lqcc.ustc.edu.cn/news/path/microcavity/.../syllabus.pdf
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7.4 Fock-Plank 方程. 7.5 Quantum Jump 方法. 第八章耗散的量子理论——
输运系数另一个求法是把截面带入经典输运方程（Boltzmann或Fock-Plank），把它线性化，
如果没有宇宙项，ds随时间是增大的，宇宙就是膨胀的。如果加了宇宙项，选取适当的Λ值，ds不随时间变化，宇宙就是稳定的。
物理视角下的期权定价方程
陶勇
(重庆大学经济与工商管理学院,重庆400044)
(收稿日期:20090506)
摘要以大学物理的角度来介绍三种推导BlackScholes期权定价方程的方法,并以物理专
业易于理解的方式来剖析相关的推导过程.关键词期权;布朗运动;格林函数;薛定谔方程
THEEQUATIONOFOPTIONVALUATIONBASED
ONPHYSICALVIEWPOINT
TaoYong
(EconomyandBusinessManagementInstitute,ChongqingUniversity,Chongqing400044)
AbstractThethreewaysthatderivetheBlackScholesequationofoptionvaluationhavebeenintroducedbasedonthephysicalviewpoint.Thecorrespondingkeypointhasbeenanalyzedintheeasytounderstandwaytofitthestudentsfromdepartmentofphysics.KeyWordsoption;Brownianmotion;Greenfunction;Schrdingerequation近年来,物理学的思想似乎在融入社会科学领域,并有一系列的文章[1,2]开始阐述数理金融核心工具BlackScholes期权定价方程与物理方法论的联系.相继又有文章[3]谈到BlackScholes方程与规范场思想的联系.至于物理学对于金融学的影响,或许从华尔街的金融大亨们偏爱雇用理论物理学博士这一现象便可窥见一斑.在现今科学知识相互渗透的时代,扩展学生的视野显得尤为重要,物理系的学生不应只局限在物理学中,或许一些学生可能适合于物理与某些学科的交叉领域,较著名的领域便是econophysics,这可以被译为经济物理(也有人译为金融物理).而且将物理学引入经济学的趋势似乎还愈演愈烈,Phys.Rev.E和PhysicaA等国际顶尖杂志上发表的相关文章数量的增加便是一个明证.因此,让物理系的本科生在一个较早的时期来接触物理学在经济应用中的成功案例对于他们将来的发展也必有一定的助益.现今由美国次贷危机所引发的世界金融危机就是金融衍生品(如期权)的使用不当所产
生的,因此做好这方面的工作对于促进国家经济的稳定和发展是具有现实意义的.就像文献[2]所呼吁的:现在全世界都正在集中各种人才到金融领域,而金融工程需要物理学和物理学家;金融学向定量科学发展是历史的必然,物理学家参与金融工程势在必行.文献[1]曾谈到BlackScholes方程其实完全可以从物理学的角度推导出来,本文便是试图对此做一点尝试.我们的目的是从物理系本科生易于接受的角度来推导和剖析BlackScholes方程,当然其中也会涉入一点点的经济学,不过,这并不会影响学生对此的理解.
本文只讨论欧式的股票期权,实际上其他期权的原理与此类似.所谓期权实际上是一种买卖股票的选择权,期权分为买入期权和卖出期权.买入期权:指期权购买者看好某支股票在将来会涨,便与期权出售者约定在将来的T时刻以现在的零时刻该股票的约定价格E购买一定数量该股票,但这一约定必须按股票数量支付零时刻商讨的单位期权费C.如设在T时刻的股
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物理与工程Vol.19No.52009
票价格为S,且S>E,则购买者会赢利S-E-C;当然如果T时刻股票价格S<E,购买者也可以不执行交易,此时购买者仅损失单位期权费C.
卖出期权:指期权购买者看好某支股票在将来会跌,便与期权出售者约定在将来的T时刻以现在的零时刻该股票的约定价格E卖出一定数量该股票,但这一约定必须按股票数量支付零时刻商讨的单位期权费C.如设在T时刻的股票价格为S,且S<E,则购买者会赢利E-S-C;当然如果T时刻股票价格S>E,购买者也可以不执行交易,此时购买者仅损失单位期权费C.可以看到期权购买者的赢利与期权的价格C息息相关,那么如何为零时刻的期权制定价格进行交易呢?1方法一
我们的目的是要找到一种方法为期权定价,即找到C的表达式.从上面的论述容易看出期权价格C应该是股票价格S和时间t的函数,即C=C(S,t).那么表达式C=C(S,t)的形式应该是什么样子呢?我们知道物理学中试图寻找一个规律方程时总是假定存在一个均衡状态(如理论力学的力平衡;统计力学中的最可几状态),后来这被精炼为最小作用量原理.
事实上,诸如此类的想法在经济学中同样适用,一个重要的事实是:同时购买股票和该股票的期权可以降低风险.例如:如果我们买了m单位股票A,但我们又担心股票A将来可能会跌,那么我们便可以买1单位股票A的看跌期权(卖出期权),假如将来股票A真的跌了,我们也可以在期权市场上赚到钱来填补在股票市场上的损失.恰恰正是这一特征使得股票市场上的风险和期权市场上的风险可以被对冲掉,从而实现整个金融市场上的均衡.
现在我们把上面的的想法(均衡)精确化.构造一资产组合:1单位期权和m单位股票.这一组合的价值为
=C-mS
微分形式为
d=dC-mdS
(1)
我们知道买卖股票是有风险的,而风险来源于随机性.一般来说,股票价格的变化是随机的,
它被看作一个布朗运动.股票价格的变化服从布朗运动意味着方差Var(dS)~dt(请回忆布朗运动的爱因斯坦公式),因此保留至t一次项(普通
微积分的必要形式)的dS的普遍形式为
dS=a(S,t)dt+b(S,t)dB(t)
(2)
其中,dB(t)=dt,并且~N(0,1),即服从标准的正态分布.
