Thursday, September 26, 2013

線性代數01 向量空間和其上的線性泛函及對偶空間, 雙線性型式、二次型式及度量向量空間,正交幾何和辛幾何, 內, 積空間

量空間和其上及對空間,

量空間,何和, 大家

積空間

學傳314, pp. 43-56

五講一一

第三講線

· 張德

3.1.

第一第二講, 數是研究線空間(量空間), 和其上

的數學學。在第二講討論了向量空間和其上及對空間,

量空間,何和, 大家

積空間。在這一講中將討論量空間以及子及隨算子。

V W 分別F n 維與m 量空間。在這一節要證明每T

L(V,W) Mm,n(F) T Mm,n(F) 。不但如,

還要證L(V,W), Mm,n(F) , 以對L(V,W) 討論Mm,n(F) 討論

T ∈ L(V,W), B = {~b1, . . . ,~bn} C = {~c1, . . . ,~cm} 分別V W ,

~v ∈ V, ~v B 標為

[~v]B = [v1, . . . , vn]T ,

T(~v) C 標為

[T(~v)]C = [s1, . . . , sm]T .

於是應於T, Fn Fm 一線

TA : [~v]B [T(~v)]C, TA ∈ L(Fn, Fm),

應於T, m × n A, 使

[T(~v)]C = A[~v]B.

在來AA = [A1, . . . ,An], Aj , j = 1, . . . , n 列向。取~v = ~bj , j =

1, . . . , n, Aj = [T(~bj)]C,

A = [T(~b1)]C, . . . , [T(~bn)]C.



43
 
44 學傳314期民9612

A [T]B,C, 於是

[T(~v)]C = [T]B,C [~v]B.

[T]B,C 為當V 底為B, W 底為C , T 於是可以定

 : L(V,W) →Mm,n(F)

(T) = [T]B,C在來個同。先 : α, β F,

T, S ∈ L(V,W), 則對j = 1, . . . , n,

(αT + βS)(~bj)C = (αT)(~bj) + (βS)(~bj)C = α T(~bj)C + β S(~bj)C.



(αT+βS) = αT+βSB,C = αTB,C+βSB,C = α(T) + β(S)



次我們來 : A n × n , 且可~A1, . . . , ~An, ~Aj ,

j = 1, . . . , n 列向, T : V → W, 使T(~bj)C = ~Aj , j = 1, . . . , n, 可以做

, 

最後我們來 : 由於TB,C = 0, 導出T(~bj)C = 0, j = 1, . . . , n, 又導

T(~bj) = ~0, j = 1, . . . , n,  = 0。因,  個同到下:

3.1.1: L(V,W) t Mm,n(F)

T 可以導出: S : U → V T : V → W, B, C D 分別

U V W ,

T SB,D = TC,DSB,C.

, T S 示為T S

驗證如下: 由於當~u ∈ U, ~v ∈ V ,

S(~u)C = SB,C~uB,



T(~v)D = TC,D~vC,



TC,DSB,C~vC = TC,DS(~u)C = T(S(~u))D = TSB,D~uB.

五講45

T ∈ L(V,W)在來討論V W , T 的相應的

係。B C 分別V W , BC也分別V W , T B

C BC分別TB,C

TB,C, 於是有: 對任~v ∈ V, 式成:

T(~v)C = TB,C~vB , T(~v)C= TB,C~vB. (3.1.1)

第二講討論過, 對任~v ∈ V, :

~vB= MB,B~vB , T(~v)C= MC,CT(~v)C.

代入(3.1.1), 們便

T(~v)C= MC,CT(~v)C = MC,CTB,C~vB.



T(~v)C= TB,C~vB= TB,CMB,BT(~v)B.

由於~v V 中任意的,

TB,CMB,B= MC,CTB,C,

也就

TB,C= MC,CTB,CM1

B,B.

話說, TB,CTB,C

V = W T ∈ L(V), B = C B= C

, TB,B = TB, TB,B= TB, 於是有

TB= MB,BTBM1

B,B,

也就TB

TB是相。在第五講們將討論T

3.2. 隨算

T ∈ L(V,W), 可以導出各種與來。在這一節中先來定

與討論量空間隨算子。

T ∈ L(V,W), 可定W 空間WV 空間V的的T× :

W→ V

T×(f) = f T = fT, f ∈ W.

46 學傳314期民9612

是有意, T : V → W, f : W → F, fT : V → F, 於是屬於V, 對任

~v ∈ V, :

T×(f) (~v) = f(T(~v)).

T× T 隨算子。

3.2.1: (1). 對任T, S ∈ L(V,W),

(T + S)× = T× + S×.

(2). 對任α F T ∈ L(V,W),

(α T)× = α T×.

(3). 對任T ∈ L(V,W) S ∈ L(W, U),

(S T)× = T× S×.

(4). 對任T ∈ L(V),

(T1)× = (T×)1.

