phymath999: projective 双值双曲单连通覆盖群射影(projective)表示映射到欧氏空间中的一个开圆上，这就是双曲几何的Klein射影变换

Sunday, November 9, 2014

projective 双值双曲单连通覆盖群射影(projective)表示映射到欧氏空间中的一个开圆上，这就是双曲几何的Klein射影变换

[PPT]第八讲

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非齐次洛伦兹变换（彭加勒变换，1905-1906）：他们的全体构成非齐次洛伦兹群：彭 ..... 等距变换，映射到欧氏空间中的一个开圆上，这就是双曲几何的Klein射影变换。

Lorentz群的表示和Dirac旋量之间有何关系？ - 知乎

www.zhihu.com/question/21264330

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2013年6月30日 - 但物理学家管这个叫双值表示，似乎更恰当的名称是射影(projective)表示。 ... 直接的说，Dirac旋量可以作为Lorentz 变换的作用对象，也就是 ...

Lorentz群的表示和Dirac旋量之间有何关系？修改

O(3,1) 有四个连通分支，下面把包含单位元的那个称为Lorentz群，或SOe(3,1)，或proper orthochronous Lorentz群。 SOe(3,1)不是单连通的，它的覆盖群记为Spin(3,1)，同时也是通用覆盖群。这是同构于SL(2, C)的。SL(2, C)就是单连通的了。SL(2, C)和SOe(3,1)是2对1的同态。这很像SO(3)和SU(2)之间的关系。这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不 懂。 SL(2, C)的有限维线性复表示可标记为(m/2, n/2)，其中m和n是非负整数。当m或n是奇数时，称为旋量表示。旋量表示并不是SOe(3,1)的表示，比如说从单位元开始，绕z轴0转到2pi，SOe(3,1)的“旋量表示”并不变回去，而是差一个符号。要转过4pi才回去。但物理学家管这个叫双值表示，似乎更恰当的名称是射影(projective)表示。按照Weinberg在他的QTF vol 1 chap 2中的说法，射影表示是 U(g) U(h) = exp(i φ(g, h)) U(g h) 其中φ(g, h)是个实数。射影表示是差一个相位的表示。比如说SU(2)的旋量表示，就是SO(3)的双值表示，这似乎正是射影表示。 这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不懂。 Dirac旋量就是(1/2, 0)⊕(0, 1/2)的表示。这个在刘川老师的量子场论讲义，或者是Peskin and Schroeder等教材中都讲了。 我来提一些问题：下面假设我都用Weyl基或chiral基。 0. SU(2) 和 SL(2, C) 是什么关系？ 1. so(3,1)的复化同构于sl(2, C)⊕sl(2, C)，为什么SOe(3,1)反而会被SL(2, C)盖住？ 2. 所谓左手旋量和右手旋量，是不是分别对应(1/2, 0)和(0, 1/2)表示？它们对应的是表示（线性变换），而不是表示空间中的向量吗？ 3. 这个表示是可约的，但为什么Dirac方程是耦合的，它会把左手旋量和右手旋量混合起来？ 4. 如果第一问中，这些旋量对应的是线性变换，为什么它们不像别的线性变换那样写成矩阵的样子，而是写成两个数的样子？ 5. 为什么不会把两个旋量加起来？如果他们是线性变换，似乎确实不能加起来，因为群元素只有乘法，群元素不会加起来。 6. 为什么两个旋量按照那个ψ† γ0 ψ的规则乘起来就成了“标量”？我自己去计算了一下，确实它会把左手旋量和右手旋量的分量混合地乘起来，并且还是一个实数。但我不理解为什么要这么凑起来。同样，为什么 ψ† γ0 γ0 γμ ψ 就成了一个像向量一样的东西？这些都可以验证出来，但是我不清楚这是为什么。 先这样。感谢你的阅读，如果你能回答，更加感激不尽！！

O(3,1) 有四个连通分支，下面把包含单位元的那个称为Lorentz群，或SOe(3,1)，或proper orthochronous Lorentz群。

SOe(3,1)不是单连通的，它的覆盖群记为Spin(3,1)，同时也是通用覆盖群。这是同构于SL(2, C)的。SL(2, C)就是单连通的了。SL(2, C)和SOe(3,1)是2对1的同态。这很像SO(3)和SU(2)之间的关系。这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不懂。