由于股票价格的变化是随机的,因此该股票的期权价格也应是随机的.类比方程(2)我们预期期权价格C(S,t)应该为
dC(S,t)=f(C,t)dt+g(C,t)dB(t)
(3)
从方程(2)和方程(3)我们可以看到正是由于dB(t)项的存在,使得购买股票和期权充满了风险.但从式(1)的结构却可以发现,只要适当地选择m便可以从方程(1)中消去dB(t)项.不过,我们首先仍必须先确定f(C,t)和g(C,t)的形式.
为此将C(S,t)作泰勒展开
dC(S,t)=CSS+Ctt+122
CS
2(S)2
+
2
CStSt+122
Ct2
(t)2+(4)
将方程(2)代入方程(4),并保留至t的一次
项得
dC(S,t)=
CSa+Ct+122CS2
b2
dt+
CS
bdB(t)
(5)
比较式(3)和式(5)得
f(C,t)=CSa+Ct+122CS2
b
2
和
g(C,t)=CS
b
将式(2)和式(5)代入方程(1)得
d=
CSa+Ct+122CS2b2-am
dt+
CS
-m
bdB(t)
显然只需同时选择m=CS单位的股票和1单
位期权便可以将资产组合的风险(随机性)dB(t)项消去.
因此,投资者的无风险收益为
d=Ct+122CS2
b2
dt
(6)
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现在我们要讲一点经济学了.方程(6)为无风险的收益,就意味着我们只要按照方程(6)的程式来安排投资便可以不顾虑市场风险而总是赚到钱.但问题是如果每个人都按这种方式设计投资方案,那岂非就意味着每个人都可以大把地赚钱?现实中当然不是这样,实际上人们惟一能不顾虑市场风险而赚到钱的方式几乎(除开经济危机)只有将钱存入信誉卓著的银行,然后享受利率为r的增值收益;否则,市场是不可能达到均衡的.这个思想意味着从整个市场来看,无风险的股票和期权的投资组合仍旧只相当于将钱存入(投资到)银行.因此,无风险收益d应该与无风险利率r的投入相当,即
[注]
d=rdt
这就意味着
Ct+122CS2
b2
=r=C-CS
Sr
所以,均衡市场的期权定价方程为
Ct+12b22
CS2+rSCS
-rC=0当a(S,t)=S和b(S,t)=S时,上式便是著名的BlackScholes期权定价方程
Ct+122S22
CS
2+rSCS-rC=0(7)这里,为股票价格的期望收益(注意它并不会出现在方程(7)中);为股票价格的波动率(均方差).这时,方程(2)可以保证股票价格不取负值(这被看作a(S,t)和b(S,t)的形式的一个重要判定).
在边界条件C(S,T)=
max(S-E,0)max(E-S,0)(买入期权)
(卖出期权)下,便可以从方程(7)解出期权的价格,有兴趣可参阅文献[4].2方法二
BlackScholes方程在形式上很像统计物理中的PlankFock方程,可惜却不是,更重要的是现实中的股票价格S不能为负.但如果我们对C(S,t)和S作一个变量替换,方程(7)便会成为一个使物理系的学生熟悉的形式.为此我们令
S=eX
,t=-2
2
,C(S,t)=e-2r
2u(X,)这样方程(7)就化为
u=2
uX2
+2r2-1u
X(8)
(-<X<+)
这里,u(X,)也可被看作一种期权价格,即相当于原期权价格C(S,t)以复利率2r
2贴
现[注];而X也可以被看作该期权的股票价格,只不过这种虚拟的股票价格可以为负.实际上,这里的贴现需要到经济学中才能作出解释(有兴趣可参阅文献[5]);如果要从物理上进行理解,那么可以解释为:贴现(函数变换)后的期权价格u(X,)才能够被归一化,即可被理解为股票价格X的分布函数.由于方程(8)和PlankFock方程完全一致,下面我们用标准的统计力学方法来导出方程(8).
关键的一步是令u(X2,2)=
+-
u(X1,1)G(X1,1;X2,2)dX2
这里,G(X1,1;X2,2)是期权价格随时间演化的
格林函数,它表示2时刻的期权价格u(X2,2)由一个马尔科夫过程从1时刻的价格u(X1,1)演化而来.因此整个问题已经完全被物理化了,与爱因斯坦处理布朗运动的精神完全一致.取代花粉颗粒,股票价格X完全是一种随机过程,而期权价格u(X,)(被归一化后)可看作股票价格X的分布函数.
这里,格林函数的定义为[6]
G(X1,1;X2,2)=(X1-X2)-d+
-
dX(X1
,X,)(X
1
-X2)+
d(X1,X2,)
它保证了
+-
G(X1,1;X2,2)dX2=1
如此按照统计物理的标准程式[6]便得到PlankFock方程
uX,t=-X
1Xu(X,)+122
X2
2Xu(X,)
显然只须令1X=1-
2r
2和2X=2便可得
到BlackScholes方程(8).
(下转第59页)
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教育工作者共同合作,积极推进.
参考文献
[1]丁学钧,刘建臣等.计算机专业双语教学系统模式的研究与
实践.全国高校双语教学研讨会论文集,2007,632~634[2]教育部关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的
若干意见(教高[2001]4号)文件
[3]滕小瑛.双语教学的探索和体会.中国大学教学,北京,高
等教育出版社,2005,31~32
[4]王安安.使用英文物理教材进行教学的一种模式[J].大学
物理,2004,23,56~58
(上接第56页)
3方法三
最后我们指出BlackScholes方程(8)的另一种颇有启发意义的形式
-Au(X,)=
X
-AX2
u(X,)(9)
其中,A=-r2-12
2
以及AX=12-r
2
方程(9)可看作一个作了Wick旋转的规范场耦合的薛定谔方程,而A和AX相当于一种类似于电磁场的规范场.显然这一形式可以被纳入分析力学加以讨论,犹如牛顿力学进入分析力学一样必定大有裨益.事实上,已经有人从规范场的角度来推导BlackScholes方程(那里使用的是路径积分的方法).不过,鉴于这种方法还不能算作完善,这里便不做介绍,有兴趣可参阅文献[2,3](对于物理系的学生,那将是具有鼓舞作用的导读性文章).