:(1) (2) 然成。對f ∈ U,

(S T)×(f) = f S T = T×(fS) = T×(S×(f)) = (T× S×)(f),

故得(3)(3),

T×(T1)× = (T1 T)× = I× = I,

I 。同(T1)×T× = I, 故得(3)。命而證

3.2.2: V 為有限維量空間, T ∈ L(V,W), 且假V∗∗ V , W∗∗ W

, T×× = T

: , T×× : V∗∗ → W∗∗。對任f ∈ W,

T××(~v∗∗)(f) = ~v∗∗T×(f) = ~v∗∗(fT) = fT(~v) = T(~v)∗∗(f),

~v∗∗ 2.2中定: ~v∗∗ ~v , ~v∗∗ ∈ V∗∗, ~v∗∗(g) = g(~v), g ∈ V


T××(~v∗∗) = T(~v)∗∗.

五講47

V∗∗ V , W∗∗ W , 則上

T××(~v) = T(~v)

所有~v ∈ V , T×× = T, 而證

, 隨算2.2中定化子以下

3.2.3: T ∈ L(V,W),

(1) ker(T×) = Im(T);

(2) Im(T×)= ker(T);

(3) V W 為有限維量空間, Im(T×) = ker(T)

: , T : V → W, T× : W→ V,

f ker(T×)T×(f) = 0 = fT

f(T(~v)) = 0, ~v ∈ V

f(Im(T)) = 0

f Im(T).

(1)由於

~v ker(T)T(~v) = ~0

f(T(~v)) = 0, f ∈ W

T×(f)(~v) = 0

~v∗∗(T×(f)) = 0, f ∈ W

~v∗∗ Im(T×).

V∗∗ V , 們便(2)

最後(3)。對所有~v ker(T), f ∈ W,

T×(f)(~v) = f(T(~v)) = 0.

T×(f)(ker(T)) = 0, T×(f) ker(T), 所有的f ∈ W,

Im(T×) ker(T).

量空間為有限維, 2.2.4以及上(2), :

Im(T×) t Im(T×)◦◦ t ker(T×).

48 學傳314期民9612

, Im(T×) = ker(T)。命而證

由此到如下命

3.2.4: T ∈ L(V,W), V W 為有限維量空間, T T× 滿

rank(T) = rank(T×)

: 2.2.6 (1)

ker(T)t 􀀀ker(T)c


,

ker(T)c ker(T) V 餘集, 3.2.3(3), Im(T×) =

ker(T),

dim(Im(T×)) = dim􀀀ker(T) = dim􀀀ker(T)c

= dim􀀀ker(T)c = dim􀀀Im(T),

ker(T)c t Im(T)於是rank(T) = rank(T×), 而證

V W 為有限維量空間, T ∈ L(V,W), T× ∈ L(W, V), B = {~b1, . . . ,~bn}

C = {~c1, . . . ,~cn} 分別V W , B= {~b

1, . . . ,~b

n} C= {~c

1, . . . ,~c

n}

分別, 於是T TB,C, T× T×C,B, 兩個間關

係如何?


已知

TB,C = [T(~b1)]C, . . . , [T(~bn)]C,



T×C,B= [T(~c

1)]B, . . . , [T(~c

n)]B,

由於T(~bj) ∈ W, C , 示為

T(~bj) = β(j)

1 ~c1 + β(j)

2 ~c2 + · · · + β(j)

n ~cn,

[T(~bj)]C = β(j)

1 · · · β(j)

n T

, j = 1, . . . , n, 於是

TB,C =




β(1)

1 · · · β(n)



1
 
β(1)

2 · · · β(n)



2
 
...

. . .

...

β(1)

n · · · β(n)



n
 

.

五講49

由於T×(~c

j ) ∈ V, B, 示為

T×(~c

j ) = α(j)



1
 
~b

1 + α(j)



2
 
~b

2 + · · · + α(j)



n
 
~b

n,

[T×(~c

j )]B= α(j)

1 · · · α(j)

n T

, j = 1, . . . , n, 於是

T×C,B=




α(1)

1 · · · α(n)



1
 
α(1)

2 · · · α(n)



2
 
...

. . .

...

α(1)

n · · · α(n)



n
 

.

T×

T×(~c

j )(~bk) = c

j􀀀T(~bk), j, k = 1, . . . , n,

而這

α(j)

k = β(k)

j .

於是我到下:

3.2.1: T×C,B= (TB,C)T , T 隨算T× 應的示是T

應的示的轉置

3.3.

在上一節中對量空間, 討論了其隨算子。量空間

積空間, 對其上, 則可定討論其共子。積空間重要,

由此可以導出, 是本內容。積空間Riesz (2.4),

V 是有限維積空間, f ∈ V, 則存在~x ∈ V, 使

f(~v) = h~v, ~xi, ~v ∈ V.

由此可以定φ : V→ V φ(f) = ~x, φ(f)

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