音乐快递：一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此 ...
拓撲學-中文百科在線
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一般拓扑学（general topology）
166.111.121.20:9080/mathdl/mathsdict/0827.htm
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【中文詞條】幾何測度論
【外文詞條】geometric measure theory
【作 者】張錦豪
高維空間中低維點集的測度及低維點集上的積分理論。
20世紀初測度論的建立﹐使得人們對
中的子集關於
維勒貝格測度
的行為有了很好的瞭解。大部分函數論由於勒貝格積分論而產生了巨大變化。但是在處理與中低維點集有關的數學問題時遇到了困難。例如著名的普拉托問題﹐在二維曲面時尚可以結合共形變換和狄利克雷原理巧妙地應用勒貝格方法而解決。而在曲面的維數超出2時﹐這些經典的方法就失敗了。幾何測度論正是在這種背景下產生。它始於1914年卡拉西奧多里﹐C.關於測度論的基礎性工作﹐經過幾十年的發展﹐熔合了來自分析﹑幾何﹑代數拓撲中的許多技巧﹐產生了許多新的概念﹐成為數學研究的一個有力工具。
豪斯多夫測度與可求積集合 在卡拉西奧多里的工作出現以後的開始20～30年內﹐大部分的興趣在於瞭解中的子集關於
維豪斯多夫測度﹐積分幾何測度等各類測度的行為。對於
﹐0≦k<∞﹐δ >0﹐定義的k維豪斯多夫測度(簡稱
測度)為
﹐
式中
。測度是中的一個博雷爾正則測度。又定義inf{k﹕()=0}為的豪斯多夫維數﹐簡稱 維數。當k=時﹐()=μ ()﹐=0時
()為的元素個數。0和中間每個數均可出現為中某個子集的 維數。例如康托爾集的 維數為ln2/ln3。
設的測度有限﹐在k>0時﹐若存在中某個有界子集到 A 的李普希茨映射(即二點距離的增長比受到某個正常數控制的映射)﹐那就稱為k可求積集(k=0時為有限集﹐也稱可求積集)。如果除了一個測度為0的子集外﹐為可列個k可求積集合覆蓋﹐就稱為(﹐k)可求積集。集合的可求積性質是一階光滑流形的某種推廣。事實上﹐為(﹐k)可求積集合的充要條件是﹕除了一個測度為0的子集外﹐它可由中可列個
類k維子流形所覆蓋。可求積集合的這種描述使得對於它的構造的研究﹐特別是它的射影性質的研究成為幾何測度論的重要內容。在不含有測度大於0的k可求積子集時﹐稱為純粹(﹐k)不可求積集合。
設
﹕→為正交射影﹐即保持內積不變的線性映射。其共軛記為
﹐它的全體記為
(﹐k)﹐正交群
()=(﹐)通過右乘可遞地作用在(﹐k)上。這個運算在(﹐k)上誘導出惟一的不變測度
﹐使得空間(﹐k)關於的全測度等於1﹐那麼當為(﹐k)可求積集合時﹐成立
式中
。上式右邊即為的積分幾何測度
﹐它先在與-k維仿射子空間-1(
)的交集上積分﹐然後讓取遍所有正交射影。因此這個式子反應了 (﹐k)可求積集合的射影性質。這是求平面曲線長度的克羅夫頓方法的推廣﹐也類似於柯西尋求凸體周界面積的方法。另一方面﹐對於測度有限的任何博雷爾集
﹐總存在博雷爾子集﹐使得
﹐
﹐且(\為純粹(﹐k)不可求積。進一步﹐
成立﹐當且僅當為(﹐k)可求積。以上這些結果首先為A.S.貝斯爾科里奇對平面上的測度得到。1947年﹐H.費德雷爾證明了一般情形。
在幾何測度論發展早期就知道﹐對於中每個勒貝格可測集
以及到的李普希茨映射
﹐有面積公式
﹐
式中
(x)為的雅可比式。在為一一時﹐右邊的積分就等於(())﹐因此對於可求積集合﹐它的測度就等於微分幾何中的 維體積。利用映射在一點“近似可微”這個概念﹐可以將這個公式推廣到中的(﹐k)可求積集合。但在( )的 維數小於時﹐公式反映的信息很少。1957年﹐費德雷爾證明﹕對每個李普希茨映射
﹐及每個
可測集 成立餘面積公式﹕
。
面積公式與餘面積公式分別應用於目標空間的維數至少為與至多為的情形。因此可將它們看成是對偶的公式﹐餘面積公式也已被推廣到(﹐k)可求積集合的情形。這些公式的研究使得人們瞭解到﹐關於可微映射的積分變換的本質上的假定在於對這個映射的雅可比式秩的限制。