本文实际上指出了3种BlackScholes方程的推导方法.第一种方法的经济学色彩较浓,第二种方法是纯统计力学的思路,第三种方法属于分析力学.这里我们着重指出前两种方法的易于讲授性:我们相信只要将期权的两种概念(买入和卖出期权)讲解清楚,对学生而言理解后面的形式推导是没有什么原则上的困难.而用统计力学的方法来推导BlackScholes方程是具有典型意义的,即在布朗运动课程中趁热打铁给学生介绍统计
引力场方程
2015年2月24日 19:09
.爱因斯坦场方程：
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv
（Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν）
说明：g_uv为度规，κ为系数，可由低速的牛顿理论来确定。"_"后字母为下标，"^"后字母为上标。
意义：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）
解的形式是：ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2
式中A,B,C,D为度规g_uv分量。
考虑能量－动量张量T_uv的解比较复杂。最简单的就是让T_uv等于0，对于真空静止球对称外部的情况，则有施瓦西外解。如果是该球体内部的情况，或者是考虑球体轴对称的旋转，就稍微复杂一点。还有更复杂的星云内部或外部的情况，星云内部的星球还要运动、转动等。这些因素都要影响到星云内部的曲面空间。
2.含宇宙常数项的场方程：
R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv
此处的Λ是宇宙常数，其物理意义是宇宙真空场。Λ*g_uv为宇宙项。
如果从数学上理解的话，则上面的场方程也可解出下面的形式：
ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2![[1]](http://img.t.sinajs.cn/t4/appstyle/expression/ext/normal/82/one_org.gif "[1]")
式中A,B,C,D为度规g_uv分量。
这里的ds就是表达空间弯曲程度的一小段距离。同时因为4维空间与时间有关，ds随时间也会变化。这时，如果没有宇宙项，ds随时间是增大的，宇宙就是膨胀的。如果加了宇宙项，选取适当的Λ值，ds不随时间变化，宇宙就是稳定的。
如果从物理意义上理解的话，把宇宙项移到式右边，则是：
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv-Λ*g_uv
Λ项为负值，起到了斥力的作用，即宇宙真空场与普通物质场之间存在着斥力。宇宙项和通常物质场的引力作用起到了平衡的作用，所以可得到稳定的宇宙解。
2性质编辑
非线性
爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于概率波函数也是线性的。
对应原理![[抱抱]](http://img.t.sinajs.cn/t4/appstyle/expression/ext/normal/27/bba_org.gif "[抱抱]")
透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上，场方程中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做连结后所得出。
牛顿重力理论 is like 电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系, 線性疊加
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※ 引述《couch》之銘言： 會使用分離變數法，通常是因為以下的特性： 線性方程的解，作線性疊加之後，仍然滿足原方程 因為這個特點，所以，我們對於解線性(偏)微分方程，得到一個重要的提示： 如果我們可以找到足夠多的解當基底 所有滿足這個方程的解，都可以透過線性疊加的方式合成 因此，我們就可以使用線性代數的技巧，使計算更為方便 這裡有三個主要的考量點： 1. 如何確定找到的解夠多，足夠當成基底來用 2. 找基底的方法是否夠簡單。 如果還要花一大堆力氣找基底，抵消掉使用線性代數變成更加方便的好處 那就失去做這件事情的意義了 3. 我所找到的基底是否適用於我想解的問題。 即使是線性疊加，但許多時候我還有其它的條件限制，例如邊界的長像 使得某些基底並不適用於我想解的問題 ---------- 分離變數法最大的精神是，想辦法把偏微分方程變成常微分方程 這個過程，使得解偏微分方程的難度，降低好幾個數量級 因此滿足條件 (2) 而最大的問題是，"我會不會漏掉某些解沒找到"？ 換句話說，到底條件 (1) 滿不滿足 這件事情，很幸運地，在數學上可証明 使用分離變數法找到解，足夠多到可以當基底使用 所以現在問題就只剩下條件 (3) 了...... ---------- 這時，一個很重要的觀念必須引入：對稱 我們發現，當我們所解的問題滿足某種對稱時 解的長像似乎也會滿足某種對稱性 這讓我們又有另一項提示：座標系的選取 當我們所解的問題 其邊界長像是方形對稱時，二話不說就用直角坐標系 而長像是柱狀對稱時，就使用圓柱坐標系 而長像是球狀對稱時，就使用球坐標系 總之，座標系的選取，要儘量滿足所解問題的對稱條件 那如果沒有滿足對稱條件，是不是不能解？ 不是，還是可以解，只不過，當你在縫合邊界條件時 因為坐標系與邊界不對稱，你一定會一邊縫合一邊訐譙 !@#$%^&* 當然當你花了一堆力氣縫合完成時，你也得到了正確解答 ---------- 其實，當我們使用分離變數法時， 我們發現，在許多情況，我們都在解以下的問題： Ａ(x) f(x) = λ f(x) Ａ(x) 代表一個線性運算子，例如 d/dx, 或 (d^2/dx^2 + x^2) ... 