物理视角下的期权定价方程 陶勇 重庆大学经济与工商管理学院

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2011年9月28日 - 5 2009 物理视角下的期权定价方程陶勇( 重庆大学经济与工商管理学院 ... 文献[ 1] 曾谈到Black Scholes 方程其实完全可以从物理学的角度推导出来 ...



只要适当地选择m便可以从方程(1)中消去dB(t)项


物理视角下的期权定价方程
陶󰀁勇
(重庆大学经济与工商管理学院,重庆󰀁400044)
(收稿日期:2009󰀁05󰀁06)
摘󰀁要󰀁以大学物理的角度来介绍三种推导Black󰀁Scholes期权定价方程的方法,并以物理专
业易于理解的方式来剖析相关的推导过程.关键词󰀁期权;布朗运动;格林函数;薛定谔方程
THEEQUATIONOFOPTIONVALUATIONBASED
ONPHYSICALVIEWPOINT
TaoYong
(EconomyandBusinessManagementInstitute,ChongqingUniversity,Chongqing400044)
Abstract󰀁ThethreewaysthatderivetheBlack󰀁Scholesequationofoptionvaluationhavebeenintroducedbasedonthephysicalviewpoint.Thecorrespondingkeypointhasbeenanalyzedintheeasytounderstandwaytofitthestudentsfromdepartmentofphysics.KeyWords󰀁option;Brownianmotion;Greenfunction;Schr󰀁dingerequation󰀁󰀁近年来,物理学的思想似乎在融入社会科学领域,并有一系列的文章[1,2]开始阐述数理金融核心工具󰀁󰀁󰀁Black󰀁Scholes期权定价方程与物理方法论的联系.相继又有文章[3]谈到Black󰀁Scholes方程与规范场思想的联系.至于物理学对于金融学的影响,或许从华尔街的金融大亨们偏爱雇用理论物理学博士这一现象便可窥见一斑.在现今科学知识相互渗透的时代,扩展学生的视野显得尤为重要,物理系的学生不应只局限在物理学中,或许一些学生可能适合于物理与某些学科的交叉领域,较著名的领域便是󰀁econophysics󰀁,这可以被译为经济物理(也有人译为金融物理).而且将物理学引入经济学的趋势似乎还愈演愈烈,Phys.Rev.E和PhysicaA等国际顶尖杂志上发表的相关文章数量的增加便是一个明证.因此,让物理系的本科生在一个较早的时期来接触物理学在经济应用中的成功案例对于他们将来的发展也必有一定的助益.现今由美国次贷危机所引发的世界金融危机就是金融衍生品(如期权)的使用不当所产
生的,因此做好这方面的工作对于促进国家经济的稳定和发展是具有现实意义的.就像文献[2]所呼吁的:󰀁现在全世界都正在集中各种人才到金融领域,而金融工程需要物理学和物理学家;金融学向定量科学发展是历史的必然,物理学家参与金融工程势在必行.󰀁文献[1]曾谈到Black󰀁Scholes方程其实完全可以从物理学的角度推导出来,本文便是试图对此做一点尝试.我们的目的是从物理系本科生易于接受的角度来推导和剖析Black󰀁Scholes方程,当然其中也会涉入一点点的经济学,不过,这并不会影响学生对此的理解.
本文只讨论欧式的股票期权,实际上其他期权的原理与此类似.所谓期权实际上是一种买卖股票的选择权,期权分为买入期权和卖出期权.买入期权:指期权购买者看好某支股票在将来会涨,便与期权出售者󰀁约定󰀁在将来的T时刻以现在的零时刻该股票的󰀁约定󰀁价格E购买一定数量该股票,但这一󰀁约定󰀁必须按股票数量支付零时刻商讨的单位期权费C.如设在T时刻的股
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票价格为S,且S>E,则购买者会赢利S-E-C;当然如果T时刻股票价格S<E,购买者也可以不执行交易,此时购买者仅损失单位期权费C.
卖出期权:指期权购买者看好某支股票在将来会跌,便与期权出售者󰀁约定󰀁在将来的T时刻以现在的零时刻该股票的󰀁约定󰀁价格E卖出一定数量该股票,但这一󰀁约定󰀁必须按股票数量支付零时刻商讨的单位期权费C.如设在T时刻的股票价格为S,且S<E,则购买者会赢利E-S-C;当然如果T时刻股票价格S>E,购买者也可以不执行交易,此时购买者仅损失单位期权费C.可以看到期权购买者的赢利与期权的价格C息息相关,那么如何为零时刻的期权制定价格进行交易呢?1󰀁方法一
我们的目的是要找到一种方法为期权定价,即找到C的表达式.从上面的论述容易看出期权价格C应该是股票价格S和时间t的函数,即C=C(S,t).那么表达式C=C(S,t)的形式应该是什么样子呢?我们知道物理学中试图寻找一个规律方程时总是假定存在一个均衡状态(如理论力学的󰀁力平衡󰀁;统计力学中的󰀁最可几状态󰀁),后来这被精炼为最小作用量原理.