密度 密度與近似切錐是描述一個測度局部行為的兩個重要概念。對於拉東測度
﹐以a為心﹐
為半徑的球關於的測度與
的比值﹐在→0時的上極限與下極限分別稱為測度在a點的k維上密度與k維下密度。二者相等時就稱為k維密度
(﹐a)。利用上密度可以定義集合的近似切錐﹐它何時成為向量空間與該集合的可求積性質和射影性質有著深刻的聯繫。利用密度定義的另一個重要概念是集合在一點的外法線。當集合有光滑邊界時﹐這個概念非常直觀﹐在一般情形相當複雜。
給定點集
﹐如下定義新的測度
﹕集合
關於 的測度()=(∩)。集合在一點
的外法線是如下確定的一個單位向量
=(﹐)﹐當1為過點且以為法向的超平面圍成的半空間(x-)‧>0時﹐
﹐2為另一半空間(x-)‧<0時﹐
。這個概念只含有點集關於的測度論行為﹐而不用預先知道的拓撲結構﹐甚至邊界的概念也未提到。這樣可塑的概念使高斯-格林公式推廣到相當一般的程度﹕設集合﹐令
﹐
。如果對每個緊集
﹐那麼對上有緊集的每個李普希茨一階向量場
﹐成立
。
另一方面﹐若以Bdry記的普通邊界﹐那麼在對的每個緊集
﹐都有
時﹐上述條件滿足﹐從而推廣的高斯-格林公式也成立。
整流 長期以來﹐人們就尋求著維空間中“k維積分區域”的分析與拓撲的描述。這個概念應該保留微分流形的光滑性與整係數多面體鏈的組合性質所帶來的好處﹐同時為滿足變分的需要﹐這類區域應具有某種緊致性質。“整流”正是為這樣的需要而產生。
設
為中的開集﹐以
()記緊支集落在內的 階光滑微分形式全體。()上的線性泛函稱為維流﹐其全體記為
()。流
()的支集spt理解為內的最小相對緊子集﹐使得對一切滿足 spt
\的 ( )﹐有()=0。流這個概念是由法國數學家G.-W.德‧拉姆為研究霍奇理論而引入的。由於一個曲面決定於對定義在它上面的任意 階光滑微分形式的積分運算。因此 維幾何曲面可以分析地表示成一個流。特別地﹐由點a0﹐a1﹐…﹐a生成的單純形若落在Ｕ 內﹐那麼它也代表一個流。這種流的整係數線性組合﹐稱為Ｕ 中的一個整係數多面體鏈。如果一個流可以用整係數多面體鏈關於李普希茨映射的像來逼近﹐就稱它為可求積流。利用邊緣算子
可以構成新的流﹐定義為S()=(d)。這裡d為外微分運算﹐如果與均為可求積流﹐就稱為整流。例如每個一維整流是總長度小於∞的有限多條單弧與可數條單閉弧的和。 中的每個維整流可表示成
﹐其中
1﹐2﹐…﹐為的切空間的標準基﹐為使得推廣的高斯-格林公式成立的勒貝格可測集。當1<<時﹐中的維整流是相當複雜的。但重要的是﹐由緊支集在同一有界集內且按某個範數有界的整流組成的集是緊的。正是這一點形成了變分學中新的幾何方法。
如果流可以表示成+
﹐和都是可求積流﹐就稱為整平坦鏈。利用邊緣算子可以建立這類流的同調理論。它與局部李普希茨範疇內的﹑整係數的經典奇異同調論同構。但對於積分問題﹐相交理論等﹐這種鏈群明顯地優於奇異鏈群。因為與奇異鏈不一樣﹐一條平坦鏈與其分刈等同﹐這就簡化了循環的構造﹐並得到較好的實係數上循環。不僅如此﹐還發現所謂的等周不等式不僅對經典的微分幾何中某些特殊情形成立﹐而且對這種同調論有類似估計﹐這就將代數拓撲與測度論聯繫起來了。
可以用流的理論來研究普拉托問題﹐存在性定理表明極小曲面總是一個維局部可求積流﹐即這樣的流()﹐對每個x﹐總存在緊支集在內的可求積流﹐使x
spt(-)。曲面的光滑性問題就是spt的光滑性問題。若aspt存在領域
﹐使∩spt為2類維子流形﹐就稱a為正則點﹐否則就稱奇點。由於幾何測度論的發展﹐使高維普拉托問題取得重大進展。當 ≦6時極小曲面是光滑的﹐在≧7時奇點集的 維數不超過-7。
類似於局部可求積流﹐可以定義局部整流﹐局部整平坦流。後者與流形上分析中的實解析子簇與復解析子簇有十分密切的關係。
弱可微函數 又稱有界變差函數。上光滑函數的可微性可以用這樣的方法來刻畫﹕對於上有緊支集的李普希茨向量場﹐成立
﹐
但是右邊的積分並不一定要求光滑﹐僅要求局部可積。因此(x)的這個線性泛函可以看成 的測度論意義下的弱微分﹐只要它滿足里斯表示定理的有界性假定。這種 稱作弱可微函數。開集