等 λ是一個常數 眼尖的人一看，就明白這是個典型的 eigenvalue problem 想辦法找到這個方程的 eigen function 就好了 不過在許多時候，eigenvalue 與 eigen function 並不是那麼容易找 所以，通常我們會使用一些技巧，作變數變換成以下的形式 Ｂ f(y) = λ f(y) Ｂ也是一個線性運算子，不過與Ａ不同的是，Ｂ是常線性運算子，與 y 無關 簡化到這個地步，我們可以使用葵花寶典了 Laplace transform 或 Fourier transform 將這個問題變成代數方程式，問題難度再降低幾個數量級 ---------- 當問題變簡單，你可以爽爽地算 你會發現，最後一步通常都是縫合邊界條件 不過縫合時，又會碰到一顆小小的石頭 就是，各個可能解的係數要怎麼挑，才會滿足邊界條件 這一點，就想辦法拿出你家的剪刀菜刀剃頭刀 使用各種學過的工具，如 Laplace Fourier z conformal.... 得到你要想的係數 這時就功德圓滿大功告成了 ---------- 咦？會不會你只找到一種可能解 會不會存在其它解，同時滿足此偏微分方程，與所給定的邊界條件 嗯，這是所謂解的唯一性問題 這個問題，我們經由數學証明，會得到一些條件 以我們常遇到的線性偏微分方程而言，大部分都是二次偏微分方程 而二次方程分成三大類：橢圓方程(位能)，雙曲方程(波動)，拋物方程(熱傳導) 這三大類方程的唯一性，則由邊界條件是否滿足某些特性而決定 很幸運地，在大部分我們所處理的狀況，解的唯一性是成立的 ※ 引述《couch》之銘言： > ※ 引述《ccos.bbs@bbs.ntu.edu.tw (vee vee vee vee)》之銘言： > > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來 > > 的 想找來翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 這些是老師上課提到的觀念 > 我不知道書找不找的到 > 但講一些我聽到的東西好了 > 像在解擴散的Fick's second law時 > short time會用Green's function的方法解 > 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function) > 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來 > long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關) > 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉 > 這兩種方法的不同除了以上所說的 > 還有一個就是級數要收斂的問題 > 倒過來用應該也是可以解 > 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來 > 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說) > 單從分離變數方法來看 > 可能就只能說是數學上解pde的手法 > 但是因為氫原子是central force problem > radial的部分的operator(這我沒聽過有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解 > 而且可以用乘法湊起來 > 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法 > 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法 > 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解 > 所以管他解出來對不對 > 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦
相对论与黎曼几何-7-黎曼几何
精选
相对论与黎曼几何-7-黎曼几何
精选
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7. 黎曼几何
在介绍“内蕴几何”一节中说过，高斯以他的“绝妙定理”建立了曲面内在的微分几何。之后，是高斯的得意门生黎曼，将曲面的概念扩展到流形（Manifolds），将内蕴几何扩展到n维的一般情形，建立了黎曼几何。
和高斯一样，黎曼（1826-1866）也是德国数学家，同样出生在贫困的普通家庭。黎曼比高斯刚好小五十岁，于1826年生于德国的一个小村庄，有趣的是，按时间算起来，高斯那时候正好在这个地区进行土地测量。时间的巧合，给人一种异想天开神话式的联想：上帝是否就在那时候，将非欧几何-黎曼几何的思想种子，植根到了那片被丈量的土地上。
遗憾的是，黎曼只活了39岁，不过，他短暂的一生，却对数学做出了杰出的贡献。他小时候家境贫困，但父亲是教堂的牧师，很重视儿子的教育，也注意到黎曼在数学上的杰出能力。因此，父亲没有为了尽早改善家庭的经济状况而阻止黎曼往数学的方向上发展，这才有了现代数学上著名的黎曼面、黎曼几何、黎曼猜想、……等等。
黎曼19岁进入哥廷根大学读书时，高斯将近70，已经是那儿鼎鼎有名的教授，正是在听了高斯的几次数学讲座之后，黎曼才下决心改修数学。
1847年，黎曼转入柏林大学学习，也许是冥冥中某种力量的召唤，两年后他又回到哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。博士毕业后，黎曼为了申请哥廷根大学的一个“无薪”教职，需要作一个难度颇高的就职演说。为了确定论文的选题，他向高斯提交了3个题目，以便让高斯在其中选定一个。没想到高斯选中了黎曼当时并没有多少准备的几何基础题目。更没想到的是，正是这篇黎曼花了不到两个月时间准备出来的演讲论文《论作为几何基础的假设》（原文见【1】，英文翻译版见【2】），提出了一大堆陌生概念，开创了一种崭新的几何体系，令哥廷根的数学同行们大吃一惊。
某些传言可能并不过分，据说当时在黎曼就职演讲的听众中，唯有高斯听懂了黎曼在说些什么。
从前面“内蕴几何”一节中，我们已经知道：根据曲面的第一基本形式，也就是曲面上计算弧长的公式，可以建立起曲面的内蕴几何。三维空间中两个参数u和v所描述的曲面的第一形式可用下式表达：
ds2 = E du2 + 2F dudv+ G dv2 （2-7-1）
图2-7-1：平面（a、b）和球面（c）上的弧长（微分）表达式
公式（2-7-1）中的E、F、G是曲面第一基本形式的系数。黎曼在他的就职演说中，将二维曲面的概念扩展为“n维流形”，将E、F、G等系数扩展为定义在n维黎曼流形上每一点p的“黎曼度规”gij(p)：
