第22 卷第3 期大 学 物 理Vol. 22 No. 3
2003 年3 月COLLEGE PHYSICS Mar. 2003
收稿日期:2001 - 08 - 29
作者简介:费保俊(1956 —) ,男,湖北洪湖人,装甲兵工程学院物理教研室副教授.
教学讨论洛伦兹速度变换的一种直接推导方法
费保俊
(装甲兵工程学院物理教研室,北京 100072)
摘要:用光速不变原理直接导出洛伦兹速度变换式,并证明相对论性速度构成双曲几何的Beltrami2Klein 模型.
关键词:洛伦兹速度变换;双曲几何;Beltrami2Klein 模型
中图分类号:O 313 文献标识码:A 文章编号:100020712 (2003) 0320012202
爱因斯坦的光速不变原理本来是用速度来表述
的,但我们一般都是在四维闵氏时空中讨论. 本文给出
一个简单证明,在速度空间用光速不变原理直接推导
洛伦兹速度变换式.
如图1 所示,设A 、B 相对于O 的速度为va和vb ,
A 、B 的相对速度为vab ,由光速不变原理,若| va | = c 或
| vb| = c ,则| vab| = c ,即有
图1 相对论速度三角形
1 - vab
2/ c2 = 0 (若1 - va
2/ c2 = 0 ,或1 - vb
2/ c2 = 0)
因此,一般地必然可写成
1 - vab
2/ c2 = f ( va , vb) (1 - va
2/ c2) (1 - vb
2/ c2) (1)
式中f ( va , vb) 取决于va 、vb 的大小和它们的夹角. 因为
当va 与vb
n c 时,速度三角形是Euclid 的,即f ( va , vb)
应该满足:
f ( va , vb) = 1 + 2 va·vb/ c2 (若va 与vb
n c) (2)
设速度是均匀和各向同性的, 则f ( va , vb) 还应该
满足以下要求:
1) 若va 和vb 互换,不会改变vab的大小,故
f ( va , vb) = f ( vb , va) (3)
2) 若va = 0 或vb = 0 ,则vab = vb 或vab = va ,故
f (0 , vb) = f ( va ,0) = 1 (4)
3) 若va = vb ,则vab = 0 ,因而有
f ( va , va) =
1
(1 - va
2/ c2) 2 =
1
(1 - va·va/ c2) 2 (5)
满足以上要求的唯一可能是
f ( va , vb) =
1
(1 - va·vb/ c2) 2 (6)
于是式(1) 成为
1 -
vab
2
c2 =
(1 - va
2/ c2) (1 - vb
2/ c2)
(1 - vavbcosθ/ c2) 2
或
vab = c 1 -
(1 - va
2/ c2) (1 - vb
2/ c2)
(1 - vavbcosθ/ c2) 2
1/ 2
(7)
此即洛伦兹速度变换式[1] . 在上式中将vb 和vab互换,得
vb = c 1 -
(1 - va
2/ c2) (1 - vab
2/ c2)
(1 - vavabcosθ′/ c2) 2
1/ 2
联立上二式消去vab ,即得洛伦兹速度变换式的另一种
形式:
cot θ′=
1
1 - va
2/ c2
cot θ-
va
vb
csc θ (8)
由上式可以看出相对论速度三角形的内角和小于π. 例
如在图1 中取α=β,则
cot α=
1
1 - va
2/ c2
(csc θ- cot θ) =
1
1 - va
2/ c2
tan
θ
2
> tan
θ
2
cot α+
θ
2
=
cot αcot (θ/ 2) - 1
cot α+ cot (θ/ 2) > 0
即α+θ/ 2 <π/ 2. 因此相对论速度空间是双曲空间,相
对论速度是双曲空间的测地线. 为了看得更清楚,我们
将式(7) 用微分形式表示.
