|-i|2。我們現在看一個點粒子的量

子力學, 其Hamiltonian H (代表能量) 為

H = −(~2/2m)∇2 + V (x).

這裡∇2 為Laplacian 算子, V (x) 為

位能函數。(~ 表Planck 常數, m 表粒

子質量) 令x(0) 表位置算子, 即其固有

值表粒子位置, 在通常用波函數- 表達態

時, (x(0)-)(y) = y-(y) (一維時, 以

下同)。令時間t 時的位置算子x(t) =

exp(iHt)x(0) exp(−iHt)。調整H (加一

常數) 使其最小固有值為0, 對應的固有向量

|0 > 稱為此系統的基態(ground state)。取

t1 > t2 > · · · > tn, h0|x(t1) · · · x(tn)|0i

或簡單表為hx(t1) · · · x(tn)i 是極重要的物

理量, 所謂的n-point 相關函數。在量子場

論中此等量(見後述) 有直接的物理意義, 它

們包含了所有的物理預測。它們也叫Green

函數, 可驗證2-point 相關函數在某些情況

確為一般方程意義下的Green 函數。此n-

point 相關