Sunday, September 22, 2013

微分方程與微分算子

法蘭克的數學世界

微分方程與微分算子

In 常微分方程 on 03/13/2010 at 7:59 下午
時間: Tue Jul 17 16:36:44 2007
本篇作於pttMath版
目的：希望提供一些學生微分方程方面的看法。
本文：
在此我想回答一些網友(非數學專業的)關於微分算子與微分方程的一些概念。微分方程的問題開始主要是來自於自然哲學(物理學)，不管是常微分方程，或是偏微分方程。
假設x(t)表直點的位置與時間的關係，令v(t)表速度與位置的關係，那麼一次以下的常微分方程
\displaystyle\frac{d}{dt}x(t)=v(t),    x(0)=p。
描述了物體的運動現象。隨著各類科學的發展，微分方程的內容也變得更多樣性了。從簡單的一次線性微分方程，發展到了高階非線性微分方程，通常我們可以用以下的微分方程來描述所有的常微分方程：
\displaystyle\frac{dx}{dt}=f(t,x)，x(0)=p。
(x可以是向量值，可以是純量)。而f是一個實值或向量值的函數(real-valued or vector valued functions)。我們必須思考，這樣的問題是否真的可以解？如果解本身是不存在的，那麼何來去解他呢？但，事實上，在微分方程的歷史中，剛開始數學家都是一股腦兒的用很多特殊的技巧去解方程，而非先證明解的存在性。然而，能夠用一些初等技巧解決的方程是少之又少。於是，數學家陷入了瓶頸。
在方程的歷史中，有一樣驚人的的創作，是出自於富利葉(Fourier)之手的，利用三角級數解決熱傳導的問題。當然，在那之前，數學家也思考用解析(冪級數)的方式去解微分方程的問題。Fourier的做法以現今數學觀點來看是相當不嚴謹的。然而，我們也不得不佩服他的獨創性。另外一個著名的工作就是出自於Volterra。Volterra利用方程的方法去研究生物生態學，(是他的一位好友讓他去研究義大利附近的海域魚群的生態)。接下來，微分方程漸漸地以一種專門的研究出現在數學的領域中。在那之前，數學家並不會專門的去研究方程，而是在致力於解決某一類的問題，如來自物理學的，來自於化學的，或是來自於幾何學等等的。
後來，Fredeholm研究積分方程提供了線性代數的方法解決積分方程的問題。這讓微分方程有了另外一種觀點(似乎並不是新的觀點)。當然在那同時期，恰巧是量子物理學正大肆橫掃古典物理的革命時期。積分方程，微分方程，到了Hilbert的手中，漸漸的融合成現今的泛函分析的起源。而解決微分方程，就用了線性代數的觀點，就是算子的概念。回到我們之前的問題。
首先我們必須考慮的是：我們想研究的函數x(t)是屬於麼樣的函數？連續？可微？時間的區間？解是否存在？如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映射，那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢？所有的可微分函數？連續的可微分函數?我們當然可以很簡單的說D^{-1}{v}是微分算子D的preimage，但是，那必須在一個前提之下，D所定義的空間被決定。當然D所定義的空間仰賴於我們所希望研究的空間。(註:利用泛函分析的方法並不是唯一研究方程的方法，而是他提供了一套有系統的研究方法)。因為，並不是任何的空間對我們來說都是有意義的。這也是為何會利用到Hilbert空間，或是Banach空間的理由。因為在量子物理中，粒子所存在的空間就是Hilbert空間L^2(\mathbb{R})，或是L^2[a,b]。而微分算子所定義的空間就是所謂的Sobolev空間。D的意義就給的更清楚了。然而在解方程的過程中，如給定a,b,c是連續函數
a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x)， y(0)=0, y'(0)=1。
那麼微分算子(泛函分析)並不是一個簡單的方式去解決這樣的問題，而且是更加的複雜。(對某些問題來說)，而一般工程數學上所謂的D指的並不是微分算子，所謂的符號數學(Symbolic math)。利用某些觀念，或是符號可以幫助我們去解決問題，就如同前面有網友說的heaviside function或是Dirac function。其實在數學裡面，他的背景就是Distribution theory。而這正是Schwartz拿fields medal的得意之作。他們並不是不嚴謹，而是他們的背景並不是很容易，如果避掉了這些理論，用符號運算去解決方程，的確是一個方便的工具。
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