上的弱可微函數全體記為BV ()﹐則BV ()按範數
形成巴拿赫空間。弱可微函數曾在各種場合下出現﹐首先在勒貝格面積論﹐而後在偏微分方程論中﹐特別地﹐它是極小曲面的理論中的有力工具。
參考書目
H. Federer﹐ Geometric Measure Theory﹐ Springer-Verlag﹐Berlin﹐1969.
E. Giusti﹐ Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation﹐ Birkh
user﹐Basel-Stuttgart﹐1984.
H. Whitney﹐ Geometric Integration Theory﹐ Princeton Univ. Press﹐Princeton﹐1957.
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2014年2月14日 - kejian.tzc.edu.cn/ckwx/pdf/268.pdf .... 感生电场-磁场变化时会在周围空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，它不是由电荷产生的，叫感生 ...
【外文詞條】geometric measure theory
【作 者】張錦豪
高維空間中低維點集的測度及低維點集上的積分理論。
20世紀初測度論的建立﹐使得人們對
中的子集關於維勒貝格測度的行為有了很好的瞭解。大部分函數論由於勒貝格積分論而產生了巨大變化。但是在處理與中低維點集有關的數學問題時遇到了困難。例如著名的普拉托問題﹐在二維曲面時尚可以結合共形變換和狄利克雷原理巧妙地應用勒貝格方法而解決。而在曲面的維數超出2時﹐這些經典的方法就失敗了。幾何測度論正是在這種背景下產生。它始於1914年卡拉西奧多里﹐C.關於測度論的基礎性工作﹐經過幾十年的發展﹐熔合了來自分析﹑幾何﹑代數拓撲中的許多技巧﹐產生了許多新的概念﹐成為數學研究的一個有力工具。 豪斯多夫測度與可求積集合 在卡拉西奧多里的工作出現以後的開始20～30年內﹐大部分的興趣在於瞭解
中的子集關於 維豪斯多夫測度﹐積分幾何測度等各類測度的行為。對於﹐0≦k<∞﹐δ >0﹐定義的k維豪斯多夫測度(簡稱測度)為 ﹐ 式中
。測度是中的一個博雷爾正則測度。又定義inf{k﹕()=0}為的豪斯多夫維數﹐簡稱 維數。當k=時﹐()=μ ()﹐=0時()為的元素個數。0和中間每個數均可出現為中某個子集的 維數。例如康托爾集的 維數為ln2/ln3。 設
的測度有限﹐在k>0時﹐若存在中某個有界子集到 A 的李普希茨映射(即二點距離的增長比受到某個正常數控制的映射)﹐那就稱為k可求積集(k=0時為有限集﹐也稱可求積集)。如果除了一個測度為0的子集外﹐為可列個k可求積集合覆蓋﹐就稱為(﹐k)可求積集。集合的可求積性質是一階光滑流形的某種推廣。事實上﹐為(﹐k)可求積集合的充要條件是﹕除了一個測度為0的子集外﹐它可由中可列個類k維子流形所覆蓋。可求積集合的這種描述使得對於它的構造的研究﹐特別是它的射影性質的研究成為幾何測度論的重要內容。在不含有測度大於0的k可求積子集時﹐稱為純粹(﹐k)不可求積集合。 設
﹕→為正交射影﹐即保持內積不變的線性映射。其共軛記為﹐它的全體記為(﹐k)﹐正交群()=(﹐)通過右乘可遞地作用在(﹐k)上。這個運算在(﹐k)上誘導出惟一的不變測度﹐使得空間(﹐k)關於的全測度等於1﹐那麼當為(﹐k)可求積集合時﹐成立 式中
。上式右邊即為的積分幾何測度﹐它先在與-k維仿射子空間-1()的交集上積分﹐然後讓取遍所有正交射影。因此這個式子反應了 (﹐k)可求積集合的射影性質。這是求平面曲線長度的克羅夫頓方法的推廣﹐也類似於柯西尋求凸體周界面積的方法。另一方面﹐對於測度有限的任何博雷爾集﹐總存在博雷爾子集﹐使得﹐﹐且(\為純粹(﹐k)不可求積。進一步﹐成立﹐當且僅當為(﹐k)可求積。以上這些結果首先為A.S.貝斯爾科里奇對平面上的測度得到。1947年﹐H.費德雷爾證明了一般情形。 在幾何測度論發展早期就知道﹐對於