有了度规，就有了度量空间长度的某种方法，也就才能够测量和计算距离、角度、面积等等几何量，从而建立流形上的几何学。首先，我们可以从图2-7-1所示的平面和球面上的弧长微分计算公式，对黎曼度规gij得到一点直观印象。对图中的二维平面和二维球面，下指标i和j的取值从1到2，这时，可以将度规gij写成2×2的矩阵形式：
总结一下上面3种情况下度规的性质：a.平面直角坐标的度规是个简单的dij函数（i等于j时为1，否则为0），而且对整个平面所有的p点都是一样的；b.平面极坐标的度规对整个平面不是常数，随点p的r不同而不同；c.球面坐标上的度规也不是常数。由上面a和b的结论可知：同样是描述平面，但如果所选择的坐标系不同，度规也将不同。平面上的极坐标和直角坐标是可以互相转换的，因此，第二种情况b的极坐标度规可以经过坐标变换而变成a那种dij函数形式的度规。那么，现在就有了一个问题：第3种情况的球面度规是否也可以经过坐标变换而变成如a所示的那种d形式的度规呢？对此数学家们已经有了证明，答案是否定的。也就是说，在ds保持不变的情形下，无论你作何种坐标变换，都不可能将球面的度规变成a所示的d形式。由此表明，球面的内在弯曲性质无法通过坐标变换而消除，黎曼度规可以区分平面和球面或其它空间的内在弯曲状况。
一般来说，黎曼流形上每一点p的“黎曼度规”gij(p)随p点的不同而不同，这种以空间中的点为变量的物理量叫做“场”。
像黎曼度规gij(p)这种具有两个指标（i和j），并且在坐标变换下按一定规律变化的几何量叫做二阶张量。因此，gij(p)是黎曼流形上的2阶张量场。不难看出，对n维流形上的点p，gij(p)在给定的坐标系中有n2个分量，因而可以表示成一个n×n的矩阵。除了2阶张量场之外，黎曼流形上也能定义0阶张量（标量）场、1阶张量（矢量）场、3阶、4阶以及更高阶的张量场。
张量在物理及工程上有广泛的应用，尤其是大家所熟知的“矢量”的概念，连日常生活中也都比比皆是：速度、加速度、力、电流、水流、电场、磁场等等，这些既有方向，又有大小的物理量，都可以用矢量来表示。n维空间的矢量有n个分量，标量则只有1个分量，比如温度、湿度、密度、能量等，属于标量。
物理量表达的是某种物理实在，应该与人为选择的坐标系无关。因此，标量、矢量、张量等，都是独立于坐标系而存在的。只不过，为了测量和计算的方便，人们总是要选取一定的坐标系，这样一来，这些量在不同的坐标系之下，便有了不同的分量值。然而，无论坐标系如何选取，因为总是对应于同一个东西，总有些量是不会改变的。因此，在坐标系变换时，张量的坐标分量便必须遵循某种规则，才能保证这一点。就好比对于同一个人，不同的人对他可以有不同的称呼：“爸爸”、“儿子”、“爷爷”、“哥哥”、“弟弟”，都有可能。但是，这些称呼之间的变换应该会符合某些逻辑原则，才能保证它们指的是同一个人。
有时候，坐标系的选取可以简化计算，或者更清楚地表征空间的某种性质。前面所说的度规张量就是如此。如果一个黎曼流形上每一点的的度规张量都可以写成dij函数形式的话，黎曼将其称之为“平”流形。流形“平”或“不平”，定义在它上面的几何规律将完全不同。
黎曼将二维曲面的球面几何、双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）、和欧氏几何，统一在下述黎曼度规表达式中：
公式（2-7-6）中的a，是2维曲面的高斯曲率。当a=+1，度规所描述的是三角形内角和E大于180度的球面几何；当a=-1，所描述的是内角和E小于180o的双曲几何；当a=0，则对应于通常的欧几里德几何。黎曼引入度规的概念，将3种几何统一在一起，使得非欧几何焕发出蓬勃的生机。
如同我们看到的嵌入三维空间中的大多数二维曲面都不是可展的一样，大多数流形都不是“平”的。高斯定义了高斯曲率来描述平面和“不可展”曲面的差异，黎曼将曲率的概念扩展为“黎曼曲率张量”。那是n维流形每个点上的一个四阶张量，张量的分量个数随n的增大变成很大，并且表达式非常复杂。不过，由于对称性的原因，可以将独立的分量数目大大减少。
也可以用黎曼定义的“截面曲率”来描述流形的内在弯曲程度。为此需引进过流形上一点p的切空间的概念。在这儿需要强调的是，黎曼研究的是一般情况下的n维流形，通常n>=3，但我们人类的大脑想象不出，计算机也画不出来这些高维而又“不平坦”的流形是个什么样子，所以只好用嵌入3维空间的2维曲面的图像来表示这种“弯曲”流形，如图2-7-2所示。
图2-7-2：流形和过每一点的切空间
一个n维流形过点p的切空间是一个n维的欧氏空间。设Pp是这个欧氏切空间中的一个平面，截面曲率 K(Pp) 定义为以Pp作为切平面的n维流形过p点的那个2维截面的高斯曲率。在特别情况，如果n=2的话，即对2维流形而言，只有一个截面曲率，正好就是原来的高斯曲率。
上面的表述对n大于2的情况不好直观想象，对n等于2又稍微显得平凡。尽管如此，从图2-7-2中，我们仍然可以将2维曲面图像添加一些想象而延伸到一般的流形及其切空间，从而得到某种直观印像。
黎曼是把流形概念推广到高维的第一人。流形的名字来自他原来的德语术语Mannigfaltigkeit，英语翻译成manifold，是多层的意思。一般的流形，不但“不平”，而且其“不平”度还可以逐点不一样，流形的整体也可能有你意想不到的任何古怪形状。不过，黎曼流形仅仅指其中定义了黎曼度规的可微分流形。
形式上来看，黎曼是将高斯的2维曲面几何推广到了n维，但实际上黎曼所做工作的意义远不止于此。首先，高维流形中的曲率的概念要比2维曲率丰富得多。此外，因为黎曼度规是基于弧长微分ds的计算公式，所以黎曼几何完全不同于之前的欧几里德几何，或笛卡尔坐标几何那种对整个空间都适用的几何学，而是一种局部化的几何。这是黎曼在几何上迈出的革命性的一步。研究黎曼几何时，我们不需要整个空间，只需要其中局部的一小块就够了。在黎曼流形上的每一点，都可以定义一个切空间，从而再进一步建立起黎曼流形上的微分运算等，这些将在下一节中介绍。
参考资料：
【1】Ueberdie Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderabeln Körpern,wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als demEnthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebendbetrachtet werden
(Amtlicher Bericht über die 31. Versammlung deutscher Naturforscher undAerzte zu Göttingen im September 1854)
