Sunday, November 9, 2014

u(1) 一个圆环在绕其中心轴转动任何角度时保持对称。这些转动构成一个群，称为U（1），

对规范对称的描述也要用到数学的群论，描述这种连续对称的称为李群。例如圆环上的对称性，一个圆环在绕其中心轴转动任何角度时保持对称。这些转动构成一个群，称为U（1），其中U 代表“幺正”的意思，是一种特定的数学性质。碰巧电磁场的规范对称性正是这种U（1）对称，为Able 群；不过是在某一抽象空间中，而非真实的空间。弱力和电磁力可由SU(2)xU(1)非阿贝尔规范理论来统一描述，S 代表“特殊”；已有标准模型：SU(3)x SU(2) x U(1)（非阿贝尔规范理论）来描述强、弱、电磁三种力，我们在这里并不关心它在数学上的具体含义

政道认为对称性原理均根植于“不可观测量”的理论假设上；不可观测就意味着对称性，任何不对称性的发现必定意味着存在某种可观测量。李政道说：“这些‘不可观测量’中，有一些只是由于我们目前测量能力的限制。当我们的实验技术得到改进时，我们的观测范围自然要扩大。因而，完全有可能到某种时候，我们能够探测到某个假设的‘不可观测量’，而这正是对称破坏的根源。
这和“对称性破缺则是由‘宏观’走向‘微观’而展现事物差异性的方式”哲学观点是一致的。
假如没有对称性破缺，这个世界将会失去活力，也将是单调、黯淡的，也不会有生物。自然界同样也存在着诸多对性破缺的例子。比如：弱作用力下的宇称不守恒、粒子与反粒子的不对称、手性分子的对称性破缺等等


第22 卷第3 期大　学　物　理Vol. 22 No. 3

2003 年3 月COLLEGE 　PHYSICS Mar. 2003

　收稿日期:2001 - 08 - 29

　作者简介:费保俊(1956 —) ,男,湖北洪湖人,装甲兵工程学院物理教研室副教授.

教学讨论洛伦兹速度变换的一种直接推导方法


费保俊

(装甲兵工程学院物理教研室,北京　100072)

　　摘要:用光速不变原理直接导出洛伦兹速度变换式,并证明相对论性速度构成双曲几何的Beltrami2Klein 模型.

关键词:洛伦兹速度变换;双曲几何;Beltrami2Klein 模型

中图分类号:O 313 　　　文献标识码:A 　　　文章编号:100020712 (2003) 0320012202



　　爱因斯坦的光速不变原理本来是用速度来表述
 
的,但我们一般都是在四维闵氏时空中讨论. 本文给出

一个简单证明,在速度空间用光速不变原理直接推导

洛伦兹速度变换式.

如图1 所示,设A 、B 相对于O 的速度为va和vb ,

A 、B 的相对速度为vab ,由光速不变原理,若| va | = c 或

| vb| = c ,则| vab| = c ,即有

图1 　相对论速度三角形

1 - vab

2/ c2 = 0 (若1 - va

2/ c2 = 0 ,或1 - vb

2/ c2 = 0)

因此,一般地必然可写成

1 - vab

2/ c2 = f ( va , vb) (1 - va

2/ c2) (1 - vb

2/ c2) (1)

式中f ( va , vb) 取决于va 、vb 的大小和它们的夹角. 因为

当va 与vb

n c 时,速度三角形是Euclid 的,即f ( va , vb)

应该满足:

f ( va , vb) = 1 + 2 va·vb/ c2 　(若va 与vb

n c) (2)

设速度是均匀和各向同性的, 则f ( va , vb) 还应该

满足以下要求:

1) 若va 和vb 互换,不会改变vab的大小,故

f ( va , vb) = f ( vb , va) (3)

2) 若va = 0 或vb = 0 ,则vab = vb 或vab = va ,故

f (0 , vb) = f ( va ,0) = 1 (4)

3) 若va = vb ,则vab = 0 ,因而有

f ( va , va) =



1
 
(1 - va

2/ c2) 2 =



1
 
(1 - va·va/ c2) 2 (5)



满足以上要求的唯一可能是
 
f ( va , vb) =



1
 
(1 - va·vb/ c2) 2 (6)

于是式(1) 成为



1 -
 
vab
2
 
c2 =

(1 - va

2/ c2) (1 - vb

2/ c2)

(1 - vavbcosθ/ c2) 2



或
 
vab = c 1 -

(1 - va

2/ c2) (1 - vb

2/ c2)

(1 - vavbcosθ/ c2) 2

1/ 2

(7)

此即洛伦兹速度变换式[1] . 在上式中将vb 和vab互换,得

vb = c 1 -

(1 - va

2/ c2) (1 - vab

2/ c2)

(1 - vavabcosθ′/ c2) 2

1/ 2

联立上二式消去vab ,即得洛伦兹速度变换式的另一种

形式:

cot θ′=



1
 
1 - va

2/ c2

cot θ-


va

vb

csc θ (8)

由上式可以看出相对论速度三角形的内角和小于π. 例

如在图1 中取α=β,则

　cot α=



1
 
1 - va

2/ c2

(csc θ- cot θ) =



1
 
1 - va

2/ c2



tan
 
θ
  
2

> tan
 
θ
  
2
 
cot α+




θ
  
2

=
 
cot αcot (θ/ 2) - 1

cot α+ cot (θ/ 2) > 0

即α+θ/ 2 <π/ 2. 因此相对论速度空间是双曲空间,相

对论速度是双曲空间的测地线. 为了看得更清楚,我们

将式(7) 用微分形式表示.