事实上,诸如此类的想法在经济学中同样适用,一个重要的事实是:同时购买股票和该股票的期权可以降低风险.例如:如果我们买了m单位股票A,但我们又担心股票A将来可能会跌,那么我们便可以买1单位股票A的看跌期权(卖出期权),假如将来股票A真的跌了,我们也可以在期权市场上赚到钱来填补在股票市场上的损失.恰恰正是这一特征使得股票市场上的风险和期权市场上的风险可以被对冲掉,从而实现整个金融市场上的均衡.
现在我们把上面的的想法(均衡)精确化.构造一资产组合:1单位期权和m单位股票.这一组合的价值󰀁为
󰀁=C-mS
微分形式为
d󰀁=dC-mdS
(1)
󰀁󰀁我们知道买卖股票是有风险的,而风险来源于随机性.一般来说,股票价格的变化是随机的,
它被看作一个布朗运动.股票价格的变化服从布朗运动意味着方差Var(dS)~dt(请回忆布朗运动的爱因斯坦公式),因此保留至󰀁t一次项(普通
微积分的必要形式)的dS的普遍形式为
dS=a(S,t)dt+b(S,t)dB(t)
(2)
其中,dB(t)=󰀁dt,并且󰀁~N(0,1),即服从标准的正态分布.
由于股票价格的变化是随机的,因此该股票的期权价格也应是随机的.类比方程(2)我们预期期权价格C(S,t)应该为
dC(S,t)=f(C,t)dt+g(C,t)dB(t)
(3)
󰀁󰀁从方程(2)和方程(3)我们可以看到正是由于dB(t)项的存在,使得购买股票和期权充满了风险.但从式(1)的结构却可以发现,只要适当地选择m便可以从方程(1)中消去dB(t)项.不过,我们首先仍必须先确定f(C,t)和g(C,t)的形式.
为此将C(S,t)作泰勒展开
󰀁dC(S,t)=󰀁C󰀁S󰀁S+󰀁C󰀁t󰀁t+12󰀁2
C󰀁S
2(󰀁S)2
+
󰀁2
C󰀁S󰀁t󰀁S󰀁t+12󰀁2
C󰀁t2
(󰀁t)2+󰀁(4)
将方程(2)代入方程(4),并保留至󰀁t的一次
项得
dC(S,t)=
󰀁C󰀁Sa+󰀁C󰀁t+12󰀁2C󰀁S2
b2
dt+
󰀁C󰀁S
bdB(t)
(5)
比较式(3)和式(5)得
f(C,t)=󰀁C󰀁Sa+󰀁C󰀁t+12󰀁2C󰀁S2
b
2
和
g(C,t)=󰀁C󰀁S
b
󰀁󰀁将式(2)和式(5)代入方程(1)得
d󰀁=
󰀁C󰀁Sa+󰀁C󰀁t+12󰀁2C󰀁S2b2-am
dt+
󰀁C󰀁S
-m
bdB(t)
󰀁󰀁显然只需同时选择m=󰀁C󰀁S单位的股票和1单
位期权便可以将资产组合的风险(随机性)dB(t)项消去.
因此,投资者的无风险收益为
d󰀁=󰀁C󰀁t+12󰀁2C󰀁S2
b2
dt
(6)
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󰀁󰀁现在我们要讲一点经济学了.方程(6)为无风险的收益,就意味着我们只要按照方程(6)的程式来安排投资便可以不顾虑市场风险而总是赚到钱.但问题是如果每个人都按这种方式设计投资方案,那岂非就意味着每个人都可以大把地赚钱?现实中当然不是这样,实际上人们惟一能不顾虑市场风险而赚到钱的方式几乎(除开经济危机)只有将钱存入信誉卓著的银行,然后享受利率为r的增值收益;否则,市场是不可能达到均衡的.这个思想意味着从整个市场来看,无风险的股票和期权的投资组合仍旧只相当于将钱存入(投资到)银行.因此,无风险收益d󰀁应该与无风险利率r的投入相当,即
[注]
d󰀁=󰀁rdt
󰀁󰀁这就意味着
󰀁C󰀁t+12󰀁2C󰀁S2
b2
=󰀁r=C-󰀁C󰀁S
Sr
所以,均衡市场的期权定价方程为
󰀁C󰀁t+12b2󰀁2
C󰀁S2+rS󰀁C󰀁S
-rC=0󰀁󰀁当a(S,t)=󰀁S和b(S,t)=󰀁S时,上式便是著名的Black󰀁Scholes期权定价方程
󰀁C󰀁t+12󰀁2S2󰀁2
C󰀁S
2+rS󰀁C󰀁S-rC=0(7)这里,󰀁为股票价格的期望收益(注意它并不会出现在方程(7)中);󰀁为股票价格的波动率(均方差).这时,方程(2)可以保证股票价格不取负值(这被看作a(S,t)和b(S,t)的形式的一个重要判定).