【2】On theHypotheses which lie at the Bases of Geometry
(Bernhard Riemann, translated by William Kingdon Clifford, Nature, 8(1873), 14-17, 36-37)
http://www.emis.de/classics/Riemann/WKCGeom.pdf
何史提，拉格朗日制造厂 收起
何史提，拉格朗日制造厂 收起
谢邀。
场论的科普工作上，我觉得徐一鸿做了相当不错的工作。参Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell；Feynman也做得很好，参其着的《理性边缘的物理》（QED: The Strange Theory of Light and Matter）。
这是一个不容易的问题，因为场论其实没有什麽新的物理，它是一套系统的方法，把前人的东西简洁表示，然后以此为工具去研究新的问题。没有基本的物理知识（高中或本科程度），跟那人谈场论是没有意思的。不懂物理，场论只是一堆没有意义的数学。而且场论是一种很有趣的东西，读完好像懂，可以跟人谈笑风生，但用到上手却什麽都不会。
例子我主要用谐振子。其实，这个很实用，经典和量子都有解，而且大部分问题都由这个开始，理论家其实除了这个好像什麽也不懂⋯⋯
经典力学
我觉得要懂得量子场论，先要谈谈经典场论。谈经典场论前，先谈经典力学。
假设我们都懂得牛顿力学（不懂的话，场论对你来说没有意思⋯⋯），我们可以用牛顿第二定律得出其运动方程。后来有人发明了能量的概念，再后来有人发明了Lagrangian。需然这些都不是直接可量度的东西，但很有用，只要你写出
，你可以用最小作用量原理（或Euler-Lagrange方程）得出一样的运动方程。
这是一个系统：1. 识别系统的自由度；2. 写出系统的Lagrangian；3. 用最小作用量原理得出运动方程。你可能会问，既然我们有牛顿力学，为什麽要发明这个没有新物理意义的东西？答桉是：对于複杂点的系统，写出耦合的运动方程很难，但写出其Lagrangian相对容易，如两质点以一个弹簧连着，这两质点便有耦合，用我们的物理直觉，可自Lagrangian中有一耦合项为
，再用系统的方法，便知运动方程。（当然这个简单问题，尚可用牛顿透程解决。）
经典场论
好了，讲完力学，可以讲场论了。上述的问题是单体或少体问题，场论一般处理多体问题。场是什麽？场（field）是空间（实空间、动量空间、或任何奇怪的空间）的函数（参如何让普通人理解物理学中「场」的本质？ - 何史提的回答 ）。用徐一鸿的方法说，场论处理的问题是一个床垫，找出一函数在床垫不同位置的便化。我们要用Lagrangian density，是场的泛函。同样地，用你的物理直觉，写出了Lagrangian density，再用最小作用量原理便可得运动方程。
经典场论的方程可以足够难解了。学到了这里，你可以跑去学机器学习了。
量子力学
经典力学中的一些量在量子力学便被量子化，有一些量不服从交换定律。这些东西大部分可在经典力学找到对应。可是，在经典力学视为可确定的，在量子力学变为随机，但随机量的平均值仍和经典力学一样。另外，在极限
，量子力学回归经典力学，此即Correspondence Principle。
量子场论和统计场论
用Schrodinger方程的话，基本可解决很多单体或少体量子问题，但多体问题则需场论。跟经典力学一样，我们可写出其Lagrangian density，亦有系统的方法写出其运动方程，这运动方程跟经典力学的一样，但量子的随机性让问题变得更有趣：在运动方程的解附近可特出统计量。这也是量子场论大量使用路径积分或泛函积分的原因：用最小作用量原理得出经典／平均解，用线性微扰得出方差和关联。求出这些，还是用谐振子／常态分布的数学。
统计场论因其随机性，也有类似的东西，可用泛函积分，用最小自由能解得出平均场解，用linear response求出方差和关联（Kubo方程便和此有关）。古典和量的分别，只是一个用
，另一用
。
这好像很简单，但光是上两段，可能足以给一个博士学位，因为经典解也可能是极複杂的。还有，量子场论的微扰複杂得多。幸好我们有伟大的费曼图，简化了不少工作，而每一幅图都代表一项（包含积分式、格林函数／传播子），点的数量代表是微扰阶数。在相对论量子力学中，每一幅图都有物理意义，和某一事件发生的概率有关；在统计场论中，则纯綷代表数式。
微扰通常是小的量，但不幸地，这些费曼图中往往会给出发散的积分。那怎办？我们有重整化，在Lagrangian加些counter-term抵消发散项，而这些发散项可吸至Lagrangian。（参：微积分在微观量子世界还适用吗？ - 何史提的回答）
在统计场论中，有一非微扰方法叫重整化群，是对系统作粗粒化处理（有点像在Chrome做zoom out一样），看看Lagrangian中每一项的变化是怎样，决定那些项留或不留。这个肯定和重整化有关，不过小弟还没通透。（参：重整群是不是一种粗粒化处理？ - 何史提的回答）
另外，有孤立子的问题，如vortex和Skyrmions的；还有本人不熟悉的拓扑量子场论，什麽Chern-Simons项，很多好东西。
最后想强调这一点：场论本身没有为基本力学加点什麽物理，可是作为系统化的方法，让我们可以跑得跟远，研究更深刻的问题。如果没有物理基础就学场论，则是未学走路就先学跑。当用场论得到结果后，有洞见的物理学家绝对可以不用场论把物理图象清析地描述出来。这有点像基督教中的系统神学，一般信徒是不需要有系统神学训练的都可以过一个有爱心有喜乐的基督徒生命，但系统神学在一个有基础的基督徒可以助他走得更远，他也可深入浅出解析他领受的；但对于连圣经也未读懂的人，系统神学充其量是学术知识，对他能否有一个好的生命没有帮助。 显示全部
场论的科普工作上，我觉得徐一鸿做了相当不错的工作。参Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell；Feynman也做得很好，参其着的《理性边缘的物理》（QED: The Strange Theory of Light and Matter）。
这是一个不容易的问题，因为场论其实没有什麽新的物理，它是一套系统的方法，把前人的东西简洁表示，然后以此为工具去研究新的问题。没有基本的物理知识（高中或本科程度），跟那人谈场论是没有意思的。不懂物理，场论只是一堆没有意义的数学。而且场论是一种很有趣的东西，读完好像懂，可以跟人谈笑风生，但用到上手却什麽都不会。