将图1 中的物理量va , vb , vab和θ分别表示为v , v

+ dv ,dσ和dθ,dσ是v和v + d v矢端的距离,如图2 所

示. 由式(7) 得

dσ2 = c2 1 -

[1 - v2/ c2 ][1 - ( v + d v) 2/ c2 ]

[1 - v ( v + dv) cos(dθ) / c2 ]2 (9)

图2 　Beltrami2Klein 射影模型

利用级数展开,略去dv ,dθ的高阶小量,就得到线素表示:

dσ2 =



1
 
(1 - v2/ c2) 2dv2 + v2

1 - v2/ c2dθ2 (10)

这正是双曲几何的二维Beltrami2Klein 射影模型度

规[2 ] . 所谓双曲面的Beltrami2Klein 射影模型,是指Eu2

clid 平面E2 上半径为c 的开圆Γ的内域

int Γ= { v ,θ∈E2| v < c ,0 <θ< 2π}

其上的点和直线与双曲面H2 上的点和测地线存在1 -

1 映射.

　　将式(10) 中的极坐标( v ,θ) 推广到三维Cartesian

坐标( vi , i = 1 ,2 ,3) ,则线素为

dσ2 =ξijd vidvj (11)



其度规张量
 
ξi

i =

1 - 6

j ≠i

vjvj/ c2

1 - δklvkvl / c2 2 ,ξij =

vivj/ c2

1 - δklvkvl / c2 ( i ≠j)

(12)

这里采用爱因斯坦求和惯例,δij是Euclid 度规. 式(11) 和

(12) 是双曲几何的三维Beltrami2Klein 射影模型度规[2] ,

对于洛伦兹速度变换( v′i ) →( vi ) 速度间隔dσ为不变

量[3] . 它等价于四维闵氏时空的时空间隔不变性

ds2 =ημνd xμd xν

式中ημν(μ,ν= 0 ,1 ,2 ,3) 是闵氏度规. 对于洛伦兹变换

( x′μ ) →( xμ) ,时空间隔ds 为不变量.

感谢裴寿镛教授对本文的指导.

参考文献:

[1 ] 　Landau L D ,Lifshitz E M. The Classical Theory of Fields[M] .



Oxford :Pergamon Press ,1975. 36.
 
[2 ] 　Goldman M W. Complex Hyperbolic Geometry [M] . Oxford :



Clarendon Press ,1999. 80.
 
[3 ] 　Fei B J ,Li Z G. Relativistic Velocity and Hyperbolic Geometry



[J ] . Physics Essays ,1997(2) :248.
 
A direct derivation of Lorentz transformation of velocity
  
FEI Bao2jun



(Department of Physics ,Armored Force Engineering Institute ,Beijing ,100072 ,China)
 
　　Abstract :Lorentz transformation of velocity from the invariance of light speed is derived directly. It is

proved that relativistic velocity make up of Bltrami2Klein model of hyperbolic geometry.

　　Key words :Lorentz transformation of velocity ;hyperbolic geometry ;Bltrami2Klein model

(上接4 页)

参考文献:

[1 ] 　赵国权,曾国模,刘曼芬等. 特殊函数级数表达式在矩阵

元计算中的应用[J ] . 大学物理,1995 ,14(10) :12～14.

[2 ] 　陈昌远. 三维各向同性谐振子径向矩阵元的递推关系

[J ] . 物理学报,2000 ,49(4) :607～609.

[3 ] 　钱伯初,曾谨言. 量子力学习题精选与剖析[M] . 北京:科

学出版社,1988. 202.




Recurrence formula for radial matrix elements
  
J ING Xiao2gong ,ZHAO Yong2fang ,QIAN Zheng2nan



(Department of Physics ,Center for Condensed Matter Science and Technology ,Harbin Institute of Technology ,

Harbin ,Heilongjiang ,150001 ,China )
 
　　Abstract :The recurrence formula for radial matrix elements 〈nl| rk| n′l′〉are introduced.

　　Key words :recurrence formula ;radial matrix elements

第3期 　　　　　　　　　　　　费保俊:洛伦兹速度变换的一种直接推导方法 13


Lorentz群的表示和Dirac旋量之间有何关系？修改


O(3,1) 有四个连通分支，下面把包含单位元的那个称为Lorentz群，或SOe(3,1)，或proper orthochronous Lorentz群。

SOe(3,1)不是单连通的，它的覆盖群记为Spin(3,1)，同时也是通用覆盖群。这是同构于SL(2, C)的。SL(2, C)就是单连通的了。SL(2, C)和SOe(3,1)是2对1的同态。这很像SO(3)和SU(2)之间的关系。这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不 懂。

SL(2, C)的有限维线性复表示可标记为(m/2, n/2)，其中m和n是非负整数。当m或n是奇数时，称为旋量表示。旋量表示并不是SOe(3,1)的表示，比如说从单位元开始，绕z轴0转到2pi，SOe(3,1)的“旋量表示”并不变回去，而是差一个符号。要转过4pi才回去。但物理学家管这个叫双值表示，似乎更恰当的名称是射影(projective)表示。按照Weinberg在他的QTF vol 1 chap 2中的说法，射影表示是
U(g) U(h) = exp(i φ(g, h)) U(g h)
其中φ(g, h)是个实数。射影表示是差一个相位的表示。比如说SU(2)的旋量表示，就是SO(3)的双值表示，这似乎正是射影表示。

这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不懂。

Dirac旋量就是(1/2, 0)⊕(0, 1/2)的表示。这个在刘川老师的量子场论讲义，或者是Peskin and Schroeder等教材中都讲了。
… 显示全部
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