在边界条件C(S,T)=
max(S-E,0)max(E-S,0)(买入期权)
(卖出期权)下,便可以从方程(7)解出期权的价格,有兴趣可参阅文献[4].2󰀁方法二
Black󰀁Scholes方程在形式上很像统计物理中的Plank󰀁Fock方程,可惜却不是,更重要的是现实中的股票价格S不能为负.但如果我们对C(S,t)和S作一个变量替换,方程(7)便会成为一个使物理系的学生熟悉的形式.为此我们令
S=eX
,󰀁t=-2󰀁󰀁
2
,󰀁C(S,t)=e-2r
󰀁
2󰀁u(X,󰀁)󰀁󰀁这样方程(7)就化为
󰀁u󰀁󰀁=󰀁2
u󰀁X2
+2r󰀁2-1󰀁u
󰀁X(8)
(-󰀁<X<+󰀁)
󰀁󰀁这里,u(X,󰀁)也可被看作一种󰀁期权价格󰀁,即相当于原期权价格C(S,t)以复利率2r󰀁
2󰀁贴
现󰀁[注];而X也可以被看作该󰀁期权󰀁的股票价格,只不过这种虚拟的股票价格可以为负.实际上,这里的󰀁贴现󰀁需要到经济学中才能作出解释(有兴趣可参阅文献[5]);如果要从物理上进行理解,那么可以解释为:贴现(函数变换)后的期权价格u(X,󰀁)才能够被归一化,即可被理解为股票价格X的分布函数.由于方程(8)和Plank󰀁Fock方程完全一致,下面我们用标准的统计力学方法来导出方程(8).
关键的一步是令u(X2,󰀁2)=
󰀁
+󰀁-󰀁
u(X1,󰀁1)G(X1,󰀁1;X2,󰀁2)dX2
这里,G(X1,󰀁1;X2,󰀁2)是期权价格随时间演化的
格林函数,它表示󰀁2时刻的期权价格u(X2,󰀁2)由一个马尔科夫过程从󰀁1时刻的价格u(X1,󰀁1)演化而来.因此整个问题已经完全被物理化了,与爱因斯坦处理布朗运动的精神完全一致.取代花粉颗粒,股票价格X完全是一种随机过程,而期权价格u(X,󰀁)(被归一化后)可看作股票价格X的分布函数.
这里,格林函数的定义为[6]
G(X1,󰀁1;X2,󰀁2)=󰀁(X1-X2)-d󰀁󰀁+󰀁
-󰀁
dX󰀁(X1
,X,󰀁)󰀁(X
1
-X2)+
d󰀁󰀂(X1,X2,󰀁)
它保证了
󰀁
+󰀁-󰀁
G(X1,󰀁1;X2,󰀁2)dX2=1
󰀁󰀁如此按照统计物理的标准程式[6]便得到Plank󰀁Fock方程
󰀁uX,t󰀁󰀁=-󰀁󰀁X
󰀁1Xu(X,󰀁)+12󰀁2
󰀁X2
󰀁2Xu(X,󰀁)
显然只须令󰀁1X=1-
2r󰀁
2和󰀁2X=2便可得
到Black󰀁Scholes方程(8).
(下转第59页)
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教育工作者共同合作,积极推进.
参󰀁考󰀁文󰀁献
[1]󰀁丁学钧,刘建臣等.计算机专业双语教学系统模式的研究与
实践.全国高校双语教学研讨会论文集,2007,632~634[2]󰀁教育部󰀁关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的
若干意见󰀁(教高[2001]4号)文件
[3]󰀁滕小瑛.双语教学的探索和体会.中国大学教学,北京,高
等教育出版社,2005,31~32
[4]󰀁王安安.使用英文物理教材进行教学的一种模式[J].大学
物理,2004,23,56~58
(上接第56页)
3󰀁方法三
最后我们指出Black󰀁Scholes方程(8)的另一种颇有启发意义的形式
󰀁
󰀁󰀁-A󰀁u(X,󰀁)=󰀁
󰀁X
-AX2
u(X,󰀁)(9)
其中,A󰀁=-r󰀁2-12
2
󰀁以及󰀁AX=12-r󰀁
2
󰀁󰀁方程(9)可看作一个作了Wick旋转的规范场耦合的薛定谔方程,而A󰀁和AX相当于一种类似于电磁场的规范场.显然这一形式可以被纳入分析力学加以讨论,犹如牛顿力学进入分析力学一样必定大有裨益.事实上,已经有人从规范场的角度来推导Black󰀁Scholes方程(那里使用的是路径积分的方法).不过,鉴于这种方法还不能算作完善,这里便不做介绍,有兴趣可参阅文献[2,3](对于物理系的学生,那将是具有鼓舞作用的导读性文章).
本文实际上指出了3种Black󰀁Scholes方程的推导方法.第一种方法的经济学色彩较浓,第二种方法是纯统计力学的思路,第三种方法属于分析力学.这里我们着重指出前两种方法的易于讲授性:我们相信只要将期权的两种概念(买入和卖出期权)讲解清楚,对学生而言理解后面的形式推导是没有什么原则上的困难.而用统计力学的方法来推导Black󰀁Scholes方程是具有典型意义的,即在󰀁布朗运动󰀁课程中趁热打铁给学生介绍统计