中每個勒貝格可測集以及到的李普希茨映射﹐有面積公式 ﹐ 式中
(x)為的雅可比式。在為一一時﹐右邊的積分就等於(())﹐因此對於可求積集合﹐它的測度就等於微分幾何中的 維體積。利用映射在一點“近似可微”這個概念﹐可以將這個公式推廣到中的(﹐k)可求積集合。但在( )的 維數小於時﹐公式反映的信息很少。1957年﹐費德雷爾證明﹕對每個李普希茨映射﹐及每個可測集 成立餘面積公式﹕ 。 面積公式與餘面積公式分別應用於目標空間的維數至少為
與至多為的情形。因此可將它們看成是對偶的公式﹐餘面積公式也已被推廣到(﹐k)可求積集合的情形。這些公式的研究使得人們瞭解到﹐關於可微映射的積分變換的本質上的假定在於對這個映射的雅可比式秩的限制。 密度 密度與近似切錐是描述一個測度局部行為的兩個重要概念。對於拉東測度
﹐以a為心﹐為半徑的球關於的測度與的比值﹐在→0時的上極限與下極限分別稱為測度在a點的k維上密度與k維下密度。二者相等時就稱為k維密度(﹐a)。利用上密度可以定義集合的近似切錐﹐它何時成為向量空間與該集合的可求積性質和射影性質有著深刻的聯繫。利用密度定義的另一個重要概念是集合在一點的外法線。當集合有光滑邊界時﹐這個概念非常直觀﹐在一般情形相當複雜。 給定點集
﹐如下定義新的測度﹕集合關於 的測度()=(∩)。集合在一點的外法線是如下確定的一個單位向量=(﹐)﹐當1為過點且以為法向的超平面圍成的半空間(x-)‧>0時﹐﹐2為另一半空間(x-)‧<0時﹐。這個概念只含有點集關於的測度論行為﹐而不用預先知道的拓撲結構﹐甚至邊界的概念也未提到。這樣可塑的概念使高斯-格林公式推廣到相當一般的程度﹕設集合﹐令﹐。如果對每個緊集﹐那麼對上有緊集的每個李普希茨一階向量場﹐成立 。 另一方面﹐若以Bdry
記的普通邊界﹐那麼在對的每個緊集﹐都有時﹐上述條件滿足﹐從而推廣的高斯-格林公式也成立。 整流 長期以來﹐人們就尋求著
維空間中“k維積分區域”的分析與拓撲的描述。這個概念應該保留微分流形的光滑性與整係數多面體鏈的組合性質所帶來的好處﹐同時為滿足變分的需要﹐這類區域應具有某種緊致性質。“整流”正是為這樣的需要而產生。 設
為中的開集﹐以()記緊支集落在內的 階光滑微分形式全體。()上的線性泛函稱為維流﹐其全體記為()。流 ()的支集spt理解為內的最小相對緊子集﹐使得對一切滿足 spt\的 ( )﹐有()=0。流這個概念是由法國數學家G.-W.德‧拉姆為研究霍奇理論而引入的。由於一個曲面決定於對定義在它上面的任意 階光滑微分形式的積分運算。因此 維幾何曲面可以分析地表示成一個流。特別地﹐由點a0﹐a1﹐…﹐a生成的單純形若落在Ｕ 內﹐那麼它也代表一個流。這種流的整係數線性組合﹐稱為Ｕ 中的一個整係數多面體鏈。如果一個流可以用整係數多面體鏈關於李普希茨映射的像來逼近﹐就稱它為可求積流。利用邊緣算子可以構成新的流﹐定義為S()=(d)。這裡d為外微分運算﹐如果與均為可求積流﹐就稱為整流。例如每個一維整流是總長度小於∞的有限多條單弧與可數條單閉弧的和。 中的每個維整流可表示成﹐其中1﹐2﹐…﹐為的切空間的標準基﹐為使得推廣的高斯-格林公式成立的勒貝格可測集。當1<<時﹐中的維整流是相當複雜的。但重要的是﹐由緊支集在同一有界集內且按某個範數有界的整流組成的集是緊的。正是這一點形成了變分學中新的幾何方法。 如果流
可以表示成+﹐和都是可求積流﹐就稱為整平坦鏈。利用邊緣算子可以建立這類流的同調理論。它與局部李普希茨範疇內的﹑整係數的經典奇異同調論同構。但對於積分問題﹐相交理論等﹐這種鏈群明顯地優於奇異鏈群。因為與奇異鏈不一樣﹐一條平坦鏈與其分刈等同﹐這就簡化了循環的構造﹐並得到較好的實係數上循環。不僅如此﹐還發現所謂的等周不等式不僅對經典的微分幾何中某些特殊情形成立﹐而且對這種同調論有類似估計﹐這就將代數拓撲與測度論聯繫起來了。 可以用流的理論來研究普拉托問題﹐存在性定理表明極小曲面總是一個