将图1 中的物理量va , vb , vab和θ分别表示为v , v
+ dv ,dσ和dθ,dσ是v和v + d v矢端的距离,如图2 所
示. 由式(7) 得
dσ2 = c2 1 -
[1 - v2/ c2 ][1 - ( v + d v) 2/ c2 ]
[1 - v ( v + dv) cos(dθ) / c2 ]2 (9)
图2 Beltrami2Klein 射影模型
利用级数展开,略去dv ,dθ的高阶小量,就得到线素表示:
dσ2 =
1
(1 - v2/ c2) 2dv2 + v2
1 - v2/ c2dθ2 (10)
这正是双曲几何的二维Beltrami2Klein 射影模型度
规[2 ] . 所谓双曲面的Beltrami2Klein 射影模型,是指Eu2
clid 平面E2 上半径为c 的开圆Γ的内域
int Γ= { v ,θ∈E2| v < c ,0 <θ< 2π}
其上的点和直线与双曲面H2 上的点和测地线存在1 -
1 映射.
将式(10) 中的极坐标( v ,θ) 推广到三维Cartesian
坐标( vi , i = 1 ,2 ,3) ,则线素为
dσ2 =ξijd vidvj (11)
其度规张量
ξi
i =
1 - 6
j ≠i
vjvj/ c2
1 - δklvkvl / c2 2 ,ξij =
vivj/ c2
1 - δklvkvl / c2 ( i ≠j)
(12)
这里采用爱因斯坦求和惯例,δij是Euclid 度规. 式(11) 和
(12) 是双曲几何的三维Beltrami2Klein 射影模型度规[2] ,
对于洛伦兹速度变换( v′i ) →( vi ) 速度间隔dσ为不变
量[3] . 它等价于四维闵氏时空的时空间隔不变性
ds2 =ημνd xμd xν
式中ημν(μ,ν= 0 ,1 ,2 ,3) 是闵氏度规. 对于洛伦兹变换
( x′μ ) →( xμ) ,时空间隔ds 为不变量.
感谢裴寿镛教授对本文的指导.
参考文献:
[1 ] Landau L D ,Lifshitz E M. The Classical Theory of Fields[M] .
Oxford :Pergamon Press ,1975. 36.
[2 ] Goldman M W. Complex Hyperbolic Geometry [M] . Oxford :
Clarendon Press ,1999. 80.
[3 ] Fei B J ,Li Z G. Relativistic Velocity and Hyperbolic Geometry
[J ] . Physics Essays ,1997(2) :248.
A direct derivation of Lorentz transformation of velocity
FEI Bao2jun
(Department of Physics ,Armored Force Engineering Institute ,Beijing ,100072 ,China)
Abstract :Lorentz transformation of velocity from the invariance of light speed is derived directly. It is
proved that relativistic velocity make up of Bltrami2Klein model of hyperbolic geometry.
Key words :Lorentz transformation of velocity ;hyperbolic geometry ;Bltrami2Klein model
(上接4 页)
参考文献:
[1 ] 赵国权,曾国模,刘曼芬等. 特殊函数级数表达式在矩阵
元计算中的应用[J ] . 大学物理,1995 ,14(10) :12～14.
[2 ] 陈昌远. 三维各向同性谐振子径向矩阵元的递推关系
[J ] . 物理学报,2000 ,49(4) :607～609.
[3 ] 钱伯初,曾谨言. 量子力学习题精选与剖析[M] . 北京:科
学出版社,1988. 202.
Recurrence formula for radial matrix elements
J ING Xiao2gong ,ZHAO Yong2fang ,QIAN Zheng2nan
(Department of Physics ,Center for Condensed Matter Science and Technology ,Harbin Institute of Technology ,
Harbin ,Heilongjiang ,150001 ,China )
Abstract :The recurrence formula for radial matrix elements 〈nl| rk| n′l′〉are introduced.
Key words :recurrence formula ;radial matrix elements
第3期 费保俊:洛伦兹速度变换的一种直接推导方法 13
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