例子我主要用谐振子。其实，这个很实用，经典和量子都有解，而且大部分问题都由这个开始，理论家其实除了这个好像什麽也不懂⋯⋯
经典力学
我觉得要懂得量子场论，先要谈谈经典场论。谈经典场论前，先谈经典力学。
假设我们都懂得牛顿力学（不懂的话，场论对你来说没有意思⋯⋯），我们可以用牛顿第二定律得出其运动方程。后来有人发明了能量的概念，再后来有人发明了Lagrangian。需然这些都不是直接可量度的东西，但很有用，只要你写出
这是一个系统：1. 识别系统的自由度；2. 写出系统的Lagrangian；3. 用最小作用量原理得出运动方程。你可能会问，既然我们有牛顿力学，为什麽要发明这个没有新物理意义的东西？答桉是：对于複杂点的系统，写出耦合的运动方程很难，但写出其Lagrangian相对容易，如两质点以一个弹簧连着，这两质点便有耦合，用我们的物理直觉，可自Lagrangian中有一耦合项为
经典场论
好了，讲完力学，可以讲场论了。上述的问题是单体或少体问题，场论一般处理多体问题。场是什麽？场（field）是空间（实空间、动量空间、或任何奇怪的空间）的函数（参如何让普通人理解物理学中「场」的本质？ - 何史提的回答 ）。用徐一鸿的方法说，场论处理的问题是一个床垫，找出一函数在床垫不同位置的便化。我们要用Lagrangian density，是场的泛函。同样地，用你的物理直觉，写出了Lagrangian density，再用最小作用量原理便可得运动方程。
经典场论的方程可以足够难解了。学到了这里，你可以跑去学机器学习了。
量子力学
经典力学中的一些量在量子力学便被量子化，有一些量不服从交换定律。这些东西大部分可在经典力学找到对应。可是，在经典力学视为可确定的，在量子力学变为随机，但随机量的平均值仍和经典力学一样。另外，在极限
量子场论和统计场论
用Schrodinger方程的话，基本可解决很多单体或少体量子问题，但多体问题则需场论。跟经典力学一样，我们可写出其Lagrangian density，亦有系统的方法写出其运动方程，这运动方程跟经典力学的一样，但量子的随机性让问题变得更有趣：在运动方程的解附近可特出统计量。这也是量子场论大量使用路径积分或泛函积分的原因：用最小作用量原理得出经典／平均解，用线性微扰得出方差和关联。求出这些，还是用谐振子／常态分布的数学。
统计场论因其随机性，也有类似的东西，可用泛函积分，用最小自由能解得出平均场解，用linear response求出方差和关联（Kubo方程便和此有关）。古典和量的分别，只是一个用
这好像很简单，但光是上两段，可能足以给一个博士学位，因为经典解也可能是极複杂的。还有，量子场论的微扰複杂得多。幸好我们有伟大的费曼图，简化了不少工作，而每一幅图都代表一项（包含积分式、格林函数／传播子），点的数量代表是微扰阶数。在相对论量子力学中，每一幅图都有物理意义，和某一事件发生的概率有关；在统计场论中，则纯綷代表数式。
微扰通常是小的量，但不幸地，这些费曼图中往往会给出发散的积分。那怎办？我们有重整化，在Lagrangian加些counter-term抵消发散项，而这些发散项可吸至Lagrangian。（参：微积分在微观量子世界还适用吗？ - 何史提的回答）
在统计场论中，有一非微扰方法叫重整化群，是对系统作粗粒化处理（有点像在Chrome做zoom out一样），看看Lagrangian中每一项的变化是怎样，决定那些项留或不留。这个肯定和重整化有关，不过小弟还没通透。（参：重整群是不是一种粗粒化处理？ - 何史提的回答）
另外，有孤立子的问题，如vortex和Skyrmions的；还有本人不熟悉的拓扑量子场论，什麽Chern-Simons项，很多好东西。
最后想强调这一点：场论本身没有为基本力学加点什麽物理，可是作为系统化的方法，让我们可以跑得跟远，研究更深刻的问题。如果没有物理基础就学场论，则是未学走路就先学跑。当用场论得到结果后，有洞见的物理学家绝对可以不用场论把物理图象清析地描述出来。这有点像基督教中的系统神学，一般信徒是不需要有系统神学训练的都可以过一个有爱心有喜乐的基督徒生命，但系统神学在一个有基础的基督徒可以助他走得更远，他也可深入浅出解析他领受的；但对于连圣经也未读懂的人，系统神学充其量是学术知识，对他能否有一个好的生命没有帮助。 显示全部
qinan wang、知乎用户、Mike Xu 等人赞同
我们的电动老师（他也教量子电动力学）在我们的倒数第二节课上，给我们折腾了电磁场的拉格朗日表述，然后他说要给我们一分钟内讲清楚量子电动力学
然后他说把这个东西量子化就完了，其他都是细节
然后他就讲完了(╯‵□′)╯︵┻━┻
然后他说把这个东西量子化就完了，其他都是细节
然后他就讲完了(╯‵□′)╯︵┻━┻
量子场论是一整套数学方法和物理诠释的总称，你要科普的具体是哪一部分？量子化、重整化、规范场论、对称性、反常乃至温度场论和粒子物理标准模型，这些都是量子场论的组成部分，在概念上相互联系又都独立成章。
专注科普其中一两个不难，一次性全盘托出不大可能。实际上这些题目下大多有成熟的科普先例，也根据读者的背景差异有着不同层次的实现方案。比如‘t Hooft在Scholarpedia的这篇文章Gauge theories，在我看来就是针对本科生的绝佳科普。
专注科普其中一两个不难，一次性全盘托出不大可能。实际上这些题目下大多有成熟的科普先例，也根据读者的背景差异有着不同层次的实现方案。比如‘t Hooft在Scholarpedia的这篇文章Gauge theories，在我看来就是针对本科生的绝佳科普。
放一幅老早画图（回过头看有点不太确切的地方），名字：《理科no料理亭》，大体讲了下场论是咋工作的：
不过这也只能让学过的人看着图叙叙旧。咱还是觉得与普通人讨论场论是挺不智的。因为场论是那种只能说明“有什么用，怎么工作”的东西，而讲不清楚“是什么”。一句“场是什么”就能把你绕进去了。因为场根本就不是物理观测量。学过重整化的都知道，场是要被rescale的，是种说大就大，说小就小的东西。但它又不单纯是种数学工具，所以。。。。能绕开场论就绕开吧。
=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=
终于可以摸着键盘打字了。。
图有点小，解释一下
最左边是拉氏量，主要由一些对称原则决定，比如YM。有时要加拓扑项，另一些时候会添一些辅助场，用以揭示一些对偶性。这些系统按照作用强度以及我们的目标分为三类：作用较弱的可以作微扰展开；较强的，但我们只在乎低能情况的，可以按照
