的方向也相反，故所作的功改变一个符号，可见这种积分与曲线的方向有关. 此外,这类曲线积分是特殊的第一类曲线积分，一般的第一类曲线积分
中的被积涵数是数量函数，而
中的被积函数是两个矢量函数的点乘积形式，且是曲线上点P(x,y,z)处切线的单位矢量(与指定方向一致),因此有别于一般形式的第一类曲线积分，我们称它为第二类曲线积分，因此有如下的定义(*如果空间（或部分空间）中的每一点都对应着一个力，则称在这个空间中确定了一个力场.)http://jpkc.scezju.com/uploads/wjf/wszx/chapter10/index2_1.htm
曲线积分
目录
1基本简介
举例
先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，
设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
定义
设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
类别
曲线积分分为：对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）
对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
2相关信息
积分联系
对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;
或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说
）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（ ）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。
量子力学
量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。[1]
，在三條邊上隨意加點，見下圖。
上的點,只能標號 1 或 2；
上的點,只能標號 2 或 3；
上的點,只能標號 3 或 1。
也分別標上 1，2 及 3 三個號碼，見下：
3.1.4 路径积分量子化