維局部可求積流﹐即這樣的流()﹐對每個x﹐總存在緊支集在內的可求積流﹐使xspt(-)。曲面的光滑性問題就是spt的光滑性問題。若aspt存在領域﹐使∩spt為2類維子流形﹐就稱a為正則點﹐否則就稱奇點。由於幾何測度論的發展﹐使高維普拉托問題取得重大進展。當 ≦6時極小曲面是光滑的﹐在≧7時奇點集的 維數不超過-7。 類似於局部可求積流﹐可以定義局部整流﹐局部整平坦流。後者與流形上分析中的實解析子簇與復解析子簇有十分密切的關係。
弱可微函數 又稱有界變差函數。
上光滑函數的可微性可以用這樣的方法來刻畫﹕對於上有緊支集的李普希茨向量場﹐成立 ﹐ 但是右邊的積分並不一定要求
光滑﹐僅要求局部可積。因此(x)的這個線性泛函可以看成 的測度論意義下的弱微分﹐只要它滿足里斯表示定理的有界性假定。這種 稱作弱可微函數。開集上的弱可微函數全體記為BV ()﹐則BV ()按範數形成巴拿赫空間。弱可微函數曾在各種場合下出現﹐首先在勒貝格面積論﹐而後在偏微分方程論中﹐特別地﹐它是極小曲面的理論中的有力工具。 參考書目
H. Federer﹐ Geometric Measure Theory﹐ Springer-Verlag﹐Berlin﹐1969.
E. Giusti﹐ Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation﹐ Birkh
user﹐Basel-Stuttgart﹐1984. H. Whitney﹐ Geometric Integration Theory﹐ Princeton Univ. Press﹐Princeton﹐1957.
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phymath999: 两粒子之间的相互作用势能只于它们的相对位置 ...
phymath999.blogspot.com/2014/02/blog-post_4110.html
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包科达 1935年2月生，上海人。1960年毕业于苏联列宁格勒工学院物理力学系。1992年获俄罗斯列宁格勒工科大学工学硕士学位。北京大学物理系教授，北京大学热学课程主持人。中国热学教学和教材研究会副理事长，国家物理学试题库系统热学学科专家组组长。从事热物理和非均匀介质物理学的教学和科研。
2成就编辑
1990—1992年和1992—1994年分别主持了国家自然科学基金项目“多相复合材料的微结构及其对物理性质影响的研究”和“含细微金属颗粒复合材料的光学电学性质研究”，获北京大学第四届科学技术二等奖。1995年起主持国家教委面向21世纪教学改革研究项目“热学课程的体系、结构和教学内容改革研究”，获北京大学1994年至1995年学年度和1995年至1996年学年度教学优秀奖。1993年起享受国务院政府特殊津贴。编著有《普通物理学·热学》、《量子统计物理学》（第一、二章，附录）等。发表科学论文20多篇，教学研究论文20多篇，主要有《Electrical Conduction in Che ck board Geometry》、《Transverse Conductivity in Non－ideal Fiber Composite Geo me tries》、《多元系稀薄气体的输运理论和氮在高温下的输运性质》、《热学教学中的统 计方法和几率概念（一）、（二）》、《对称性和热学》、《含椭球包体多相复合介质电导 率的有效介质理论》、《椭球形颗粒多相复合介质的有效电导率张量》等。
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