SL(2, C)的有限维线性复表示可标记为(m/2, n/2)，其中m和n是非负整数。当m或n是奇数时，称为旋量表示。旋量表示并不是SOe(3,1)的表示，比如说从单位元开始，绕z轴0转到2pi，SOe(3,1)的“旋量表示”并不变回去，而是差一个符号。要转过4pi才回去。但物理学家管这个叫双值表示，似乎更恰当的名称是射影(projective)表示。按照Weinberg在他的QTF vol 1 chap 2中的说法，射影表示是
U(g) U(h) = exp(i φ(g, h)) U(g h)
其中φ(g, h)是个实数。射影表示是差一个相位的表示。比如说SU(2)的旋量表示，就是SO(3)的双值表示，这似乎正是射影表示。

这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不懂。

Dirac旋量就是(1/2, 0)⊕(0, 1/2)的表示。这个在刘川老师的量子场论讲义，或者是Peskin and Schroeder等教材中都讲了。
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赵亮，MD simulation

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朱晋玄、吴昊舟、cmp0xff 等人赞同

楼主问得很深，我只能浅显的说说我的理解。
直接的说，Dirac旋量可以作为Lorentz 变换的作用对象，也就是说，Dirac旋量可以作为Lorentz群的表示空间。
Dirac旋量可以看成两个旋量的直和，物理上讲，就是Dirac 方程最终可以拆成电子和正电子的方程，电子用一个旋量，而正电子用另一个旋量。首先理解旋量，从群表示的角度理解旋量，涉及到证明SO(3)和SU(2)的同态，那里首次出现了旋量。假设有一种形如如下形式的关于 $\xi_{1}$ 和 $\xi_{2}$ 的双线性多项式， $F=c_0\xi_1\xi_1+2c_1\xi_1\xi_2+c_2\xi_2\xi_2$ , 它构成一个矢量空间。其实 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 就构成了一个旋量，写成 $\begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix}$ 可能好看些，它是一种物理实体。如果把SU(2)作用于这个旋量，那么它会变成 $\begin{pmatrix} \xi_1^{'} \\ \xi_2^{'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b^* \\ b & a^{*} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2\end{pmatrix}$ ，同时，F的系数就会有这样的变换表达式：
$\begin{pmatrix} c_0^{'} && c_1^{'} \\ c_1^{'} && c_2^{'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a && -b^{*} \\ b && a^*\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} c_0 && c_1 \\ c_1 && c_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a && -b^{*} \\ b && a^*\end{pmatrix}$ .
这里还看不出什么。由于SU(2)的幺正性，保证了 $\left| a\right|^2 +\left| b \right|^2 =1$ .也保证了F系数矩阵有：
$c_0^{'}c_2^{'}-c_1^{'}c_1^{'}=c_0c_2-c_1c_1$ .如果再令 $c_0=(x_1+ix_2), c_2=(x_1-ix_2), c_1=ix_3$ ,其实就变成了保证了 $x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}=x_1^{'2}+x_2^{'2}+x_3^{'2}$ , 这是明明是3d空间的转动变换。
说了这么多，其实说明了一个问题：
旋量如果作为SU(2)群的作用对象，也诱导出了SO(3)的表示。
楼主的问题，我觉得Dirac旋量，两个一般旋量的直和(4*1矩阵)，如果按照上面的思路，把它作为Lorentz变换的(4*4)作用对象, 就可以得出lorentz群的表示。但是如何构造像上面一样的F，来直接的进行推导，还在想。。

====================以下为 2013.06.30 添加=======================

找到在范德瓦尔登的《群论与量子力学》的121页有很好的解释。解决的关键是类比于证明SO(3)与SU(2)同态的方法。这次是用两种旋量，物理上是正电子和电子的旋量，构造双线性形式的矢量空间，而非前面的单个旋量。然后把这个矢量空间作为SL(2)的作用空间，直接作用在两种旋量上。最后的结果是得到了SL(2)诱导出了正常的lorentz群，进而得出SL(2)是正常lorentz群的双值表示。（类比于SU(2)是SO(3)的双值表示）。

总之，用旋量构造双线性类型的矢量空间作为SU(2)群的作用空间，可以诱导出SO(3)群，可以求出SU(2)和SO(3)的表示；用Dirac旋量构造双线性类型的矢量空间作为SL(2)群的作用空间，可以诱导出正常的lorentz变换群，可以求出SL(2)和正常lorentz群的表示。

在複射影平面上，任何一個非退化的二次曲線，經過適當的座標變換，都可化成 x₀²+x₁²+x₂²=0 的形式（何故？請注意一個三階對稱矩陣必可對角化）。因此，在複射影平面，所謂拋物線、雙曲線、橢圓根本就是同一件東西。