展开，这就是低能有效理论；剩下的一种情况就只能格点计算（在高化学势下失败）或者借助Ads/CFT的对偶理论（这个咱不懂）再或者就套各种唯象模型。总之，这些处理手段的目标是取得格林函数。真空下的格林函数作LSZ reduction可以得到截面。介质中的格林函数有两种途径入手。松原方案：虚时格林函数，适用于平衡态，在一些情况下也可以向非平衡作解析延拓。Keldysh方案：实时格林函数，每一个格林函数都写作Keldysh空间下的矩阵，适用于非平衡态。由这些格林函数，通过线性响应理论，可以计算系统的线性输运系数。以电导为例。
，
是外界给系统的微扰，而
就是系统作出的响应，两者之间线性相关。系数
是系统的内禀属性，与微扰大小无关（与频率还是有关的）。久保方程（Kubo formula）告诉我们：![\sigma(\omega)=\frac 1 \omega\int dtd\mathbf x \theta(t)\langle[\mathbf j(t,\mathbf x),\mathbf j(0)]\rangle e^{-i\omega t}](http://zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%28%5Comega%29%3D%5Cfrac+1+%5Comega%5Cint+dtd%5Cmathbf+x+%5Ctheta%28t%29%5Clangle%5B%5Cmathbf+j%28t%2C%5Cmathbf+x%29%2C%5Cmathbf+j%280%29%5D%5Crangle+e%5E%7B-i%5Comega+t%7D)
，而
，故而右边就是一个两点格林函数，用图表示的话就是幅眼睛一样的图。输运系数另一个求法是把截面带入经典输运方程（Boltzmann或Fock-Plank），把它线性化，然后求得。这条路径就不得不作经典近似了。
总之，图的最左边是系统的底层机理，最右边是宏观观测量，场论只是连接两者的桥梁。说穿了，场论本身的物理与量子力学没有区别，余下的部分全是数学 ，是可借助来形成物理图象的工具。真正有意思的物理在图的两端。当然，图中没有包含所有的宏观量，诸如压强、比热等热力学量的算法因为更简单，没有画在料理亭里。比方如何用场论来回答这个问题呢：水的比热为什么这么大？ - 知乎用户的回答。首先要拿到“水”这个系统的拉氏量。然后用虚时方案算配分函数：![Z(\beta)=Z_0(\beta)\exp\left(\sum_{n_l}\frac 1 {n_l !}C_{J=0}[n_l]\right)](http://zhihu.com/equation?tex=Z%28%5Cbeta%29%3DZ_0%28%5Cbeta%29%5Cexp%5Cleft%28%5Csum_%7Bn_l%7D%5Cfrac+1+%7Bn_l+%21%7DC_%7BJ%3D0%7D%5Bn_l%5D%5Cright%29)
。其中，
是理想气体的配分函数，
表示所有的泡泡图(bubble diagram)，
是图的vertex数目。有了配分后，取一次对数，作两次偏微分，热容就到手了。我这样答题算回答了那位题主的问题么？不算。因为我只提供了算法，没有提供物理图象，而算法永远不会是“原因”。再比如如果我用这套算法算，发现夸克物质在褪禁闭相的热容要高于在禁闭相的，就能写文章了么？也不行，我还是要提供物理图象：色禁闭禁锢了夸克的自由度，因而降低了体系热容。因而场论只是那个指着月亮的手指，不足为外人道。
不过这也只能让学过的人看着图叙叙旧。咱还是觉得与普通人讨论场论是挺不智的。因为场论是那种只能说明“有什么用，怎么工作”的东西，而讲不清楚“是什么”。一句“场是什么”就能把你绕进去了。因为场根本就不是物理观测量。学过重整化的都知道，场是要被rescale的，是种说大就大，说小就小的东西。但它又不单纯是种数学工具，所以。。。。能绕开场论就绕开吧。
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终于可以摸着键盘打字了。。
图有点小，解释一下
最左边是拉氏量，主要由一些对称原则决定，比如YM。有时要加拓扑项，另一些时候会添一些辅助场，用以揭示一些对偶性。这些系统按照作用强度以及我们的目标分为三类：作用较弱的可以作微扰展开；较强的，但我们只在乎低能情况的，可以按照
总之，图的最左边是系统的底层机理，最右边是宏观观测量，场论只是连接两者的桥梁。说穿了，场论本身的物理与量子力学没有区别，余下的部分全是数学 ，是可借助来形成物理图象的工具。真正有意思的物理在图的两端。当然，图中没有包含所有的宏观量，诸如压强、比热等热力学量的算法因为更简单，没有画在料理亭里。比方如何用场论来回答这个问题呢：水的比热为什么这么大？ - 知乎用户的回答。首先要拿到“水”这个系统的拉氏量。然后用虚时方案算配分函数：
我做科普喜欢先讲一点儿历史，讲一讲为什么要提出某个概念，是为了解决什么问题，获得了什么结果，包括涉及到的诺贝尔奖
比如我设想的一个提纲，供参考
比如我设想的一个提纲，供参考
- 把量子力学相对论化的努力：先讲Klein-Gorden方程，这是薛定谔方程的直接相对论性推广，然后说K-G方程涉及到了时间的二次导；和只涉及到时间一阶导的Dirac方程，以及Dirac的「负能海」、「反粒子」假设（诺贝尔奖：Dirac 方程，正电子，反质子）；相对论性量子力学最根本的问题——没法处理粒子产生湮灭的情形，从而自然进入第二部分
- 二次量子化（这个没想好怎么讲，说是太数学化了吧，不讲又无法理解量子力学进入到相对论性情形后的本质变化）
- 如果能讲清楚二次量子化，接下来讲量子场论就是坦途了，场量子化，对易（反对易）关系，这都是自然而然的结论，微扰论讲不讲视受众的情形而定，不过费曼图多少还是得提一下，这个比较直观（诺贝尔奖：泡利不相容原理，量子电动力学）
- 看情形，讲一讲规范对称性（包括电磁场的「额外自由度」的问题以及 C.N. Yang 的八卦）、重整化（主要是代表性的圈图）及其获得的重要成果——兰姆位移、真空自能什么的（诺贝尔奖：兰姆位移，宇称不守恒）
- 到了标准模型这儿，就只能讲概念了，QCD，夸克轻子的种类，中间玻色子，中微子的问题，Higgs机制，基本上就着诺贝尔奖来讲（诺贝尔奖：Gell-Mann，丁肇中，标准模型，对称性破缺，W和Z的发现，tau子，中微子，深度非弹，渐近自由，对称性自发破缺，Higgs粒子）
- beyond SM 随便扯一点儿，以表示大家在 SM 之后也没闲着
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